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1. ALGEBRA LINEAL
DEMETRIO CCESA RAYME

2.  𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇𝑢 + 𝑇𝑣
 𝑇 ∝ 𝑣 =∝ 𝑇𝑣,donde ∝ es un escalar.

3. 𝑇 ത
𝑢 + ҧ
𝑣 = 𝑇(ത
𝑢) + 𝑇( ҧ
𝑣)

4. 𝑇
𝑥1
𝑦1
+
𝑥2
𝑦2
= 𝑇
𝑥1
𝑦1
+ 𝑇
𝑥2
𝑦2
Donde ഥ
𝑈 =
𝑥1
𝑦1
; 𝑦 ത
𝑉 =
𝑥2
𝑦2
𝑇
𝑥1 + 𝑥2
𝑦1 + 𝑦2
=
2𝑥1
𝑥1 + 𝑦1
+
2𝑥2
𝑥2 + 𝑦2
=
2𝑥1 + 2𝑥2
𝑥1 + 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑦2
2𝑥1 + 2𝑥2
𝑥1 + 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑦2
=
2𝑥1 + 2𝑥2
𝑥1 + 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑦2

5. 𝑇 𝑐ത
𝑢 = 𝑐𝑇(ത
𝑢)
𝑇
𝑥1
𝑦1
= 𝑐𝑇
𝑥1
𝑦1
2𝑐𝑥1
𝑐𝑥1 + 𝑐𝑦1
= 𝑐
2𝑥1
𝑥1 + 𝑦1
=
2𝑐𝑥1
𝑐𝑥1 + 𝑐𝑦1
∴
Se cumplen ambas propiedades y la trasformación
es lineal

6. 0
V W
Núcleo
Rango

7. Determinar núcleo y rango de la transformación definida por la matriz A
1 2
0
3
-1 1
1 1 4
A =
𝑅³ 𝑅³
T(ḡ) = 𝐴(ḡ)
𝐴(ḡ)=0
Para el núcleo
1 2
0
3
-1 1
1 1 4
X1
X3
X2
0
0
0
=

8. Por operaciones por renglones queda
X1
X3
X2 =
-5X3
X3
X3
-5
1
1
Base del Núcleo
Para el Rango
Se saca la transpuesta de A
1 0
2
1
-1 1
3 1 4

9. Por operaciones por renglones queda la forma escalonada
1 0
0
1
1 1
0 0 0
Se transpone esta ultima matriz y quedaría
1
1
0
0
1
1
s + t =
s
S+ t
t
Estructura del
Rango

10.  En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o
eigenvectores de un operador lineal son los vectores no
nulos que, cuando son transformados por el operador, dan
lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no
cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor
propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A
menudo, una transformación queda completamente
determinada por sus vectores propios y valores propios. Un
espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto
de vectores propios con un valor propio común.

11.  Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que,
o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un
escalar, y por tanto no varían su dirección.
 El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha
sido multiplicado.
 Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios
del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector
propio.

12. Valores propios
EJEMPLO:

13. Vectores propios
Matriz aumentada
Reducción escalonada por
renglones

14.  Teorema
 SiA es una matriz real simétrica nxn, entonces A es diagonalizable.
El procedimiento para diagonalizar ortogonalmente una matriz real simétrica An
consta de cuatro pasos.
1. Se determina una base para cada subespacio propio de A.
2. Se ortonormalizan según GRAMM-SCHMIDT las bases de cada subespacio
propio de A.
3. Se unen estas bases ortonormalizadas obteniendo con estas una base ortogonal
de IRn formadas por vectores propios de A.
4. La matriz diagonalizante es aquella que tiene por columnas a los vectores de la
base ortogonal de IRn obtenida en el paso 3.

15. Matriz simétrica

16. Sean A y B dos matrices de igual orden. Decimos
que B es equivalente a A mediante un numero
finito de transformaciones elementales. Si se
efectúan todas las transformaciones con las filas, B
es equivalente en filas a A, si las transformaciones
se realizan todas con las columnas, es equivalente
en las columnas.

17. Como Ax=b, donde:
= *