División y Productos Notables

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División y Productos Notables

  1. 1. CEDART David Alfaro Siqueiros ÁLGEBRA Dyana Samantha Corrales Gutiérrez 1A
  2. 2. DIVISIÓN Definición : División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo y divisor. La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida. Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde: Que también puede expresarse: dividendo = cociente × divisor + resto Si la división es exacta, se obtiene un cociente exacto y el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo. Si la división es inexacta se obtiene un cociente completo y el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo. Nomenclatura de grados 1. D° = grado de dividendo 2. d° = grado de divisor 3. q° = grado de cociente 4. r° = grado de residuo o resto
  3. 3. Propiedades de la división 1. q° = D° - d° 2. En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. D° ≥ d° 3. En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor : d° > r° 4. En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto. r maximo = d° - 1 5. En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1 6. En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado del divisor : r° > d° 7. En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4 32 83654729 2 1220108 nm nmnmnmnm  = 8m7 − 5m5n − 4m3n3 + 6mn5 x xxxx 5 1510520 234   = 4x3 − x2 − 2x + 3 3 468 2 5104 a aaa  = 2a5 − 5a3 − 5 2 n xy yxxyxyyx 2 10862 2222  = x + 3y − 4 + 5xy 2 823 2   x xx = 22 242 3   x xx 32 372 34   a aaa 37 337114 2   y yy
  4. 4. PRODUCTOS NOTABLES Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Binomios a una potencia (x+3)n-El desarrollo da como resultado n+1 término. Los binomios a una potencia es la multiplicación de (n) veces un mismo binomio: (x+3) (x+3) (x+3)= (x+3)3 Binomio al cuadrado Se obtiene un trinomio (TCP) 1. Cuadrado del primer término. 2. Doble producto de los dos términos. 3. Cuadrado del segundo término. Binomio 1. Cubo del primero 2. Triple producto del cuadrado del primero por el segundo. 3. Triple producto del cuadrado del segundo por el primero. 4. Cubo del segundo.
  5. 5. Binomios a potencia superior (a+b)n Triángulo de Pascal (a+b)n El primero inicia con la potencia indicada y disminuye hasta cero. El segundo inicia con potencia cero y aumenta hasta la potencia indicada. Binomios con término común 1. Cuadrado del común. 2. Suma (o resta) de los diferentes. 3. Producto de los diferentes. Binomios conjugados 1. Cuadrado del primero. 2. (-) Menos cuadrado del segundo.
  6. 6. Desarrollar los siguientes productos notables: 1. (3𝑎3 + 4)2 = 9𝑎2 + 24𝑎 + 16 2. (2𝑥2 − 5)2 = 4𝑥4 − 30𝑥2 + 25 3. (7𝑚 + 8𝑛)2 =49𝑚2 + 112𝑚 + 64𝑛2 4. (4𝑎 + 5)3 = 64𝑎3 + 240𝑎 + 300𝑎 + 125 5. (2𝑎3 − 7)3 = 8𝑎9 − 84𝑎3 -196𝑎3 + 343 6. (5𝑚 + 4)3 = 125𝑚3 + 300𝑚 + 240 + 64 7. (3𝑥 + 2)4 =1(2x)^7+ 7(2x)^6(4y) + 21(2x)^5(4y)^2 + 35(2x)^4(4y)^3 + 35(2x)^3(4y)^4 + 21(2x)^2(4y)^5 + 7(2x)(4y)^6+ 1(4y)^7 8. (2𝑥2 − 4)5 = 1(2x2 )5 (−4y)0 + 5(2x2 )4 (4y)1 + 10(2x2 )3 (4y)2 + 10(2x2 )2 (4y)3 + 5(2x2 )1 (4y)4 + 1(2x2 x)0 (4y)5 9. (4𝑦3 + 3)6 = 1(4𝑦3 )6 (+3)0 + 5(4𝑦3 )5 (+3)1 + 15(4𝑦3 )4 (+3)2 + 20(4𝑦3 )3 (+3)3 + 15(4𝑦3 )2 (+3)4 + 6(4𝑦3 )1 (+3)5 + 1(4𝑦3 )0 (+3)6 10.(2𝑥 + 3)(2𝑥 + 5) = 4𝑥2 + 8 + 15 11.( 𝑥2 − 1)( 𝑥2 + 1) = 𝑥4 − 1 12.( 𝑚 + 4)( 𝑚 − 2) = 𝑚 − 6 + 8 13.(3𝑎 − 7)(3𝑎 + 7) = 9𝑎2 − 49 14.(5𝑎 + 3𝑏)(5𝑎 − 2𝑏) = 25𝑎2 − 1𝑏 − 6𝑏 15.(4𝑥3 + 3)(4𝑥3 − 3) = 16𝑥6 − 9 16.( 𝑎2 − 1)( 𝑎2 − 4) = 𝑎4 + 5 + 4 1. Investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras áreas. 2. Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad “Productos Notables” Creo que es lo mas fàcil que he visto hasta ahora en àlgebra aunque lo que siempre me fallo fueron los signos.

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