DOCUMENTO

1. ALGEBRA
LA REGLA DE LA COSA
DEMETRIO CCESA RAYME
ECUACIÓNCUADRÁTICA

2. PROPIEDADES DE LAS RAICES:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0
Forma:
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
Suma de raíces:
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Producto de raíces:
𝑥1 + 𝑥2 = 0
Raíces simétricas:
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales, dobles,
existe solución única:
Discriminante = ∆ = b2 − 4ac
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Ó ECUACIÓN CUADRÁTICA

3. EJEMPLOSILUSTRATIVOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA

4. 1.
A) 4 B) −8 C) 2 D) −4 E) 8
Hallar “m”, si una raíz es – 2.
En la ecuación: x2 + 6x – m = 0

5. Solución
1.
A) 4 B) −8 C) 2 D) −4 E) 8
Hallar “m”, si una raíz es – 2.
En la ecuación: x2 + 6x – m = 0
x2 + 6x – m = 0
(– 2)2 + 6 (– 2) – m = 0
4 – 12 – m = 0
– 8 – m = 0
– 8 = m Rpta. B
Reemplazando

6. 2.
A) – 1 B) 2 C) 1 D) 4 E) 8
Calcular k para que la suma de raíces de:
sea igual a − 9.
x2
+ k + 8 x + 8 − x = 0

7. Solución
2.
Rpta. B
A) – 1 B) 2 C) 1 D) 4 E) 8
x1 + x2 = − k + 7 = − 9
Calcular k para que la suma de raíces de:
sea igual a − 9.
x2
+ k + 8 x + 8 − x = 0
x2
+ k + 8 x + 8 − x = 0
x2 + k + 8 − 1 x + 8 = 0
x2 + k + 7 x + 8 = 0
−k − 7 = − 9
2 = k
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎

8. 3.
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Determinar n tal que el producto de raíces de la ecuación:
sea igual a 6. (n − 2)x2−5x + 2n = 0

9. Solución
3.
Rpta. D
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
x1 . x2
3 = n
Determinar n tal que el producto de raíces de la ecuación:
sea igual a 6. (n − 2)x2−5x + 2n = 0
6
2
2
=
−
=
n
n
12
6
2 −
= n
n
(n − 2)x2
−5x + 2n = 0
12= 4n
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎

10. 4.
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
Determinar m tal que el producto de raíces de la ecuación:
sea igual a 9. 2x2 + m − 1 x + m + 1 = −1

11. Solución
4.
Rpta. C
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
x1 . x2
m = 16
Determinar m tal que el producto de raíces de la ecuación:
sea igual a 9.
2x2 + m − 1 x + m + 2 = 0
2x2 + m − 1 x + m + 1 = −1
9
2
2
=
+
=
m
2x2
+ m − 1 x + m + 1 = −1
18
2 =
+
m
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎

12. A) 50 B) 100 C) 150 D) 200 E) 250
5. 0
1
)
600
3
(
3 2
=
−
−
− x
m
x
Hallar “m”, si la ecuación:
posee raíces simétricas.

13. A) 50 B) 100 C) 150 D) 200 E) 250
5.
Rpta. D
Solución
0
1
)
600
3
(
3 2
=
−
−
− x
m
x
Hallar “m”, si la ecuación:
posee raíces simétricas.
0
3
600
3
=
−
m
0
600
3 =
−
m
600
3 =
m
200
=
m
𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥1 + 𝑥2 =
Raíces simétricas:

14. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
6. Hallar la mayor solución de la ecuación: x2 + bx + 2b - 49 = 0
si tiene raíces simétricas.

15. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
6.
Rpta. B
Solución
0
1
=
−b
0
=
−b
0
=
b
Hallar la mayor solución de la ecuación: x2 + bx + 2b - 49 = 0
si tiene raíces simétricas.
x2 − 49 = 0
(x+7)(x − 7) = 0
7
−
=
x
7
=
x
x2 + bx + 2b - 49 = 0
𝑥1 + 𝑥2 = 0
Raíces simétricas:

16. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. Hallar “k”, si la ecuación: 0
)
9
(
7
)
1
2
( 2
=
+
+
−
− k
x
x
k
posee raíces recíprocas.

17. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7.
Rpta. E
Solución
Hallar “k”, si la ecuación: 0
)
9
(
7
)
1
2
( 2
=
+
+
−
− k
x
x
k
posee raíces recíprocas.
1
1
2
9
=
−
+
k
k
1
2
9 −
=
+ k
k
k
=
10
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
𝑥1.𝑥2 =
0
)
9
(
7
)
1
2
( 2
=
+
+
−
− k
x
x
k

18. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. Dada la ecuación: (a+2)x2 – 10x + 4 – a = 0. Hallar el valor
de “a” si tiene raíces reciprocas.

19. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8.
Rpta. A
Solución
1
2
4
=
+
−
a
a
2
4 +
=
− a
a
a
=
1
Dada la ecuación: (a+2)x2 – 10x + 4 – a = 0. Hallar el valor
de “a” si tiene raíces reciprocas.
a
2
2 =
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
𝑥1.𝑥2 =
(a+2)x2– 10x + 4 – a = 0

20. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9. Determine una raíz entera de la ecuación cuadrática:
kx2 − 17x + 4 = 0 que posee raíces reciprocas.

21. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9.
Rpta. C
Solución
1
4
=
k
4
=
k
4
=
x
Determine una raíz entera de la ecuación cuadrática:
kx2 − 17x + 4 = 0 que posee raíces reciprocas.
(x− 4)(4x − 1) = 0
4x2 − 17x + 4 = 0
4
/
1
=
x
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas: kx2 − 17x + 4 = 0

22. 10.
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
Determinar el valor positivo de k de modo que las dos
raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.

23. Solución
10.
Rpta. A
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
Determinar el valor positivo de k de modo que las dos
raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
b2 − 4ac = 0
(− k)2 − 4 ·1·36 = 0
k2 =144
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales:
x2 − kx + 36 = 0
k2 − 144 = 0

24. 11.
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
Hallar “k” si la ecuación: x2
− 15 − k 2x − 8 = 0
Tiene raíces iguales.

25. Solución
11.
Rpta. E
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
(− 2k)2 − 4 ·1·(8k− 15) = 0
4(k2 − 8k +15) = 0
Hallar “k” si la ecuación: x2
− 15 − k 2x − 8 = 0
Tiene raíces iguales.
x2 − 15 − k 2x − 8 = 0 x2
− 15 − 2kx + 8k = 0
x2
− 2kx + 8k − 15 = 0
4k2 − 32k +60 = 0
(k − 3)(k − 5) = 0
k =3 k =5
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales:
(k2 − 8k +15) = 0

26. 12.
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
Halle el mayor valor de “m” para que la ecuación:
m + 3 x2 − 2mx + 4 = 0, tenga una única solución.

27. Solución
12.
Rpta. C
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
(− 2m)2 − 4 ·(m+3)·4 = 0
m = − 2
m = 6
Halle el mayor valor de “m” para que la ecuación:
m + 3 x2 − 2mx + 4 = 0, tenga una única solución.
4m2 − 16m − 48 = 0
4(m2 − 4m − 12) = 0
(m − 6)(m + 2) = 0
m + 3 x2
− 2mx + 4 = 0
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales:
(m2 − 4m − 12) = 0

28. 13.
A) 44 B) 33 C) 22 D) 11 E) 88
Para que valor de n el discriminante de la ecuación:
es igual a 20. x2 − 8x + n = 0

29. Solución
13.
Rpta. D
A) 44 B) 33 C) 22 D) 11 E) 88
(− 8)2 − 4 ·1·n = 20
Para que valor de n el discriminante de la ecuación:
es igual a 20. x2 − 8x + n = 0
x2 − 8x + n = 0
∆= b2 − 4ac = 20
64− 4n = 20
44 = 4n
11 = n

30. 14.
A) 3 B) 4 C) 5 D)6 E) 7
0
1
5
2 2
=
+
− x
x
Siendo Las raíces de:
b
a
E
1
1
+
=
Hallar:
"
"
"
" b
a 

31. Solución
14.
Rpta. B
A) 3 B) 4 C) 5 D)6 E) 7
0
1
5
2 2
=
+
− x
x
Siendo Las raíces de:
b
a
E
1
1
+
=
Hallar:
"
"
"
" b
a 
ab
b
a
E
+
=
b
a
E
1
1
+
=
2
5
=
+ b
a
2
1
. =
b
a
5
=
+
ab
b
a
Dividiendo:

32. 15.
A) 16 B) 15 C) 14 D)13 E) 12
Siendo Las raíces de:
a
b
b
a
E +
=
Hallar:
"
"
"
" b
a  0
1
6
2 2
=
+
− x
x

33. Solución
15.
Rpta. A
A) 16 B) 15 C) 14 D)13 E) 12
Siendo Las raíces de:
a
b
b
a
E +
=
Hallar:
"
"
"
" b
a 
3
2
6
=
=
+ b
a
2
1
. =
b
a
0
1
6
2 2
=
+
− x
x
ab
b
a
E
2
2
+
=
( )2 2 2
a b a b 2ab
+ = + +
16
2
2
=
+
=
ab
b
a
E
( 3)2 = a2 +b2 +2(1/2)
a2 +b2 = 9 −1
a2 +b2 = 8
Dividiendo:
a
b
b
a
E +
=

34. MISCELANEA

35. 1.
A) 4/3 B) 7/4 C) 1/2 D) 4/7 E) 3/7
Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a = 0; una de las raíces
es 2. Indicar el valor que adopta “a”.

36. Solución
1.
Rpta. D
A) 4/3 B) 7/4 C) 1/2 D) 4/7 E) 3/7
Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a = 0; una de las raíces
es 2. Indicar el valor que adopta “a”.
x2 – 5ax + 3a = 0
(2)2 – 5a(2) + 3a = 0
4 – 10a + 3a = 0
4 – 7a = 0
4/7 = a
𝑥1 = 2

37. 2.
A) 26/9 B) 52/9 C) 6 D) 52/3 E) 26/3
Si a y b son las raíces de la ecuación : 3x2 + 2x − 4 = 0
Calcule el valor de: (a − b)2

38. Solución
2.
A) 26/9 B) 52/9 C) 6 D) 52/3 E) 26/3
Si a y b son las raíces de la ecuación : 3x2 + 2x − 4 = 0
Calcule el valor de: (a − b)2
3
2
−
=
+ b
a
3
4
.
−
=
b
a
( ) ( )
2 2
a b a b 4ab
+ − − =
(− 2/3)2 − (a − b)2 = 4(− 4/3)
52/9= (a − b)2
4/9 − (a − b)2 = − 16/3)
4/9 + 16/3 = (a − b)2
Rpta. B
LEGENDRE
Raíces a y b

39. 3.
A) 10 B) 20 C) −20 D) −15 E) 15
Si a y b son las raíces de la ecuación: x2 + mx + 36 = 0
Tal que (1/a) + (1/b) = 5/12 Calcular el valor de: “m”

40. Solución
3.
Rpta. D
A) 10 B) 20 C) −20 D) −15 E) 15
Si a y b son las raíces de la ecuación: x2 + mx + 36 = 0
Tal que (1/a) + (1/b) = 5/12 Calcular el valor de: “m”
b
a
1
1
+
12
5
= =
+
ab
b
a
12
5
=
36
m
−
12
5
=
180
12 =
− m
15
−
=
m
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
36
m
−

41. 4.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Sea el conjunto solución de la ecuación: (x2 /3) + x = − 1/2
es CS = {a ; b}. Indique el valor numérico de “a2 + b2”

42. Solución
4.
Rpta. D
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
3
2
6
−
=
−
=
+ b
a
2
3
. =
b
a
( a+ b)2 = a2 +b2 +2ab
( − 3)2= a2 +b2 +2(3/2)
a2 +b2 = 9 − 3
a2 +b2 = 6
Sea el conjunto solución de la ecuación: (x2 /3) + x = − 1/2
es CS = {a ; b}. Indique el valor numérico de “a2 + b2”
2x2 + 6x + 3 = 0
Multiplicando MCM=6 BINOMIO
Raíces:

43. 5.
A) 14/3 B) 17/4 C) 17/2 D) 35/8 E) 35/4
Si la ecuación: 𝐾𝑥2
+ 2𝐾 + 1 𝑥 + 𝐾 = 0 , tiene raíces iguales,
hallar el producto de las raíces de la siguiente ecuación:
4𝐾 + 3 𝑦2 + 3𝐾𝑦 − 4𝐾2 + 9 = 0

44. Solución
5.
Rpta. D
A) 14/3 B) 17/4 C) 17/2 D) 35/8 E) 35/4
Si la ecuación: 𝐾𝑥2
+ 2𝐾 + 1 𝑥 + 𝐾 = 0 , tiene raíces iguales,
hallar el producto de las raíces de la siguiente ecuación:
4𝐾 + 3 𝑦2 + 3𝐾𝑦 − 4𝐾2 + 9 = 0
𝐾𝑥2
+ 2𝐾 + 1 𝑥 + 𝐾 = 0
(2k+ 1)2 − 4 ·K·K = 0
4k2 +4k +1 − 4𝑘2 = 0 k=− 1/4
4𝐾 + 3 𝑦2
+ 3𝐾𝑦 − 4𝐾2
+ 9 = 0
x1 . x2 =
−4𝐾2+9
4𝑘+3 x1 . x2 =
−4
1
16
+ 9
4 −
1
4
+ 3
=
35
4
2
= 35/8