2. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
DERIVADA DE UNA FUNCION
TÍTULO DEL TEMA
3. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
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4. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
4
Regla de la cadena
Derivada de orden superior
Derivación implícita
CONTENIDOS TEMÁTICOS
5. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
DESARROLLO DE CONTENIDOS - SUBTÍTULOS
DEL TEMA
6. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Regla de la cadena
Por ejemplo:
Sea la función
xgxgfxgf ')(')('
33
)1()( xxxf
1;)( 33
xxuuyHaciendo un cambio de variable:
Aplicando la regla de la cadena:
dx
du
du
dy
dx
dy
1313133 22322
xxx
dx
dy
xu
dx
dy
Dada las funciones g, derivable en x y f derivable en g(x), entonces:
7. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
xxxfsixfHallar 2)(),(' 2
Solución:
)'2()2(
2
1
)(
)2()(
21
2
1
2
2
1
2
xxxxxf
xxxf
xx
x
xf
22
)1(2
)('
2
Ejemplo 1
Regla de la cadena
8. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
3
2
2
4
4
)(),('
x
x
xfsixfHallar
Solución:
42
5
2222
4
22
222
2
2
22
22222
2
2
2
22
2
2
)4(
1536
)(
)4(
32
)4(
16
3)(
)4(
)2)(4()4(8
4
4
3)(
)4(
)'4)(4()4()'4(
4
4
3)(
'
4
4
4
4
3)(
x
x
xf
x
x
x
x
xf
x
xxxx
x
x
xf
x
xxxx
x
x
xf
x
x
x
x
xf
Ejemplo 2
Regla de la cadena
9. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo 3
Derivar la función:
2
3
3 6
( )
6
x
f x
x x
1
2 3 2 22
3 3 2
,
1 3 6 (6 )( 6 ) (3 6)(3 6)
2 6 ( 6 )
Aplicando regla de la cadena
df x x x x x x
dx x x x x
Regla de la cadena
1
2 4 2 4 22
3 3 2
1 3 6 6 36 9 36 36
2 6 ( 6 )
x x x x x
x x x x
1
2 42
3 3 2
1 3 6 3 36
2 6 ( 6 )
x x
x x x x
10. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Regla de la cadena
1
42 2
3 3 2
1
43 2
2 3 2
4 3
52
123 3 6
2 6 ( 6 )
123 6
2 3 6 ( 6 )
12 63
2 3 6
xx
x x x x
xx x
x x x
x x x
x
11. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)
( ) ln ( ) 1/f x x f x x
( ) ( )g x g x
f x e f x e g x
1
( ) ln ( ) ( )
( )
f x g x f x g x
g x
( ) ( )x x
f x e f x e
Derivadas de funciones EXP, LOG yTRIG.
Donde g = g(x) es una función real.
12. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de funcionesTrigonométricas
i)
ii)
iii)
Derivadas de funciones EXP, LOG yTRIG.
( ) ( ( )) ´( ) ( ( )). ´( )f x Cos u x f x Sen u x u x
( ) ( ( )) ´( ) ( ( )). ´( )f x Sen u x f x Cos u x u x
xuxuSecxfxuTanxf '.)(')( 2
Donde u = u(x) es una función real.
13. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
A practicar la Regla de la cadena
tttf
t
t
tf
x
x
xf
x
x
xf
xfHallar
3)(4)
1
1
)(3)
2
7
)(2)
3
1
)(1)
),('
2
2
32
)35(2)(10)
3)(9)
)35tan(3)(8)
)25cos(4)(7)
)4()(6)
245)(5)
)35(
2
93
xLntf
etf
xtf
xtf
xsenxf
xxxf
x
14. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Dada una función f: D R R derivable en D, se puede
considerar la función derivada primera de f
f’: D R R / x f’(x)
Del mismo modo, si f’ es derivable en D, se denomina derivada
segunda a la función
f’’ = (f’)’: D R R / x (f’(x))’
Sucesivamente, se define la derivada n-ésima de f, si existe,
como
f (n) = (f(n-1))’ : D R R / x (f(n-1 ( x) )’
Derivada de orden superior
15. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivadas de orden superior
45
5)(')( xxfxxf
....................................
0')0(12)(
120')0(12)(
120')60()(
60')20()('''
20')5()(''
2
23
34
xf
xxf
xxxf
xxxf
xxxf
VI
V
IV
A partir de allí todas las derivadas son cero.
Derivada de 2º orden
Derivada de 3º orden
Derivada de 4º orden
Derivada de 5º orden
Derivada de 6º orden
16. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivadas de orden superior
Ejemplo
exp(x)x
:exp
y
RR
0,,
.........................................................
'''
''
)'('
)(
nZney
ey
ey
eeyey
xn
x
x
xxx
17. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de orden superior
43
1 2y x
3 33 2 2 3
' 4 1 2 6 24 1 2y x x x x
Ejemplo
18. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivación implícita
En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto una
representación explícita de la función, es decir y = f(x).
Por ejemplo:
3)3
)2()2
54)1 3
xxy
xxseny
xxy
Sin embargo, no siempre es posible tener la representación explícita
de una función y se tiene una representación implícita de la forma,
σ(x,y) = Ƭ(x,y) que determina a y como función de x.
Por ejemplo:
xy
ey
xyxseny
yx
x)3
)cos()(x)2
1)1 22
19. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
, ,
, ,
x y x y
d x y d x y
dx dx
Si tenemos una representación implícita de la forma
lo que se hace para derivarla es:
1).- Diferenciar ambos lados de la ecuación para
obtener una nueva ecuación
2).- Resolver la
dy
dx
y x
ecuación anterior para .
La respuesta usualmente involucra a y a .
Derivación implícita
20. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
2 ,
2
2
1 2
1 2
dy
Dada la ecuación x xy y encontrar
dx
d x xy d y
dx dx
d xydx dy
dx dx dx
dy dx dy
x y
dx dx dx
dy dy
x y
dx dx
1).-
Derivación implícita
21. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
2
1 2
1
2
dy
x xy y
dx
dy dy
x y
dx dx
dy
dx
dy y
dx x
Dada la ecuación , encontrar
2).- De la ecuación nueva
despejamos ,
Derivación implícita
22. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
3
3
2
2
cos
cos
cos
cos 3
cos sin 3
dy
x y y x
dx
d x y y dx
dx dx
dx d y dy
y x x
dx dx dx
dy dy
y x y x
dx dx
Dada la ecuación , encontrar
1).-
Derivación implícita
23. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
3
2
2
cos
cos sin 3
3 cos
1 sin
dy
x y y x
dx
dy dy
y x y x
dx dx
dy
dx
dy x y
dx x y
Dada la ecuación , encontrar
2).- De la ecuación nueva
despejamos ,
Derivación implícita
24. Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE
INVESTIGACIÓN SUGERIDAS
Se recomienda complementar lo expuesto con la
revisión y análisis del material bibliográfico
contenido en los siguientes enlaces:
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Y
CIRCULARES
http://books.google.com.pe/books?id=pjqu8eEB_XwC&pg=PA327
&dq=DERIVADAS+DE+FUNCIONES&lr=lang_es&as_drrb_is=b&a
s_minm_is=1&as_miny_is=1990&as_maxm_is=4&as_maxy_is
