DOCUMENTO

1. Derivada de una función real valuada
Demetrio Ccesa Rayme

2. 1. Derivada de una función real
1.1 Derivada de una función en un punto
Definición
La derivada de una función 𝑓 con respecto a la variable 𝑥 esta definida por:
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
siempre que el límite exista.
Nota: La RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO es la
función derivada evaluado en un punto, es decir,
𝑅. 𝐶. 𝐼 = 𝑓′ 𝑎

3. 1. Derivada de una función real
1.1 Derivada de una función en un punto
Ejemplo 1: Calcule la derivada de usando la definición.
2
)( xxf 
Solución
       
  x
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
hh
2
2
lim
2
lim
limlim'
0
222
0
22
00











Ejemplo 2: Calcule la derivada de las siguientes funciones usando la definición.
  baxxf 
  3
xxf 
  xxf 
  cbxaxxf  2

4. 1. Derivada de una función real
1.2 Interpretación geométrica de la derivada
La derivada de una función en un punto se puede representar como la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto:

5. 1. Derivada de una función real
1.3 Notación de derivada
Las siguientes notaciones son equivalentes para la derivada:
La primera notación se debe a Leibniz, la segunda es que solemos usar en
matemáticas modernas y la última es la utilizada por Newton.
Gottfried Leibniz Isaac Newton

6. 1. Derivada de una función real
1.4 Derivada y función derivada
Es necesario que distingamos claramente la derivada de una función en un
punto, que es un número, y la función derivada, que es una función. La
función derivada de una función (que se representa como 𝑓′ ) es la que nos
da, para cada valor de la variable, la derivada.
𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝒇´ 𝒙 = 𝟐𝒙
𝑓´ 5 = 2 5
𝒇´ 𝟓 =10
Función derivada
Derivada de una función en un punto
Ejemplo 3:

7. 1. Derivada de una función real
1.5 Propiedades
1. Si f y g son dos funciones derivables entonces
f ± g también lo es:
𝒇 ± 𝒈 ´ 𝒙 = 𝒇´(𝒙) ± 𝒈´(𝒙)
2. Si f es una función derivable y A un número real
cualquiera, entonces A . f también lo es: :
𝑨 . 𝒇 ´ 𝒙 = 𝑨 . 𝒇´(𝒙)

8. Ejemplo 4:
1. Derivada de una función real
𝑆𝑖 𝑓 𝑥 = 2𝑥−4, calcula 𝑓´ 𝑥 y evalúa en x=3
𝑨 . 𝒇 ´ 𝒙 = 𝑨 . 𝒇´(𝒙) 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
2𝑓′ 𝑥 = 2lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 2 lim
ℎ→0
1
(𝑥 + ℎ)4 −
1
𝑥4
ℎ
𝒇 𝒙 = 𝟐
𝟏
𝒙 𝟒
= 2 lim
ℎ→0
1
𝑥4 + 4𝑥3ℎ + 6𝑥2ℎ2 + 4𝑥ℎ3 + ℎ4 −
1
𝑥4
ℎ

9. Ejemplo 4:
1. Derivada de una función real
𝑆𝑖 𝑓 𝑥 = 2𝑥−4
, calcula 𝑓´ 𝑥 y evalúa en x=3
= 2 lim
ℎ→0
𝑥4
− 𝑥4
− 4𝑥3
ℎ − 6𝑥2
ℎ2
− 4𝑥ℎ3
− ℎ4
𝑥8 + 4𝑥7ℎ + 6𝑥6ℎ2 + 4𝑥5ℎ3 + 𝑥4ℎ4
ℎ
= 2 lim
ℎ→0
−4𝑥3ℎ − 6𝑥2ℎ2 − 4𝑥ℎ3 − ℎ4
𝑥8 + 4𝑥7ℎ + 6𝑥6ℎ2 + 4𝑥5ℎ3 + 𝑥4ℎ4 ℎ
= 2 lim
ℎ→0
−4𝑥3 − 6𝑥2ℎ − 4𝑥ℎ2 − ℎ3
𝑥8 + 4𝑥7ℎ + 6𝑥6ℎ2 + 4𝑥5ℎ3 + 𝑥4ℎ4
Aplicando lim:
= 2(
−4𝑥3
𝑥8
) = 2(−4𝑥−5) 𝑓´ 𝑥 = −8𝑥−5
Evaluando x=3:
𝑓´ 3 = −0,03

10. Problema de Aplicación
En un reconocido Café se estimó que los costos totales respecto a la
producción de tazas de café Juan Valdez por hora, está dada por 𝐶 𝑥 =
0,10𝑥2 + 0,17𝑥 + 3,02 . De a cuerdo a ello, se desea calcular el crecimiento de
una función costo en relación con la variable, y el costo de producción de 20
tazas de café, interpreta.
𝐶′ 𝑥 = lim
ℎ→0
0,20𝑥 + 0,10ℎ + 0,17
𝐶′ 𝑥 = 0,20𝑥 + 0,17 Función derivada
𝐶′ 20 = 0,20(20) + 0,17
𝐶′ 20 = 4,17
Costo de producción de 20 tazas de café
Derivada de una función en un punto