• Save
EE1300 week 10 (Djairam)
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

EE1300 week 10 (Djairam)

on

  • 501 views

 

Statistics

Views

Total Views
501
Views on SlideShare
329
Embed Views
172

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

2 Embeds 172

http://ocw.tudelft.nl 171
http://accp-ocw.tudelft.nl 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

CC Attribution-NonCommercial-ShareAlike LicenseCC Attribution-NonCommercial-ShareAlike LicenseCC Attribution-NonCommercial-ShareAlike License

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

EE1300 week 10 (Djairam) EE1300 week 10 (Djairam) Presentation Transcript

  • Lineaire SchakelingenEE1300Dhiradj Djairam29-7-2011 Delft University of Technology Challenge the future
  • Vandaag• Opfrissen 9e college• Nieuwe onderwerpen: • Vermogensfactor • Complex vermogen • Vermogensfactorcorrectie • Magnetische gekoppelde circuits • Koppelfactor • De ideale transformator• Samenvatting• Volgende keer EE1300: Lineaire Schakelingen 2
  • Opfrissen vorige week 2e orde circuits EE1300: Lineaire Schakelingen 3
  • Opfrissen 9e college – AC analyse• Sinusvormige functies = X M sin (ωt + θ ) x (t )• Kunnen voor of achter lopen op elkaar• Bronnen: sinusvormig • in steady-state: dan alle andere spanningen en stromen ook sinusvormig • recht-toe-recht-aan oplossen is bewerkelijk• Daarom complexe bronnen invoeren EE1300: Lineaire Schakelingen 4
  • Opfrissen 9e college – AC analyse• Via Euler complexe bronnen geïntroduceerd v ( t ) = VM e jωt• De respons is dan ook complex i ( t ) = I M e j (ωt +φ )• Voordeel is dat een differentiaalvergelijking verandert in een algebraïsche vergelijking di ( t ) VM + Ri ( t ) = ωt jφL VM cos IM e = dt R + jω L EE1300: Lineaire Schakelingen 5
  • Opfrissen 9e college – AC analyse• Omdat in elke term e jωt voorkomt wordt deze weggelaten • invoering van fasor-notatie • alleen magnitude en fase VM ∠θ• Een DV wordt dan heel eenvoudig opgeschreven di ( t ) L + Ri ( t ) = ωt VM cos jω LI + RI = V dt EE1300: Lineaire Schakelingen 6
  • Opfrissen 9e college – AC analyse• De strategie werd dan• 1. Schrijf de DV’s op en transformeer deze vergelijkingen met fasoren naar algebraïsche vergelijkingen• 2. Los deze algebraïsche vergelijkingen op• 3. Transformeer de nu bekende fasoren terug naar het tijdsdomein EE1300: Lineaire Schakelingen 7
  • Opfrissen 9e college – AC analyse• Fasorrelaties en fasordiagrammen • Stroom tov spanning voor R, L, C • welke loopt voor? • welke component heeft de meeste invloed?• Impedanties en admittanties • reële en imaginaire componenten • geen fasor! Element Phasor Eq. Impedance R V = RI Z=R V = jωLI Z = j ωL L 1 1 C V= I Z= j ωC j ωC EE1300: Lineaire Schakelingen 8
  • Opfrissen 9e college – vermogens in AC• Instantaan vermogen • twee termen: 1 constant en 1 tijdsafhankelijk• Gemiddeld vermogen • integreren over een periode en delen door de periode t0 + T 1 P= T ∫ p ( t )dt t0 1 • voor een resistief vermogen is het P = VM I M • voor een puur reactief netwerk is het 0 2 EE1300: Lineaire Schakelingen 9
  • Opfrissen 9e college – vermogens in AC• Maximale gemiddelde vermogensoverdracht • dat was veel rekenen 2 1 Voc RL PL = 2 ( RTh + RL )2 • onder de voorwaarde Z L = L + jX L = Th − jX Th = Th R R Z* EE1300: Lineaire Schakelingen 10
  • Opfrissen 9e college – vermogens in AC• Effectieve waarde of RMS waarde • gemiddeld opgenomen vermogen hangt af van het type bron • DC  I 2R • Sinusvormig  (1/ 2 ) I M R 2• Met de RMS waarde rekenen we de waarde uit die geleverd zou worden door een DC bron 1 t0 −T 2 IM I eff = T ∫t0 i ( t ) dt I eff I= = rms 2 = Vrms I rms cos (θ v − θi ) P EE1300: Lineaire Schakelingen 11
  • Vermogensberekeningen in AC circuits the sequel Steady-state situaties EE1300: Lineaire Schakelingen 12
  • Schijnbaar vermogen,vermogensfactor• Van vorige week (en net) weten we dat voor het gemiddelde vermogen in stationaire AC toestand geldt: = Vrms I rms cos (θ v − θi ) P• Hierin noemen wij Vrms I rms het schijnbaar vermogen • eenheid is volt-amperes (VA of kVA) • alsof alle componenten resistief zijn• De andere term cos (θ v − θi ) is de vermogensfactor P =pf = cos (θ v − θi ) cos (θ v − θi ) = θ Z L cos Vrms I rms EE1300: Lineaire Schakelingen 13
  • Vermogensfactorfase• We noemen de impedantiefase ook vaak de power factor angle of vermogensfactorfase (ook wel arbeidsfactor) cos (θ v − θi ) = θ Z L cos• Puur resistief: θz = 0  pf = 1• Puur reactief: θz = 90  pf = 0• Combinaties van R, L en C mogelijk zodat bij een bepaalde frequentie geldt θz = 0 EE1300: Lineaire Schakelingen 14
  • Vermogensfactor bij RC en RL• Uiteraard kan de fase variëren tussen 90 en 0 • voor RC  -90 < θz < 0 • voor RL  0 < θz < 90• Omdat geldt dat cos θ Z L cos −θ Z L = ( ) en dit verwarring kan opleveren, zeggen we van de pf dat ie • voorloopt, voor-ijlt, leading • achterloopt, na-ijlt, lagging • dit heeft betrekking op de fase van de stroom tov die van de spanning• RC: stroom loopt voor op de spanning, dus “leading pf” EE1300: Lineaire Schakelingen 15
  • Voorbeeld • Industriële belasting verbruikt 88 kW bij een achterlopende pf van 0.707 via een 480-V rms verbinding. De resistantie van de verbinding naar de centrale is 0.08 Ω. • Hoeveel vermogen moet er geleverd worden door de centrale? • Hoeveel als de pf verbeterd wordt naar 0.9 achterlopend? PLI rms = = 259.3 A rms Vrms ⋅ pfPS PL + ( 0.08 ) I rms = 93.38 kW = 2 EE1300: Lineaire Schakelingen 16
  • Voorbeeld (2) • Industriële belasting verbruikt 88 kW bij een achterlopende pf van 0.707 via een 480-V rms verbinding. De resistantie van de verbinding naar de centrale is 0.08 Ω. • Hoeveel vermogen moet er geleverd worden door de centrale? • Hoeveel als de pf verbeterd wordt naar 0.9 achterlopend? PLI rms = = 203.7 A rms Vrms ⋅ pfPS PL + ( 0.08 ) I rms = 91.32 kW = 2 EE1300: Lineaire Schakelingen 17
  • Voorbeeld (3)• Een verandering in de pf heeft dus grote gevolgen voor het vermogen dat gegenereerd moet worden.• Een lage pf resulteert in een hogere stroom  verbindingsverliezen• Het is dus zaak om de pf zo hoog mogelijk te krijgen EE1300: Lineaire Schakelingen 18
  • Complex vermogen • We voeren nog een aantal begrippen in • complex vermogen S S = Vrms I* rms • dit kan geschreven worden als=S (Vrms ∠θv )( I rms ∠ − θi ) = Vrms I rms ∠θ v − θi • ofS Vrms I rms cos (θ v − θi ) + jVrms I rms sin (θ v − θi ) S P + jQ = EE1300: Lineaire Schakelingen 19
  • Complex vermogen (2) S P + jQ =• P is het actief of werkelijk vermogen• Q is het reactief vermogen• magnitude van S is schijnbaar vermogen• fasehoek van S is de vermogensfactorfase • eenheid van S is ook VA• eenheid P is watt• eenheid Q is volt-amperes reactive, var EE1300: Lineaire Schakelingen 20
  • Complex vermogen (3) S P + jQ == Re ( S) Vrms I rms cos (θ v − θi ) = Im ( S) Vrms I rms sin (θ v − θi ) P = Q = • Voor een R geldt dat cos(θv-θi) = 1 en sin(θv-θi) = 0 • dus R absorbeert actief vermogen P > 0 • maar geen reactief vermogen Q = 0 EE1300: Lineaire Schakelingen 21
  • Complex vermogen (4) S P + jQ == Re ( S) Vrms I rms cos (θ v − θi ) = Im ( S) Vrms I rms sin (θ v − θi ) P = Q = • Voor een L geldt dat cos(θv-θi) = 0 en sin(θv-θi) = 1 • dus L absorbeert geen actief vermogen P = 0 • maar wel reactief vermogen Q > 0 EE1300: Lineaire Schakelingen 22
  • Complex vermogen (5) S P + jQ == Re ( S) Vrms I rms cos (θ v − θi ) = Im ( S) Vrms I rms sin (θ v − θi ) P = P = • Voor een C geldt dat cos(θv-θi) = 0 en sin(θv-θi) = -1 • dus R absorbeert geen echt vermogen P = 0 • Q < 0, huh? • Voor een capaciteit geldt dus dat het reactief vermogen negatief is • een capaciteit levert dus reactief vermogen • dit gaan we straks gebruiken om iets aan lage pf’s te doen EE1300: Lineaire Schakelingen 23
  • Complex vermogen (6) • We zien dus een verschil tussen • resistanties <> capaciteiten, inductanties • reactief vermogen is gerelateerd aan opslag in elementen • Stel: we weten wat de impedantie/admittantie is van een netwerkelement, wat is dan het complex vermogen? =S Vrms I* rms ( Irms= Z ) I* rms I rms I*= I= I rms ( R + jX ) = P + jQ rms Z 2 rms Z 2 *  Vrms  Vrms 2 S = I* =   =* =Vrms Y = ( G + jB ) =+ jQ 2 * 2 * Vrms rms Vrms Vrms P  Z  Z EE1300: Lineaire Schakelingen 24
  • Complex vermogen (6) • Als we bijv. een capaciteit hebben • admittantie: jωC S= V Y = V ( jωC ) = − jωCVrms 2 * 2 * 2 rms rms Qtan (θ v − θi ) = P EE1300: Lineaire Schakelingen 25
  • Vermogensfactorcorrectie (1)• We hadden eerder gezien dat het loont om een pf  1 te hebben • hoe kunnen we dit verhogen als de pf relatief laag is?• In de industrie zijn de pf’s praktisch altijd “lagging”• We willen dus de scherpe hoek kleiner maken • of P groter maken • of Q kleiner maken EE1300: Lineaire Schakelingen 26
  • Vermogensfactorcorrectie (2) • We gaan dus Q proberen kleiner te maken • hier gebruiken we dus het feit dat capaciteiten een negatieve Q hebben • Als we definiëren:Sold =old + jQold = old ∠θ old P S Snew =old + jQnew = new ∠θ new P S • Dan geldt voor het verschil tussen oud en nieuwSnew − Sold = ( Pold + jQnew ) − ( Pold + jQold ) = j ( Qnew − Qold ) = jQcap EE1300: Lineaire Schakelingen 27
  • Vermogensfactorcorrectie (2)Snew − Sold = ( Pold + jQnew ) − ( Pold + jQold ) = j ( Qnew − Qold ) = jQcap• Dit geeft ons dus de waarde van de capaciteit die we moeten toevoegen EE1300: Lineaire Schakelingen 28
  • Voorbeeld (1) • Verbruikt 50 kW bij een achterlopende pf van 0.8. Het wordt geleverd met 220∠0° − V rms • We willen de pf verhogen tot 0.95 achterlopend door een condensatorenbank parallel te plaatsencos −1 0.8 36.87° = θ oud = 36.87° Qoud Pold tan θ old 37.5 kvar =Sold =old + jQold = P 50000 + j 37500 Scap= 0 + jQcap EE1300: Lineaire Schakelingen 29
  • Voorbeeld (2) • We willen de pf verhogen tot 0.95 achterlopend door een condensatorenbank parallel te plaatsen = cos −1 ( pf= cos −1 ( 0.95 ) 18.19° θ new new ) = Qnew Pold tan θ new 16430 var = Qcap −ωCVQnew − Qoud = = 2 rms −ωCV16430 − 37500 = 2 rms C = 1155 μF EE1300: Lineaire Schakelingen 30
  • Magnetisch gekoppelde circuits 1e stapjes naar de wereld van transformatoren EE1300: Lineaire Schakelingen 31
  • Wederzijdse inductie (1)• Twee wetten zijn van belang voor inductie• wet van Ampère • een stroom zorgt voor magnetisch veld• wet van Faraday • als een magnetisch veld verbonden is met een circuit • én het magnetisch veld verandert in de tijd • dan wordt er een spanning gecreëerd in het circuit (emf)• Dit gebeurt eigenlijk overal wel een beetje, maar het effect wordt versterkt in spoelen EE1300: Lineaire Schakelingen 32
  • Wederzijdse inductie (2)• We hebben een circuit met een stroom i en een spoel met N windingen • het opgewekte magnetische veld wordt aangeduid met een flux φ • dan geldt voor de koppeling λ = Nφ• Voor lineaire circuit geldt L λ = Li φ= i N EE1300: Lineaire Schakelingen 33
  • Wederzijdse inductie (3)• Volgens Faraday is de spanning gerelateerd aan de verandering van de flux en dus ook aan de verandering in de koppeling dλ dλ d di dL v= = = v ( Li ) L + i = dt dt dt dt dt• In onze gevallen verandert de L niet met de tijd • voor een ideale spoel di v=L dt EE1300: Lineaire Schakelingen 34
  • Wederzijdse inductie (4)• Dit is nu voor 1 spoel; wat als er een 2e dicht bij komt met N2 windingen?= N1φ L1i1λ1 = d λ1 di1= = L1v1 dt dt• Omdat we met meerdere inductanties te maken krijgen noemen we L1 de zelf-inductantie van spoel 1 EE1300: Lineaire Schakelingen 35
  • Wederzijdse inductie (5) • Wat kunnen we nu zeggen voor v2? d λ2 d d   L1   N 2 di1 di1= =v2 ( N=  N 2  = N L1 dt L21 dt 2φ )  i1    = dt dt dt   N1   1 • We zien in deze formule dat de spanning v2 evenredig is met de verandering van de stroom i1 λ2 = N 2φ • L21 = wederzijdse inductie EE1300: Lineaire Schakelingen 36
  • Wederzijdse inductie (6)• Nu sluiten we een stroombron i2 aan op de rechterklemmen• Nu dragen beide stromen bij aan de flux λ1 = L1i1 + L12i2 λ2 = L21i1 + L2i2• Faraday zegt dan d λ1 di1 di2 d λ2 di1 di2= = L1v1 + L12 = = L21 v2 + L2 dt dt dt dt dt dt EE1300: Lineaire Schakelingen 37
  • Wederzijdse inductie (7)• We behandelen wederom alleen maar lineaire systemen • dus L12=L21=M • we zien in beide vgl. een “eigen”-term en een wederzijdse term• Als de stroom i2 wordt omgedraaid, dan heeft dat consequenties voor de wederzijdse term d λ1 di di d λ2 di1 di2=v1 = L1 1 − M 2 v2 == + L2 −M dt dt dt dt dt dt EE1300: Lineaire Schakelingen 38
  • Wederzijdse inductie (8)• Hoe geven we dit simpel aan in schema’s? EE1300: Lineaire Schakelingen 39
  • Wederzijdse inductie (9)• Wat gebeurt er als we sinusoide bronnen aanbieden? • de spanningen en stromen zijn van de vorm V1e jωt V2 e jωt I1e jωt I 2 e jωt • V1, V2, I1 en I2 zijn fasoren• Als we dit invullen in de vgl. van slide 37-“WI(6)” = jω L1I1 + jω MI 2 V1 = jω L2 I 2 + jω MI1 V2 EE1300: Lineaire Schakelingen 40
  • Energieanalyse in m.g.c. (1)• We gaan kijken naar de energie en het vermogen in onderstaande figuur• Op t<0: spanningen en stromen nul • op t=0: i1 op laten lopen tot I1 op t=t1 en de rechterkant open tak • i2 = 0 EE1300: Lineaire Schakelingen 41
  • Energieanalyse in m.g.c. (2)• Het instantaan vermogen aan de linkerkant is  di1 ( t )  p ( t ) 1 ( t ) i1 ( t ) = v=  L1  i1 ( t )  dt • De opgeslagen energie in het gekoppelde circuit op t = t1 wanneer i1 = I1 is t1 I1 1 ∫ v1 ( t ) i1 ( t )dt = ∫= L1i1 ( t )di1 ( t ) L1 I12 0 0 2 EE1300: Lineaire Schakelingen 42
  • Energieanalyse in m.g.c. (3)• Op t = t1 laten we i2 oplopen tot I2 op t=t2, terwijl i1 constant blijft op I1 • de energie geleverd aan de rechterkant t2 I2 1 ∫ v2 ( t ) i2 ( t )dt = ∫= L2i2 ( t )di2 ( t ) 2 L2 I 2 t1 0 2• Tijdens t1  t2 geldt voor v1 di1 ( t ) di2 ( t ) v1 ( t ) = L1 +M dt dt EE1300: Lineaire Schakelingen 43
  • Energieanalyse in m.g.c. (4) di1 ( t ) di2 ( t )• i1 is constant tijdens die periode v1 ( t ) = L1 +M dt dt t2 t2 di2 ( t ) I2 ∫ v= ∫ M = MI1 ∫ di2 ( t ) MI1I 2 t1 1 ( t ) i1 ( t )dt t1 dt I1dt = 0• Als we alle drie termen nu bij elkaar optellen, dan geldt voor t >t2 1 1 w = L1 I1 + L2 I 2 + MI1 I 2 2 2 2 2 EE1300: Lineaire Schakelingen 44
  • Energieanalyse in m.g.c. (5) • In het algemeen geldt dus voor dit soort gekoppelde circuits: 1 1 w ( t ) = L1 i1 ( t )  + L2 i2 ( t )  + Mi1 ( t ) i2 ( t ) 2 2 2   2   • Omdat het netwerk passief is, moet de opgeslagen energie niet- negatief zijn • Deze vergelijking kan je herschrijven (blz 519) 2 1 M  2 1  2 M w ( t ) =  L1 −  i1 + L2  i2 + i1  M ≤ L1 L2 2 L2  2  L2  EE1300: Lineaire Schakelingen 45
  • Energieanalyse in m.g.c. (6)• De koppelfactor wordt nu gedefinieerd als M k= L1 L2• k ligt tussen 0 en 1• De koppelfactor geeft aan hoeveel flux van een spoel gekoppeld is met de andere spoel • k=1 betekent alle flux van spoel 1 gaat door spoel 2 • k>0.5  sterke koppeling • k<0,5  zwakke koppeling • k=0  geen koppeling EE1300: Lineaire Schakelingen 46
  • Voorbeeld (1)• k=1• L1 = 2.653 mH• L2 = 10.61 mH• wat is de opgeslagen energie op t = 5 ms? = M = 5.31 mH L1 L2 EE1300: Lineaire Schakelingen 47
  • Voorbeeld (2)• In het frequentiedomein • XL1 = 1 Ω • XL2 = 4 Ω • XM = 2 Ω• De maasvergelijkingen worden: ( 2 + j1) I1 − j 2I2 = 24∠0° = 9.41∠ − 11.31° A I1 − j 2I1 + ( 4 + 4 j ) I 2 = 0 = 3.33∠ + 33.69° A I2 = 9.41cos ( 377t − 11.31° ) A i1 ( t ) = 3.33cos ( 377t + 33.69° ) A i2 ( t ) EE1300: Lineaire Schakelingen 48
  • Voorbeeld (3)• Op t = 5 ms • 377t = 1.885 radialen of 108 i1 ( t ) = 9.41cos (108° − 11.31° ) = −1.10 A i2 ( t ) = 3.33cos (108° + 33.69° ) = −2.61 A• En hiermee + de formule op slide 45 kan je de opgeslagen energie berekenen w ( t ) t =0.005 s = 22.5 mJ EE1300: Lineaire Schakelingen 49
  • Ideale transformator (1)• We hebben twee spoelen gewikkeld om een gesloten magnetisch kern• Voor de spanningen v1 en v2 geldt dφ dφv1 ( t ) = N1 dt v1 N1 dt N1 = = v2 N 2 dφ N 2 dφv2 ( t ) = N 2 dt dt EE1300: Lineaire Schakelingen 50
  • Ideale transformator (2)• We hebben twee spoelen gewikkeld om een gesloten magnetisch kern• Wet van Ampère zegt ∫ =  H dl iomsloten N1i1 + N 2i2 =• In ons geval H = 0 i1 N2 N1i1 + N 2i2 = 0 = − i2 N1 EE1300: Lineaire Schakelingen 51
  • Ideale transformator (3)• We geven een ideale transformator aan met• Hierin gaat i2 de andere kant op v1 N1 = N1i1 = N 2i2 v2 N 2 EE1300: Lineaire Schakelingen 52
  • Ideale transformator (4)• Hoe rekenen we hieraan? • complex • impedantie ZL• Hier geldt V1 N1 I1 N 2 = = V2 N 2 I 2 N1• V1 en I1 zijn dus N1 N2 V2 V1 = V2 I1 = I2 ZL = N2 N1 I2 EE1300: Lineaire Schakelingen 53
  • Ideale transformator (5)• Hiermee wordt de ingangsimpedantie 2 V1  N1 Z1 = =  ZL I1  N 2 • als we nu n definiëren als N2/N1 • dan geldt voor een ideale transformator in deze configuratie V2 ZL V1 = I1 = nI 2 Z1 = 2 n n• LET OP DE STIPPEN EN DE STROOMRICHTINGEN!! EE1300: Lineaire Schakelingen 54
  • Ideale transformator (6)• Een andere techniek om te analyseren V2 I1 = nI 2 V1 = n• Kunnen we er “één” geheel van maken? • hoe vertaal je de componenten van de linker- naar de rechterkant? • onze goede vriend Thévenin biedt hulp• We bekijken het netwerk bij de klemmen 2 – 2’ EE1300: Lineaire Schakelingen 55
  • Ideale transformator (7) V2 I1 = nI 2 V1 =• I2 = 0 dus I1 ook n V= V2 nV1 nVS1 oc = =• De equiv. impedantie vinden we door VS1 kort te sluiten ZTh = n 2 Z1• Dus nu hebben we alles EE1300: Lineaire Schakelingen 56
  • Ideale transformator (8)• Als vervangingschema geldt• Andersom geldt iets soortgelijks EE1300: Lineaire Schakelingen 57
  • Ideale transformator (9)• Terugkijkend naar de wet van Faraday • voor een ideale transformator geldt dφ dφ v1 ( t ) = N1 v2 ( t ) = N 2 dt dt • dus veranderende fluxen zorgen voor een spanning• Wat gebeurt er als we een dc spanning aanbieden aan de trafo? • flux is constant  v1 en v2 zijn nul• Wat gebeurt er als we een ac spanning aanbieden? • dan is de flux sinusvormig en veranderend in de tijd • dus spanning kunnen makkelijk omhoog of omlaag geschroefd worden EE1300: Lineaire Schakelingen 58
  • Samenvatting• onderwerpen: • Vermogensfactor • Complex vermogen • Vermogensfactorcorrectie • Magnetische gekoppelde circuits • Koppelfactor • De ideale transformator EE1300: Lineaire Schakelingen 59
  • Tentamen Q1• resultaten • 26 voldoendes • 54 onvoldoendes Tentamen Q1 Frequency 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cijfers (in halven) EE1300: Lineaire Schakelingen 60
  • Volgende keer• Onderwerpen: • Frequentieresponsie, overdrachtsfunctie • Polen, nulpunten, dB • Bodediagrammen• 29 november• wederom Dhiradj Djairam EE1300: Lineaire Schakelingen 61