Este documento presenta los conceptos fundamentales de las rectas en el plano cartesiano, incluyendo las diferentes formas de representar una recta mediante una ecuación, el cálculo de pendientes, y las relaciones entre rectas paralelas y perpendiculares. Se explican conceptos como la pendiente, la ecuación punto-pendiente, la ecuación general, y las fórmulas para calcular distancias entre puntos y rectas. El documento concluye resumiendo los diferentes métodos para representar una recta analíticamente.

1. Cálculo y Geometría Analítica
Demetrio Ccesa Rayme

2. "La vida humana representa, la
mayor parte de las veces, una
ecuación entre el pasado y el
futuro.“
Ingenieros, José

3. SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS.
O
III
III IV
X
Y
P( x, y)
abscisa
ordenada

4. X
Y
FÓRMULA DE LA DISTANCIA ENTRE
DOS PUNTOS

5. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE
RECTA
X
Y
𝑷𝒎 (𝑿, 𝒀)

6. Ejemplos:
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169
d = 13
x1 y1 x2 y2
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
-3 + 9 , 4 + -1
2 2
Pm =
Pm = (3,
1
2
)
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
x1 y1 x2 y2
x1 + x2 y1 + y2
2 2
Pm = ,
/

7. A
B
Veamos la distancia directamente en el plano:
4
8
2 2
4 8 16 64 
80

8. Ejercicios:
B(6,-1)yA(-2,3)
B(1,2)yA(-3,6)
B(2,0)yA(-2,3)
B(1,5)y,3)
2
1
A(-
1.
2.
3.
4.
5.
Calcule las distancias y puntos medios de:
,0)2B(2y)7,-2A(
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
x1 + x2 y1 + y2
2 2
Pm = ,

9. Significado de la recta:
La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme cantidad
de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a
una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus
aplicaciones se tienen: problemas de costos-
ingresos y ganancia, la oferta y demanda, la
valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.
20 40 60 80
P. E.

10. Pendiente de una recta l
L1
L2
0 x
y
• ¿Cuál de las
rectas está más
inclinada?
• ¿Cómo medimos
esa inclinación?
La pendiente m de la recta l es:

11. Cálculo de la pendiente de una recta
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos
P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
X
Y

12. Ejemplo:
1. La pendiente entre los puntos
x1 y1 x2 y2
(-4, -2) y (1, 7) es:
7 – (-2)
1 – (-4)
m =
9
5
m =2. La pendiente entre los puntos
(8, 5) y (8, 10) es:
x1 y1 x2 y2
Como el denominador es cero,
la pendiente NO existe.
Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es
paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.

10 – 5
8 – 8
m =
5
0
m =

13. Ejemplos

14. -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
mAB = 1/7
mCD = -3/4
mEF = 0
mGH = ¿?

15. Conclusiones
1. Si m>0 la recta l es creciente
2. Si m<0 la recta l es decreciente
3. Toda recta horizontal tiene m = 0
4. Las rectas verticales no tienen
pendiente definida.
x
y
x
y
x
y
x
y

16. Geométricamente podemos decir que una línea
recta es una sucesión continua e infinita de puntos
alineados en una misma dirección; analíticamente, una
recta en el plano está representada por una ecuación de
primer grado con dos variables, x e y.
Además es el lugar geométrico de todos los puntos
que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. y = 4x + 7
3. 6x + 4y = 7
La Recta

17. Ecuación de la Recta (Punto – Pendiente)
La ecuación de la recta de pendiente m, y
punto de paso (x1, y1) es:
(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)
X
Y

18. Ecuación General o implícita de la Recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c
reales.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. 2x - 4y + 7 = 0
3. -x + 12y - 9 = 0
Obs. m= b=
a
b
- c
b
-

19. La gráfica de una recta de pendiente m y
ordenada en el origen b, es:
b
y = mx + b
X
Y
Ecuación explicita de la Recta

20. Es de la forma:
El coeficiente de posición (b), es la ordenada del punto
donde la recta intersecta al eje Y.
Corresponde al punto de coordenadas (0,b).
y = mx + b
m : pendiente
b : coeficiente de posición
1) y= 2x -3 m=2 b=-3
Ejemplo:
2) y= 3x – 4
2
y=3 x – 2
2
m=
3
2 b=2
Ecuación explicita de la Recta

21. Ejemplo:
1. La ecuación de la recta de pendiente m = -6,
que pasa por el punto (3,-2) es:
y – (-2) = -6 (x – 3) y + 2 = -6x + 18
y = -6x + 16
2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos
( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:
y – (-3) = (x – 2)6 – (-3)
5 – 2
y + 3 = (x – 2)9
3
y + 3 = 3 (x – 2)
y + 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 - 3
y = 3x – 9
x1 y1 x2 y2
y – y1 = (x – x1)
y2 – y1
x2 – x1
6x + y – 16 = 0
3x – y – 9 = 0

22. Ejercicios:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por
.. (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por
(-6;1) y (1;4).
3. Determine la pendiente y la intersección con el
eje y de la recta determinada por la ecuación
x- 9 = 5y+3.
4. Determine la ecuación general de la
recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).
y - y1 = m(x - x1) y = mx + b

23. recta recta // ecuación
horizontal al eje X y = b
recta recta // ecuación
vertical al eje Y x = a
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
b
a
y = b
x = a
RECTA HORIZONTALY VERTICAL

24. En Resumen:
Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)
• Forma pendiente ordenada y = mx+b
al origen
• Forma general Ax + By + C = 0
• Recta vertical x = a
• Recta horizontal y = b

25. Ecuación de Segmentos o Simétrica de la
Recta
a
b
x
y
1
x y
a b
 

26. Ejemplo: La ecuación a partir del gráfico:
6
5
x
y
1° Debemos encontrar el punto de corte con el eje “y”, es decir, y=-5=b
2° Determinar la pendiente: m= , es decir,
3° Utilizando la forma principal: y = mx + b, obtenemos:
5
6 5y x -
5
6
y
x
4° También se puede usar la forma de segmentos:
6 5 1yx
-  /*30
5x – 6y – 30=0 OBS: Ambas ecuaciones representan
la misma recta.

27. Ejemplos:
1. Dada la gráfica de la recta, encontrar su ecuación principal.
b = 3.
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de
posición (b) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al
eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.
Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente
5 – 3
1– 0
m = 
2
1
m = = 2
-1-2
-2
-1

28. 2. En las siguientes ecuaciones hallar m y b:
b) y = 4x
c) 6x – y+ 13 = 8
m = -6/-1 = 6
b = -5/-1 = 5
6x – y + 5=0
Luego, m = 6 y b = 5.
3. ¿Cuál será la pendiente y coeficiente de posición en
ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?
a) y = x – 8
Para determinar m y b, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las
fórmulas dadas para m y b:
m = 4 y b = 0
m = 1 y b = -8
Ejemplos:
Obs. m= b=
a
b
- c
b
-

29. m1 = m2
Rectas paralelas
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 ,
son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma
pendiente o si ambas son verticales .
Es decir:

30. Rectas paralelas
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen
igual pendiente y distinto coeficiente de posición.
Ejemplo: L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x - 10
(m = 5) (m = 5)

31. Rectas perpendiculares
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son
perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus
pendientes es -1.
Es decir:
Además, una recta horizontal y una vertical son
perpendiculares entre sí.
m1 . m2 = -1

32. Rectas perpendiculares
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el
producto de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo: L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x - 10
2 5
(m = -5 )
2
(m = 2 )
5

33. Ejercicios:
Determine la ecuación de la recta
que satisfaga:
1. Pasa por (3;-4) y es paralela a
y= 3+ 2x.
2. Pasa por (3; -4) y es perpendicular
a y = 3 + 2x

34. Ejercicio en equipo:
Las ecuaciones de oferta y demanda de un
producto son p y q respectivamente.
Traza la gráfica respectiva de cada una y
encuentra el punto de equilibrio del producto.
Nota: Se define como punto de equilibrio el
punto en el cual los ingresos totales son iguales a
los costos totales, es decir, no hay pérdidas pero
tampoco hay ganancias.
Sol. Punto de equilibrio:
2
7
1
 qp 22  pq






5
16
,
5
42

35. CONCLUSIÓN:
ECUACIÓN DE LA RECTA EN UN PLANO
 Forma punto – pendiente:
 Forma Pendiente – Intersección
 Forma Simétrica

36.  Sea la ecuación de una
recta y un punto que NO
pertenece a ella, entonces:
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA
RECTA

37. EJERCICIOS:
08-3y-4x:RyA(1,2) 
1--2xy:RyA(-1,2) 
03-4y3x:RyA(0,-2) 
12y-3x:Ry,3)
2
1
A(- 
1.
2.
3.
4.
Calcule las distancias desde el punto A hasta la
recta R:

38.  Sea la ecuación de una recta
y otra recta paralela ya
que sus pendientes son iguales
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
PARALELAS
0ByAx:R 1  C
0ByAx:S 2  C
B
A
MM SR 
22
12C
d
BA
C

-


39. EJERCICIOS:
04y-3x:S
032y-6x:R


1.
2.
3.
Calcule las distancias entre las siguientes rectas
si son paralelas:
016y-4x:S
013y-2x:R

-
08y3x:S
2-3xy:R


22
12C
d
BA
C

-
