Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo vectorial. Define escalares y vectores, y explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido. Describe cómo representar vectores gráficamente y analíticamente. Además, explica las operaciones básicas con vectores como suma, resta, multiplicación por escalares, producto escalar y producto vectorial. Finalmente, presenta aplicaciones como la descomposición de vectores y el vector posición.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL,GEOGRAFICA Y
ECOTURISMO
FIGAE
Asignatura : FISICA I
CALCULO VECTORIAL
Demetrio Ccesa Rayme

2. I. INTRODUCCIÓN
• Es una parte esencial de la Matemática útil para
físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.
• Constituye una noción concisa y clara para
presentar las ecuaciones de modelo matemático
de las situaciones físicas
• Proporciona además una ayuda inestimable en la
formación de imágenes mentales de los
conceptos físicos.

3. II. VECTORES Y ESCALARES
1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse
necesitan de un número real y su
correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo;
la temperatura.
2. VECTORES: Aquellas que para expresarse
necesitan de una magnitud, una dirección y un
sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la
fuerza, etc.
3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una
magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem:
El esfuerzo normal y cortante, la presión

4. III. VECTOR
• Ente matemático cuya determinación exige el
conocimiento de un módulo una dirección y un
sentido.
• Gráficamente a un vector se representa por un
segmento de recta orientado
• Analíticamente se representa por una letra con
una flecha encima.
OP

5. Elementos de un vector
1. Dirección:
Gráficamente viene representada por la recta
soporte. En el plano por un ángulo y en el
espacio mediante tres ángulos

6. III. Elementos de un vector
2. sentido: Es el elemento que indica la orientación
del vector . Gráficamente viene representada
por la cabeza de flecha.
3. Magnitud : Representa el valor de la magnitud
física a la cual se asocia. Gráficamente viene
representado por la longitud del segmento de
recta

7. IV. Clase de vectores
1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un
aposición fija en el espacio. Tal cantidad se
representa por un número infinito de vectores
que tienen la misma magnitud, dirección y
sentido.
2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y
solo una recta a lo largo de la cual actúan.
Pueden representarse por cualquier vector que
tenga sus tres elementos iguales ubicado en la
misma recta.
3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un
punto de aplicación

8. V. Algebra vectorial
Antes de describir las operaciones de suma, resta,
multiplicación de vectores es necesario definir:
1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres
elementos idénticos
2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la
misma magnitud y dirección pero sentido
opuesto

9. Algebra vectorial: Suma vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla
del paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud de la resultante R se detemina mediante la
ley de cosenos-
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 2
2 cosR A B A B   
( )
AR B
sen sen sen   
 


10. Algebra vectorial: Resta vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla
del paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud del vector diferencia D es
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 22 2
2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B        
( )
AD B
sen sen sen  
 

11. Leyes del algebra vectorial
1. Conmutatividad.
2. Asociatividad

12. Multiplicación de un escalar por un vector
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un
vector . El producto es un nuevo vector . La
magnitud del vector producto es c veces la magnitud del
vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma
dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el
vector producto es de sentido opuesto a
cA

13. Propiedades de la Multiplicación de un
escalar por un vector
1. Les asociativa para la multiplicación.
Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe
2. Ley distributiva para la adición vectorial.
si c es un escalar, cuando este se multiplica por la
suma de dos vectores se tiene

14. Propiedades de la Multiplicación de un
escalar por un vector
3. Ley distributiva para la suma escalar.
Si b y c son la suma de dos escalares por el
vector A se tiene

15. Suma de varios vectores
Para sumar varios vectores se utiliza la ley del
poligono. Esto la aplicación sucesiva de la ley
del paralelogramo o del triángulo. Es decir

16. VI. VECTOR UNITARIO
• Es un vector colineal con el vector original
• Tiene un módulo igual a la unidad
• Se define como el vector dado entre su modulo
correspondiente es decir
ˆA
A
e
A

ˆAA A e

17. VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES
• A cada uno de los ejes coordenado se le asigna
vectores unitarios
• Cada uno de estos vectores unitario a tiene
módulos iguales a la unidad y direcciones
perpendiculares entre sí.
ˆˆ ˆ, ,i j k
ˆˆ ˆi j k 

18. VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
Cualquier vector puede descomponerse en infinitas
componentes. El único requisito es que La suma de esta
componentes nos de le vector original. La
descomposición pude ser en un plan o en el espacio.
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL
PLANO

19. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL
PLANO
ˆ ˆ
ˆ ˆcos
ˆ ˆ(cos )
ˆ
ˆ ˆˆ (cos )
x y
x y
A
A
A A A
A A i A j
A A i Asen j
A A i sen j
A Ae
e i sen j
 
 
 
 
 
 
 

 
2 2
x yA A A 
y
x
A
Atg 

20. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN
EL PLANO.
Para ello trace rectas paralelas y a las originales que
pasen por el extremo del vector original formándose un
paralelogramo cuyos lados son las componentes
a a b bA A A  

21. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3.En el espacio. Cualquier vector puede
descomponerse en tres componentes

22. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3.En el espacio.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
ˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Ae
e i j k
  
  
  
  
  
  
  

  
2
2 2 2
x y zA A A A  
cos xA
A 
cos yA
A 
cos Az
A 

23. VECTOR POSICIÓN
ˆˆ ˆr OP xi yj zk   

24. VECTOR POSICIÓN RELATIVO
1 2 1 2 1 2
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k      

25. VIII. PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto punto de dos
vectores A y B denotado por y expresado A
multiplicado escalarmente B, se define como el
producto de las magnitudes de los vectores A y
B por el coseno del ángulo que forman ellos.

26. Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar es conmutativo
2. El producto escalar es distributivo
3. Producto de un escalar por el producto escalar
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores
por un tercer vector

27. Propiedades del producto escalar
4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
5. Producto escalar de dos vectores unitarios
diferentes.
6. Producto escalar de dos vectores

28. Propiedades del producto escalar
7. Producto escalar de dos vectores en forma de
componentes .
Entonces tenemos
8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo.
Entonces dichos vectores son perpendiculares
. 0A B A B  

29. INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR
Geométricamente esta situación se muestra en la
figura

30. VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

31. IX. PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B,
es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano
formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al
producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del
ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la
regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

32. REGLA DE LA MANO DERECHA
Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice
con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el
dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.
Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha
tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el
dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

33. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
1. El producto vectorial no es conmutativo
2. El producto vectorial es distributivo
3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.
4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

34. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo que tiene a los vectores A y B
7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores
son paralelos.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x y z y z z y x z z x x y y z
x y z
i j k
AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B
B B B
      
( ) ( )Area AxB A Bsen A h  

35. Ejemplo
Halle el vector unitario perpendicular al plano
formado por los vectores
Usando (a) el producto escalar y (b) el producto
vectorial.
ˆ ˆ ˆ ˆ2 6 3 4 3A i j k B i j k     