DOCUMENTO

1. ECUACIONES Y SISTEMA DE
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
DEMETRIO CCESA RAYME

2. DEFINICIÓN:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas denominadas miembros, en las que hay
valores conocidos, llamados datos y valores desconocidos
llamados incógnitas, relacionados por ciertos operadores
matemáticos.
3x – 18 = x + 44
primer miembro segundo miembro
El conjunto solución de una ecuación (C.S.) es el valor de
la variable de modo que satisfaga la igualdad.
De la ecuación planteada, el valor que verifica la
igualdad es
x = 31, luego C.S. = {31}
ECUACIONES DE PRIMER GRADO

3. Transposición de términos en una ecuación
Pasó al 2do miembro restando
x + 6 = 8 → x = 8 – 6 → x = 2
está sumando
C.S. = {2}
Pasó al 2do miembro sumando
x - 4 = 9 → x = 9 + 4 → x = 13
está restando
C.S. = {13}
Pasó al 2do miembro dividiendo
3x = 24 → x = 24/3 → x = 8
está multiplicando
C.S. = {8}
Pasó al 2do miembro multiplicando
x = 5 → x = 5.4 → x = 20
4
está dividiendo
C.S. = {20}

4. Del lenguaje ordinario al lenguaje
algebraico
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros.
Esta información podría expresarse
de otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
El doble será 2x
Y el doble más 10 m: 2x + 10
Luego, 2x + 10 expresa el
largo del campo de fútbol.
Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
El lenguaje algebraico utiliza letras,
números y signos de operaciones para
expresar información.

5. Planteo de Ecuaciones
Enunciado (forma verbal) Expresión matemática
(forma simbólica)
Un número cualquiera x
Un número aumentado en 9 x + 9
Un número disminuido en 2 x - 2
El doble de un número, aumentado en 5 2x + 5
El triple de un número, disminuido en 7 3x - 7
El cuádruplo de un número aumentado en 1 4(x + 1)
La suma de dos números consecutivos x + (x + 1)
El cuadrado de un número, aumentado en 2
El triple de un número excede en 4 a 12 3x – 12 = 4

6. SISTEMA DE ECUACIONES

7. Sistema de Ecuaciones lineales
con dos incógnitas
Es un arreglo formado por dos ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas, cuyos valores
deben satisfacer las dos ecuaciones del sistema.
Tiene la forma:
Donde:
a, b, c, a’, b’, c’ : son coeficientes
x, y : son variables o incógnitas





''' cybxa
cybxa

8. Una SOLUCIÓN del sistema





''' cybxa
cybxa
es cualquier pareja de valores (x, y) que verifique las dos ecuaciones
Luego: C.S. = {(1; 5)}





14
32
yx
yx
2.1- 5 = -3
4.1- 5 = -1
Ejemplo
El par (1, 5) es una
solución de este sistema
porque:
1x
5y
Conjunto solución del sistema

9. Clasificación de los sistemas
Sea el sistema de ecuaciones:





''' cybxa
cybxa
• Si
''' c
c
b
b
a
a

SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO
Infinitas soluciones
• Si
• Si
''' c
c
b
b
a
a

SISTEMA
INCOMPATIBLE
No tiene solución
'' b
b
a
a

SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO
Tiene una única solución

10. Métodos de Resolución
I. Método de Sustitución
-Se despeja una incógnita
de una ecuación.
-Se sustituye esa expresión
en la misma incógnita de la
otra ecuación.
-Se obtiene una ecuación
de primer grado con una
incógnita. Se resuelve esta.
-El valor de esa incógnita se
sustituye en la expresión
donde estaba despejada la
otra incógnita.
Ejemplo:
Resuelve el sistema:





643
82
yx
yx
Solución:
De (I):
Reemplazamos en (II):
Resolviendo:
Además:
→
yx 28
… (I)
… (II)
64)28(3  yy
3y
328 x 2x

11. II. Método de Igualación
-Se despeja la misma
incógnita en las dos
ecuaciones.
-Se igualan las dos
expresiones.
-Se obtiene una ecuación de
primer grado con una
incógnita. Se resuelve esta.
-El valor de esa incógnita se
sustituye en cualquiera de
las dos expresiones, para
calcular el valor de la otra.
Ejemplo:
Resuelve el sistema:





643
82
yx
yx
Solución:
De (I):
De (II):
Igualando:
Resolviendo:
→
yx 28
… (I)
… (II)
2x
3
46 y
x


3
46
28
y
y


3y
328 x

12. III. Método de Reducción
-Se multiplican una o las dos
ecuaciones por números de
manera que los coeficientes
de una misma incógnita
sean opuestos.
-Se suman esas dos
ecuaciones, eliminando así
una de las incógnitas.
-Se resuelve la ecuación
resultante.
-Se sustituye ese valor en
cualquiera de las dos
ecuaciones para calcular el
valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
Resuelve el sistema:





643
82
yx
yx … (I)
… (II)
2x
3y
Solución:
Multiplicamos por (-3) a (I):
→





643
2463
yx
yx
3010  y
832 x

13. -Consiste en aplicar el método de reducción a ambas
incógnitas.
Ejemplo





643
82
yx
yx
3y
2x





643
2463
yx
yx 3por
3010  y





643
82
yx
yx





643
1642
yx
yx2por
x5 10
IV. Método de doble Reducción

14. Ejercicios
1. Determina el conjunto solución
del siguiente sistema:
3x + 5y = -1 … (I)
4x - 3y = 18 … (II)
Solución:
Aplicamos el método de
reducción.
3x + 5y = -1 … (por 3)
4x - 3y = 18 … (por 5)
9x + 15y = -3
20x - 15y = 90
29x = 87 → x = 3
Reemplazamos x=3 en (I):
3(3) + 5y = -1 → y = -2
C.S. = {(3; -2)}
Rpta.: {(3; -2)}
2.Calcula el valor de «x - y» en el
siguiente sistema:
2x - y = -13 … (I)
3x - 2y = -22 … (II)
Solución:
Aplicamos el método de
igualación.
De (I): y = 2x+13
De (II): y =
𝟑𝒙+𝟐𝟐
𝟐
Igualando, tenemos:
2x+13 =
𝟑𝒙+𝟐𝟐
𝟐
→ 4x+26 = 3x+22
x = -4 → y = 5
Luego: x – y = -4 – 5 = -9
Rpta.: -9

15. 3.Si el siguiente sistema es
compatible indeterminado:
6x + (a+2)y = 9 … (I)
4x - 3y = b-1 … (II)
Calcula el valor de «a+b».
Solución:
Si el sistema es compatible
indeterminado, se cumple que:
𝟔
𝟒
=
𝒂 + 𝟐
−𝟑
=
𝟗
𝒃 − 𝟏
Resolvemos:
𝟔
𝟒
=
𝒂+𝟐
−𝟑
→ 𝒂 =
−𝟏𝟑
𝟐
𝟔
𝟒
=
𝟗
𝒃−𝟏
→ 𝒃 = 𝟕
Luego: a+b =
−𝟏𝟑
𝟐
+ 𝟕 =
𝟏
𝟐
Rpta.:
𝟏
𝟐
4.Si el siguiente sistema no tiene
solución :
(2m-3)x + (m-4)y = 11 … (I)
7x - 4y = -17 … (II)
Calcula el valor de «m».
Solución:
Si el sistema no tiene solución
(incompatible), se cumple que:
𝟐𝒎 − 𝟑
𝟕
=
𝒎 − 𝟒
−𝟒
≠
𝟏𝟏
−𝟏𝟕
Resolvemos:
𝟐𝒎 − 𝟑
𝟕
=
𝒎 − 𝟒
−𝟒
-8m+12 = 7m-28
15m = 30 → m = 2
Rpta.: 2

16. Sistema de Ecuaciones
lineales con dos incógnitas