Aplicaciones de la Integral Definida ccesa007

Cálculo diferencial e integral de una variable
APLICACIONES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
DEMETRIO CCESA RAYME

A
h
Cilindro Recto
V = Ah
r
h
Cilindro circular
V = r2h
a
b
c
Paralelepípedo
Rectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá
descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos
elementales como los anteriores

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Sólido de revolución es el que se obtiene al
girar una región del plano alrededor de una
recta del plano llamada eje de revolución.

Diferencial de
volumen
∆xi
f(xi)
2
[ ( )]i i iV f x x   
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO

TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo
[a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del
sólido obtenido al girar alrededor del eje X la
región limitada por la curva y= f(x), las rectas
x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i i
n
i
b
a
V f x x
f x dx


  
 



Método de los discos
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos,
usar una de las fórmulas siguientes, como se muestra en la figura 7.15.

Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al rotar
alrededor del eje X la región acotada por la curva
y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al rotar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,
y = 1.
y

3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R,
alrededor del eje y.
 







y
xyyxR
2
0412
;/,

Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la región
limitada por la curva x = g(y) y las rectas
x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y
será igual a:
2
[ ( )]
d
c
V g y dy 

MÉTODO DE LA ARANDELA
Cuando la región a girar está limitada por dos
funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las
rectas x=a y x=b.
a bx
y
x
(*)
Diferencial de
volumen
f(xi)
g(xi)
xi
i
22
i x))]x(g[)]x(f[(V 

TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales
que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen
del sólido generado al rotar alrededor del eje X la
región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y
x=b será:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i i
n
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx


   
  



Ejemplo 4:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje X la región acotada por la
parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

Ejemplo 5

Ejemplo 6:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje Y la región limitada por las curvas
x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y

x
xi
A(b)A(a)
ba xi
A(xi)
El diferencial
de volumen
A(xi)
xi
Vi = A(xi) xi
Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución

El volumen del sólido será aproximadamente:
1 1
Δ ( ) Δ
n n
i i i
i i
V A x x
 
 
Se define el volumen V como el límite de la suma
de Riemann






1
lim ( )Δ
( )
n
i i
n
i
b
a
V A x x
A x dx

Volumen de sólidos con secciones transversales conocidas

Ejemplo 7: Calcular el volumen de una esfera de
radio R.
x
y
x
R
y

Ejemplo 8: Utilice la definición anterior para
calcular el volumen de una pirámide de altura h y
base cuadrada de lado b.
h
b
yi

Ejemplo 9:
Halle el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3,
alrededor del eje y.
MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS

MÉTODO DE LOS CASCARONES
CILINDRICOS
En algunos casos se desea calcular el volumen de
una región limitada por una función y = f(x) al
girar alrededor del eje y, para lo cual se deben
hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en
términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es
muy complicado por lo que se usará otro método:
los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el
elemento diferencial
de volumen?

xi
xi
f(xi)
Diferencial de
volumen
xi xi
f(xi)
Para espesores lo suficientemente pequeños, el
volumen será igual a:
iiii xxfxV  )(2

TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo
[a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en
[a, b], si la región limitada por la curva
y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira
alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:
1
lim 2 ( )
2 ( )
n
i i i
n
i
b
a
V x f x x
x f x dx


  
 



Método de las capas
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de las capas,
usar alguna de las fórmulas siguientes

Comparación de los métodos de los discos y de las capas
Los métodos de los discos y de las capas pueden distinguirse porque para usar el
método de los discos, el rectángulo representativo siempre es perpendicular al eje de
revolución, y para el método de las capas, el rectángulo representativo siempre es
paralelo al eje de revolución, como se muestra en la figura 7.32.

Ejemplo 10:
Determine el volumen del sólido de revolución
generado al girar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la
recta y = 2.

Ejemplo 11:
La región limitada por la curva y = x2, las rectas
y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3.
Calcule el volumen generado.
y = -3

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