DOCUMENTO

1. CÁLCULO DE
DETERMINANTES
DEMETRIO CCESA RAYME

2. DEFINICIÓN: El determinante es un número
real que se asocia a toda matriz cuadrada A;
denotado por:







125
73
A











032-
41-5
702
B


1A
67B
|A|, det(A), D(A)

3. Pero… ¿cómo se obtiene el
determinante de una matriz?






125
73
Así:
A










032-
41-5
702
B
- - - + + +
METODO DE SARRUS
=
=
=
=
3 . 12 5 . 7
0 + 0 + 105
0 – 24 – 14
-
-
=
=
1
67
+
-











2-
5
2
B











3
1-
0
B

4. CALCULO DE UN DETERMINANTE DE
ORDEN 3 POR MEDIO DE COFACTORES
Ó MÉTODO DE LAPLACE











310
2-43
1-27
A
Se pueden elegir filas o columnas, pero es
preferible elegir la tercera fila por tener ceros
en su conformación.

5. 










310
2-43
1-27
A
A (-1)0(-1)0 2 - 1
4 - 2 (-1)1(-1)0 23
17


+=
3 3
+ (-1)3(-1)0
3
43
27

310
2-43
1-27
310
2-43
1-27
310
2-43
1-27
 
+1 +2 +3
A =
31a 32a 33a
. . .
(-1)000 10
5
.(-11)0 30+ + (-1)0
6
(22)0 = 770

6. OTRO EJEMPLO:











4-04
023
175
B Tomamos la Segunda
columna
B (-1)7(-1)0
44
03

(-1)2(-1)0
44
15

+=
1 2
+ (-1)0(-1)0
3
03
15
  
+2 +2 +2
B =
12b 22b 32b
. . .
(-1)0 70
3
(-12)0 20 + (-1)0
4
(-24)0 =
4-04
023
175
4-04
023
175
4-04
023
175
360+ (-1)0
5
00 (-3)0. . .

7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1ra. Si en A existe una fila, o columna, nula, entonces |A| = 0
2da. Si en A existen dos filas, o columnas, idénticas entonces |A| = 0
0 0
5 7
8 0 4
7 0 9
9 0 10
= 0 = 0
5 5
9 9
4 9 5
2 -1 7
4 9 5
= 0 = 0

8. 3ra. Si A es triangular superior, o inferior, entonces |A| está dado
por el producto de los elementos de la diagonal principal.
4ta. Si B es una matriz obtenida sumando una fila, o columna, a
otra fila, o columna, de A entonces |B| = |A|.
1 0
3 4
1 -2 3
0 4 5
0 0 -6
= 1.4 = 4 = 1.4.(-6) = -24
1 -2 3
A 0 4 5
3 0 -6
=
R1 + R3
1 -2 3
B 0 4 5
4 -2 -3
=
|A| = - 90 |B| = - 90

9. 5ta. Si B es una matriz que se obtiene al intercambiar dos filas, o
dos columnas, de A, entonces |B| = - |A|.
6ta. Si B es una matriz que se obtiene multiplicando una fila, o
columna, de A por un número “k”, entonces |B| = k |A|.
2 3 -4
2 1 5
1 1 1
A
 
 
 
  








 2 3 4
2 1 5
1 1 1
R1  R3
= B
1 -2 3
A 0 4 5
3 0 -6
=
-3R2
1 -2 3
B 0 -12 -15
3 0 -6
=
|A| = - 90 |B| = - 270
|A| = - 3 |B| = + 3

10. 7ma. Si “k” es un número y A es una matriz de orden “n”, entonces
se verifica que |kA| = kn |A|.
5 1
A=
4 3 = 11
|B| = 99
B = 3A
5 1 15 3
B= 3
4 3 12 9


11. 0A 





639
284










305412
14-7
592
x 7
x 6

12. BABA .. 
AAt

nn
AA 
n
n
A
A
1

1mI
8.-
9.-
10.-
11.-
12.- (De orden m)
UTILIZANDO LAS PROPIEDADES ANTERIORES SE PUEDEN
DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES:

13. MÉTODO DE CRAMER
Esta regla es útil para determinar las soluciones de un sistema
de ecuaciones compatibles con solución única.
Sea el sistema de ecuaciones: 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a x a y a z m
a x a y a z p
a x a y a z m
   

  
   
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a

12 13
22 23
32 33
m a a
p a a
q a a
x

11 13
21 23
31 33
a m a
a p a
a q a
y

11 12
21 22
31 32
a a m
a a p
a a q
z

Luego: se llama Determinante de la Matriz
de Coeficientes del Sistema.
Si  0, se demuestra que: