Este documento resume diferentes tipos de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, incluyendo ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, ecuaciones diferenciales de Bernoulli, ecuaciones diferenciales de Riccati y ecuaciones diferenciales de Lagrange y Clairaut. Explica los procedimientos para transformar estas ecuaciones diferenciales no lineales en ecuaciones diferenciales lineales de modo que puedan resolverse.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
forma
Se resuelve transformando a una ecuación diferencial lineal.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝒚 = 𝑄(𝑥) 𝒚 𝒏
𝒚−𝒏.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝒚. 𝒚−𝒏 = 𝑄(𝑥) 𝒚 𝒏. 𝒚−𝒏 𝒚−𝒏.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝑄(𝑥)
𝟏 − 𝒏 . 𝒚−𝒏.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝟏 − 𝒏 . 𝑃 𝑥 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝟏 − 𝒏 . 𝑄(𝑥)
Luego realizamos cambio de variable:
𝑧 = 𝑦1−𝑛
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 1 − 𝑛 𝑦−𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝟏 − 𝒏 . 𝑃 𝑥 . 𝒛 = 𝟏 − 𝒏 . 𝑄(𝑥)
E.D. lineal de primer orden en “z”
4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICCATI
forma
Resolverlo requiere del conocimiento de una solución particular :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑃 𝑥 𝒚 + 𝑄(𝑥) 𝒚 𝟐 + 𝑹(𝒙)
Para hallar la solución de la E.D. de RICCATI hacemos : 𝒚 = 𝝍 𝒙 + 𝒛
Donde: 𝒛 es una función incógnita q se determinara con la ayuda de la E.D.
𝒚 = 𝝍 𝒙 + 𝒛
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝝍′ 𝒙 +
𝒅𝒛
𝒅𝒙
reemplazando 𝝍′ 𝒙 +
𝒅𝒛
𝒅𝒙
= 𝑃 𝑥 𝝍 𝒙 + 𝒛 + 𝑄(𝑥)( 𝝍 𝒙 + 𝒛 ) 𝟐+𝑹(𝒙)
𝒚 = 𝝍(𝒙) 𝝍′ 𝒙 = 𝑃 𝑥 𝝍(𝒙) + 𝑄(𝑥)( 𝝍(𝒙)) 𝟐
+𝑹(𝒙)
𝜓′
𝑥 +
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 𝑃 𝑥 𝑧 − 2𝑸 𝒙 𝜓 𝑥 𝑧 − 𝑸 𝒙 𝑧2
− 𝑃 𝑥 𝜓 𝑥 − 𝑄 𝑥 𝜓 𝑥
2
− 𝑅 𝑥 = 0
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− (𝑃 𝑥 + 2𝑄 𝑥 𝜓 𝑥 )𝑧 = 𝑄 𝑥 𝑧2
E.D. de Bernoulli
Operando y ordenando
5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE
𝑦 = 𝑥𝑓 𝑦′
+ 𝑔(𝑦′
)
forma
Para resolver se transforma en E.D. lineal
en “x” como función de P
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= P dy = Pdx
𝑦 = 𝑥𝑓 𝑃 + 𝑔(𝑃)
Hacemos
Derivando
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑃 + 𝑥𝑓′
𝑃 .
𝑑𝑃
𝑑𝑥
+ 𝑔′
𝑃 .
𝑑𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 𝑓 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑥𝑓′ 𝑃 𝑑𝑃 + 𝑔′ 𝑃 𝑑𝑃
𝑃𝑑𝑥 = 𝑓 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑥𝑓′ 𝑃 𝑑𝑃 + 𝑔′ 𝑃 𝑑𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑃
−
𝑓 𝑃
𝑓 𝑃 − 𝑃
𝑥 = −
𝑔′ 𝑃
𝑓 𝑃 − 𝑃
E.D. lineal en “x” como función de P
Reemplazando
Reemplazando
obtenemos
𝑥 = 𝜑(𝑃, 𝑐)
𝑦 = 𝜑 𝑃, 𝑐 𝑓 𝑃 + 𝑔(𝑃)
Solución general
6. ECUACIONES DIFERENCIALES DE CLAIRAUT
forma
Para obtener la solución se sigue el mismo procedimiento del caso
de la E.D. de LAGRANGE
𝑦 = 𝑥𝑦′ + 𝑔(𝑦′
)