2. Muchos problemas de Cálculo dependen de la determinación
de la Recta tangente a la gráfica de una función en un punto
especifico de su grafica. Esta sección se inicia con la
definición de lo que significa Recta tangente.
Recordando el curso de geometría plana se define a la recta
tangente como la recta que interseca a la circunferencia en
un solo punto.
Tal definición no es suficiente para la tangente de una curva.
Recta Tangente
NOCIONES PREVIAS
3. Por ejemplo:
En la fig. la recta que debería ser la recta tangente a la curva
en el punto P interseca a la recta en otro punto Q. Para
obtener una definición adecuada de la recta tangente a la
gráfica de una función en un punto, se emplea el concepto de
límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el
punto. Después la recta tangente se determina por su
pendiente y por su punto de tangencia.
P
Q
4. 2.-Definición de Derivada
Sea el grafico de y=f(x) representado por la curva APQB de la fig. 2.1. El
cociente de diferencias
Es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q
de la curva. Al tender
Esta secante tiende a volverse la recta tangente PS a la curva
en el punto P. Luego:
==
Es la pendiente de la tangente a la curva en el punto P:
6. Fig.2.2
En la fig. 2.2 se ve que una
función puede ser continua
en un punto y sin embargo,
no ser diferenciable en él.
En este caso, hay dos rectas
tangentes en P
representadas por PM y NP.
Las pendientes de estás
tangentes son:
Respectivamente que aquí
son distintos.
P
MN
y
x
7. DEFINICIÓN
Es el aumento o disminución que experimenta
la variable x (denotado por Δx), desde el valor
x0 hasta otro valor x, esto es:
0 x x0
Δx
8. Sea y = f(x) una función derivable en su
dominio, entonces:
a) La diferencial de x, es cualquier
número real no nulo, que se define por la
relación :
b) La diferencial de y, denotada por dy o
dƒ, se define por la relación :
12. DIFERENCIALES DE FUNCIONES
ALGEBRAICAS
PARA U Y V, FUNCIONES DERIVABLES DE X, SE TIENEN:
REGLA DE LA CONSTANTE:
REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE:
REGLA DE LA SUMA O DIFERENCIA:
REGLA DEL PRODUCTO:
REGLA DEL COCIENTE:
REGLA DE LA POTENCIA:
15. APROXIMACIONES
El uso de las diferenciales como medio de aproximación se basa en
la aproximación lineal mostramos la expresión:
y – y0 = f ´(x0) (x – x0)
la cual podemos escribir y = f(x0) + f ´(x0)dx o en términos
aproximados y = f(x0) + f ´(x0)Δx.
Lo cual nos permite calcular el nuevo valor de y una vez que nos
ubicamos en el punto x + Δx.
En las diferentes expresiones que se han señalado debemos
recordar que se emplea la aproximación Δx ≈ dx y Δy ≈ dy.
16.
17. y=f(x)
(a, f(a)) y=L(x)
0 x
y
Se sabe que una curva está muy cerca de su recta tangente en la
vecindad del punto de tangencia. De hecho, al hacer una aproximación
hacia un punto en la gráfica de una función vemos:
18. La idea es que podría ser fácil calcular un valor de f(a) de una función,
pero difícil calcular los valores cercanos de f. De manera que nos
conformamos con los valores fácilmente calculables de la función
lineal L que tiene como gráfica a la recta tangente de f en el punto (a ,
f(a) ).
En otras palabras usamos la recta tangente en el punto ( a , f(a) )
como una aproximación a la curva y=f(x) cuando x está cerca de a.
Una ecuación de esta recta tangente es:
Es decir:
Y=f(a)+f´(a) (x-a)
f(x) ≈ f(a)+f´(a) (x-a)
19. Ejemplo 1:
y x varía de: 2 a 2.05
a) Tenemos que
En general:
dy=
20. Ejemplo 2:
Dada la función
Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto x=1 .Utilizar la
recta tangente para calcular el valor aproximado de 𝟏𝟎𝟑
𝟑
𝒙𝟑
Solución:
La ecuación de la recta tangente en el punto x=1 viene dada por.
Y-f(1)=f´(1) (x-1) Teniendo en cuenta:
Resulta la ecuación de la recta tangente
Con lo cual el valor aproximado pedido es:
21. Ejemplo 3:
Supongamos que luego de rellenar un pavo su temperatura
es de 50 F y entonces se mete a un horno a 325° F. Pasada
una hora el termómetro de carne indica el pavo a 93° F y
después de dos horas indica 129° F. Prediga la temperatura
del pavo a las tres horas.
22. Solución:
Si T(t) representa la temperatura del pavo a las t horas, sabemos
que T(0)=50, T(1)=93 y T(2)=129. Para hacer una aproximación
lineal con a=2 necesitamos una estimación de la derivada
T´(2).Puesto que:
Podríamos estimar T´(2) por medio del cociente de diferencias con t = 1
23. Esto equivale a aproximar la tasa instantánea de cambio de la
temperatura por la tasa promedio de cambio entre t=1 y t=2 que
es 360° F/h. Con está estimación la aproximación (1) lineal a la
temperatura después de tres horas es :
T(3)=T(2)+T´(2) (3-2) T(3) ≈ 129+36.1=168
L
T
0
50
t1 2 3
100
150
24. Solución:
La derivada de f(x) = es:
Y por consiguiente, f(1)=2 y f´(1)= al introducir estos valores,
la linealización es:
La aproximación lineal correspondiente será:
Ejemplo 4
Determine la linealización de la función f(x)= en
a=1 y emplee para calcular los valores aproximados de
y de
26. En particular:
En la fig. vemos la aproximación lineal. Se puede observar que la
aproximación por la recta tangente a la función dada es buena cuando x es
casi 1. También vemos que hemos hecho sobreestimaciones porque la recta
tangente va arriba de la curva.
Por supuesto que una calculadora proporciona aproximación es de y
, pero la aproximación lineal de una aproximación en todo un intervalo.
¿Que tan buena es la aproximación obtenida en el ejemplo 4? En el ejemplo
siguiente muestra que al usar una calculadora o una computadora podemos
determinar un intervalo tal que en toda su extensión una aproximación lineal
proporciona una exactitud específica.
27. Ejemplo 5:
Calcular el valor aproximado de 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝟏. 𝟏
Solución:
Consideramos la función 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝒙 cuya derivada
es y teniendo en cuenta que
Tomando x = 1.1, X0 = 1, 𝛥 𝑥 = 0.1
De donde:
