Este documento habla sobre la integración y los pequeños cambios que ocurren en procesos naturales y artificiales. Explica que la integración es el proceso de acumular pequeños incrementos de manera paulatina, similar a cómo se forman lagos por la acumulación del deshielo o cómo crecen las plantas a partir de una semilla. También define la integral definida matemáticamente y explica el teorema fundamental del cálculo. El objetivo final es que los estudiantes aprendan métodos para resolver integrales.

1. •DEMETRIO CCESA RAYME
•UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
•CALCULO III

2. ¿Has pensado en los pequeños
cambios que ocurren en el
mundo?
 ¡Cada pequeño instante!
 ¡El minúsculo cambio de
temperatura que ocurre
cada segundo!
 ¡El interés que genera tu
dinero cada minuto!

3. Contempla la semilla...
 Hoy puede ser un
árbol o una bella
planta, pero inició con
la germinación de la
semilla y su
crecimiento solo se
puede contemplar
como el producto de la
suma de cada instante.

4. ¿Únicamente ves el producto
final?
 Muchos de los procesos
naturales o artificiales
tienen su origen en
pequeños incrementos
paulatinos que se
acumulan ...
 ¡Esto es Integrar!
 ¿Qué otros procesos de
integración conoces?

5. La naturaleza siempre ha
conocido el proceso de Integrar.
Contempla el lago ¿no es un producto de la
acumulación del deshielo?

6. ¿Existe aquí una integral?
¿Puedes explicarlo?

7. La integral definida
 El producto del valor
de la función en un
punto, por la duración
del instante de
variación corresponde
con el concepto más
simple de integral.
x
f(x)
f(x)dx
dx
 Haz el instante tender
a cero y será dx.

8. La integral o área bajo la curva
a b
f(x)
Área bajo la curva
 f(x)dx

9. Definición de integral definida



n
i
iiP
xxflimI
1
*
0
)(
La integral definida de la función f de a a b es el
número:
Que corresponde a la suma de n barras de ancho
x, donde este ancho se hace tan pequeño como se
quiera y x*
i es un punto interior en cada barra.
|P| identifica el máximo ancho de todas las barras.

10. Teorema fundamental del Cálculo
 La primera parte de
este teorema afirma
que si F (la primitiva)
corresponde a la
integral de una
función f, luego:
 F’(x)=f(x)
 Esto es: La derivada
es la operación
inversa de la integral.
 Segunda parte: si G es
cualquier primitiva de
f en [a,b], entonces:
  )()()()( aGbGxGdxxf
b
a
b
a

 ¡Conocida la
primitiva, únicamente
se evalúa en a y b.!

11. Razonamiento básico
 El pretender resolver un problema que
implique una integral por métodos
numéricos, es equivalente a realizar una
suma que entre más términos tenga será más
exacto el resultado.
 Resolver integrales por métodos analíticos,
es equivalente a encontrar primitivas o
también llamadas antiderivadas.

12. Alcancemos el objetivo del tema:
 En las sesiones siguientes
estudiaremos los métodos
que nos permiten resolver
integrales, solo es
importante recordar que la
integración como método
fue inventada por los
griegos en la agrimensura.
 ¿Podrás calcular cuanto
mide la superficie de
nuestros océanos?
¡Inténtalo el cálculo te lo
permitirá!