2. FUNDAMENTOS DE LÓGICA
La lógica es la que determina si un razonamiento
es válido o no.
Algunos precursores de la lógica pudieron verificar
que esta ciencia casi expresada en su totalidad en
palabras no hacía posible una fácil aplicación sobre
temas matemáticos cuyo procedimiento y desarrollo
se quería comprobar, por lo que se introdujo símbolos
que representan las definiciones y reglas dadas por la
lógica, creándose por consiguiente la lógica simbólica,
llamada lógica matemática
3. FUNDAMENTOS DE LÓGICA
La lógica matemática usa lenguajes
formales definidos artificialmente para
formular enunciados acerca del mundo
al que se refieran en un momento dado
nuestros razonamientos, es por ello que
en la actualidad también se la conoce
como la lógica formal o matemática.
4. LÓGICA PROPOSICIONAL
Lógica Proposicional – Sintaxis
Estudia los enunciados como un todo y sus
relaciones con otros enunciados.
Proposición
Es aquel enunciado que afirma o niega algo y
que puede ser verdadero (V) o falso (F).
sólo tiene dos categorías de clasificación: las
proposiciones verdaderas y las proposiciones
falsas.
5. PROPOSICION LOGICA
ES UNA AFIRMACIÓN QUE PUEDE SER VERDADERA O FALSA
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES:
La capital de Ecuador es Quito
El Guayas pasa por Buenos Aires
Guayaquil tiene 45 millones de habitantes
¡Ojalá llueva mañana!
Ponte el vestido rojo
¿Cómo te llamas?
NO SON PROPOSICIONES:
(Es un mandato)
(Es una pregunta)
(Es un deseo)
6. CONECTORES LÓGICOS
SE UTILIZAN PARA COMBINAR DOS O MÁS PROPOSICIONES
DANDO LUGAR A PROPOSICIONES COMPUESTAS.
PRINCIPÀLMENTE EXISTEN CUATRO CONECTORES LÓGICOS:
El mar está en calma y sopla una ligera brisa
LA NEGACIÓN
LA DISYUNCIÓN
LA CONJUNCIÓN
EL CONDICIONAL
7. LA
NEGACIÓN
La negación de la proposición p se representa
por p y se lee “no p”
VALOR DE VERDAD: Es la verdad o falsedad de una
proposición
p es falsa cuando p es verdadera y es verdadera
cuando p es falsa.
TABLA DE VERDAD:
p p
V F
F V
8. LA
CONJUNCIÓN
La conjunción de las proposiciones p y q se simboliza por p q
y se lee “p y q”
VALOR DE VERDAD: p q es verdadera cuando lo son
simultáneamente p y q y es falsa en los demás casos.
TABLA DE VERDAD:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
9. LA
DISYUNCIÓN
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
La disyunción de las proposiciones p y q se simboliza por p q
y se lee “p o q”
VALOR DE VERDAD: p q es verdadera cuando lo son
alguna de las proposiciones p y q y es falsa cuando ambas
proposiciones lo son.
TABLA DE VERDAD:
10. EL
CONDICIONAL
Se simboliza por p q y se lee: “si p, entonces q”.
A la proposición p se le llama antecedente y a la proposición
q consecuente
VALOR DE VERDAD: El condicional p q es siempre
verdadero, excepto cuando p es verdadero y q falso.
TABLA DE VERDAD:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
11. Razonamiento lógico
Es un conjunto de proposiciones donde una de ellas,
llamada conclusión, se infiere o está fundada en las
otras llamadas premisas.
p
q
…
premisas
r conclusión
ESQUEMA DE UN
RAZONAMIENTO:
El símbolo se lee: “luego”
12. VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO
Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla
de verdad de las premisas y la conclusión, y se comprueba
que siempre que las premisas son verdaderas la conclusión
también lo es.
EN ESTE CASO EL RAZONAMIENTO ES: LÓGICAMENTE VÁLIDO
UN RAZONAMIENTO QUE NO ES LÓGICAMENTE VÁLIDO SE LLAMA FALACIA
premisas conclusión
p q pq p q
V V V F F
V F F F V
F V V V F
F F V V V
p q
p
q
Un ejemplo
Este razonamiento es una falacia
13. REGLAS DE INFERENCIA
Las reglas de inferencia se utilizan para asegurar la
validez de ciertos esquemas de razonamiento.
Cualquier razonamiento puede analizarse
mediante la tabla de verdad correspondiente, pero
si intervienen muchas proposiciones puede
resultar muy trabajoso.
LA VALIDEZ DE UNA REGLA SE DEMUESTRA
MEDIANTE LA CORRESPONDIENTE TABLA DE
VERDAD.
14. MODUS PONENDO PONENS
(Afirmando afirmo)
p q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)
p “Llueve” (premisa)
q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)
La validez de esta regla se demuestra formando la tabla de verdad:
premisas conclusión
p q p q p q
V V V V V
V F F V F
F V V F V
F F V F F
15. MODUS TOLLENDO TOLLENS
(Negando niego)
p q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)
q “Las calles no se mojan” (premisa)
p “Luego, no llueve” (conclusión)
Tabla de verdad de esta regla:
premisas conclusión
p q p q q p
V V V F F
V F F V F
F V V F V
F F V V V
16. MODUS TOLLENDO PONENS
(Negando afirmo)
p q “Es muy trabajador o tiene mucha suerte” (premisa)
p “No es muy trabajador” (premisa)
q “Luego, tiene mucha suerte” (conclusión)
Tabla de verdad de esta regla:
premisas conclusión
p q p q p q
V V V F V
V F V F F
F V V V V
F F F V F
17. LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO
p q “Si no me despierto, no puedo ir a la fiesta” (premisa)
q r “Si no voy a la fiesta, no me divertiré” (premisa)
p r “Si no me despierto no me divertiré” (conclusión)
SE COMPONE DE DOS PREMISAS CONDICIONALES
LA CONCLUSIÓN ES UNA PROPOSICIÓN CONDICIONAL
OTRO EJEMPLO:
Si llueve, florecerán los romeros. (premisa)
Si florecen los romeros, las abejas harán miel. (premisa)
Si llueve, las abejas harán miel (conclusión)
18. RAZONA LA VALIDEZ DE LOS
SIGUIENTES RAZONAMIENTOS
r (s t)
r
s t
(p q) r
r
p q
(p q) (r s)
(r s)
(p q)
p q
q
p
19. Mas sobre los operadores lógicos
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
DISYUNCION EXCLUSIVA
SIMBOLOS DE LOGICA MATEMATICA
20. Este operador lógico también se denomina
enunciación hipotética o implicación.
En la proposición a→b:
a es el antecedente, hipótesis o premisa.
b es el consecuente, conclusión o tesis.
Y la proposición resultante será falsa
solamente cuando el valor de verdad del
antecedente sea verdadero y el valor de
verdad del consecuente sea falso.
EL CONDICIONAL
21. En español, la proposición a→b se puede encontrar
con los siguientes términos gramaticales: “si a,
entonces b”, “a sólo si b”, “a solamente si b”, “b si a”, “si
a, b”, “b con la condición de que a”, “b cuando a”, “b
siempre que a”, “b cada vez que a”, “b ya que a”, “b
debido a que a”, “b puesto que a”, “b porque a”, “se
tiene b si se tiene a”, “sólo si b, a”, “b, pues a”, “cuando
a, b”, “los a son b”, “a implica b”.
O cualquier expresión que denote causa y efecto.
EL CONDICIONAL
22. Ejemplo
Si se tienen las proposiciones:
a: Juan gana el concurso.
b: Juan dona $ 10 000.
La condicional entre a y b es:
a→b: Si Juan gana el concurso, dona $ 10 000.
Parafraseando la condicional, tenemos:
• Juan gana el concurso sólo si dona $ 10 000.
• Juan dona $ 10 000 si gana el concurso.
• Si Juan gana el concurso, entonces dona $ 10 000.
• Juan dona $ 10 000 puesto que gana el concurso.
• Juan dona $ 10 000 debido a que gana el concurso.
• Cuando Juan gane el concurso, dona $ 10 000.
23. Existen otras proposiciones relacionadas con la
condicional a→b, las cuales se denominan:
recíproca, inversa y contrarrecíproca (o
contrapositiva).
La Recíproca, es representada simbólicamente por:
b→a.
La Inversa, es representada simbólicamente por:
¬a→¬b.
La Contrarrecíproca, es representada
simbólicamente por: ¬b→¬a.
VARIACIONES DEL CONDICIONAL
24. Ejemplo
Variaciones de la condicional
A partir de la proposición: “Si es un automóvil,
entonces es un medio de transporte”.
La Recíproca sería:
“Si es un medio de transporte, entonces es un
automóvil”.
La Inversa sería:
“Si no es un automóvil, entonces no es un medio de
transporte”.
La Contrarrecíproca sería:
“Si no es un medio de transporte, entonces no es un
automóvil”.
25. Cabe anotar que una proposición puede ser
reemplazada por su contrarrecíproca sin que se
afecte su valor de verdad, lo cual no se cumple con
la recíproca o la inversa.
VARIACIONES DEL CONDICIONAL
A partir de la proposición: “Si un número es divisible
para 6, entonces es divisible para 3”.
• La Recíproca sería: “Si un número es divisible para
3, entonces es divisible para 6”.
• La Inversa sería: “Si un número no es divisible para
6, entonces no es divisible para 3”.
• La Contrarrecíproca sería: “Si un número no es
divisible para 3, entonces no es divisible para 6”.
26. Bicondicional
La bicondicional de dos proposiciones p,
q da lugar a la proposición; p si y sólo si
q.
Se representa por p ↔ q.
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F v
27. Bicondicional
Este operador lógico también se denomina
doble implicación.
La proposición a↔b será verdadera
cuando los valores de verdad de ambas
proposiciones sean iguales.
También se puede observar que la
proposición a↔b será falsa cuando los
valores de verdad de ambas
proposiciones sean diferentes.
28. Disyunción exclusiva
Sean a y b proposiciones, la disyunción
exclusiva entre a y b, representada
simbólicamente por a V b, es una nueva
proposición, cuyo valor de verdad está dado
por la siguiente tabla de verdad:
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
29. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Este operador lógico relaciona dos
proposiciones para formar una nueva, en la
cual la proposición resultante será verdadera
cuando solamente una de ellas sea verdadera.
La disyunción exclusiva a v b puede
expresarse como:
(a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)
En español, la disyunción exclusiva se presenta
con el término gramatical: “o”, “o sólo”, “o
solamente”, “o..., o...”.
30. Ejemplo - Disyunción exclusiva de
proposiciones.
Si se tienen las proposiciones:
a: Estoy en Quito.
b: Estoy en Guayaquil.
La disyunción exclusiva entre a y b es:
a V b: O estoy en Quito o estoy en
Guayaquil.
31. Símbolos de la Lógica Matemática
“por lo tanto”
“para todo”
“existe”
Cuantificadores
Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos,
ninguno
Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno
32. Tablas de verdad
Una proposición lógica con n componentes
tendrá renglones en su tabla de verdad.n
2
T F
F T
pp
Nota: p proposición (1 componente):
renglones.
renglones.
renglones.
221
422
823
33. Tablas de verdad
T T T
T F F
F T F
F F F
p q qp
T T T
T F T
F T T
F F F
p q qp
disyunción p y q: proposición compuesta que
es falsa cuando ambas p y q son falsas y
verdadera en otro caso.
conjunción p y q: proposición compuesta que
es verdadera cuando tanto como p y q son
verdadera y falsa en otro caso.
422
renglones
34. Tablas de verdad
T T T
T F F
F T T
F F T
p q qp
T T T
T F F
F T F
F F T
p q qp
“si p entonces q” : proposición compuesta
condicional la cual es falsa cuando p es
verdadera y q es falsa, y verdadera en otro caso
“p si y sólo si q” : proposición compuesta
bicondicional la cual es verdadera cuando p y q
tienen los mismos valores de verdad y falsa en
caso contrario.
35. Lógica Proposicional
Conjunto de símbolos con los que trabaja el lenguaje
de la lógica proposicional.
Símbolos utilizados para representar los enunciados,
las principales conectivas lógicas que se utilizan para
construir enunciados compuestos y la jerarquía de
las mismas
36. Jerarquía de conectivas.
Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad,
por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas
distintas
Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O
también: ( ¬ (p ^ q)).
Para no usar tantos paréntesis se considera que el
operador ¬ tiene jerarquía sobre ^, v, →, ↔.
Es decir va desde menor jerarquía hasta el de
mayor.
Así: ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q)
37. Jerarquía de conectivas.
En algunos casos se considera ^, v
tienen mayor jerarquía que ↔ por lo
que:
p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también
que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que:
p ^ q v r sería (p ^ q) v r
38. Jerarquía de conectivas.
Ejemplo:
Considerando la jerarquía entre conectivas, la
fórmula ¬p v q → p ^ r, se reconocería como:
Ejercicio:
Representar la fórmula mediante utilizando
símbolos de agrupación/puntuación
39. Orden de prioridad de los
conectivos lógicos
Se usará generalmente paréntesis para especificar el
orden en que se aplicarán los operadores lógicos.
De no haber paréntesis, se adopta el siguiente orden
de prioridad.
Conectivo Prioridad
1
2
3
4
5
40. Traducción al lenguaje simbólico
Traduzca al lenguaje simbólico la proposición:
“Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los
índices de asalto en la ciudad y el turismo se
desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen,
pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el
turismo no se desarrolla”.
a: La seguridad privada es efectiva.
b: Los índices de asalto disminuyen en la ciudad.
c: El turismo se desarrolla.
[(a→(b∧c))∧(¬b∧a)]→(¬c)
41. Determinación de valores de verdad.
Bajo la suposición de que los valores de verdad de las
proposiciones simples a, b, c y d son respectivamente 0, 0, 1,
1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones compuestas:
a) ¬(a∨b)→(c∧¬d) b) ¬(c↔a) (b∧d)
¬(0∨0)→(1∧0)
¬(0)→0
1→0
0
El valor de verdad de
esta proposición es falso.
¬(1↔0) (0∧1)
¬(0) 0
1 0
1
El valor de verdad de esta
proposición es verdadero.
42. Determinación de valores de verdad.
Determine el valor de verdad de las proposiciones a,
b, c si la proposición
[(a∧¬b)→c] es FALSA.
El operador principal de esta proposición compuesta es la
condicional. Dado que esta implicación tiene un valor de
verdad falso únicamente cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso.
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Se obtiene que: (a∧¬b) debe ser verdadero; y, c debe ser falso.
Estos valores lógicos se obtienen si y sólo si a es verdadero, b es
falso y c es falso, con lo cual quedan determinados los valores de
verdad.
47. Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
Se denomina tautología si es verdadera para toda
asignación de verdad de y
contradicción si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
T
F
p p pp pp
48. Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
Se denomina tautología si es verdadera para toda
asignación de verdad de y
contradicción si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
T F
F T
p p pp pp
49. Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
Se denomina tautología si es verdadera para toda
asignación de verdad de y
contradicción si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
T F T
F T T
p p pp pp
50. Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
Se denomina tautología si es verdadera para toda
asignación de verdad de y
contradicción si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
T F T F
F T T F
p p pp pp
pp
Es una tautología
pp
Es una contradicción
