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1. Demetrio Ccesa Rayme
Aa
e
i
o u

2. Agrupación de objetos.
NOTACIÓN
Letras del abecedario, en mayúscula
Extensión o Tabulación  uoieaA ,,,,
Comprensión  vocalunaesxxA /
Diagramas de VENN Representación Gráfica
REPRESENTACIÓN
A los objetos se los llama elementos.
Ejemplo

3. PERTENENCIA:
a A
CARDINALIDAD: Número de elementos: )(AN
CONJUNTO
FINITO
Cantidad finita
de elementos
CONJUNTO
INFINITO
Cantidad no finita
de elementos
CONJUNTO
UNITARIO
Un sólo elemento
CONJUNTO
VACÍO No tiene elemento 
CONJUNTO
REFERENCIAL
Conjunto
Universo Re U
 uoieaA ,,,,
 /B x x es un número real
 C  
( ) 5N A 
( )N B  
( ) 1N C 
( ) 0N  
CONJUNTOS RELEVANTES


4. CUANTIFICADORES
UNIVERSAL
•para todo 
EXISTENCIAL
ALGÚN
TODO
•Existe por lo menos uno


5. SUBCONJUNTOS
El conjunto A es subconjunto de B si y sólo
si los elementos de A están contenidos en B
 A B  x x A x B    
 B A  x x B x A    
El conjunto B es subconjunto de A si y sólo
si los elementos de B están contenidos en A

6. SUBCONJUNTO PROPIO
 B A
A
B
IMPORTANTE
 B A B A     
 , , , ,A a e i o u
Ejemplo:
 ,B i u
a e
i u
o
 1. x x A x A     A A 
 2. x x x A   
0 x A 
 A 
1

7. CONJUNTO POTENCIA
Sea A un conjunto. El Conjunto Potencia de A , denotado como P(A),
está formado por todos los subconjuntos de A. Es decir:
Ejemplo
 1, ,A   
11 S
 2S
 3S
  ,14S
  ,15S
  ,6S
  AS  ,,17
8S
  ,},,{,},1{,},1{,}{,}{,}1{)( AAP
( )
( ( )) 2N A
N P A 
( )P A  /S S A 

8. Ejercicios:
  1, ,B  
 1 1S 
  2 ,S  
3S B
4S 
     ( ) 1 , , , ,P B B  
Ejercicios: Hallar P(P(B))

9. IGUALDAD
A = B sí y solo sí tienen los mismos elementos
   BxAxxBA 
      ABBABA 
CONJUNTOS DISJUNTOS.
A y B son DISJUNTOS si y sólo si, no tienen
elementos en común

10. OPERACIONES
INTERSECCIÓN  BxAxxBA  /
Para tres conjuntos  CxBxAxxCBA  /

11. OPERACIONES
Para otros casos
AB
BA    BA A
A
B
AB    BA B
A B
 BA 

12. UNIÓN
 BxAxxBA  /
)()()()( BANBNANBAN 
  )()()()()()()( CBANCBNCANBANCNBNANCBAN 
 CxBxAxxCBA  /

13. DIFERENCIA
 BxAxxBA  /
sólo A
 AxBxxAB  /
sólo B
Analice otras situaciones

14. DIFERENCIA SIMÉTRICA
   ABBABA 
Ejemplo
  ,,,,1A   ,?,,aB
 ?,,,,,,1 a BA
 , BA
 ,,1 BA
 ?,a AB
 ?,,,,1 aBA

15. COMPLEMENTACIÓN DE CONJUNTO
AAC
 Re

16. UNION INTERSECCIÓN
ALGEBRA DE CONJUNTOS
ABBA  Conmutativa ABBA 
    CBACBA  Asociativa     CBACBA 
AAA  Idempotencia AAA 
AA  Identidad AA Re
AbsorciónReRe A A

17. Propiedades
distributivas
     CABACBA 
     CABACBA 
Complementación
ReC
  AA
CC

Doble
Complementación
C
Re
De Morgan
  CCC
BABA 
  CCC
BABA 

18. Re C
AA
Otras:
     CABACBA 
     CABACBA 
  BAABA 
  BABAA 
 C
AA

19.      A B C A B A C     
    x A B C x A x B C          
 x A x B x C     
   x A x B x C     
   x A x B x A x C       
   x A x B x A x C             
Demostrar
     CAxBAx 
    CABAx 

20. Ejemplo
 Re 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
       
       
1,2,3,4 1,2,7 8,9
5,6 6
C
A B A C B C A
A B C N A N B
      
    
Re A
B
C
1
2
7
3
4
8
9
5
6
10
 10,7,4,3,2,1A
 9,8,4,3,2,1B
 10,4,3C
Solución:
Hallar A, B y C
Sean A, B y C conjuntos no vacios tales que:

21. La región sombreada
corresponde a:
 A B B 
 C
B A
   C C
A C B A  
 C C
A C B 
   C C
A C B C  
a)
b)
c)
d)
e)
1.- Se asigna un número a cada
región del gráfico
Solución:
 14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re 
 8,7,6,5,4,3,2,1A
 10,9,6,5,4B
 13,12,11,7,5,2C
2.- Se analiza cada opción

22. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
De los 180 profesores de una universidad, 135 tienen
título de Doctor, 145 tienen título de Investigador; de
los doctores 114 son investigadores.
Re:Total de Profesores
Doctores Investigadores
31
(135) (145)
21 114
14
(180)

23. DoctoresDoctores
No Doctores
31
14
DETERMINE:
a) El número de profesores no son doctores.
Resp. 45

24. b) El número de profesores que son Investigadores o Doctores
Doctores Investigadores
31114
21
Resp. 166

25. c) El número de Doctores que no son Investigadores
Resp. 21
SOLO
Doctores
21

26. d) El número de profesores que NO son Investigadores
Resp. 35
No Investigadores
Investigadores
14
21

27. e) El número de profesores que no son investigadores ni doctores
Resp. 14
Doctores
Investigadores
14

28. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Al entrevistar a 100 estudiantes se obtuvieron los siguientes
resultados: 60 practican fútbol, 50 practican básquet y 15 no
practican fútbol ni básquet. Determine el número de alumnos
que practican fútbol y básquet.
Solución:
Re:100
F B
(60) (50)
15
x
60-x 50-x
60-x+x+50-x=85
x=25
Segundo Método:
)()()()( BFNBNFNBFN 
x 506085
x=25

29. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
En un Instituto Superior, ocurrió que, de 1600 estudiantes:
• 801 aprobaron Matemática
• 900 aprobaron Economía
• 752 aprobaron Contabilidad
• 435 aprobaron Matemática y Economía
• 398 aprobaron Matemática y Contabilidad
• 412 aprobaron Economía y Contabilidad; y,
• 310 aprobaron Matemática , Economía y Contabilidad
Re: Total de Estudiantes
Mat
.
Econ.
Cont.
(1600)
(801)
(900)
(752)
310
125
88 102
278 363
252
82
Solución:

30. Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
a) Sólo una materia
Mat. Econ.
Cont. Resp. 893
278
Sólo Mat.
Solo Econ.
363
Solo Cont.
252

31. Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
b) Exactamente 2 materias
Mat. Econ.
Cont.
Resp. 315
125
Solo Mat. y Econ.
Solo Mat. y Cont.
88
Solo Econ. y Cont.
102

32. Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
c) Ninguna materia
Mat.
Econ.
Cont..
No Mat. y No Cont. y No Econ.
82
Resp. 82

33. Ejemplo 3
Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
d) Al menos una materia
Cont.
Econ.
Mat.
1518
Re:1600
82
Cont.
Econ.
Mat.

34. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
e) Cuando mucho 2 materias.
Cont.
Econ.Mat.
278
363
252
125
10288
Resp. 1208

35. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Una fábrica produce 100 artículos por hora de los
cuales 60 pasan el control de calidad . El resto de
artículos tuvieron fallas del tipo A, tipo B y tipo C, y
se repartieron del modo siguiente:
•8 artículos con fallas del tipo A y tipo B
•12 artículos con sólo falla de tipo A
•3 artículos con fallas de los 3 tipos
•5 artículos con fallas de tipo A y C
•2 artículos con sólo falla de tipo C y tipo B.
•El número de artículos que tuvieron una sola falla
de tipo C o de tipo B fue el mismo.

36. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Solución:
Art. Sin falla=60
Re: Total de Art. =100
A B
C
•8 artículos con fallas del tipo A y tipo B
•12 artículos con sólo falla de tipo A
?
12
•3 artículos con fallas de los tipos
3
5
•5 artículos con fallas de tipo A y C
2
•2 artículos con sólo falla de tipo C y tipo B.
2
•El número de artículos que tuvieron una
sola falla de tipo C o de tipo B fue el
mismo.
x
x
40223512  xx
8x

37. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Determine:
a)¿Cuántos artículos tuvieron fallas de tipo B?
8235. BArt 18
Art. Sin falla=60
Re: Total de Art. =100
A B
C
5 8
2
3

38. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Determine:
b) ¿Cuántos artículos tuvieron sólo una falla?
288812 
Re: Total de Art. =100
A B
C
812
8

39. 1) Dibuja un diagrama de Venn apropiado y utiliza
la siguiente información para colocar el número de
elementos de cada región.
2) Escribe una formula
para el área sombreada.
     
    '
( ) 57, 35, 81, 15,
21, 25, ( ) 49, ( ) 52
n A n A B n A B n A B C
n A C n B C n C n B
       
     
Problemas