3. Primitiva de una función
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I
si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.
Ejemplo: la función F(x) =
x4
4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3
.
También la función G(x) =
x4
4
+ 2 es una primitiva de f . Ambas en
cualquier intervalo de la recta real.
4. Integral indefinida
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-
das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe f(x) dx, y se lee «in-
tegral de f(x)»
Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex
es G(x) = ex
+ C, donde C es una cons-
tante. Se expresa de la siguiente manera: ex
dx = ex
+ C
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son
de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser
cualquier número real.
5. Las primitivas se diferencian en una constante
Integrando
Derivando
6. Propiedades de la integral indefinida
I
k f(x) dx = k
f(x) dx con k R
Las constantes pueden salir y entrar fuera del
signo de la integral indefinida.
II
[ f(x) g(x)] dx =
f(x) dx
g(x) dx
La integral indefinida de una suma (resta) de
dos funciones es la suma (resta) de las inte-
grales indefinidas.
Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) con k R
La derivada de una constante por una
función es el producto de la constante
por la derivada de la función.
II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x)
La derivada de una suma (resta) de dos
funciones es la suma (resta) de las deri-
vadas de cada una de ellas.
7. Integrales inmediatas
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona
primitivas e integrales indefinidas.
1.-
xa
dx =
xa+1
a+1
+ C, si a -1, a R
2.-
1
x
dx = ln x + C
3.-
ex
dx = ex
+ C
4.- ∫ax
= ln
x
a
a + C, si a>0, a 1
5.-
sen x dx = – cos x + C
6.-
cos x dx = sen x + C
7.- 2
1
1
dx arcsen x C
x
8.- 2
1
arctg
1
dx x C
x
8. Integrales inmediatas para funciones compuestas
xr
dx =
xr+1
r + 1 + C, para cualquier constante r – 1
f '(x) [f(x)]r dx =
[f(x)]r+1
r + 1
+ C para r -1
1
2
2 cos 2x sen3
2x dx =
1
2
sen4
2x
4 =
1
8 sen4
2x + C
Tipo general
cos 2x sen3
2x dx =
Ejemplo:
9.
1
x dx = ln | x | + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
Tipo general
Ejemplo:
dx
xf
xf
)(
)('
= ln |f(x)| + C
tg 3x dx =
– 1
3
– 3 sen 3x
cos 3x
dx = –
1
3
ln |cos 3x | + C
10. Integrales inmediatas para funciones compuestas
ax
dx =
ax
ln a
+ C, para cualquier a > 0
Para a = e se obtiene
ex
dx = ex
+ C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) af(x) dx =
af(x)
ln a
+ C, para a > 0
x2
ex3
dx =
1
3
3x2
ex3
dx =
1
3
ex3
+ C
11. Integrales inmediatas para funciones compuestas
sen x dx = – cos x + C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
e3x
sen (e3x
+ 5) dx = 1
3
3 e3x
sen (e3x
+ 5) dx = –
1
3
cos (e3x
+ 5) + C
12. Integrales inmediatas para funciones compuestas
cos x dx = sen x + C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
e7x
cos (e7x
+ 5) dx =
1
7
7 e7x
cos (e7x
+ 5) dx =
1
7
sen (e7x
+ 5) + C
13. Integrales inmediatas para funciones compuestas
2
1
arcsen( )
1
dx x C
x
Tipo
general
Ejemplo:
g '(x)
1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C
e3x
1 – e6x dx =
e3x
1 – (e3x
)2
dx =
1
3
3e3x
1 – (e3x
)2
dx =
1
3
arcsen e3x
+ C
14. Integrales inmediatas para funciones compuestas
1
1 + x2 dx = arctg x + C
2
f ( )
arctg( )
1 f ( )
x
dx x C
x
Tipo
general
1
1 + 2x2 dx =
Ejemplo:
1
1 + ( 2x)2 dx =
1
2
2
1 + ( 2x)2 dx = 1
arctg 2x
2
C
15. Integración por partes
Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:
f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) –
g(x)f '(x) dx
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene
poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:
u dv = uv –
v du
Consejos 1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g.
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para
g, llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda
que ∫ f g .
16. Integración por partes: Ejemplos
= x2
ex
– 2[xex
–
ex
dx ] = ex
(x2
– 2x + 2) + C
x2
ex
dx = x2
ex
–
ex
2x dx = x2
ex
– 2
x ex
dx =
u = x2 du = 2x dx
dv = ex . dx v = ex
u = x du = dx
dv = ex . dx v = ex
u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –
sen(ln x) . dx
Despejando la integral buscada queda:
u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x
x . sen (ln x) –
cos (ln x) . dx =
sen(ln x) . dx =
sen(ln x) . dx =
1
2
x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
17. Integración por sustitución o cambio de variable
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:
(F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)
Por lo que la integral del elemento final es:
f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C
Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx.
Con esta sustitución se tiene
f(u) du = F(u) + C
18. Integración por sustitución: Ejemplos I
1
x ln x
dx
Cambio ln x = u dx / x = du
= dx
Lnx
x
/1
=
1
u du = ln | u | + C
deshacer el cambio
= ln | ln x | + C
Para calcular una integral por cambio de variable:
• Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral
inmediata.
• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial
mediante.
du = g'(x) dx
• Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio
poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
19. Integración por sustitución: Ejemplos II
deshacer el cambio
x3
x4
+ 2 dx =
Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du x3 dx = du/4
4
du
u
sen3
2x .
cos 2x dx =
1
2
t3 .
dt =
Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt cos 2x dx = dt/2
=
1
8
sen4
2x + C
1
2
t4
4
+ C
deshacer el cambio
20. Integración de funciones racionales
Pretendemos obtener
P(x)
Q(x)
dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n
Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.
P(x) Q(x)
C(x)R(x)
con grad[R(x)] < grad[Q(x)]
P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)
P(x)
Q(x)
= C(x) +
R(x)
Q(x)
Por tanto:
P(x)
Q(x)
dx =
C(x) .dx +
R(x)
Q(x)
dx
En donde la primera
integral es inmediata y la
segunda corresponde al
Caso 2
Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.
Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)
21. Descomposición en fracciones simples I
Pretendemos obtener
P(x)
Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n
• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la
ecuación Q(x) = 0.
• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene:
• Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1).
• Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2).
• Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que
son necesariamente conjugadas).
• El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.
Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho
polinomio se factoriza de la siguiente manera:
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.
P(x)
Q(x)
dx =
1
ao
P(x)
(x – x1).
(x – x2)2 .
(x2
+ bx + c)
dx =
Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)
22. Descomposición en fracciones simples II
Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples
P(x)
(x – x1) .
(x – x2)2 .
(x2
+ bx + c)
=
A
x – x1
+
B
(x – x2)2 +
C
x – x2
+
Mx + N
x2
+ bx + c
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
Proceso de cálculo:
• Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una
identidad polinómica.
• Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes
indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).
• Resolver el sistema.
23. Descomposición en fracciones simples: ejemplo
Descomponer en fracciones simples:
x2
+ x + 1
x5
– x4
– x + 1
Paso 1. Factorización del polinomio denominador
Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Paso 2. Descomponer en fracciones simples
x2
+ x + 1
x5
– x4
– x + 1
=
A
x + 1
+
B
(x – 1)2 +
C
x – 1
+
Mx + N
x2
+ 1
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
x2
+ x + 1= A(x–1)2
(x2
+1) + B(x+1)(x2
+1) + C(x–1)(x+1)(x2
+1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2
x=1 B=3/4
x=–1 A=1/8
x=0 – C + N = 1/8
x=2 5C+2M+N = –13/8
x=–2 5C+6M–3N = 3/8
Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
24. Integrales racionales con denominador de grado 2
Estudio de la integral
Mx + N
ax2
+ bx + c
dx
Sea D el discriminante del
denominador: D = b2 – 4ac
Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser
resuelta como inmediata tipo neperiano.
En caso contrario:
• Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples.
• Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente.
Pasos para su obtención:
M 0
Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador.
Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras
dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente.
M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).
Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado
(cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan
los números fraccionarios.
Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado
(sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e
integramos como inmediata tipo arco tangente
25. Integración de funciones trigonométricas: fórmulas
Fórmulas trigonométricas fundamentales
sen2
px + cos2
px = 1
Fórmula fundamental de la
trigonometría.
sen 2px = 2 sen px . cos px
cos 2px = cos2
px – sen2
px
Seno y coseno del ángulo
doble.
cos2
px =
1 + cos 2px
2
sen2
px =
1 – cos 2px
2
Fórmulas de reducción de
grado.
sen a . cos b =
1
2
sen (a + b) +
1
2
sen (a – b)
cos a . cos b =
1
2
cos (a + b) +
1
2
cos (a – b)
sen a . sen b = –
1
2
cos (a + b) +
1
2
cos (a – b)
Fórmulas de conversión de
productos de senos y
cosenos en suma.
sen (– px) = – sen px
cos (– px) = cos px
Seno y coseno del ángulo
opuesto.
1 + tg2
px = sec2
px;
1 + ctg2
px = csc2
px
26. Integración de funciones trigonométricas: métodos
Forma Condiciones Método
n par
Reducir el grado del integrando por medio de
las fórmulas de reducción de grado (3), según
convenga.(I)
senn
px dx
cosn
px dx
n impar
Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia
sustituyendo en el resto de la potencia la rela-
ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen
integrales inmediatas tipo potencial.
m y n pares Reducir el grado del integrando aplicando las
fórmulas 3.
(II)
senn
px . cosn
px dx
m ó n impares
De la potencia de exponente impar se saca un
factor, sustituyendo en el resto de la potencia la
relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-
nen integrales inmediatas tipo potencial.
Caso particular Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:
senn
px . cosn
px dx =
1
2n
senn
2px dx
que es del tipo (I).
27. Forma Condiciones Método
(III)
sen px.cos qx.dx
sen px.sen qx.dx
cos px.cos qx..dx
p y q números
reales cuales-
quiera
Convertir los productos en sumas mediante la
relaciones 4 según convenga.
Integración de funciones trigonométricas: métodos II
28. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I
=
sen3x.dx +
cos4
3x sen 3x.dx –2
cos2
3x sen 3x.dx =
= –
1
3 cos 3x -
2
9 cos3
3x +
1
15cos5
3x+C
Tipo I. Exponente impar
=
1
4
x +
1
4
1 + cos
4x
3
2
dx –
3
4
sen
2x
3
=
3x
8
–
3
4
sen
2x
3
+
3
32
sen
4x
3
+ C
Tipo I. Exponente par
sen5
3x.dx =
(sen2
3x)2
sen 3x.dx =
(1–cos2
3x)2
sen 3x.dx =
sen4 x
3 dx = 1
4
1 + cos2 2x
3
– 2 cos
2x
3
dx =
sen2 x
3
2
dx =
1 – cos
2x
3
2
2
dx =
=
1
4
1.dx +
1
4
cos2 2x
3 dx – 2
1
4
cos
2x
3 dx =
29. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II
Tipo II. Al menos un exponente impar
cos4
5x.sen3
5xdx =
cos4
5x . sen2
5x .sen 5x . dx =
cos4
5x . (1 – cos2
5x).sen 5x.dx =
=
cos4
5x.sen 5x.dx –
cos6
5x.sen 5x.dx =
=
– 1
25
cos5
5x +
1
35
cos7
5x + C
=
1
8
1 – cos 12x
2
dx –
1
48
sen3
6x
3
=
=
1
8
sen2
6x dx –
1
8
sen2
6x .cos 6x.dx =
=
x
16
–
1
144
sen3
6x –
1
192
sen 12x + C
Tipo II. Todos los exponentes pares
sen4
3x .cos2
3x.dx =
(sen2
3x)2
.cos2
3x.dx =
1 – cos 6x
2
2 1 + cos 6x
2
dx =
=
1
8
(1 – cos 6x)(1 – cos2
6x) dx =
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)
sen2 6x
30. Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento
sen 3x.cos 5x.dx = 1
2
sen 8x .dx +
1
2
sen( – 2x) .dx =
= –
1
16
cos 8x +
1
4
cos( – 2x) + C == –
1
16
cos 8x +
1
4
cos 2x + C
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas
en productos
31. Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abcisas x = a, x = b.
Área (Trapecio rectilíneo) =
=
f(a) + f(b)
.
(b – a)
Área (Trapecio curvilíneo)
f(a) + f(b)
.
(b – a)
Error
