2. 1. Distancia entre dos puntos
La “distancia” entre dos puntos del plano
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Si dos puntos difieren sólo en una de sus
coordenadas, la distancia entre ellos es el
valor absoluto de su diferencia.
La distancia entre (4,6) y (-5,6) es:
|-5 – 4| = |-9| = 9
Ejemplo:
3. El “punto medio” M entre dos puntos del plano
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
x1 + x2 y1 + y2
2 2
M = ,
2. Coordenadas del punto medio
4. Ejemplos:
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169
d = 13
x1 y1 x2 y2
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
-3 + 9 , 4 + -1
2 2
M =
M = (3, 1,5)
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
x1 y1 x2 y2
x1 + x2 y1 + y2
2 2
M = ,
/
6. La pendiente entre los puntos:
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se obtiene a través de la siguiente fórmula:
Ejemplo:
1. La pendiente entre los puntos
x1 y1 x2 y2
(-4, -2) y (1, 7) es:
3. Pendiente entre dos puntos
y2 – y1
x2 – x1
m =
7 – (-2)
1 – (-4)
m =
9
5
m =
OBS. La pendiente es igual a la tangente, la que permite calcular
el angulo que tiene la recta con el eje “x”.
m=tg(α)
7. Ejemplo:
2. La pendiente entre los puntos
(8, 5) y (8, 10) es:
x1 y1 x2 y2
Como el denominador es cero,
la pendiente NO existe.
Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es
paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.
10 – 5
8 – 8
m =
5
0
m =
9. 4. La recta
Definición
Geométricamente podemos decir que una línea
recta es una sucesión continua e infinita de puntos
alineados en una misma dirección; analíticamente, una
recta en el plano está representada por una ecuación de
primer grado con dos variables, x e y.
Además es el lugar geométrico de todos los puntos
que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. y = 4x + 7
3. 6x + 4y = 7
10. 5. Ecuación de la recta
5.1 Ecuación General de la recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. 2x - 4y + 7 = 0
3. -x + 12y - 9 = 0
Obs. m= n=a
b
− c
b
−
11. 5.2 Ecuación Principal de la recta
Es de la forma:
El coeficiente de posición (n), es la ordenada del punto
donde la recta intersecta al eje Y.
Corresponde al punto de coordenadas (0,n).
y = mx + n
m : pendiente
n : coeficiente de posición
1) y= 2x -3 m=2 n=-3
Ejemplo:
2) y= 3x – 4
2
y=3 x – 2
2
m=
3
2 n=2
12. 5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta
a
b
x
y
1
x y
a b
+ =
13. Ejemplo:
Representación gráfica de:
y = 2x + 3
1-2
Si un punto (x,y) pertenece a
esta recta, entonces se debe
cumplir la igualdad al reemplazarlo
en la ecuación.
Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3
5.4 Gráfica de la recta
Para graficar una recta dada su ecuación, basta encontrar
dos puntos de ella.
x y
0 3
72
14. Ejemplos:
1. Dada la gráfica de la recta, encontrar su ecuación principal.
n = 3.
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de
posición (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al
eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.
Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente
5 – 3
1– 0
m =
2
1
m = = 2
-1-2
-2
-1
15. 2. En las siguientes ecuaciones hallar m y n:
b) y = 4x
c) 6x – y+ 13 = 8
m = -6/-1 = 6
n = -5/-1 = 5
6x – y + 5=0
Luego, m = 6 y n = 5.
3. ¿Cuál será la pendiente y coeficiente de posición en
ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?
a) y = x – 8
Para determinar m y n, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las
fórmulas dadas para m y n:
m = 4 y n = 0
m = 1 y n = -8
16. y – y1 = m (x – x1)
5.5 Ecuación de la recta,
dado un punto de ella y la pendiente
La Ecuación de la recta que pasa por el punto
P1 (x1, y1) y tiene pendiente “m”,
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
Ejemplo:
La ecuación de la recta de pendiente m = -6,
que pasa por el punto (3,-2) es:
y – (-2) = -6 (x – 3)
y + 2 = -6x + 18
y = -6x + 16
17. 5.6 Ecuación de la recta, dados dos puntos
La Ecuación de la recta que pasa por los puntos:
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
y – y1 = (x – x1)
y2 – y1
x2 – x1
2 2
2 1 2 1
y y x x
y y x x
− −
=
− −
18. Ejemplo:
La ecuación de la recta que pasa por los puntos
( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:
y – (-3) = (x – 2)6 – (-3)
5 – 2
y + 3 = (x – 2)9
3
y + 3 = 3 (x – 2)
y + 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 - 3
y = 3x – 9
x1 y1 x2 y2
y – y1 = (x – x1)
y2 – y1
x2 – x1
19. Ejemplo 2
Dados los puntos A(3,-2) y B(4,5), encontrar la ecuación general de
la recta que pasa por esos puntos.
Al aplicar directamente la fórmula:
5 4
5 ( 2) 4 3
y x− −
− − −=
5 4
5 2 1
y x− −
+ =
5 4
7 1
y x− −
=
1( 5) 7( 4)y x− = −
7 5 28 0x y− + − + =
5 7 28y x− = −
7 23 0x y− − =
/* -1
20. 5.7 La ecuación a partir del gráfico:
6
5
x
y
1° Debemos encontrar el punto de corte con el eje “y”, es decir, y=-5=n
2° Determinar la pendiente: m= , es decir,
3° Utilizando la forma principal: y = mx + n, obtenemos:
5
6 5y x= −
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta
5
6
y
x
4° También se puede usar la forma de segmentos:
6 5 1yx
− = /*30
5x – 6y – 30=0 OBS: Ambas ecuaciones representan
la misma recta.
21. 6. Posiciones de dos rectas en el plano:
Rectas paralelas:
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen
igual pendiente y distinto coeficiente de posición.
Ejemplo: L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x - 10
(m = 5) (m = 5)
22. Rectas coincidentes:
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienen
la misma pendiente y el mismo coeficiente de posición.
Ejemplo: L1: y = 5x + 4 y L2: y = 10x + 8
3 6
Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.
23. Rectas perpendiculares:
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el
producto de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo: L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x - 10
2 5
(m = -5 )
2
(m = 2 )
5
