Este documento presenta los conceptos básicos de los logaritmos, incluyendo su definición, propiedades y reglas. Explica la identidad fundamental de los logaritmos, el logaritmo de un producto, cociente y potencia. También cubre el cambio de base y la regla de la cadena de logaritmos. Por último, presenta ejemplos numéricos para ilustrar el uso correcto de las propiedades y reglas de los logaritmos.

1. ALGEBRA
LOGARITMOS
DEMETRIO CCESA RAYME

2. LOGARITMOS
↔ 𝒃 𝒙 = 𝑵
𝐥 𝐨 𝐠 𝒃 𝑵 = 𝒙
𝒙 = 𝐥 𝐨 𝐠 𝐚 𝐫 𝐢 𝐭 𝐦 𝐨 ; 𝒙 ∈ ℝ
𝑵 = n ú m e r o propuesto 𝑵 ∈ ℝ+
𝒃 = 𝒃 𝒂 𝒔 𝒆 ; 𝒃 ∈ ℝ+ ∧ b ≠ 1
Donde:

3. 2. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS LOGARITMOS:
a) 4log4 6
= 6
b) 2021log20211500
=1500
Ejemplos:

4. 3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
2
A.
Ejemplos:
a)log5 1= 0
b)log7 1 =0
B.
a) log6 6 =1
b) log 2 =1

5. C. LOGARITMO DE UN PRODUCTO:
Ejemplos:
a) log2 75 = log2 7 + log2 5
b) log5 25 4 = log5 25 +log5 4

6. Ejemplos:
D. LOGARITMO DE UN COCIENTE:
2 2
5 5
6
5
a) log  8 = log 8− log 6
2  
 
b) log 10  = log 10 −log 5
5  
 

7. E. LOGARITMO DE UNA POTENCIA:
REGLA DEL SOMBRERO
x
b
Antilog x b
=
1
1
b b b
b
Colog N Log Log N Log N
N
= = = −

8. F. CAMBIO DE BASE:
2
5
6
3
log 2
log 6
a) log 3 =
log5 3
b) log 21 =
log3 21
Ejemplos:

9. G. REGLA DE LA CADENA:
Ejemplos:
a) log2 3.log4 2.log3 4 = log3 3
b) log6 2.log4 6.log5 4.log8 5 = log8 2

10. LOGARITMO DECIMAL, VULGAR O DE BRIGGS:
𝒍 𝒐 𝒈 𝟏 𝟎 𝒙 = 𝐥 𝐨 𝐠 𝒙
LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO:
𝒍 𝒐 𝒈 𝒆 𝒙 = 𝐥 𝐧 𝒙
𝒆 = 𝟐 . 𝟕 𝟏 𝟖 𝟐 …
a
Log
c
Log b
b c
a =
H. PROPIEDADES ADICIONALES:

11. 1. Calcular “x” si: 𝑳𝒐𝒈𝒙 (𝟔 + 𝒙) = 𝟐
A) 1 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

12. 1. Calcular “x” si: 𝑳𝒐𝒈𝒙 (𝟔 + 𝒙) = 𝟐
Solución
Logx (6 + x) = 2
A) 1 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
x2
− x − 6 = 0
(x+2)(x − 3) = 0
Rpta. E
x2 = 6 + x
X = 3

13. 2. Calcular “x” en:
log6 7
(8− x) = 7
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14. 2. Calcular “x” en:
log6 7
(8− x) = 7
7
Log6
8 − x = 7
Elevando a la
inversa
Por propiedad fundamental
de logaritmos
8 − x = 6
x = 2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución
Rpta. B

15. 3. Calcular:
A) log 6 B) log 5 C) log 4 D) log 3 E) log 2
log75 − 2log(5/9) + log(3/ 243)

16. 3. Calcular:
log75 − 2log(5/9) + log(3/ 243)
Utilizando la regla del sombrero con exponente negativo
log75 + log81/ 25 + log3/ 243
Transformando a logaritmo del producto
log(75)(81/25) (3/ 243)
log 3
A) log 6 B) log 5 C) log 4 D) log 3 E) log 2
log75 − 2log(5/9) + log(3/ 243)
Solución
Rpta. D

17. 4. Resolver: 10𝑥 − 10−𝑥
10𝑥 + 10−𝑥
= 1/3
A) log 2 B) log 4 C) log 8 D) log(1/4) E) (1/2)log2

18. 4. Resolver:
10𝑥 = 𝑚
Tenemos:
Realizando operaciones m2 + 1 = 3m2 – 3
4 = 2m2
De donde
m = 2
10𝑥 + 10−𝑥
10𝑥 − 10−𝑥
= 3
10𝑥 − 10−𝑥
10𝑥 + 10−𝑥
= 1/3
A) log 2 B) log 4 C) log 8 D) log(1/4) E) (1/2)log2
Solución
𝑚 + m−1
m − m−1
= 3
X = log 2 Rpta. E

19. 5.- Resolver: logx =log x
A) 5 B) 10 C) 100 D) 1000 E) 10000

20. 5.- Resolver: logx =log x
logx = m
Sustituyendo m= (1/2)(m)
Aplicando la Regla del
Sombrero tenemos
Resolviendo la ecuación:
m = 4
log x = 4
x =10000
A) 5 B) 10 C) 100 D) 1000 E) 10000
Solución
Rpta. E

21. 6.- Hallar “x” en:
ex+y =18
ex−y =2
A) Ln 2 B) Ln 3 C) Ln 4 D) Ln 6 E) Ln 8

22. 6.- Hallar “x” en:
ex+y =18
ex−y =2
X + Y =Ln18
X – Y = Ln2
Extrayendo logaritmo natural ambos
miembros de la ecuación:
2X = Ln36
X = 1/2 Ln36
X = Ln6
Resolviendo el sistema y logaritmo del producto:
Aplicando regla del sombrero:
A) Ln 2 B) Ln 3 C) Ln 4 D) Ln 6 E) Ln 8
Solución
Lne = 1
Rpta. D

23. 7.- Resolver:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3
log
)
3
x
2
(
log
x
log
2 +
−
=

24. 7.- Resolver:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3
log
)
3
x
2
(
log
x
log
2 +
−
=
3
log
)
3
x
2
(
log
x
log
2 +
−
=
Solución
Log x2
= Log (2x− 3)(3)
x2
= 6𝑥 − 9
x2 − 6𝑥 + 9 = 0
(x − 3)2 = 0
x = 3 Rpta. B

25. 8.- Calcular : E = anti log3 co log25 anti log5 log7 4 9
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6

26. 8.- Calcular : E = anti log3 co log25 anti log5 log7 4 9
E = anti log3 co log25 anti log5 log7 4 9
E = anti log3 co log25 anti log5 2
E = anti log3 co log25 25
E = anti log3 − log25 25
E = anti log3 − 1
E = 1/3
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/6
Solución
Rpta. B

27. 9. Determinar el valor de “x” en: log2 x + log4 x =3
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16

28. 9. Determinar el valor de “x” en: log2 x + log4 x =3
log2 x + log4 x =3
log2 x + 1/ 2log2 x =3
3/ 2log2 x =3
log2 x = 2
x = 4
Logaritmo del exponente
de la base
sumando
trasponiendo
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
Solución
Rpta. C

29. 10. Calcular “x” si: log x2
+colog x =3
A) 1 B) 10 C) 100 D) 1000 E) 10000

30. 10. Calcular “x” si:
x = 1000
Regla del Sombrero y propiedad
de cologaritmo
Restando términos semejantes
log x2
+colog x =3
logx2
+cologx =3
2logx − logx =3
logx =3
A) 1 B) 10 C) 100 D) 1000 E) 10000
Solución
Rpta. D

31. 11. Hallar el valor de “m” en: log(m−4)+log(m+5) =log36
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

32. 11. Hallar el valor de “m” en: log(m−4)+log(m+5) =log36
log(m−4)(m+5) = log36
(m – 4) (m + 5) = 36
m2 + m – 56 =0
m = 7
Logaritmo del producto
Cancelando logaritmos
Reduciendo
Rpta. C
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Solución

33. 12.
2
)
15
(
log 2
10 =
− x
x
hallar la suma de los valores de “x” que
satisfacen la ecuación:
A) 20 B) 15 C) 25 D) 5 E) 21

34. 12.
2
)
15
(
log 2
10 =
− x
x
hallar la suma de los valores de “x” que
satisfacen la ecuación:
A) 20 B) 15 C) 25 D) 5 E) 21
Solución
2
)
15
(
log 2
10 =
− x
x
x2
− 15x = 100
x2 − 15x − 100 = 0
Suma de raíces = 15 Rpta. B

35. 13. Calcular: K = 9𝑙𝑜𝑔35
+ 16𝑙𝑜𝑔23
+ 5𝑙𝑜𝑔2549
A) 111 B) 112 C) 113 D) 114 E) 115

36. 13. Calcular: K = 9𝑙𝑜𝑔35
+ 16𝑙𝑜𝑔23
+ 5𝑙𝑜𝑔2549
A) 111 B) 112 C) 113 D) 114 E) 115
Solución
K = 32𝑙𝑜𝑔35
+ 24𝑙𝑜𝑔23
+ 5𝑙𝑜𝑔57
K = 9𝑙𝑜𝑔35
+ 16𝑙𝑜𝑔23
+ 5𝑙𝑜𝑔2549
K = 3𝑙𝑜𝑔325
+ 2𝑙𝑜𝑔281
+ 5𝑙𝑜𝑔57
K = 25 + 81 + 7
K = 𝟏𝟏𝟑
Rpta. C

37. 14.- Resolver: 1
)
8
(
Log
3
1
)
16
(
Log
2
1
)
x
(
Log +
−
=
A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

38. 14.- Resolver: 1
)
8
(
Log
3
1
)
16
(
Log
2
1
)
x
(
Log +
−
=
Solución
A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60
1
)
8
(
Log
3
1
)
16
(
Log
2
1
)
x
(
Log +
−
=
Log(x)= log4 − log2 + 1
Log(x)= log4 − log2 + log10
Log(x)= log20
x=20 Rpta. A

39. 15 Calcular: ]
729
log
3
log
anti
[
log
anti
6
log
anti 3
2
3
2 −
+
A) 74 B) 73 C) 72 D) 71 E) 70

40. 15 Calcular: ]
729
log
3
log
anti
[
log
anti
6
log
anti 3
2
3
2 −
+
]
729
log
3
log
anti
[
log
anti
6
log
anti 3
2
3
2 −
+
A) 74 B) 73 C) 72 D) 71 E) 70
Solución
]
729
log
3
log
anti
[
log
anti
6
log
anti 3
2
3
2 −
+
anti log2 6 + anti log3(8 − 6)
anti log2 6 + anti log3 2
64 + 9 = 73 Rpta. B

41. MISCELANEA

42. 1. Calcular: 𝑘 = 𝑙𝑜𝑔2256 + 𝑙𝑜𝑔101000 − 𝑙𝑜𝑔381
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

43. 1. Calcular: 𝑘 = 𝑙𝑜𝑔2256 + 𝑙𝑜𝑔101000 − 𝑙𝑜𝑔381
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Solución
𝑘 = 𝑙𝑜𝑔2256 + 𝑙𝑜𝑔101000 − 𝑙𝑜𝑔381
𝑘 = 8 + 3 − 4
𝑘 = 7 Rpta. C

44. 2. Resolver: x
4
7
log
2
3
log
2
x
5
log
2
7
3
5 =
+
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

45. 2. Resolver: x
4
7
log
2
3
log
2
x
5
log
2
7
3
5 =
+
x
4
7
log
2
3
log
2
x
5
log
2
7
3
5 =
+
x2 + 4 = 4x
x2 − 4x + 4 = 0
(x − 2)2 = 0
x = 2
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Solución
Rpta. A

46. 𝑆 = 3
𝑐𝑜 log5 0 , 04 + 𝑎𝑛𝑡𝑖 log5 2
3. Calcular:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

47. 𝑆 = 3
𝑐𝑜 log5 0 , 04 + 𝑎𝑛𝑡𝑖 log5 2
3. Calcular:
Solución
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
𝑆 =
3
2 + 25
𝑆 = 3
− log5 0 , 04 + 𝑎𝑛𝑡𝑖 log5 2
𝑆 =
3
2 + 25 = 3 Rpta. C
𝑆 = 3
𝑐𝑜 log5 0 , 04 + 𝑎𝑛𝑡𝑖 log5 2

48. 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔125 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔3 𝑐𝑜 𝑙𝑜𝑔25 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔5 𝑙𝑜𝑔7 4 9
4. Calcular:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

49. 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔125 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔3 𝑐𝑜 𝑙𝑜𝑔25 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔5 𝑙𝑜𝑔7 4 9
4. Calcular:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución
𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔125 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔3 𝑐𝑜 𝑙𝑜𝑔25 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔5 𝑙𝑜𝑔7 4 9
𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔125 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔3 𝑐𝑜 𝑙𝑜𝑔25 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔5 2
𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔125 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔3 𝑐𝑜 𝑙𝑜𝑔25 25
𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔125 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔3 − 1
𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑙𝑜𝑔125 1/3
5 Rpta. E

50. 5. Calcular: 𝑳𝒏 𝑳𝒏 𝑳𝒏 x = 𝟎
A) 2e B) C) D) 4e E)
4 e2 ee

51. 𝐿𝑛 𝐿𝑛 𝐿𝑛 x = 0
𝐿𝑛 𝐿𝑛 x = 1
𝐿𝑛 𝑥 = e
𝑥 = ee
5. Calcular: 𝑳𝒏 𝑳𝒏 𝑳𝒏 x = 𝟎
A) 2e B) C) D) 4e E)
4 e2 ee
Solución
Rpta. E

52. 3
log
3
)
11
2
3
( 3
2
3 =
+
+ x
x
Log
A) 1/3 B) 2/3 C) -1/3 D) -2/3 E) 11/3
hallar la suma de los valores de “x”
que satisfacen la ecuación:
6.

53. 3
log
3
)
11
2
3
( 3
2
3 =
+
+ x
x
Log
3
log
3
)
11
2
3
( 3
2
3 =
+
+ x
x
Log
A) 1/3 B) 2/3 C) -1/3 D) -2/3 E) 11/3
hallar la suma de los valores de “x”
que satisfacen la ecuación:
6.
Solución
3
11
2
3
log 2
3 =
+
+ x
x
0
16
2
3 2
=
−
+ x
x
27
11
2
3 2
=
+
+ x
x
Suma de raíces = − 2/3 Rpta. D