DOCUMENTO

1. Ecuaciones Diferenciales de Orden “n”
Demetrio Ccesa Rayme

2. E.D. DE ORDEN “N”
Sean de la forma:
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑦 𝑛−2 + … … … + 𝑎2 𝑦′′ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑓(𝑥) … (1)
Donde 𝑎𝑖 = cte.
Si 𝑓(𝑥) = 0 => 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 𝑦 𝑛−2
+ … … … + 𝑎2 𝑦′′
+ 𝑎1 𝑦′
+ 𝑎0 𝑦 =
0
E.D. lineal homogénea { 𝑓(𝑥) = 0 }

3. Definimos el operador 𝐷 =
𝑑
𝑑𝑥
que cumple con las siguientes propiedades:
D (f±g) = Df± Dg
D(kf) = kDf
La ecuación (1) se puede escribir como:
𝐿 𝐷 𝑦 = [𝑎 𝑛 𝐷 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 𝐷 𝑛−2
+ … … … + 𝑎2 𝐷2
+ 𝑎1 𝐷 + 𝑎0] 𝑦 = 𝑓(𝑥)
L(D) = polinomio en D 𝐷 =
𝑑
𝑑𝑥
; 𝐷2
=
𝑑2
𝑑𝑥2 ; 𝐷3
=
𝑑3
𝑑𝑥3 ; 𝐷 𝑛
=
𝑑 𝑛
𝑑𝑥 𝑛
𝐿 𝐷 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0
E.D. lineal homogénea

4. Ejm.
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2 − 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 0
(D2-3D+2)Y =0
(D-1)(D-2)Y =0
(D-1)Y =0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 0 →
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑑𝑥 → 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥
(D-2)Y =0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 0 →
𝑑𝑦
2𝑦
= 𝑑𝑥 → 𝑦 = 𝑐2 𝑒2𝑥

5. A continuación veamos los diferentes casos para el polinomio en D L(D):
Caso I: si L(D) tiene raíces reales diferentes
(D – r1)(D – r2) …… (D – rn)y =0
YG= 𝑐1 𝑒r1 𝑥
+ 𝑐2 𝑒r2 𝑥
+ 𝑐3 𝑒r3 𝑥
+ … … + 𝑐 𝑛 𝑒rn 𝑥
Ejm:
(D-1)(D+1)(D-2)(D+2)y =0
YG= 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥 + 𝑐3 𝑒2𝑥 + 𝑐4 𝑒−2𝑥

6. Caso II: si L(D) presenta raíz real que se repite “k” veces
(D – r)k
y =0 YG= Pk-1 (x) 𝑒r𝑥
Ejm1:
(D +4)5
y = 0
YG= (𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 𝑥2
+ 𝑐4 𝑥3
+ 𝑐5 𝑥4
)𝑒−4𝑥
Ejm2:
(D -1) (D +1)2 (D -2) (D +5)3
y = 0
YG= 𝑐1 𝑒 𝑥 + (𝑐2 + 𝑐3 𝑥 )𝑒−𝑥 + 𝑐4 𝑒2𝑥 + (𝑐5 + 𝑐6 𝑥 + 𝑐7 𝑥2) 𝑒−5𝑥

7. Caso III: L(D) presenta raíces complejas
[(D-α)2 + β2]y = 0
YG = 𝑒α𝑥[𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 βx ]
Caso IV: L(D) presenta raíces complejas que se repite “k” veces
[(D-α)2 + β2]k
y = 0
YG = 𝑒α𝑥[𝑃𝐾−1(𝑋) cos 𝛽𝑥 + 𝑄 𝑘−1(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 βx ]
Ejm:
[(D-2)2 + 25]5
y = 0
YG = 𝑒2𝑥
[(𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 𝑥2
+ 𝑐4 𝑥3
+ 𝑐5 𝑥4
)cos 5𝑥 + (𝑐6 + 𝑐7 𝑥 + 𝑐8 𝑥2
+
𝑐9 𝑥3
+ 𝑐10 𝑥4
)𝑠𝑒𝑛 5x ]

8. Resolver:
(D4+4)y = 0
Factorizando sumando ± 2D2
(D2 -2D +2)(D2 + 2D + 2)
[(D-1)2 +1][(D+1)2 +1]
YG = 𝑒 𝑥
[𝑐1cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 x ] + 𝑒−𝑥
[𝑐3cos 𝑥 + 𝑐4 𝑠𝑒𝑛 x ]

9. E.D. lineal no homogénea
𝐿 𝐷 𝑦 = 𝑓(𝑥)
YG = YC + YP
YC se obtiene de resolver 𝐿 𝐷 𝑦 = 0
La solución particular YP se obtiene por los siguientes métodos:
1) Método de coeficientes indeterminados
2) Método de los operadores
3) Método abreviado
4) Variación de parámetro

10. Coeficientes indeterminados
𝑓(𝑥) = 𝑒a𝑥 , cos(ωx) y/o sen(ωx) o Pn(x)
𝐼 𝑓(𝑥) = 𝑒a𝑥
Si a no es raíz de L(D)y = 0 → YP = A𝑒a𝑥
Si a es raíz “k” veces → YP = xkA𝑒a𝑥
Ejm:
(D-1)(D-2)(D-3)y = 𝑒4𝑥
YC = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒2𝑥 + 3𝑒3𝑥
YP = 𝐴𝑒4𝑥

11. 𝐼𝐼 𝑓(𝑥) = cos(ωx) y/o sen(ωx)
Si ω no es raíz → YP = A cos(ωx) + B sen(ωx)
Si ω es raíz “k” veces → YP = xk[A cos(ωx) + B sen(ωx)]
Ejm:
(D-2)[(D-2)2 + 9]5(D+1)2
Y = sen(3x) – 5 cos(3x)
YC= 𝑐1 𝑒2𝑥
+ (𝑐2 + 𝑐3 𝑥 + 𝑐4 𝑥2
+ 𝑐5 𝑥3
+ 𝑐6 𝑥4
)cos(3𝑥) + (𝑐7 +
𝑐8 𝑥 + 𝑐9 𝑥2 + 𝑐10 𝑥3 + 𝑐11 𝑥4)sen(3x) + (𝑐12 + 𝑐13 𝑥 ) 𝑒−𝑥
YP = A cos(3x) + B sen(3x)

12. 𝐼𝐼𝐼 𝑓(𝑥) = Pn(x)
Si “0” no es raíz → YP = Pm(x)
Si “0” es raíz “k” veces → YP = xk Pm(x)
(IV) 𝑓(𝑥) = Pn(x) 𝑒ω𝑥
Si ω no es raíz → YP = Pm(x) 𝑒ω𝑥
Si ω es raíz “k” veces → YP = xk Pm(x) 𝑒ω𝑥

13. 𝑉 𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑋) cos 𝜔𝑥 + 𝑄 𝑚(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 ωx
Si ± ωi no es raíz → YP = 𝑃𝑠(𝑋) cos 𝜔𝑥 + 𝑄𝑠(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 ωx
Si ± ωi es raíz “k” veces → YP = xk [𝑃𝑠(𝑋)cos 𝜔𝑥 + 𝑄𝑠(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 ωx ]
(VI) 𝑓(𝑥) = 𝑒α𝑥
[𝑃𝑛(𝑋) cos 𝜔𝑥 + 𝑄 𝑚(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 ωx ]
Si α ± ωi no es raíz → YP = 𝑒α𝑥
[𝑃𝑠(𝑋)cos 𝜔𝑥 + 𝑄𝑠(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 ωx ]
Si α ± ωi es raíz “k” veces → YP = xk 𝑒α𝑥[𝑃𝑠(𝑋)cos 𝜔𝑥 + 𝑄𝑠(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 ωx ]

14. Ejm:
(D2 + 4)2 [(D-1)2 + 25]3 D2 (D-4)y = x3cos(2x) + x6sen(2x) + x2excos(5x) – x4exsen(5x)
YC= (𝑐1 + 𝑐2 𝑥) cos(2𝑥) + (𝑐3 + 𝑐4 𝑥)sen 2𝑥 +
𝑒 𝑥[ 𝑐5 + 𝑐6 𝑥 + 𝑐7 𝑥2 cos 5𝑥 + (𝑐8 + 𝑐9 𝑥 + 𝑐10 𝑥2)𝑠𝑒𝑛 5x ] + (𝑐11 +
𝑐12 𝑥) +𝑐13 𝑒4𝑥
YP1= x2 [P6(x) cos(2x) + Q6(x) sen(2x)]
YP2= x3ex[ R4(x) cos(5x) + T4(x) sen(5x)]