Este documento presenta información sobre identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas. Define las identidades trigonométricas como relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se cumplen para cualquier valor angular. Muestra ejemplos de identidades y sus demostraciones. También define las ecuaciones trigonométricas como igualdades entre expresiones trigonométricas y ofrece recomendaciones para resolverlas.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
2. Las Matemáticas son el alfabeto
con el cual Dios ha escrito el
Universo.
Galileo Galilei
3.
4. Definición:
Las Identidades Trigonométricas son las
relaciones de igualdad entre las funciones
trigonométricas que se cerifican para todo
valor de la variable angular, siempre y
cuando, la función trigonométrica esté
definida en dicho valor angular.
5. Demostración de una Identidad:
Teniendo que Tgx + Ctg x = Sec x . Cosec x
Comprobamos que:
Si x=45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º
1 + 1 = √2 . √2
6.
7. Recíprocas:
Sen x = 1 . Cosec x = 1 .
Cosec x Sen x
Cos x = 1 . Sec x = 1 .
Sec x Cos x
Tg x = 1 . Ctg x = 1 .
Ctg x Tg x
8. sen x
tan x = --------
csc x
cos x
ctg x = -------
sen x
cos x
sen x = --------
ctg x
sen x
cos x = ------
tan x
11. Demostración:
Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y
coseno tenemos:
Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X
1 . – Cos x . Cos x = Sen x
Sen x Sen x
1 . – Cos² x = Sen x
Sen x Sen x
1 – Cos ² x = Sen x
Sen x
Pero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x
Sen x
L.q.q.d Sen x = Sen x
12. Simplificación
• Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las
identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones
algebraicas.
Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x
Cos x . Sen x + 1
Cos x
Cos x . Sen x + Cos x
Cos x
Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
13. Tipo Condicional
• Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una
expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente
la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a
encontrar la expresión perdida.
Si Tg x + Ctg x = 4
¿Tg² x + Ctg² x ?
Solución:
(Tg x + Ctg x) ² = (4) ²
Tg² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg² x = 16
Tg² x + Ctg² x = 16 – 2
Tg² x + Ctg² x = 14
14. Eliminación Angular
• Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones
trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en
donde no aparezca el ángulo.
ß de:
x = 4 Senß y = 5 Cosß
x = 4Senß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ß
y= 5Cosß y/5 = Cosß y²/25 = Cos²ß
X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß
X²/16 + y²/25 = 1
15.
16. Definición:
- Una Ecuación Trigonométrica es una
igualdad entre ecuaciones trigonométricas
de una misma variable angular o variables angulares
diferentes, la cual se verifica para un conjunto de
valores que asumen dichas variables angulares, que
constituyen el conjunto solución de la ecuación
trigonométrica.
- Para que una igualdad sea una ecuación
trigonométrica, las variables angulares deben estar
afectadas por funciones trigonométricas (directas o
inversas), de lo contrario no son consideradas
ecuaciones trigonométricas.
17. • Ejemplo:
Sen 2x + Cos x = 0 sí es E.T.
2x + 3 Tan x = √2 no es E.T.
Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1 sí es
E.T.
18. Soluciones Generales:
• Para Sen y Cosc:
n Л + (-1) V.P.
k
• Para Cos y Sec:
2n Л + - V.P
k
• Para Tag y Cotg:
m Л + V.P.
k
19.
20. • Son aquellas igualdades de 2 expresiones
trigonométricas en donde no se utilizaran
identidades trigonométricas.
• Son aquellas que presentan la siguiente forma:
• Donde: K Є R – {0} ; a Є R
F.T. (Kx) = a
21. Ejemplo:
– Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg 3x –
1 = 0
– Resolución:
• Resolviendo la ecuación tenemos:
Cotg 3 X -1 = 0 Cotg 3x = 1
• Hallando la soluciones generales para la cotangente:
x = n Л + arc Cotg (1)
3
x = n Л + Л; o también;
3 12
x = 60° n + 15° Solución General
22. • Luego (n Є Z)
n = 0 x = 60° (0) + 15° = 15°
n = 1 x = 60° (1) + 15° = 75°
n = 2 x = 60° (2) + 15° = 135°
C.S = { 15° ; 75° ; 135°}
23. • Son aquellas ecuaciones que para ser
resueltas se aplicarán propiedades
algebraicas y propiedades trigonométricas
que nos permitan su resolución.
ECUACION TRIGONOMETRICA : E.T.
24. Ejemplo:
– Hallar el menor valor
positivo de “x” en:
4 Sen x Cos x – 1 = 0
– Resolución:
• Recordemos que:
Sen 2 x = 2 Sen x Cos x
En la ecuación tenemos:
2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0
2 Sen 2x – 1 = 0
Sen 2x = 1
2
2x = {30º ; 150º ; 390º ; …}
x = {15º ; 75º ; 195º ; …}
Solución principal
x = 15º
25. Recomendaciones Generales para
resolver una E.T.
1. Toda ecuación debe tratar de expresarse en
términos de una sola función y de un solo
ángulo, de manera que dicha función se calcule
mediante un proceso algebraico.
2. Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se
debe dividir entre el Cos elevado al grado de
homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación
en la función Tag únicamente.
26. “La matemática es la ciencia del orden y la
medida, de bellas cadenas de
razonamientos, todos sencillos y fáciles”