La derivada parcial de una función de varias variables es la derivada de la función tratando a una de las variables como constante. Se definen las derivadas parciales primeras y segundas. La matriz jacobiana contiene las derivadas parciales primeras y es importante para determinar si una función es continua diferenciable. Las derivadas parciales segundas se obtienen derivando las derivadas parciales primeras.
2. DERIVADAS PARCIALES
Dada
La derivada parcial de f respecto de x es
la derivada de f como función de una sola variable x,
dejando y constante.
La derivada parcial de f respecto de y es
la derivada de f como función de una sola variable y,
dejando x constante.
5. PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES:
Se definen las tres derivadas parciales
ó
derivadas respecto de x, y ó z respectivamente
dejando las otras dos variables constantes.
PARA FUNCIONES DE q VARIABLES:
6. OBSERVACIÓN IMPORTANTE:
Para funciones f(x) de una sola variable real:
Existe derivada f ’ IMPLICA que f es continua
Para funciones f(x_1, x_2, …, x_q) de más de dos
variables reales:
Existen las derivadas parciales NO IMPLICA
que f sea continua.
Existen funciones de varias variables:
• continuas que no tienen derivadas parciales.
• que tienen derivadas parciales y no son continuas.
• que no son continuas ni tienen derivadas parciales.
• que son continuas y tienen derivadas parciales.
7. MATRIZ JACOBIANA.
J f (a) es la matriz con s filas y q columnas, tal que
en la fila i, columna j, tiene el término
(a)
8. EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto a = (1,1,1) de
la función f siguiente:
Ojo JF(1,1,1)
10. DERIVADAS PARCIALES SEGUNDAS: Se obtiene derivando
parcialmente respecto a una variable x_i (dejando las demás
fijas) y a lo que se obtiene derivándolo parcialmente respecto
a otra o la misma variable x_j (dejando las demás fijas).
Derivadas “iteradas”
11. EJEMPLO: Calcular las derivadas parciales primeras
y segundas de f. Verificar que las derivadas iteradas son
iguales entre sí.
12. DEFINICIÓN:
si existen derivadas parciales primeras y son todas
continuas.
DEFINICIÓN:
si existen derivadas parciales primeras y segundas y son
todas continuas.
DEFINICIÓN:
si existen derivadas parciales hasta orden r y son todas
continuas.