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Mecánica del cuerpo rígido

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  • 1. Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a“Ciencia Matemática” www.cienciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
  • 2. MECÁNICATOMO I : MECÁNICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RÍGIDO JULIO GRATTON q l g m
  • 3. PRÓLOGOHace casi 20 años tuve que dictar Física I para alumnos de las licenciaturas en Ciencias Biológi-cas y Geológicas. Encontré entonces que los estudiantes tenían poco interés por la Física. Creoque eso se debe a varias causas, entre las cuales la forma de presentar la materia tiene gran im-portancia. Por eso hice varios cambios en el programa y si bien mantuve los contenidos mínimosde la Mecánica, los complementé con varios tópicos que tradicionalmente no se trataban para darmayor énfasis a las aplicaciones, al uso de modelos y al empleo de argumentos de tipo dimen-sional y cualitativo. Así, sacrificando un poco la precisión y el rigor matemático, se puedenabordar a un nivel accesible para el estudiante temas interesantes e importantes que general-mente sólo se tratan en los cursos avanzados. En concordancia con lo anterior también encaré uncambio sustancial de la parte práctica del curso, reduciendo el énfasis sobre el aprendizaje deformalismos y métodos de cálculo y poniendo el acento sobre el reconocimiento de los aspectosfísicos de situaciones concretas de la realidad.Desde luego no tiene sentido que un biólogo o un geólogo intente hacer el trabajo del físico, peroes importante que sepa reconocer en qué aspectos de su disciplina lo puede ayudar el físico. Coneste fin se debe familiarizar con el lenguaje de la física para hacerse entender por el físico, parapoder asimilar la sustancia de los resultados de los trabajos de los físicos y para apreciar en quémedida le pueden ser útiles. Esto requiere, por cierto, conocer los conceptos fundamentales de laFísica y sus consecuencias e implicancias, pero no hace falta que domine las técnicas de cálculoni los formalismos más abstractos y elegantes que suelen ser predilectos por los físicos. Ademáses importante que adquiera una visión panorámica, de la mayor amplitud posible, acerca de lafenomenología. A diferencia del físico que en el resto de sus estudios tiene ocasión de rellenarlos vacíos que dejan los primeros cursos, el estudiante de biología o de geología dispone de sólodos materias (Física I y II) para adquirir su bagaje de conocimientos de Física y formarse unaimpresión de qué es esta ciencia y qué papel cumple en relación con sus disciplinas. Estas consi-deraciones fueron la guía para la elección de los temas y el enfoque del curso.Con el pasar del tiempo me di cuenta que como contrapartida del desinterés de los estudiantes deotras carreras por la Física, muchos físicos, tanto al nivel de estudiantes como de graduados, des-conocen las relaciones de la Física con otras ciencias. Esto se manifiesta por la dificultad queexperimentan cuando tienen que aplicar sus conocimientos a los fenómenos de la vida cotidiana.Por estos motivos creo que cambios parecidos a los que aporté al curso para estudiantes de Bio-logía y Geología también se deberían hacer en los cursos para estudiantes de Física.Los apuntes que preparé para las clases fueron muy solicitados por los alumnos, y debido a esteinterés decidí redactar las notas del curso, para que les sirvieran de apoyo en el estudio. Lafavorable acogida que tuvieron esas notas entre los estudiantes y los comentarios y observacio-nes de mis colegas, tanto físicos como geólogos y biólogos, me impulsaron a transformarlas enun libro que pueda servir como texto y obra de consulta para los estudiantes de Ciencias en gene-ral, tanto de la carrera de Física como de otras carreras y para los docentes de las correspondien-tes materias. Para ello fueron necesarias ciertas revisiones, completar algunos temas que habíanquedado cubiertos sólo parcialmente y agregar algunos otros. El presente trabajo es el resultadode ese proceso y en su forma actual no pretende ser más que una primera versión.Vista de la abundancia de textos introductorios de Mecánica, cabe preguntarse porqué habría queescribir uno más. Al respecto puedo decir que escasean los libros con un enfoque multidiscipli-nario como el que sigo en éste. Por ese motivo este libro se diferencia de la generalidad de lasobras de Física General, tanto por la selección de temas, como por la forma en que se abordan. A i
  • 4. los colegas que han tenido ocasión de leerlas, mis notas les parecieron novedosas y originales delpunto de vista didáctico, y son estas opiniones las que me decidieron a encarar este proyecto.Reseñaré ahora las principales diferencias entre este libro y los típicos textos de Física General.En primer lugar, como dije antes hago uso frecuente de argumentos dimensionales, de estimacio-nes aproximadas y de orden de magnitud y de modelos físicos simples. En segundo lugar, pro-curo aplicar los conceptos a fenómenos y situaciones de la naturaleza, así como a los artefactos ymáquinas creadas por el hombre. En tercer lugar, pongo más énfasis sobre la relación realidad-modelo y menos en la conexión modelo-solución matemática. En cuarto término, toco temas quese suelen considerar avanzados (y que habitualmente se tratan sólo para los estudiantes de Físicaen otras materias de esa carrera) pero los presento en forma simple y accesible. Finalmente, in-tento dar al estudiante un panorama amplio (aunque no lo pueda asimilar en profundidad) paraque perciba claramente la relación entre la Física y las otras Ciencias de la Naturaleza. En estosaspectos mi experiencia con el curso de Física I para Biólogos y Geólogos me mostró que losalumnos estudiaron la Física con más interés y si bien persistieron las habituales dificultades deaprendizaje, muchos estudiantes se sintieron motivados porque tomaron conciencia de la impor-tancia y la utilidad de la Física para sus disciplinas. Paso ahora a describir las principales dife-rencias entre el contenido de estas páginas y las presentaciones tradicionales.En el Capítulo 4 (Dinámica) discuto en detalle las fuerzas que actúan sobre un objeto que está enel seno de un fluido e introduzco el número de Reynolds. Como ejemplo se estudia el movi-miento de una pelota de fútbol pateada con chanfle. Las aplicaciones de los conceptos de im-pulso y cantidad de movimiento difieren de los habituales y aprovecho la ocasión para justificarleyes de escala de interés biológico.En el Capítulo 5 (Trabajo y Energía) trato las fuerzas disipativas con mayor amplitud que lousual. Como aplicación presento el tema del impacto de bólidos sobre la Tierra y la fenomenolo-gía asociada: frenamiento en la atmósfera, ablación, impacto a hipervelocidad, craterización, etc.Se trata de un tema interesante tanto del punto de vista de la Geología (craterización) como de laBiología por sus implicancias acerca de la extinción masiva de especies, un tema de actualidaddesde los hallazgos de Alvarez sobre la abundancia del iridio en la transición K-T (ver por ejem-plo T. Gehrels, Physics Today 38 (2), p.32, 1985).El Capítulo 6 (Oscilaciones) es muy extenso. El tratamiento del amortiguamiento y de las oscila-ciones forzadas difiere de la presentación usual por el mayor énfasis sobre los mecanismos físi-cos. Mediante cálculos perturbativos sencillos analizo la excitación de la resonancia, las oscila-ciones anarmónicas y las correcciones por amplitud finita del período del péndulo. Se presentaun estudio detallado de los osciladores acoplados, el péndulo doble y la excitación paramétrica.Como aplicación se estudia el movimiento del columpio. Se estudian las oscilaciones no lineales.Se introduce el espacio de las fases. Finalmente se da una introducción al tema del caos.En el Capítulo 8 (Sistemas de partículas) se hace un extenso tratamiento de las colisiones, tantoelásticas como inelásticas y se introduce el concepto de sección eficaz. Se presentan varias apli-caciones, entre las cuales se incluye una deducción sencilla de la célebre fórmula de Rutherford.En el Capítulo 9 (Gravitación) presento tópicos de interés geofísico que no se tratan en los textoselementales. Analizo la gravedad en el interior de la Tierra y la liberación de energía porcontracción gravitatoria de cuerpos celestes. Dedico un párrafo a la discusión de las diferentescorrecciones al valor de g (de interés para la gravimetría) y su origen. Introduzco la noción deisostasia. Estudio el origen de las mareas lunares y solares y sus efectos sobre la rotación te-rrestre y la evolución de la órbita lunar. La consideración del caso de órbitas satelitarias retró- ii
  • 5. gradas da pie para tratar la fisión de cuerpos celestes debido a las fuerzas de marea y estimar ellímite de Roche.La dinámica de las rotaciones de un cuerpo rígido (Capítulo 10) incluye como ejemplos la Pre-cesión de Euler y la Precesión de los Equinoccios, por su interés geofísico y astronómico.En el tratamiento de la Estática (Capítulo 11) pongo un fuerte énfasis sobre la estática desistemas con rozamiento.El Capítulo 12 trata las propiedades mecánicas de los medios materiales, que incluye ladiscusión de los esfuerzos en medios continuos, las fuerzas de superficie y de cohesión enlíquidos, los esfuerzos en sólidos rígidos y sus aplicaciones geofísicas. El estudio de la respuestade los medios a los esfuerzos es fenomenológico, aunque justifico los resultados y estimo elvalor de los parámetros a partir de ideas sencillas sobre las interacciones entre átomos ymoléculas, y por medio de consideraciones elementales de teoría cinética. Además de introducirlos coeficientes de compresibilidad y expansión térmica de gases, líquidos y sólidos, avanzo enla fenomenología de los medios reales al discutir la plasticidad, la fractura, el creep y larelajación de los sólidos, el origen de las fuerzas de rozamiento entre sólidos, el comportamientono Newtoniano de muchos líquidos, etc. Doy también nociones sobre los modelos reológicosmás sencillos. Por su importancia para la Geofísica incluí una sección sobre los esfuerzos enmedios heterogéneos, con referencia en particular a la mecánica de suelos; allí discuto la es-tabilidad de pendientes y taludes, la fluidificación, la consolidación de suelos y la subsidencia.Como aplicación estimo límites para la altura de las montañas y relieves y evalúo el tamaño mí-nimo que debe tener un cuerpo celeste (asteroide o planeta) para que su forma sea esférica.El estudio de la Hidrostática (Capítulo 13) comprende varios tópicos que no se suelen hallar enlos textos de Física General, pero que incluí por su interés geofísico. Así discuto el equilibrioisostático y la interpretación de las anomalías isostáticas que se revelan con las mediciones de g.Trato el equilibrio de líquidos con estratificaciones de densidad y presento un análisis elementalde la inestabilidad de Rayleigh-Taylor y comento su relación con los movimientos deconvección térmica en líquidos y con la estabilidad de la atmósfera.La Dinámica de Fluidos (Capítulo 14) se basa en la ecuación de Navier-Stokes. Muchoscuestionarán que al nivel de Física I se introduzca dicha ecuación y debo decir que lo decidí traslargas meditaciones y superando ciertas perplejidades (lo mismo ocurrió con las ecuaciones deEuler para el cuerpo rígido y con los esfuerzos y deformaciones en los sólidos), porque meconvencí que las ventajas superan los inconvenientes. Al fin de cuentas el estudiante nunca se vaa plantear el problema de resolverla. Se trata tan sólo de que tenga a la vista, en una únicaecuación, todas las fuerzas que actúan sobre un elemento de un fluido. Resulta más fácil asícomparar los términos, definir los diferentes regímenes de interés, tener claro las relaciones entreellos, y entender sus límites de validez. Es posible entonces aclarar cuestiones que se soslayan enlos tratamientos elementales y que dejan dudas en la mente del estudiante. Por ejemplo laaproximación de considerar un flujo como incompresible y más especialmente las condicionesde existencia de flujos estacionarios y el significado del número de Reynolds. Entre los temasque no suelen figurar en la bibliografía de nivel introductorio y que incluí por su interésgeofísico y biológico están las generalizaciones de la ecuación de Bernoulli para tomar en cuentalos efectos de la viscosidad y de la turbulencia, la discusión cualitativa de la turbulencia, lasecuaciones de los flujos en medios porosos (ley de Darcy), el flujo de dos fluidos en mediosporosos y la fluidificación. iii
  • 6. Finalmente, el Capítulo 15 es una introducción a las ondas en medios materiales. Presento lasideas básicas de la física de la propagación de ondas por medio de un ejemplo que muestra elmecanismo de la propagación de un pulso de presión en un gas, sin hacer uso explícito de laecuación de las ondas. Recién después deduzco la ecuación de las ondas de presión, discuto lasaproximaciones involucradas, analizo sus soluciones e introduzco las ondas sinusoidales. A con-tinuación trazo un panorama de las ondas en medios materiales que comprende las ondas acústi-cas en gases y líquidos, las ondas longitudinales y transversales en sólidos (con énfasis en lasondas sísmicas), las ondas de superficie en líquidos (olas de gravedad, olas capilares), las ondasde Rayleigh y de Love en sólidos y las ondas internas de gravedad en fluidos estratificados. Entodos los casos justifico por medio de argumentos sencillos las relaciones de dispersión y discutosomeramente las principales propiedades de estas ondas.Con la salvedad que uso la notación vectorial, mantengo la matemática al nivel más simple posi-ble. Evito sistemáticamente el uso de números complejos, de funciones especiales y de tensores.Desarrollo con mucho detalle las deducciones y los cálculos para que sean seguidas fácilmentepor el estudiante. Aunque por completitud incluí algunos cálculos y desarrollos extensos y labo-riosos, los mismos son sencillos. También recogí en un Apéndice las definiciones, relaciones yfórmulas matemáticas que se emplean, y en un segundo Apéndice resumí las nociones necesariasde cálculo de vectores. La obra se complementa con un tercer Apéndice que contiene problemasque se deben resolver en las clases de Trabajos Prácticos bajo la guía de los docentes auxiliaresde la materia. Tienen por función servir de complemento, ejemplo y ejercitación de los estu-diantes.El material de este libro es muy abundante y no se puede desarrollar por entero en un curso de uncuatrimestre, de modo que es preciso practicar una selección. Preferí igualmente incluir muchostemas para que aquellos alumnos que tienen interés dispongan de una obra donde los puedan en-contrar explicados en forma simple y accesible. Entre los tópicos que me pidieron agregar y quequizás incluya en ediciones futuras puedo mencionar los siguientes: aplicaciones de la dinámicadel cuerpo rígido (acrobacia, actividades deportivas, etc.), fenómenos de transporte (difusión,conducción térmica, convección), fractura de materiales, sedimentación, erosión y transporte departículas por fluidos, flujos de interés geofísico (avalanchas y derrumbes, flujos de lava,glaciares, flujos piroclásticos, flujos en acuíferos), algunas inestabilidades en fluidos de interésgeofísico, ondas de choque, flujos no estacionarios, problemas de capa límite, aplicaciones de lamecánica de fluidos a la locomoción animal acuática y aérea, circulación atmosférica, física delos fenómenos ondulatorios (dispersión, energía y flujo de energía de ondas, reflexión ytransmisión, difusión, absorción, fenómenos no lineales, etc.).Para preparar estas notas realizé una consulta bibliográfica que comprende más de 50 libros ytres centenares de artículos, que no cito sino en mínima parte. Sin embargo la forma de presentarvarios desarrollos y de tratar algunos temas y ejemplos es original. Me fueron muy útiles lasnumerosas discusiones con los Profs. Constantino Ferro Fontán, Fausto Tulio Gratton, RobertoGratton, Luis Bilbao, Héctor Kelly, Félix Rodríguez Trelles, Fernando Minotti, Alejandro G.González, Javier A. Diez y Carlos A. Perazzo, los Dres. Raffaele Gratton y Claudio Vigo, asícomo los comentarios de los Lics. Roberto Delellis, Héctor R. Sánchez y H. Miguel Esper y delos docentes auxiliares de la cátedra. Deseo expresar un especial agradecimiento a la Sra. MabelPaz por su dedicación y empeño en el mecanografiado de mi manuscrito. iv
  • 7. Dada la extensión de esta obra le he dividido en dos Tomos. El Tomo 1 comprende la Mecánicadel punto y del cuerpo rígido, es decir los Capítulos del 1 al 11. El Tomo 2, actualmente en pre-paración, comprende los restantes Capítulos y los Apéndices.No deberá sorprender que esta primera edición contenga más de una errata. Agradeceré que seme informe de las mismas.Julio GrattonBuenos Aires, Julio de 2006. v
  • 8. ÍNDICEPrólogo i1. Introducción 1 Qué es la Física, qué estudia y cómo lo hace 1 Fundamentos de la Física 2 Física de sistemas macroscópicos 7 La Mecánica y su rol en el contexto de la Física 10 El lenguaje de la Física 11 Los servicios que presta la Física a las otras Ciencias 12 Qué debe saber de Física quien cursa otra carrera 13 Como se debe estudiar la Física 142. Magnitudes Físicas 17 Unidades y dimensiones de las magnitudes físicas 18 Magnitudes extensivas e intensivas 21 Propiedades geométricas de las magnitudes físicas 21 Simetría de escala 22 La arbitrariedad de la elección de las magnitudes y dimensiones fundamentales 293. Cinemática 31 Objeto puntiforme 31 Objeto extenso y cuerpo rígido 31 Cinemática de los movimientos traslatorios 34 Movimiento en una dimensión 35 Velocidad 35 Movimiento rectilíneo uniforme 37 Aceleración 38 Movimiento uniformemente acelerado 40 Movimiento en tres dimensiones 41 Algunos ejemplos de movimiento 44 Movimiento relativo de traslación 49 Movimiento relativo de rotación 50 La Tierra como sistema de referencia 544. Dinámica 57 Sistemas inerciales y Principio de Inercia 57 Fuerzas y Segundo Principio 58 Interacciones y Tercer Principio 61 Cantidad de movimiento e impulso 62 Conservación de la cantidad de movimiento 63 Problemas de Dinámica 66 El peso 66 Fuerzas de contacto entre cuerpos sólidos 68 Fuerzas sobre un cuerpo en el seno de un fluido 72 El empuje 72 Fuerzas de arrastre 73 vi
  • 9. Fuerzas de sustentación 84 Fuerzas que dependen de la aceleración: la masa inducida y la masa aparente 92 Otras fuerzas 94 Sistemas no inerciales 94 Fuerzas inerciales o ficticias 96 Las definiciones de fuerza y masa 98 Los sistemas inerciales y el principio de equivalencia 1015. Trabajo y energía 105 Trabajo mecánico 105 Fuerza conservativa 106 Campo de fuerza 108 Energía cinética 108 Energía potencial 110 Relación entre energía potencial y fuerza 112 Energía mecánica 113 Potencia 114 Trabajo y energía en movimientos unidimensionales 115 Variación de la energía mecánica por efecto de fuerzas no conservativas 120 Impacto de bólidos 1236. Oscilaciones 137 Oscilaciones libres de un resorte 138 Oscilaciones amortiguadas 139 Oscilaciones forzadas 142 Oscilaciones anarmónicas 151 Oscilaciones de un péndulo 153 Modos lineales normales de osciladores acoplados 159 El columpio 169 Espacio de las fases 179 Movimientos de amplitud arbitraria del péndulo 186 Movimiento caótico de un oscilador forzado que rebota 188 Comentarios sobre el caos 1977. Momento Angular 201 Relaciones entre momento angular, cantidad de movimiento y energía cinética 203 Variación del momento angular 203 Fuerzas centrales y conservación del movimiento angular 204 Movimiento bajo la acción de una fuerza central 205 Movimiento planetario 209 Comentarios 2138. Sistemas de partículas 215 Centro de masa 215 Cantidad de movimiento del sistema 216 Conservación de la cantidad de movimiento de un sistema aislado 217 Energía cinética del sistema 217 Energía potencial del sistema 217 vii
  • 10. Energía mecánica del sistema 218 Momento angular del sistema 219 Variación del momento angular del sistema 220 Conservación del momento angular del sistema 221 Reducción del problema de dos cuerpos 222 Aplicación al movimiento planetario 223 Colisiones 223 Choque elástico de masas puntiformes 225 Choque elástico de esferas rígidas 229 Colisiones inelásticas 231 Sección eficaz 238 Dispersión de Rutherford 242 Sección eficaz de impacto de un bólido 2449. Gravitación 245 La Ley Universal de la Gravitación 245 Potencial gravitatorio y campo gravitatorio 249 Campo y potencial gravitatorio de cuerpos extensos 250 Velocidad de escape 256 Liberación de energía en la contracción de una nube autogravitante 257 Gravimetría 259 Fuerza de marea 263 Mareas 268 Efecto de las mareas sobre la rotación terrestre y la órbita lunar 268 El límite de Roche 271 Comentarios 27410. Dinámica del cuerpo rígido 275 Traslaciones del centro de masa 276 Rotaciones de un cuerpo rígido 276 Momento angular debido a la rotación de un cuerpo rígido 277 Ejes principales de inercia 281 Momento angular referido al sistema de ejes principales 283 Teorema de Steiner 284 Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido con un eje fijo 286 Energía cinética de rotación 286 Ecuaciones del movimiento de un cuerpo rígido 287 Los ángulos de Euler 290 Rotaciones libres de un cuerpo rígido simétrico 294 La construcción de Poinsot 296 Rotor asimétrico y estabilidad de la rotación 300 El trompo y el efecto giroscópico 301 La precesión de los equinoccios 302 Cuerpo rígido simétrico sometido a momentos externos: la solución exacta 30611. Estática del punto y del cuerpo rígido 309 Estática del punto 309 viii
  • 11. Estática con rozamiento 310Estática del cuerpo rígido 312Sistemas de fuerzas equivalentes 316Estabilidad del equilibrio 318Estabilidad del equilibrio de un objeto extenso apoyado 320Equilibrio en presencia de fuerzas conservativas 321Comentario sobre las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido vinculado 322 ix
  • 12. x
  • 13. 1. Introducción1. INTRODUCCIÓNAntes de comenzar el desarrollo sistemático de los tópicos de este texto conviene hacer unabreve introducción para dar una primera (y provisional) respuesta a interrogantes que todo estu-diante se propone, a saber: ¿qué es la Física? ¿qué estudia? ¿cómo lo hace? ¿para qué sirve aquien cursa otra carrera? ¿qué debo saber yo de Física? ¿cómo debo estudiar esta materia? Tra-taré aquí de abordar sintéticamente estos temas.Qué es la Física, qué estudia y cómo lo haceLa Física es una ciencia de la naturaleza. Antaño las ciencias de la naturaleza eran una sola, quese llamaba Filosofía Natural. Comprendía la Física, la Química, la Astronomía, la Geología, laBiología, etc. La Física estudia las propiedades e interacciones de la materia y los fenómenos,procesos, transformaciones y manifestaciones que se relacionan con ella. La Física es una cien-cia experimental: para ella el experimento es el único juez de la verdad. El conocimiento físicose basa en la aplicación del método científico. En esto la Física no se diferencia de las otras cien-cias de la naturaleza. Los aspectos fundamentales del método científico son:• la observación,• la experimentación,• el razonamiento.Una característica importante del razonamiento físico es el empleo de modelos. Un modelo esuna versión simplificada de la realidad, que permite el tratamiento matemático de aspectos de lamisma. En pocas palabras y sin pretensión de rigor, se puede decir que un modelo físico consisteen abstraer de una situación real, y por lo tanto compleja, unos pocos elementos simples que sonlos más fundamentales para lo que interesa estudiar. Estos elementos se manejan y estudian conla ayuda de la Matemática. Mostraré oportunamente como se hace esto.Como todo conocimiento científico, el conocimiento físico está organizado, estructurado e inte-rrelacionado con criterios lógico-deductivos. Esto obedece tanto a razones prácticas de economíay síntesis, como también en gran medida a razones de carácter filosófico y estético. Así, el cono-cimiento físico se expresa por medio de leyes, y éstas se estructuran en teorías.El conocimiento físico es por su propia naturaleza limitado, provisorio y está en permanenteevolución.Es limitado y por lo tanto representa tan sólo una aproximación a la realidad, por dos motivosprincipales:• el conocimiento incompleto de las leyes fundamentales,• las simplificaciones que necesariamente se introducen al tratar situaciones complejas.Es provisorio y se encuentra en permanente evolución porque:• toda formulación de las leyes y conceptos físicos está siempre sujeta a revisión a medida que se llevan a cabo nuevas observaciones y experimentos,• continuamente se perfeccionan los métodos y se progresa en el estudio de las situaciones complejas de la realidad.No está demás en esta introducción describir brevemente el estado actual del conocimiento fí-sico. 1 www.cienciamatematica.com
  • 14. 1. IntroducciónFundamentos de la FísicaLa base de la física es la Teoría Atómica, que en su versión actual postula que toda la materia delUniverso está formada a partir de ciertos constituyentes últimos: las partículas elementales ofundamentales, así llamadas porque no son ulteriormente divisibles en partes más simples. Laestructura y las propiedades de la materia en sus diferentes estados (sólido, líquido, gaseoso yplasma) y el comportamiento de todo sistema físico tanto en la escala microscópica como en lasescalas macroscópicas y cósmicas, están determinados por, y se pueden deducir1 a partir de laspropiedades de las partículas fundamentales y de sus interacciones2. Así los procesos atómicospermiten formular modelos que describen los fenómenos a escala macroscópica, por ejemplo loscambios de estado, las reacciones químicas, los procesos de disolución, difusión, etc.Una parte básica de la Física abarca entonces el estudio de las partículas fundamentales y susinteracciones. En el pasado se creyó que los constituyentes últimos de la materia eran los áto-mos. A principios del siglo XX se encontró que los átomos no son indivisibles, sino que estánconstituidos por un núcleo rodeado por cierto número de electrones. Más adelante se descubrióque el núcleo está formado por protones y neutrones. Más recientemente se vio que los protonesy los neutrones no son elementales, sino que son estructuras compuestas por entes más simplesllamados quarks. Como se ve la idea de “partículas fundamentales” sigue en pie, pero con eltiempo cambió nuestra visión de cuáles son esas partículas a medida que se descubrió que losobjetos que se creían elementales están formadas por partes más simples.El modelo standardNo pretendemos en esta breve introducción desarrollar la física de las partículas, bastará men-cionar que en el momento actual las partículas fundamentales se clasifican en dos familias:• leptones y quarks (llamados colectivamente fermiones),• bosones (llamados a veces bosones mensajeros).De acuerdo con la visión actual, que recibe el nombre de modelo standard, los constituyentesúltimos de la materia son los quarks y los leptones. Los neutrones, protones, mesones, etc. quehasta hace poco se creían elementales, están compuestos por quarks. De las propiedades e inte-racciones de los quarks se derivan las de los protones y los neutrones. De las propiedades deéstos provienen las diferentes especies de núcleos atómicos y sus características, en particular elnúmero de protones y neutrones que contienen, su masa y su carga eléctrica. La carga del núcleoestablece cuántos electrones poseen los átomos. Los electrones atómicos determinan las propie-dades físicas y químicas de los elementos y sus compuestos, es decir las moléculas. Estas carac-terísticas son la base de los modelos que describen la materia y los fenómenos a escala macros-cópica (como los cambios de estado) y así sucesivamente. Toda la materia del universo estáconstituida, en última instancia, por leptones y quarks, y sus propiedades derivan (aunque de unamanera muy indirecta) de las propiedades e interacciones de esas partículas.Los leptones comprenden los electrones, los muones, los tauones, las tres clases de neutrinos, ysus respectivas antipartículas. Los quarks (de los cuales hay seis clases diferentes) son los cons-tituyentes primarios del neutrón, del protón y de otras partículas que aparecen en procesos dealta energía (llamadas bariones y mesones), todas las cuales integran la familia de los hadrones.1 Por lo menos en línea de principio.2 Esto es, de las influencias que cada partícula ejerce sobre las demás y las que sufre debido a la presencia de lasotras. 2 www.cienciamatematica.com
  • 15. 1. IntroducciónIgual que en el caso de los leptones, a cada quark le corresponde una antipartícula (o antiquark).Las antipartículas forman la antimateria.Si una partícula se encuentra (choca) con una antipartícula de su misma especie se puede produ-cir la aniquilación de ambas. En este proceso desaparece la materia y se libera una cantidadequivalente de energía. Es posible también el proceso inverso, por el cual desaparece energía yse crea un par formado por una partícula más su correspondiente antipartícula.La segunda familia de partículas, los bosones, comprende los fotones, los bosones W ± y Z 0 , losgluones y los gravitones. Los bosones son responsables de las interacciones de los leptones yquarks, como explicaremos enseguida.Las interacciones entre quarks y leptones responden todas al mismo patrón: se trata siempre decombinaciones de procesos elementales que consisten en la emisión o en la absorción de un bo-són por parte del quark o leptón. Este proceso elemental lo podemos representar gráficamentemediante un diagrama (Fig. 1.1). Este diagrama representa una interacción en que un fermiónemite un bosón, el cual se lleva consigo energía, cantidad de movimiento, momento angular yeventualmente otros atributos (como carga eléctrica o de otra clase) y los puede entregar a otrapartícula cuando es absorbido por ésta3. De esta manera los bosones actúan como intermediariosentre las partículas y transmiten la interacción (de ahí la denominación de “mensajeros”). f b f Fig. 1.1. En este diagrama, las líneas llenas representan un quark o un leptón antes (f) y después ( f ′ ) de la interacción (f y f ′ pueden ser de diferente especie). El cambio de di- rección de la línea llena simboliza los cambios sufridos por dicha partícula. Estos cambios dependen de la naturaleza de la interacción y no sólo alteran el estado de movimiento de la partícula, también pueden afectar sus otros atributos (por ejemplo puede cambiar la carga, ya sea eléctrica o de otra clase) y con ello la partícula puede cambiar de especie e incluso transformarse en una antipartícula. La línea ondulada (b) representa el bosón que transmite la interacción. El vértice donde se juntan las líneas que representan el fermión y el bosón simboliza la interacción propiamente dicha.En la Fig. 1.2 se ven los diagramas de los procesos elementales de emisión, absorción, creaciónde un par partícula-antipartícula y aniquilación de un par. El tipo de interacción determina queclase de bosón es emitido o absorbido y que cambios experimenta el fermión. Dicho bosón llevaconsigo una constancia de los cambios producidos en los atributos del fermión. En la interacciónhay un balance entre los atributos del bosón y los cambios soportados por el fermión, de formatal que se garantice el cumplimiento de ciertas leyes generales de conservación.3 En este tipo de diagramas, llamados diagramas de Feynman, es usual imaginar que la dirección del tiempo es haciaarriba, y que líneas de fermiones dirigidas hacia arriba representan partículas, y líneas hacia abajo, antipartículas. 3 www.cienciamatematica.com
  • 16. 1. Introducción f f _ f f b b b b _ f f f f emisión absorción creación de un par aniquilación de un par Fig. 1.2. Procesos elementales de interacción. La emisión y la absorción de un bosón puede estar acompañada por un cambio de especie del fermión. Los pares consisten siem- pre de una partícula y una antipartícula de la misma especie. Las antipartículas se designan con el mismo símbolo que la partícula, con una línea superpuesta.Cualquier interacción entre dos fermiones se representa entonces mediante diagramas que seobtienen combinando los que representan los procesos elementales. Por ejemplo, dos electronespueden interactuar intercambiando un fotón como lo indica el diagrama de la Fig. 1.3. e e 2 1 g e 2 e 1 Fig. 1.3. Interacción entre dos electrones debida al intercambio de un fotón.Como ya dijimos las interacciones entre partículas se describen mediante esquemas del tipo de laFig. 1.3 y variantes más complejas que surgen de intercambiar dos, tres, etc. bosones. La clasede bosones intercambiados depende de reglas que establecen qué bosones puede absorber y/oemitir una partícula. De acuerdo con ello hay tres diferentes clases de interacciones (o fuerzas)fundamentales, que se resumen en la Tabla 1.1. Como se indica en la misma la interacción elec-tromagnética y la interacción débil son dos aspectos de una única interacción: la interacciónelectrodébil4. No obstante se las suele separar porque sus manifestaciones son muy diferentes.La interacción electromagnética causa las transiciones entre estados nucleares y atómicos debi-das a la emisión o absorción de radiación y es responsable de la estructura atómica y molecular eindirectamente de las propiedades macroscópicas de la materia. En cambio la interacción débilproduce transformaciones entre quarks de diferente especie y su principal manifestación es el de-4 La unificación entre las interacciones electromagnética y débil sólo se pone en evidencia para energías muygrandes, como las que se obtienen en los grandes aceleradores, en los rayos cósmicos y que existieron en losprimeros instantes de vida del Universo. 4 www.cienciamatematica.com
  • 17. 1. Introduccióncaimiento radioactivo y por lo tanto la estabilidad del núcleo atómico. La interacción fuerte esresponsable de la existencia de los protones y neutrones y de sus interacciones (las fuerzas nu-cleares) y determina así5 las propiedades del núcleo. La interacción gravitatoria produce la atrac-ción gravitacional, que determina la estructura y evolución de la materia en escala cósmica.Las partículas fundamentales (tanto fermiones como bosones mensajeros) se describen matemá-ticamente por medio de campos cuánticos. Más adelante introduciremos la noción de campo,que es de enorme importancia en la Física. Tabla 1.1. Interacciones fundamentales.Interacción : Partículas que Bosón mensa- Manifestaciones: interactúan: jero:Gravitatoria todas gravitón Atracción gravitatoria Electromagnética partículas con fotón (γ) Fenómenos eléctricos carga eléctrica y magnéticos, fuerzas entre átomos y molé- culas, propiedadesElectrodébil macroscópicas de la materia Débil leptones y quarks bosones W ± y Decaimiento radioac- Z0 tivoFuerte quarks gluones Estructura y propie- dades del núcleo ató- micoEn principio las tres fuerzas fundamentales de la Tabla 1.1 determinan por completo las propie-dades y el comportamiento de la materia, no sólo a escala microscópica, sino también macros-cópica o cósmica. Esta afirmación es cierta con las salvedades que provienen de la falta de com-pletitud y de la provisoriedad del conocimiento físico.El marco para la descripción de las partículas fundamentales y sus interacciones está dado pordos teorías fundamentales:• la Teoría Cuántica de Campos, que comprende la teoría electrodébil y la cromodinámica; la teoría electrodébil (que comprende a su vez la electrodinámica cuántica y la teoría de la fuerza débil) describe las interacciones electromagnética y débil; la cromodinámica describe las interacciones de los quarks mediadas por los gluones;• la Teoría General de la Relatividad, que es la descripción más fundamental de la interacción gravitatoria.Las características de las partículas y de sus interacciones se relacionan con, y están subordina-das a, simetrías de la naturaleza y propiedades muy generales de la geometría del espacio-tiempo. No vamos a entrar en los detalles de estas cuestiones que son bastante profundas, peroconviene mencionar aquí que las leyes fundamentales de conservación provienen de propiedadesdel espacio-tiempo. Algunos ejemplos de estas relaciones se dan en la Tabla 1.2.5 Juntamente con la interacción electromagnética. 5 www.cienciamatematica.com
  • 18. 1. IntroducciónAdemás de las que figuran en la Tabla 1.2 hay otras propiedades de simetría del espacio-tiempoy de los campos que residen en él. Se relacionan con otras leyes de conservación, por ejemplo laque establece la conservación de la carga eléctrica, y otras más. No nos detendremos más sobreestos temas, pero conviene que el lector sepa que hay un marco más amplio dentro del cual seinsertan las nociones y conceptos que desarrollaremos en estas páginas. Tabla 1.2. Simetrías y leyes de conservación. Propiedad: Ley de conservación relacionada: Homogeneidad del espacio Conservación de la cantidad de movimiento Isotropía del espacio Conservación del momento angular Homogeneidad del tiempo Conservación de la energíaMás allá del modelo standardPor lo que sabemos el modelo standard (MS) describe correctamente el comportamiento de lanaturaleza dentro de los límites hasta los que se ha podido llegar hoy con las observaciones y losexperimentos. Sin embargo los físicos teóricos no están del todo satisfechos con él, porque dejasin respuesta interrogantes importantes: ¿porqué hay tres fuerzas fundamentales? ¿porqué haytantas variedades de leptones y quarks, siendo que la materia ordinaria consiste de solamente dosespecies de quarks y dos de leptones? Además el MS depende de varios parámetros6 cuyos valo-res se tienen que asignar “a dedo”, lo cual es poco satisfactorio. Por estos motivos se piensa queel MS es todavía incompleto y que se debe poder hallar una descripción más simple y más fun-damental de la naturaleza. Hay indicios, en efecto, que así como las interacciones electromagné-tica y débil se unifican en una única fuerza electrodébil cuando se observa el comportamiento delas partículas a energía muy grande, también las interacciones fuerte y electrodébil tienden aunificarse a energías mucho mayores. Se han propuesto así diversas teorías unificadas7, perohasta ahora no hay evidencia experimental que permita decidir cual es la correcta. Las energíasnecesarias para llegar a la “gran unificación” son tan enormemente grandes que es difícil imagi-nar que se pueda desarrollar la tecnología necesaria para obtenerlas. Sin embargo se alcanzan (ysuperan) en los rayos cósmicos y también en los primerísimos instantes del Big Bang. Por estemotivo hay mucho interés en observar fenómenos de altísima energía en los rayos cósmicos,pero tal observación es muy difícil ya que se trata de eventos extraordinariamente raros. Por otraparte los primerísimos instantes del Universo son inaccesibles a la observación directa, pero loque entonces ocurrió ha dejado rastros que se pueden detectar hoy en el Cosmos. De allí pro-viene el gran interés que ha cobrado la Cosmología.Otro motivo de insatisfacción de los físicos teóricos es que en el MS coexisten dos teorías fun-damentales (la Teoría Cuántica y la Relatividad General). Les gustaría tener una única teoríafundamental, y también una única fuerza entre las partículas. Desde principios del siglo XX sehicieron intentos de unificar la interacción gravitatoria con la electromagnética (la única otra que6 Entre ellos las constantes de acoplamiento, que determinan la intensidad de las diferentes interaccionesfundamentales.7 Que se suelen designar con el acrónimo GUT, que proviene de Great Unified Theory. 6 www.cienciamatematica.com
  • 19. 1. Introducciónse conocía entonces) pero todos fracasaron. Como también fracasaron los intentos de unificar laTeoría Cuántica con la Relatividad General. Debido a eso el problema de unificar la gravitacióncon las demás fuerzas se dejó de lado y hasta hace poco no se hizo nada nuevo al respecto. Perorecientemente se han encontrado teorías consistentes del punto de vista matemático y que per-miten lograr ese objetivo tan anhelado (como la llamada Teoría M). Sin embargo por el mo-mento (y quizás por mucho tiempo) las predicciones de esas teorías están fuera del alcance de laverificación experimental.Más allá de que se logre o no una teoría unificada de todas las partículas y fuerzas, debe quedaren claro al lector que nada cambiará en lo referente a la descripción de la naturaleza en las esca-las que podemos observar hoy. Para eso las teorías actuales son perfectamente satisfactorias.Características de las leyes y principios fundamentales de la FísicaEs importante señalar dos características de las leyes y principios fundamentales de la Física.Una de ellas es la simplicidad. La otra es la universalidad. Las leyes básicas de la Física son su-mamente simples (basta ver en efecto los diagramas de las Figs. 1.1 a 1.3) y dependen de pocosparámetros y magnitudes. Sin embargo esto no significa que sea fácil aplicarlas a situacionesconcretas. En la práctica esto puede ser muy difícil, cuando no lisa y llanamente imposible.Justamente, el esfuerzo de los físicos ha consistido siempre (y sigue consistiendo) en superar dosclases de dificultades:• reconocer en la compleja realidad de la naturaleza las leyes simples que la rigen, y• conocidas las leyes, deducir sus consecuencias en los casos de interés.Que las leyes fundamentales de la Física sean simples no significa que sean fáciles de entender.Su simplicidad se logró al precio de introducir conceptos cada vez más abstractos y por lo tantomenos intuitivos. En efecto, gran parte del proceso de aprendizaje consiste en familiarizarse conestos conceptos, para manejarlos y usarlos correctamente. Por eso la sencillez de las leyes bási-cas no es evidente para el profano y se percibe sólo después de un estudio paciente y profundo.La segunda característica que quiero destacar es la universalidad de las leyes físicas funda-mentales: consiste en que éstas son aplicables al macrocosmos y al microcosmos. Rigen tantopara los seres vivientes como para la materia inanimada. Valen en nuestros laboratorios, en elespacio, en las estrellas, y hasta los confines del universo. Se extienden desde el pasado másremoto hasta el más lejano futuro. Esto, por lo menos, dentro de límites muy amplios.Física de sistemas macroscópicosNo todas las leyes de la Física gozan de universalidad: sólo la tienen las leyes fundamentales.Veremos más adelante muchas otras leyes que por no ser fundamentales tienen un ámbito devalidez limitado. Un ejemplo de esta clase es la ley del resorte: F = kx (1.1)Esta ley vincula la fuerza F con que tiramos de (o comprimimos) un resorte con el estiramiento(o acortamiento) x que sufre el mismo, y establece que el estiramiento (o acortamiento) es pro-porcional a la fuerza que lo produce; la constante de proporcionalidad k es una característica delresorte y se llama constante del resorte (ver la Fig. 1.4). La ley (1.1) vale sólo si el cambio de 7 www.cienciamatematica.com
  • 20. 1. Introducciónlongitud del resorte es pequeño, y si el mismo está hecho de un material elástico. Además la“constante” k depende de muchos factores8. Pero eso lo veremos mejor más adelante. x F = kx Fig. 1.4. La ley del resorte: el cambio de longitud del resorte es proporcional a la fuerza que lo produce.Este ejemplo es típico de las leyes que describen el comportamiento de los sistemas macroscópi-cos. Cuando se quiere aplicar la física al estudio de sistemas macroscópicos (por ejemplo a unorganismo viviente, a una roca, al agua de un río, etc.), y éste es el tipo de problemas que más leinteresan a los estudiantes de otras carreras y que se presentan en la inmensa mayoría de lasaplicaciones prácticas de la Física, tropezamos de inmediato con grandes dificultades.El origen de los inconvenientes es que los sistemas bajo estudio, lejos de ser simples, están com-puestos por un número inmenso de moléculas o átomos. Es así que aún si conocemos las leyesque rigen el comportamiento de las partículas fundamentales, no resulta de ningún modo evi-dente cómo proceder para describir lo que le pasa al sistema en su conjunto, que es lo que nosinteresa. Recordemos que un mol contiene unas 6×1023 moléculas. Éste es un número enorme, yes obvio que es imposible dar una descripción detallada del movimiento de todas y cada una deesas moléculas9. Pero no sólo esto es impracticable: en realidad (y afortunadamente) carece deinterés. Cuando estudiamos la materia del punto de vista macroscópico, es decir en su conjunto yen cantidades apreciables, no nos interesa saber qué le sucede a cada una de las moléculas que laintegran. Lo que nos interesa es conocer el comportamiento de los parámetros macroscópicosque describen al sistema, como la temperatura, la presión, la densidad, etc., y contar con las le-yes que establecen las relaciones que hay entre ellos y su evolución con el tiempo.Los métodos para estudiar los sistemas macroscópicos son varios y en parte complementarios.La Termodinámica estudia las relaciones entre las variables macroscópicas que describen unsistema en equilibrio a partir de postulados muy generales acerca de la conservación de la ener-gía y el sentido de los procesos espontáneos, sin hacer ninguna hipótesis sobre la estructura mi-croscópica y las interacciones de las moléculas, átomos o partículas que integran el sistema. Alser tan general, la Termodinámica vale para un rango muy amplio de situaciones. Pero al mismotiempo está limitada, por cuanto no puede decir nada acerca de las propiedades de las sustancias,8 El valor de k está determinado por el grosor del alambre, el diámetro de las espiras, la cantidad y el paso de lasmismas y por el módulo de rigidez del material.9 En condiciones standard de temperatura y de presión un mol de un gas ocupa un volumen de 22.6 litros. Inclusouna porción diminuta del gas, por ejemplo un micromol (que ocupa un volumen de 22.6 mm3), comprende 6×1014moléculas, un número gigantesco. Sin contar que cada molécula está compuesta por átomos, que a su vez secomponen de electrones y núcleos y éstos últimos se componen de protones y neutrones, que tampoco sonpartículas elementales. Está claro que cada molécula es ya un objeto sumamente complejo, y deducir suspropiedades a partir de las leyes que rigen las partículas fundamentales es una tarea ímproba. 8 www.cienciamatematica.com
  • 21. 1. Introducciónsalvo establecer relaciones entre ellas. Por ejemplo, la Termodinámica no nos puede decir cuántovale el calor específico de un gas, o su conductividad térmica, etc. Estos datos se tienen queobtener de otra forma, por ejemplo mediante mediciones de laboratorio. Además, la Termodi-námica no trata sistemas fuera del equilibrio10.La Física Estadística permite tender un puente entre las propiedades de los átomos y las molé-culas y los parámetros macroscópicos. Mediante la Física Estadística se puede calcular el calorespecífico de una sustancia, sus propiedades eléctricas y magnéticas y muchas otras característi-cas, a partir de las propiedades e interacciones de las moléculas y átomos que la integran11. Perolas más de las veces en el curso de estos cálculos es preciso efectuar aproximaciones y simplifi-caciones. En última instancia se trata de plantear modelos, más o menos sofisticados pero siem-pre aproximados. Además la Física Estadística trata solamente sistemas en equilibrio o muycerca del equilibrio.La Teoría Cinética permite tratar sistemas macroscópicos fuera del equilibrio, pero sólo al pre-cio de aproximaciones drásticas y sólo en situaciones muy simples se logra llegar a planteos quese pueden manejar matemáticamente.Todos estos métodos conducen a descripciones de los sistemas macroscópicos que se caracteri-zan por las siguientes particularidades:• La introducción de fuerzas no fundamentales, como las fuerzas de rozamiento, de viscosidad, las fuerzas elásticas, de tensión superficial, etc. Estas fuerzas no son fundamentales porque no representan nuevas interacciones, sino que derivan en forma más o menos complicada de las interacciones que figuran en la Tabla 1.1. En particular todas las fuerzas que acabamos de mencionar son de origen eléctrico.• La aparición de la irreversibilidad. A escala microscópica las interacciones entre moléculas son reversibles: si se registraran en un film los movimientos un sistema compuesto por un número muy pequeño de moléculas y se pasara el film al revés, o sea comenzando por el fin y terminando por el principio, un espectador no vería nada extraño en esos movimientos. Por el contrario el comportamiento de un sistema macroscópico tiene un sentido bien definido en el tiempo: un cubito de hielo en un vaso de agua se derrite. Si se registra este proceso y se pasa el film al revés, cualquier observador (aunque no sepa nada de Física) dirá que lo que está viendo no ocurre jamás. La irreversibilidad es una consecuencia de nuestra descripción de los sistemas que contienen muchas moléculas, de resultas de la cual los parámetros ma- croscópicos se obtienen por métodos estadísticos a partir del comportamiento microscópico.• El empleo de modelos, como veremos oportunamente más adelante. Estos modelos consisten esencialmente en el intento de condensar las propiedades de los medios materiales en un pequeño conjunto de parámetros. Los conceptos de gas, líquido y sólido elástico que se em- plean en la Mecánica del Continuo son típicos modelos. Pero hay muchos otros.10 Por ejemplo, no nos puede decir cuánto va a demorar en fundirse un trozo de hielo que hemos colocado en unvaso de agua.11 Las propiedades de los átomos y las moléculas son materia de estudio de la Física Atómica y la Física Molecular.En ambos casos se trata de sistemas compuestos por cierto número (a veces muy grande) de partículas.Afortunadamente ocurre que para calcular sus propiedades basta tomar en cuenta solamente las fuerzas eléctricasentre los núcleos y los electrones, y para los fines de la Física Estadística en muchos casos alcanza con conocer unaspocas de esas propiedades, como la masa, el tamaño y el comportamiento aproximado de las interaccioneselectrostáticas entre átomos y moléculas. Aún así es preciso hacer numerosas aproximaciones. 9 www.cienciamatematica.com
  • 22. 1. Introducción• El uso de la Mecánica del Continuo, que trata el objeto de estudio (gas, líquido o sólido) como un medio continuo en el sentido matemático (es decir un medio que se puede dividir indefinidamente en partes más pequeñas) y no como un conjunto de átomos y/o moléculas. Está claro que esta hipótesis contradice la Teoría Atómica, por lo tanto la Mecánica del Continuo es tan solo un modelo, una aproximación a la realidad que resulta tanto mejor cuanto mayores son las dimensiones del sistema en comparación con el tamaño de las molé- culas que lo constituyen y las distancias entre ellas. Claramente este modelo da resultados falsos si se lo intenta aplicar para describir fenómenos a escala demasiado pequeña. Esto, sin embargo, no afecta para nada su inmensa utilidad ni sus innumerables aplicaciones prácticas a la ingeniería, la tecnología y a muchas otras Ciencias.• Correspondiendo a los diferentes modelos existen diferentes regímenes, cada uno adecuado para describir al sistema dentro de ciertos rangos de valores de los parámetros que lo carac- terizan. Estos rangos están determinados por las condiciones de validez de las aproximacio- nes en que se funda el modelo, aproximaciones que a su vez dependen de cuáles son los as- pectos que se han dejado de lado para simplificar el problema y hacerlo manejable.• Del punto de vista matemático la descripción de sistemas macroscópicos como los fluidos presenta importantes dificultades debido a que da lugar a ecuaciones no lineales. Un ejemplo de comportamiento no lineal son las olas del mar, que se deforman al propagarse y finalmente rompen. La no linealidad se relaciona también con otro importante fenómeno, la turbulencia, que oportunamente trataremos con detalle.En resumen y para concluir estos párrafos introductorios, podemos decir que en contraposicióncon la sencillez de la física fundamental, la física de los sistemas macroscópicos es extremada-mente compleja y su complicación crece a medida que se refina y perfecciona la descripciónincluyendo elementos y factores que se despreciaron previamente. Las leyes que se obtienen noson universales, sino que tienen un ámbito de validez limitado. Esto se debe tener siempre pre-sente para no caer en errores. En compensación por su complicación, la física macroscópica esmenos abstracta y más intuitiva, porque los objetos que estudia son más familiares.La Mecánica y su rol en el contexto de la FísicaLa Mecánica es la parte de la Física que estudia el movimiento prescindiendo de las propiedadesy características del objeto que se mueve. Por ese motivo es un ingrediente básico tanto de lasteorías fundamentales como de la descripción de los sistemas macroscópicos.La Mecánica que se presenta en estas páginas es la que los físicos denominan Clásica o Newto-niana y no es la teoría más general. No es aplicable en los dominios atómico y subatómico.Tampoco se puede aplicar cuando se quiere describir movimientos con velocidades cercanas a lavelocidad de la luz (aproximadamente 300 000 km/s). Ni se puede usar en presencia de camposgravitatorios muy intensos como los que existen en las proximidades de las estrellas de neu-trones y de los agujeros negros. En los primeros dos casos la teoría correcta es la MecánicaCuántica Relativística, en el tercero se debe recurrir a la Relatividad General. La presentación deestas teorías excede el nivel de un texto introductorio y por ese motivo no las vamos a tratar,aunque oportunamente daré al lector una idea de sus fundamentos. La discusión de estos tópicos,aún a nivel elemental, requiere un examen crítico de los conceptos de espacio y tiempo y de losprocesos de medición, algo que dejo para más adelante.Es importante sin embargo que el lector tome conciencia desde el comienzo de las limitacionesde la teoría que va a estudiar. En síntesis, la Mecánica Newtoniana es el límite de la Mecánica 10 www.cienciamatematica.com
  • 23. 1. IntroducciónCuántica Relativística para bajas velocidades y para sistemas macroscópicos, y es el límite paracampos gravitatorios débiles de la Relatividad General. Dentro de esos límites está la inmensamayoría de los sistemas y fenómenos del ámbito terrestre y para ellos la Mecánica Newtonianaes una teoría correcta y confiable. Nada nuevo que se descubra en los ámbitos exóticos del do-minio subnuclear, de los agujeros negros y estrellas de neutrones, o de los primerísimos instantesde vida del universo puede alterar nuestra confianza en la Mecánica Newtoniana, siempre que lausemos dentro de su ámbito de validez. Oportunamente daré criterios prácticos para determinaren casos concretos si se pueden o no tratar por medio de la Mecánica Newtoniana.El lenguaje de la FísicaEl conocimiento físico se expresa por medio de un lenguaje que emplea la sintaxis, la gramáticay las palabras del idioma común a las que se suman neologismos y términos técnicos cuyo sig-nificado se debe aprender, además de símbolos y fórmulas matemáticas. El uso de términos dellenguaje común ayuda la intuición y facilita la transmisión del conocimiento, pero puede pro-vocar confusiones al neófito. En efecto palabras como calor, energía, volumen, temperatura,onda, trayectoria y muchas más que pertenecen al lenguaje cotidiano, tienen en la Física un sig-nificado algo diferente, mucho más preciso y restringido. Los símbolos y fórmulas matemáticasson una suerte de estenografía que permite condensar y sintetizar con extrema eficiencia con-ceptos, procedimientos y relaciones que sería imposible expresar con igual economía y precisiónpor medio de palabras. Por este motivo parte de las dificultades del aprendizaje de la Física pro-vienen de que el neófito tiene que aprender este idioma, para interpretarlo y expresarse correc-tamente por medio de él. Es fundamental entonces que el lector se familiarice con el significadode los términos y preste mucha atención al uso correcto de los mismos.En el empleo de símbolos y fórmulas es preciso prestar particular atención. Toda vez que se in-troduce un símbolo es imprescindible definir su significado, esto es, decir qué representa. Unsímbolo no definido puede representar cualquier cosa. Por lo tanto una expresión como la ec.(1.1) carece de significado si no se aclara qué representan12 los símbolos F, k y x. Es fundamen-tal aclarar estas cosas, dado que existe una absoluta libertad en la elección de los símbolos, ymuchas veces el mismo símbolo se usa, en diferentes contextos, para designar conceptos distin-tos. Por ejemplo F se suele emplear en Mecánica para designar la magnitud de una fuerza,mientras que en Termodinámica se acostumbra designar con F un concepto completamente dife- ˙rente13. Además caracteres como F, F, F, F, f, f, f, f, f ′ , f , f , etc. que difieren solo por el estiloy la presencia o no de adornos, subíndices, superíndices, etc. se consideran símbolos diferentes ypueden representar (de hecho representan) distintos conceptos. Existen ciertas convencionessobre la notación, que facilitan la tarea del lector, pero no todos los autores emplean las mismasconvenciones y además en distintas ramas de la Física se usan convenciones diferentes. Todoesto puede confundir a quien toma en sus manos por primera vez un libro de Física, pero con lapráctica se adquiere el dominio necesario para entenderlo y se aprecian las enormes ventajas quese obtienen gracias al uso de símbolos y fórmulas.He procurado en este libro introducir la mayoría de los términos, símbolos, notaciones y con-venciones que se emplean en la literatura física, incluso muchos que no aparecen en los textos de12 Si no se dice qué representan los símbolos, expresiones como la (1.1) son simplemente expresiones matemáticassin contenido físico.13 La función de estado llamada Energía Libre o Función de Helmholtz. 11 www.cienciamatematica.com
  • 24. 1. Introducciónnivel introductorio. Los estudiantes de Física los encuentran recién en los textos más avanzados,pero en mi opinión no hace daño introducirlos en este nivel. En cuanto a los estudiantes de otrascarreras, es fundamental que los conozcan pues en caso contrario nunca podrán establecercomunicación con los físicos y la literatura física les resultará incomprensible. También existe elproblema inverso: los biólogos, los geólogos, los astrónomos, los meteorólogos, etc. tienen cadauno su propio lenguaje y la mayoría de los físicos no lo entienden, cosa que dificulta la comuni-cación entre ellos y por lo tanto las colaboraciones multidisciplinarias. En vista de esto traté deaportar un granito de arena, introduciendo en las aplicaciones y ejemplos algunos conceptos ytérminos de otras disciplinas para que los físicos se familiaricen con ellos.Los servicios que presta la Física a las otras CienciasEn el pasado las ciencias de la naturaleza eran una sola que comprendía la Física, la Química, laBiología, la Geología, la Astronomía, etc. El gran desarrollo científico y correlativamente elvolumen creciente de conocimientos que se fue acumulando especialmente a partir del sigloXIX, tendió a separar estas disciplinas porque es imposible para una única persona adquirir eldominio de todas ellas.Puesto que la Física estudia los fenómenos y propiedades de la naturaleza en sus formas mássimples y básicas, es lógico que haya sido la primera en alcanzar un grado de refinamiento quele permite plantear sus problemas mediante el lenguaje matemático. Este fue un avance deenorme importancia, ya que permite emplear el poderoso arsenal de la Matemática para procesarlas expresiones y fórmulas y encontrar resultados. Este refinamiento no se ha alcanzado todavíaen igual medida en otras disciplinas, debido a que los objetos que estudian son más complejos yno se prestan fácilmente a una descripción matemática. De resultas de eso la comunicación entrelos físicos y los cultores de otras ciencias no es fácil y quien no es físico suele ver la Física comouna ciencia abstracta, extraña y fuera de este mundo.No es así, naturalmente. Tanto el físico, como el biólogo, el geólogo, el químico, etc. estudianaspectos de la naturaleza. La diferencia está en el enfoque, que es distinto. Pero tanto una célulacomo un mineral, una montaña, una nube o una estrella son sistemas físicos, y como tales secomportan de acuerdo con las leyes de la física. Por este motivo la Física tiene mucho que vercon las demás ciencias naturales. Todo cultor de una ciencia natural que deja atrás el estudiomeramente descriptivo para buscar las respuestas a problemas más profundos y encontrar expli-caciones más rigurosas y básicas de los misterios de la naturaleza, a medida que avanza en-cuentra más y más frecuentemente cuestiones donde la Física juega un papel importante y tantomayores son los servicios que le puede prestar.Sintéticamente, la Física es útil a las otras Ciencias por dos razones que comentaré brevemente.• La primera razón es que cuenta con un extenso y sofisticado repertorio de instrumentos y técnicas experimentales, que sirven también para las demás ciencias naturales. Para dar una idea de la importancia que esto puede tener basta mencionar el avance que significó para la Biología la introducción del microscopio. Entre las técnicas e instrumentos puedo mencionar la microscopía óptica y electrónica, las técnicas de rayos X, los radioisótopos, la espectros- copía, el radar, la magnetometría, la gravimetría, el sonar, los sensores remotos, la inmensa variedad de instrumentos ópticos, eléctricos, electrónicos, etc.En las últimas décadas se ha asistido a un vertiginoso progreso en el campo de la instrumenta-ción y de las técnicas experimentales. Es imposible en el marco de un texto introductorio tratarsiquiera superficialmente la mayoría de los instrumentos y técnicas modernas de interés para las 12 www.cienciamatematica.com
  • 25. 1. Introducciónotras ciencias. Además, para discutir la mayor parte de ellos hacen falta conocimientos de Físicabastante más avanzados de los que tiene un estudiante del primer año. Ya pasó el tiempo quebastaba entender cómo funcionan el microscopio, el termómetro, el péndulo, la balanza y quizásun par de instrumentos más, para saber qué hacer en un laboratorio. Esta es la época del láser, delos detectores infrarrojos, de la ecografía, etc.• La segunda razón es que la Física estudia problemas fundamentales de las otras ciencias, y da la base teórica para entenderlos. En más de un caso el beneficio de la interacción entre las ciencias de la naturaleza ha sido mutuo. Un caso clásico fue el estudio del metabolismo ani- mal, que sirvió de base para formular una de las leyes físicas más importantes: la conserva- ción de la energía. Otro ejemplo fue la larga polémica que hubo hace alrededor de 100 años entre geólogos y físicos en relación con la edad de la Tierra.Hojeando las revistas donde los físicos publican sus trabajos se encuentran muchos artículos deindiscutible relevancia para otras ciencias. En la revisión bibliográfica que llevé a cabo para pre-parar estas notas busqué artículos de interés para la Biología y la Geología. Entre los temas rela-cionados con la Biología que encontré figuran: metabolismo y balance energético, circulación delíquidos biológicos, física del aparato circulatorio, física de las membranas celulares, transmi-sión de impulsos nerviosos, física de los sentidos y de sus órganos, locomoción animal (acuática,aérea y terrestre), fenómenos de transporte en sistemas biológicos (intercambio de calor, difu-sión), respiración, leyes de escala de organismos vivientes, bioelectricidad, efectos de las radia-ciones sobre organismos vivientes, vida extraterrestre, etc. Estos estudios no sólo pueden intere-sar para satisfacer la curiosidad de saber, por ejemplo, como funciona un órgano, sino tambiénpara entender porqué se ha desarrollado en el curso de la evolución de un cierto modo y no deotro, porqué es más eficiente o más ventajosa cierta adaptación al medio, etc. Los artículos deinterés para la Geología se inscriben en la Geofísica y tocan (entre otros) los siguientes temas:procesos que modifican la corteza terrestre (orogénesis, volcanismo, erosión, sedimentación,etc.), sismología, magnetismo terrestre, estructura interna, origen y evolución de la Tierra y losplanetas, geocronología, gravimetría, hidrología y oceanografía física, mecánica de suelos, pro-piedades de rocas, etc. Son también numerosos los artículos de claro interés para otras discipli-nas, que tratan tópicos de cosmología, cosmogonía, astrofísica, fenómenos atmosféricos, meteo-rología, oceanografía, etc. En la medida que lo permite el espacio y la dificultad de los temastrato en estas páginas varios de ellos en forma sencilla y con carácter informativo, para que ellector pueda apreciar mejor la aplicación de la física a los temas de su interés.Qué debe saber de Física quien cursa otra carreraEsta cuestión tiene dos aspectos, referidos a la amplitud del conocimiento y la profundidad delmismo. Después de lo dicho debería quedar claro al lector que cuánta más física aprenda y concuánta mayor profundidad, tanto mejor. Pero también es evidente que hoy día es una utopíaplantear así la cuestión. Salta a la vista que no es mucho el tiempo que le puede dedicar a la Fí-sica un estudiante de otra carrera, y si le concediera más sería a costa de dejar de lado otros estu-dios importantes para él. Además es un contrasentido que quien no tiene intención de ser físicoacabe por convertirse en uno. El interrogante es otro, hay que preguntarse: ¿qué es lo mínimoindispensable que un científico debe saber de Física para desempeñarse bien en su profesión? y¿cómo podemos determinar ese mínimo? Creo que el criterio a emplear surge de observar quenuestro futuro científico debe apuntar a: 13 www.cienciamatematica.com
  • 26. 1. Introducción• conocer y entender las leyes básicas y los principios fundamentales de la Física, aunque no es necesario que domine los métodos de cálculo ni los formalismos más abstractos,• estar en condiciones de reconocer en un problema de su disciplina cuáles son los aspectos en los que la Física le puede ser útil,• tener cierta familiaridad con el lenguaje de la Física para poder plantearle al físico los pro- blemas en que éste lo puede ayudar,• estar en condiciones de leer en una revista científica los trabajos de física que tocan temas de su directo interés (como los que mencionamos arriba) y aunque no pueda seguir el detalle de los cálculos y desarrollos, debe ser capaz de asimilar la sustancia de los resultados para apre- ciar en que medida le pueden servir.De lo dicho resulta, a mi entender, que el objetivo de este texto debe ser dar al estudiante un pa-norama lo más amplio posible, poniendo énfasis sobre aquellos capítulos que más aplicacionestienen en las otras ciencias. El enfoque tiene que ser fenomenológico y aplicado, evitando lateorización excesiva, pero al mismo tiempo debe recalcar la unidad conceptual de los temas y lasconexiones entre diferentes modelos y problemas. El tratamiento de los temas tiene que ser sim-ple. Entre la amplitud del panorama y la profundidad, algo se debe sacrificar. Lo lógico en estecaso es que sea la profundidad. El desarrollo profundo y riguroso de los temas corresponde a losfísicos, que lo verán más adelante en sus estudios. En este nivel no se justifica. Es con estos cri-terios que elegí los temas que se tratan en este libro y la forma de presentarlos.Como se debe estudiar la FísicaEl carácter de los objetivos que acabo de señalar indica como se debe encarar el estudio. El lec-tor debe apuntar a asimilar y comprender los conceptos fundamentales. ¿Cómo sabe si los haasimilado y comprendido? Esto se reconoce viendo si adquirió la capacidad de aplicarlos a ca-sos concretos. Recordar de memoria los enunciados de leyes y el detalle de fórmulas es perfec-tamente inútil si no se sabe usarlas y sacarles provecho. Muchos creen que “saben” la materiacuando en realidad sólo recuerdan fórmulas y enunciados. No basta la memoria (aunque ayuda)para manejarse con la física. Es preciso comprender. Comprender, en este caso, significa saberrelacionar los enunciados abstractos y las fórmulas matemáticas entre sí y con el mundo que nosrodea. En realidad, visto desde esta óptica, el proceso de comprender las leyes de la física no secompleta nunca porque a medida que se estudian más aspectos se va entendiendo más y mejor,aunque siempre quedarán temas por conocer e investigar. En la práctica el nivel de comprensiónque se quiere lograr mediante este texto está fijado por los temas tratados y los problemas pro-puestos al lector.Dejando de lado estas generalidades, lo que el estudiante quiere saber es algo más práctico:cómo estudiar para aprender la materia y por lo tanto aprobar el correspondiente examen, y pro-curaré dar indicaciones lo más claras posibles al respecto.En primer lugar debe estudiar detenidamente y en forma reflexiva todos los temas, siguiendo losdesarrollos matemáticos14 y aclarando todas las dudas que pudiera tener. No debe estudiar “dememoria”. No se le exigirá memorizar sino muy pocas leyes, definiciones y fórmulas, y el valorde contadas constantes. No se le exigirá recordar largos desarrollos matemáticos. Sin embargoquien ha estudiado bien, buscando entender y prestando atención al significado, con un poco detiempo y trabajo debería poder reconstruir por sí mismo muchos desarrollos y deducciones,14 Esto significa que tiene que completar todos los pasos, incluso aquellos que para abreviar se omiten en el texto. 14 www.cienciamatematica.com
  • 27. 1. Introducciónaunque no los haya retenido en la memoria. Debería también ser capaz de explicarlos a otro y dereconocer si un planteo físico es correcto o no.En segundo lugar debe procurar resolver, eventualmente con alguna ayuda, los problemas quemuestran como se aplica la teoría a casos concretos. No se trata aquí de aprender recetas de ma-nual. La realidad es tan compleja y variada que ningún manual la puede abarcar. El sentido delos problemas no es enseñar “recetas” para todos los casos que se pudieran plantear, sino mostrarcomo se usa el razonamiento para aplicar las leyes y principios que se han estudiado. En princi-pio una persona muy inteligente que conoce bien la teoría debería poder resolver los problemaspor sí solo, aunque no lo haya hecho previamente. Pero en la práctica conviene ejercitarse paraadquirir soltura, agilidad, experiencia y confianza en uno mismo, y también para reconocer lospuntos débiles del estudio, o sea aquellos conceptos teóricos que uno cree haber entendido peroque en realidad no ha asimilado bien.De lo dicho se desprende que no es provechoso estudiar la parte práctica de la materia sin haberprimero afirmado bien la parte teórica. Ambas partes son interdependientes y se deben estudiaren paralelo. La una sostiene la otra. No sólo hay esta interdependencia entre la teoría y la prác-tica de la materia. También hay una estrecha interdependencia entre los distintos tópicos, que seapoyan mutuamente. Por eso no es posible estudiar provechosamente un capítulo sin haber en-tendido bien los anteriores. Asimismo conviene volver a leer los primeros capítulos luego dehaber estudiado los últimos, porque el nuevo conocimiento permite comprender mejor los alcan-ces de lo que se estudió antes. Se debe tener presente que la Física no es una yuxtaposición detópicos sin relación entre sí, sino que comprende un conjunto de nociones que se encadenanconceptualmente y deductivamente. Si fallan una o más de las partes de esa estructura el restopierde apoyo y se viene abajo.En tercer lugar el estudiante debe interactuar con el profesor y los demás docentes, asistiendo aclase y concurriendo a consultar sus dudas y dificultades en el estudio. Si bien en nuestra Uni-versidad no es obligatorio asistir a las clases teóricas y a las prácticas, y se puede aprender lonecesario para aprobar sin asistir a ellas, nunca insistiré demasiado en aconsejar la asistencia aclase. No se deben desaprovechar las oportunidades de dialogar con los docentes.Puede parecer extraño, pero la experiencia de quien escribe estas páginas es que las mayoresdificultades las suelen tener los estudiantes con aquellas partes de la materia que a primera vistaparecen las más simples y básicas, y en la aplicación de las leyes de la física a los fenómenosfamiliares de la vida cotidiana. Por lo tanto además de estudiar la teoría y resolver los problemasque se plantean en el curso, es muy útil que por propia iniciativa el estudiante se ejercite en ob-servar el mundo que lo rodea con una visión física, que intente interpretar lo que ve en base a lasleyes que ha estudiado, y que plantee sus razonamientos, conclusiones, dudas e inquietudes alprofesor.Por último resumiré brevemente cuáles son a mi entender las principales causas de los fracasosen superar esta materia. Son ellas:• Insuficiente dedicación. La Mecánica es una materia difícil. El programa es extenso y com- prender bien los fundamentos es laborioso. Quien quiere cursar Física I junto con otra mate- ria que requiere mucha dedicación, o junto a dos otras materias, no está haciendo algo pru- dente.• No estudiar en la forma correcta. Aunque la dedicación sea mucha se puede fracasar por esforzarse en memorizarlo todo o por perderse en detalles. Como expliqué antes, el esfuerzo se debe concentrar en la comprensión. 15 www.cienciamatematica.com
  • 28. 1. Introducción• Discontinuidad del esfuerzo. Para que sea eficiente y rinda buenos frutos el esfuerzo debe ser intenso y continuado. Si se interrumpe el estudio por muchas semanas o meses, se olvida lo anterior y al retomar la materia hay que volver sobre aquello que mientras tanto se ha olvi- dado. Para evitar este despilfarro inútil de tiempo y energía hay que fijar un ritmo y mante- nerlo. Las discontinuidades se deben evitar. Es un error, que los estudiantes siempre descu- bren cuando ya es tarde, esforzarse para aprobar los trabajos prácticos y dejar el examen fi- nal para el cuatrimestre o el año siguiente. De esta forma se acaba por estudiar el doble, se aprende menos, y las notas son insatisfactorias.• Malos hábitos de estudio. Muchos estudiantes dedican largas horas al estudio pero con es- caso rendimiento. Aquí cada uno debe analizar su caso particular y actuar en concordancia. En general, es fundamental estudiar con concentración, evitando las distracciones y las inte- rrupciones. La práctica de estudiar entre varias personas no es buena: es fácil perder tiempo en charlas y la jornada no rinde.• Falta de interés por la Física. Esta causal no es importante por sí misma, sino porque lleva al estudiante a incurrir en los hábitos negativos que acabo de mencionar. Es comprensible que estudiantes de otras carreras no se sientan atraídos por la Física, y no es ningún pecado. Lo que sí es una pena es que por no ocuparse con el debido empeño en el estudio, acaben por condenarse a sí mismos a multiplicar ese esfuerzo que les desagrada, pues eso es precisa- mente lo que sucede cuando se fracasa en los trabajos prácticos o en el examen final y hay que repetir la cursada. Lo acertado entonces es hacer el esfuerzo necesario y suficiente para superar la materia sin contratiempos.• Defectuosa base previa. Esto es común especialmente en lo que se refiere al álgebra, la geo- metría y el cálculo, y tiene sus raíces en defectos de la enseñanza preuniversitaria. Está claro que corregir esta falencia no puede ni debe ser función de la Universidad. El estudiante que observa esta dificultad (los docentes pueden ayudar a diagnosticarla) deberá resignarse a dedicar tiempo y esfuerzo por su cuenta para remediarla, de lo contrario el estudio de la Fí- sica le resultará muy laborioso y no le rendirá ya que en lugar de esforzarse por entender lo que tiene que aprender, o sea la Física, pasará su tiempo tratando de entender la manipula- ción de las fórmulas matemáticas y perderá de vista el resto.• Falta de aptitud para la Física. Muchas veces se invoca esta causal cuando en realidad el motivo es otro. Las dotes requeridas para el estudio de las ciencias son básicamente las mis- mas ya sea que se trate de la Física, la Geología, la Biología, la Astronomía, etc. La elección de una u otra es una cuestión de gustos y preferencias más que de aptitud. Es difícil creer que sea negado para la Física quien ha demostrado poseer la capacidad de aprender otra ciencia. En general lo que ocurre es que se confunde la falta de aptitud con el empleo de métodos de estudio incorrectos. El estudiante se acostumbra a los métodos y hábitos de estudio propios de las materias de su carrera, que muchas veces no sirven para la Física, y al obtener malos resultados cree que es por falta de aptitud.Para concluir, recomiendo enfáticamente a los alumnos que no esperen a que se consume unfracaso en la cursada, sino que tan pronto adviertan signos que indiquen que el estudio no pro-gresa satisfactoriamente acudan al profesor y a los docentes para que los ayuden a encaminarsecorrectamente. 16 www.cienciamatematica.com
  • 29. 2. Magnitudes físicas2. MAGNITUDES FÍSICASCuando la física estudia algún aspecto de la naturaleza lo primero que hace es deslindar lo másclaramente posible cuál es la parte de la naturaleza que le interesa, separándola del resto. Laparte que está bajo estudio se llama sistema. Qué es lo que forma parte del sistema y qué es loque no lo integra es una cuestión que se debe decidir claramente desde el comienzo. Esta deci-sión está librada al criterio del estudioso y es en gran medida arbitraria. Aunque muchas veces setoma por razones prácticas o de conveniencia, una decisión juiciosa sobre esta cuestión es fun-damental para que el tratamiento sea sencillo y a la vez útil. Como veremos, en muchos casos ladefinición del sistema queda implícita ya que es bastante obvia, pero esto no debe llevar al lectora creer que el tema se pueda soslayar: una afirmación puede ser cierta o falsa según como sehaya definido al sistema. Por ejemplo si afirmamos que al chocar una bocha contra otra se con-serva la energía mecánica, tal afirmación es cierta1 si se entiende que el sistema (cuya energíamecánica decimos que se conserva) es el conjunto de las dos bochas, pero es falsa si se consi-dera que el sistema está formado por la primera (o la segunda) de las bochas.Al estudiar un sistema físico estamos interesados en una o varias de sus características, a las quedenominamos sus propiedades físicas, cuya descripción se hace en términos de lo que llamamosmagnitudes. Por ejemplo si el sistema que consideramos es un gas encerrado en un recipiente lasmagnitudes físicas que lo describen serán la presión p del gas, el volumen V que ocupa, su canti-dad (o sea su masa m, o bien el número n de moles), su temperatura T, etc.El objeto de las leyes físicas es establecer relaciones entre las magnitudes que caracterizan alsistema, de modo tal que conocidos los valores de algunas de ellas se puedan calcular o predecirlos valores de las otras y su evolución con el correr del tiempo. En el caso de un gas en un reci-piente citado antes, p, V, T y n están relacionadas, en el equilibrio, por medio de la fórmulaaproximada pV = nRT (2.1)donde R es una constante universal2. Esta fórmula expresa una ley física3, llamada ecuación deestado de los gases ideales. Otro ejemplo de ley física es la ley del resorte (ec. (1.1)) que pre-sentamos en el Capítulo anterior y más adelante se verán muchas otras. La Física es una cienciaexperimental y esto quiere decir que sus leyes se obtienen de la observación y la experimenta-ción. Fue por medio de la experimentación que se encontraron las leyes que se acaban de men-cionar.Las leyes que rigen el comportamiento de sistemas complejos son lógicamente complicadas, loque hace difícil la tarea del físico. Sin embargo hay una estrategia extraordinariamente útil yfructífera que permite atacar estas dificultades. Consiste en dividir un sistema complejo en partesmás simples, estudiar cada parte por separado, y deducir las propiedades del conjunto a partir delas propiedades de las partes que lo componen y de sus interacciones. Por ejemplo, si se consi-1 Con buena aproximación.2 La constante universal de los gases, cuyo valor es de 8.3143 joule/˚K (el significado de las unidades joule y ˚K severá más adelante).3 Notar que hemos definido el significado de los símbolos que figuran en la (2.1). Si no se hiciera esto la fórmulacarecería de contenido físico. 17 www.cienciamatematica.com
  • 30. 2. Magnitudes físicasdera el gas de antes como un conjunto de moléculas, se puede deducir la ley (2.1) a partir de laspropiedades de las moléculas4.La importancia de este enfoque no es sólo práctica (porque permite abordar problemas que sepresentan como sumamente complicados) sino también conceptual, ya que permite una enormesíntesis del conocimiento porque condensa muchas leyes y relaciones en pocas leyes más fun-damentales referidas a sistemas simples, a partir de las cuales se deducen todas las demás me-diante procedimientos lógicos y aplicando fórmulas matemáticas. Se tiene así una poderosa he-rramienta que permite atacar un número muy grande de problemas. Eso es lo que estudiaremosen estas páginas.Vemos así que los elementos básicos con que trabaja el físico para construir su estructura deleyes son las magnitudes físicas. Las magnitudes físicas son los datos que vienen de la observa-ción y la experiencia. De lo dicho se desprende que el concepto de magnitud está íntimamenterelacionado con la idea de medición. Más precisamente, una magnitud física queda definidacuando se conocen las prescripciones para medirla, es decir asociarle valores numéricos compa-rándola con otra de la misma clase tomada como unidad. Por ejemplo la longitud (de un objeto)es una magnitud que queda definida cuando se especifica el procedimiento a seguir para medirla.Este procedimiento puede ser, verbigracia, comparar la longitud en cuestión con una regla gra-duada y contar cuántas veces la unidad en que está dividida la regla entra en la longitud que seestá midiendo.Unidades y dimensiones de las magnitudes físicasDe lo expuesto debe quedar claro que hay muchas clases de magnitudes físicas, caracterizadasde diferente manera. Algunas de ellas se pueden comparar entre sí: por ejemplo todas las longi-tudes se pueden medir con una regla (por lo menos en principio) y se pueden expresar en térmi-nos de la misma unidad. Se dice entonces que tienen la misma dimensión, que en este caso es ladimensión de longitud y se indica con el símbolo de longitud l encerrado entre corchetes: [l] ≡ dimensión de longitud (2.2).La unidad de longitud, es decir la unidad en la que se expresan las medidas de longitud queda aelección del físico: puede ser el centímetro (cm), el metro (m), o cualquier otra que resulte con-veniente según el caso.Si consideramos ahora otra magnitud como la superficie o el área de un objeto, vemos que unárea no se puede comparar con una longitud5. Se trata en este caso de magnitudes de dimensio-nes diferentes. Sin embargo hay una relación de carácter geométrico entre ambos conceptos, yaque podemos medir un área viendo cuantas veces entra en ella un área unidad definida (porejemplo) como un cuadrado cuyos lados miden una unidad de longitud. Así es que un área sepuede medir en centímetros cuadrados o metros cuadrados. Esto se expresa diciendo que las di-mensiones de área son [área ] = [l × l] = [l2 ] (2.3)4 Esto se verá más adelante.5 Es decir, no se puede medir un área con una regla, pues para medirla es preciso compararla con otra área. 18 www.cienciamatematica.com
  • 31. 2. Magnitudes físicasEn general entre las dimensiones de magnitudes físicas de diferente dimensionalidad se puedenestablecer relaciones que expresan las dimensiones de una magnitud en términos de las dimen-siones de otras, de manera análoga a la que establecimos en la (2.3) entre las dimensiones deárea y de longitud. Según su origen hay relaciones dimensionales que provienen de:• Relaciones geométricas como la que ya vimos entre área y longitud. También es de esta clase la relación entre las dimensiones de volumen y de longitud: [ volumen] ≡ [V ] = [l × l × l] = [l3 ] (2.4)• Definiciones. Podemos definir la densidad de un cuerpo (que indicamos con ρ) como el co- ciente entre su masa m y su volumen V, esto es ρ = m / V . De esta definición resulta que [ ρ ] = [ m]/[V ] = [ m / l3 ] . (2.4) Si elegimos el gramo (g) y el centímetro (cm) como unidades de masa y de longitud la uni- dad de densidad es el g/cm3 y la densidad se expresa en gramos por centímetro cúbico.• Leyes físicas. De la ley del resorte F = kx (ec. (1.1)) surge una relación dimensional entre las magnitudes F, k, x. De la misma se obtiene que las dimensiones de k son [k ] = [ F ]/[l] = [ Fl −1 ] (2.5) o sea son las de fuerza dividida por longitud. Si la fuerza se mide en kilogramos-fuerza (kgf), y x en cm, k se medirá en kilogramos-fuerza/cm. De manera análoga a partir de otras leyes se pueden también deducir relaciones dimensionales.Debido a las relaciones dimensionales entre diferentes magnitudes físicas se suele decir que al-gunas de ellas son fundamentales y otras derivadas, porque se pueden expresar dimensional-mente en términos de las primeras. Correspondientemente las respectivas unidades se dicen fun-damentales en un caso y derivadas en el otro. Así, por ejemplo, la longitud es fundamental y elárea derivada. Sin embargo se debe notar que esta distinción es totalmente arbitraria, ya que nohay ninguna razón de principio para considerar que una magnitud es más fundamental que otra.Con igual derecho se podría haber procedido al revés, tomado el área como fundamental y lalongitud como derivada.Es práctico sin embargo fijar alguna convención, tomando ciertas magnitudes y sus unidadescomo fundamentales y considerar las demás como derivadas. Estas convenciones dan lugar a losdiferentes sistemas de unidades que se emplean en la física. Los sistemas más usados (y quenosotros emplearemos) son el sistema cgs (centímetro, gramo, segundo) y el MKS (metro, kilo-gramo, segundo). Ambos toman como fundamentales la longitud ( l), la masa (m) y el tiempo (t)así como sus respectivas dimensiones [l] , [ m] , [t ] y los resumimos en la Tabla 2.1. Tabla 2.1. Sistema de unidades. Magnitudes Unidades fundamentales cgs MKS l cm m = 100 cm m g kg = 1000 g t s s 19 www.cienciamatematica.com
  • 32. 2. Magnitudes físicasA fin de evitar confusiones (y errores) se debe siempre explicitar el sistema de unidades que seestá empleando. Recordemos también que por razones históricas, técnicas y también prácticas,en muchas aplicaciones se emplean unidades que no pertenecen a los sistemas antes menciona-dos. Cuando venga al caso introduciremos esas unidades y daremos su equivalencia en términosde las unidades cgs y MKS.Magnitudes sin dimensionesSi se define una nueva magnitud física a partir del cociente entre dos magnitudes de la mismadimensionalidad se obtiene una magnitud adimensional, esto es un número puro que no tienedimensiones (se dice que tiene dimensión cero). Claramente las magnitudes adimensionales tie-nen el mismo valor en cualquier sistema de unidades. Las magnitudes adimensionales puedenprovenir de:• Relaciones geométricas. Un ejemplo de esta clase es la relación entre la circunferencia C y el diámetro D de un círculo (Fig. 2.1a). Evidentemente C [ l] = π = 3.14159... , [π ] = = [0] (2.7) D [ l] Como todos saben π es un número puro. Los ángulos son otro ejemplo de magnitudes sin dimensiones. Si a, b son los catetos y c la hipotenusa de un triángulo rectángulo (Fig. 2.1b) y α es el ángulo opuesto a a, se tiene que α = arcsen(a / c) = arctan(a / b) (2.8) C D c a a b (a) (b) Fig. 2.1. Magnitudes sin dimensiones provenientes de relaciones geométricas: (a) C / D = π , (b) α = arcsen(a / c) = arctan(a / b) .• Relaciones físicas. Un ejemplo de magnitud física adimensional es el número de Mach M, que juega un rol importante en la aerodinámica. Para un avión que vuela en el aire se define como velocidad del vuelo del avión M= (2.9) velociad del sonido en el aire 20 www.cienciamatematica.com
  • 33. 2. Magnitudes físicas Cuando M < 1 tenemos vuelo subsónico mientras que si M > 1 tenemos vuelo supersónico. El problema físico es muy distinto en un caso que en el otro y de resultas de eso los criterios de diseño son diferentes, según si se proyecta el avión para vuelo subsónico o supersónico.Las magnitudes adimensionales originadas en relaciones físicas tienen gran importancia porquesuelen servir como parámetros que determinan regímenes físicos diferentes, debido a que dancondiciones para que determinados factores sean o no importantes en el problema. Veremos enestas páginas otros ejemplos de magnitudes adimensionales, entre ellos el número de Reynolds,de gran importancia en la mecánica de fluidos.Magnitudes extensivas e intensivasComo ya dijimos es muy común en física considerar a un dado sistema como compuesto de doso más partes, cada una de las cuales constituye un subsistema. Cada subsistema estará caracteri-zado por determinadas magnitudes físicas que lo describen. Es importante saber que relación hayentre las magnitudes físicas correspondientes a los subsistemas y la homóloga magnitud para elsistema compuesto. Se pueden dar aquí dos casos diferentes que permiten clasificar las magni-tudes en dos categorías: extensivas e intensivas.Las magnitudes extensivas se caracterizan porque al integrarse los subsistemas partes para for-mar el sistema que los engloba, sus valores se suman. Un ejemplo de esta clase es el volumen: siV1, V2 , V3 , ... son los volúmenes de los subsistemas S1, S2 , S3 , ... , el volumen total del sistemaconjunto S = S1 + S2 + S3 + ... es V = V1 + V2 + V3 ... (2.9)Otras magnitudes extensivas son la masa, la cantidad de movimiento, la energía, etc.No todas las magnitudes tienen un comportamiento tan simple. Magnitudes como la densidad, latemperatura, la presión, etc. no se obtienen como la suma de los correspondientes valores paralos subsistemas de un sistema. Tales magnitudes se llaman intensivas.Propiedades geométricas de las magnitudes físicasHay magnitudes físicas que quedan completamente especificadas dando su valor en una unidadconveniente, esto es un número (que expresa el valor) y la unidad (que expresa la dimensionali-dad). Ejemplos de este tipo de magnitudes son: distancia, volumen, masa, temperatura, presión,etc. Las magnitudes que tienen esta propiedad se llaman escalares porque tienen las mismaspropiedades geométricas que los entes matemáticos del mismo nombre.Otras magnitudes requieren datos adicionales para su especificación completa, además de unvalor en la oportuna unidad. Por ejemplo para especificar un desplazamiento no basta dar la dis-tancia recorrida, sino que hace falta conocer el punto de partida y la dirección y sentido delmismo. Otro ejemplo es la velocidad, que para estar completamente determinada requiere cono-cer, además de su magnitud, a la dirección y el sentido del movimiento. Magnitudes de este tipo,que tienen las mismas propiedades geométricas y algebraicas que los entes matemáticos deno-minados vectores, se llaman magnitudes vectoriales y se representan mediante vectores.Con los escalares y los vectores no se agotan las posibilidades en lo referente a las propiedadesgeométricas y algebraicas de las magnitudes físicas. En realidad, escalares y vectores son partede una clase más amplia de entes matemáticos, llamados tensores. Los tensores se caracterizanpor su rango que es un número entero que puede valer 0, 1, 2, 3, … etc. Los tensores de rango 0coinciden con los escalares y los tensores de rango 1 son los vectores, pero también hay tensores 21 www.cienciamatematica.com
  • 34. 2. Magnitudes físicasde mayor rango6. En general las magnitudes físicas se representan matemáticamente mediantetensores y como casos particulares tenemos las magnitudes escalares y vectoriales. Pero hayotras magnitudes cuya representación requiere tensores de mayor rango. Por ejemplo el mo-mento de inercia de un cuerpo rígido y los esfuerzos y deformaciones en un medio continuo, sontensores de rango 2. En estas páginas no haremos uso explícito de los tensores, para mantenernosen un nivel matemático sencillo.Simetría de escalaLa simetría de los sistemas físicos, esto es la propiedad de permanecer sin cambios cuando serealizan determinadas transformaciones (invariancia) tiene importantes consecuencias que setraducen en la conservación de determinadas magnitudes. Del punto de vista práctico esto faci-lita la solución de ciertos problemas. Por ejemplo la homogeneidad del espacio implica que unsistema aislado es invariante bajo traslaciones y debido a ello se conserva la cantidad de movi-miento del sistema; este hecho simplifica el estudio del movimiento de un conjunto de partículasque interactúan, porque se puede analizar el movimiento del centro de masa independientementedel movimiento de las partículas con respecto de dicho centro7. De manera semejante la isotropíadel espacio implica que un sistema aislado es invariante bajo rotaciones y en consecuencia seconserva su momento angular; es bien sabido que esta circunstancia simplifica el estudio delmovimiento planetario8. Se podrían citar otros ejemplos y todos ellos nos enseñan que el análisisde las propiedades de simetría es un auxiliar poderoso en el estudio de los fenómenos físicos.Las simetrías que acabamos de mencionar se originan en propiedades geométricas, tanto gene-rales del espacio-tiempo como propias de los sistemas mismos. Pero no todas las simetrías queaparecen en la Física son puramente geométricas. En efecto, como se acaba de ver las magnitu-des físicas se caracterizan por tener dimensiones, además de atributos geométricos. Debido a estehecho los sistemas físicos tienen simetrías que provienen de que la elección de las unidades demedida es arbitraria y no guarda relación con la sustancia de los fenómenos. Esta es la esenciade la simetría de escala, cuya manifestación consiste en que la descripción de los fenómenosfísicos debe ser invariante respecto de cambios en las unidades de medida, o lo que es equiva-lente, frente a cambios de escala de las magnitudes mismas. Presentaremos ahora el concepto desimetría de escala en forma simple e intuitiva y analizaremos algunas de sus consecuencias.Semejanza geométricaLa semejanza en la física es una generalización de la semejanza geométrica. Comenzaremosrecordando este concepto y luego nos referiremos a la semejanza física. En su forma más simple,la noción de semejanza geométrica se expresa diciendo que dos figuras son semejantes si lasrazones entre todas las correspondientes longitudes son idénticas. Es así que los polígonos de laFigura 2.2 son semejantes, ya que ′ ′ l1 l2 = =…= r (2.11) l1 l26 En el Apéndice 2 se resumen las principales propiedades de escalares y vectores. El lector que quiera conocer máspuede consultar el excelente libro de L. Santaló Vectores y tensores con sus aplicaciones (EUDEBA 1976).7 Ver el Capítulo 8.8 Esto se verá en el Capítulo 7. 22 www.cienciamatematica.com
  • 35. 2. Magnitudes físicasLa razón r se llama razón de semejanza, factor de escala, o simplemente escala. l2 l1 l1 l2 F F l3 l3 Fig. 2.2. Dos polígonos semejantes.Una transformación de semejanza entre las figuras F y F ′ : F ⇒ F′ (2.12)se efectúa mediante un cambio de escala de la forma l1 = rl1 , l2 = rl2 ,… ′ ′ (2.13)o sea, todas las longitudes li′ de F ′ se obtienen multiplicando las correspondientes longitudes lide F por el factor de escala r.Un concepto relacionado pero más general es el de la semejanza afín, o afinidad. Se habla deafinidad cuando existe semejanza, pero referida sólo a un particular sistema de parámetros. y F P (x, y ) F P (x, y ) x Fig. 2.3. Dos elipses son afines.Veamos un ejemplo. Supongamos haber elegido en el plano de la Fig. 2.3 un particular sistemade ejes cartesianos (x, y). Si P ≡ ( x, y) es un punto de una figura F , y P′ ≡ ( x ′, y ′) es el corres-pondiente punto P′ de la figura F ′ , se dice que F y F ′ son afines (o que tienen semejanza afín)si se cumple que x′ y′ = rx = cte. x , = ry = cte. y (2.14) x ypara todo par de puntos correspondientes de F y F ′ . Se ve de la Fig. 2.3 que todo par de elipseses afín si las referimos a un sistema de ejes con origen en el centro de las figuras y orientados a 23 www.cienciamatematica.com
  • 36. 2. Magnitudes físicaslo largo de sus semiejes. Esta elección respecto de la cual se define la afinidad es el particularsistema de parámetros al que nos referíamos antes. Recordemos que un método sencillo paraconstruir elipses se basa precisamente en la afinidad entre la elipse y el círculo.Un importante concepto relacionado con toda clase de transformaciones (y en particular con lasde semejanza y afinidad) es el de invariante. Un invariante es una entidad que no cambia si serealiza la transformación (en nuestro caso una semejanza o una afinidad). Por ejemplo: A A a s a s s O O r r r B B (a) (b) Fig. 2.4. Invariancia de escala de los ángulos.• Consideremos el ángulo α de vértice O que tiene por lados las semirectas OA y OB (Fig. 2.4a). Sea s el arco de una circunferencia con centro en O y radio r subtendido por α . Reali- cemos ahora la transformación de semejanza (r, s) ⇒ (r ′, s ′) (2.15) que hace corresponder a s y r un nuevo arco s y un nuevo radio r (Fig. 2.4b). Es evidente que el cociente entre el arco y el radio (el ángulo subtendido por el arco) es un invariante: s s′ α= = = invariante (2.16) r r′ Luego los ángulos son invariantes de escala. Por otra parte es fácil ver que no son inva- riantes afines. dS dy dS dy dx dx Fig. 2.5. La relación entre el área y las dimensiones lineales.• Consideremos la relación entre el área y las dimensiones lineales de los elementos rectangu- lares de la Fig. 2.5. Claramente dS dS ′ σ= = (2.17) dx dy dx ′ dy ′ y entonces σ es un invariante de escala, pero en este caso es también un invariante afín. 24 www.cienciamatematica.com
  • 37. 2. Magnitudes físicas l l S S Fig. 2.6. La ley de escala de las áreas.Leyes de escalaLa existencia de invariantes frente a cambios de escala permite obtener leyes de escala. Porejemplo, si S y S ′ son las superficies de dos figuras semejantes F y F ′ , y si l y l son dos longi-tudes correspondientes cualesquiera asociadas a F y F ′ (Fig. 2.6), tendremos que S S′ = 2 = Π = invariante (2.18) l 2 l′y a partir de esta relación obtenemos la ley de escala: S = Π l2 (2.19)que expresa que el área de una figura geométrica cualquiera varía en proporción al cuadrado delas dimensiones lineales de la misma. Aquí Π solo puede depender de otros invariantes que de-terminan la forma de la figura (para un polígono esos invariantes serán ángulos y cocientes entrelas longitudes de los lados).Como aplicación de la ley de escala de las áreas vamos a obtener el Teorema de Pitágoras y lafórmula que expresa el área de una elipse. a 2 b a 1 a c Fig. 2.7. El Teorema de Pitágoras.Teorema de Pitágoras Sea el triángulo rectángulo de lados a, b, c de la Fig. 2.7. Bajando la perpendicular a la hipote-nusa desde el vértice opuesto lo dividimos en los triángulos 1 y 2. El área del triángulo originales igual a la suma de las áreas de los triángulos 1 y 2: 25 www.cienciamatematica.com
  • 38. 2. Magnitudes físicas Sabc = S1 + S2 (2.20)Nótese que los triángulos (abc), 1 y 2 son semejantes. Ahora, en virtud de la (2.19) para todotriángulo rectángulo de hipotenusa h se debe cumplir que S = Π h 2 , donde el invariante Π solopuede depender de otros invariantes que determinan la forma del triángulo rectángulo. Por lotanto tendremos que Π = f (α ) donde α indica uno de los ángulos adyacentes a la hipotenusa yentonces S = f (α ) h 2 . Usando esta expresión en la (2.20) resulta f (α ) a 2 = f (α ) b 2 + f (α ) c 2 (2.21)y quitando el factor común se obtiene el resultado buscado: a2 = b2 + c2 (2.22)Dejo como ejercicio para el lector explicar porqué no se puede obtener el mismo resultado si eltriángulo no es plano (por ejemplo, si se trata de un triángulo sobre la superficie de la Tierra). b Se a Fig. 2.8. El área de la elipse.El área de una elipse como consecuencia de la semejanza afín La Fig. 2.8 muestra una elipse de semiejes a, b, y cuya área es Se. Por lo dicho antes (ec. (2.17))la relación Se = Πe (2.23) abes un invariante afín, que en este caso es un número puro pues la elipse queda definida por sussemiejes. Vale entonces la ley de escala Se = Π e a b . Aquí Π e es el mismo para todas las elipsesy por lo tanto se puede determinar de una vez y para siempre usando la que más convenga. Enparticular el círculo es una elipse cuyos semiejes son iguales. Luego Π e = π = 3.1415926… yentonces la fórmula buscada es Se = π a b (2.24)Pasamos ahora a la discusión de la semejanza física. 26 www.cienciamatematica.com
  • 39. 2. Magnitudes físicasSemejanza físicaLa semejanza física es análoga a la semejanza geométrica con la salvedad de que debe tomar encuenta que las magnitudes físicas se caracterizan por otras dimensiones, además de aquellas decarácter geométrico. Se dice que dos fenómenos físicos son semejantes cuando las característicasde uno se pueden obtener a partir de las características del otro por medio de un simple cambiode escala9. Dicho cambio de escala es análogo a la transformación de un sistema de unidades demedida a otro. q l g m Fig. 2.9 El péndulo.Nada mejor que estudiar un caso concreto para aclarar la idea de semejanza física. Sea, porejemplo, el movimiento pendular. Un péndulo simple (Fig. 2.9) es una partícula de masa m sus-pendida por medio de un hilo inextensible de masa despreciable y longitud l y cuyo otro extremoestá fijo. En el Capítulo 6 mostraremos que el movimiento del péndulo está regido por la ecua-ción d 2θ g 2 = − sen θ (2.25) dt ldonde θ es el ángulo que forma el péndulo con la vertical y g ≅ 980 cm/ s2 es la aceleración dela gravedad. Se puede observar que la masa del péndulo no interviene10 en la (2.25).Veremos que el movimiento del péndulo forma parte de una clase de fenómenos semejantes, locual es consecuencia de la invariancia de escala de la ecuación del movimiento (2.25). Dicha9 Para llevar a cabo la transformación se deben conocer los factores de escala. La semejanza física es la base delempleo de modelos a escala de laboratorio para estudiar el comportamiento de sistemas y dispositivos de grantamaño.10 Que el movimiento del péndulo no dependa de la masa es un hecho experimental cuya razón se verá másadelante. 27 www.cienciamatematica.com
  • 40. 2. Magnitudes físicasinvariancia se puede verificar explícitamente: si escalamos todas las longitudes por un factor rl ytodos los tiempos por un factor rt resulta (indicamos con las magnitudes escaladas) que l ′ = rl l , t ′ = rt t , θ ′ = θ , g′ = rl rt−2 g (2.26)y sustituyendo en la (2.25) obtenemos d 2θ ′ g′ = − sen θ ′ (2.27) dt ′ 2 l′Puesto que las magnitudes escaladas satisfacen la misma ecuación que aquellas sin escalar laecuación del movimiento es invariante. En consecuencia las características del movimiento deun péndulo se pueden obtener a partir de las características del movimiento de otro péndulo me-diante un simple cambio de escala11.La simetría de escala queda en evidencia si se escribe la ecuación del movimiento en términosde los invariantes de escala θ , τ = t / T , Π = T 2g / l (2.28)donde T es el período de la oscilación. Se obtiene entonces d 2θ = − Π sen θ (2.29) dτ 2En esta ecuación solamente figuran invariantes y por lo tanto es manifiestamente invariante.A partir del invariante Π se obtiene la ley de escala del período T = (Π l / g)1 / 2 . Aquí Π puededepender tan solo de invariantes constantes y los únicos invariantes constantes del problema sonθ0, la amplitud de la oscilación, y φ0, la fase inicial. Como el período no puede depender de lafase inicial, podemos poner Π 1 / 2 = f (θ 0 ) y resulta l T= f (θ 0 ) (2.30) gEsta ley de escala permite expresar el período en términos de los parámetros del problema, amenos de la función f (θ 0 ) cuya forma no conocemos. Se puede notar sin embargo que en ellímite de pequeñas oscilaciones ( θ 0 → 0 ), Π debe ser independiente de θ0 y en consecuencia ƒdebe tender a un valor constante, pero es obvio que dicho valor no se puede deducir medianteconsideraciones puramente dimensionales12.A partir de este ejemplo podemos hacer algunas generalizaciones que son consecuencia de quela elección del sistema de unidades es arbitraria y no tiene conexión con la sustancia del fenó-meno, como dijimos antes:11 Nótese que las condiciones iniciales, que no aparecen en la ecuación del movimiento, también se deben incluirentre las características cuya escala se cambia.12 El valor de esta constante es 1/ 2π, como veremos en el Capítulo 6. 28 www.cienciamatematica.com
  • 41. 2. Magnitudes físicas• Los invariantes de escala son siempre magnitudes sin dimensiones, cuyo valor es indepen- diente del sistema de unidades elegido. Se construyen combinando las variables, parámetros y constantes físicas del problema.• Toda relación física correspondiente a un dado problema (ecuaciones de movimiento, condi- ciones de equilibrio, condiciones iniciales y de contorno, etc.) se puede expresar como una relación entre invariantes de escala.• Dos fenómenos son semejantes si, y solo si, todas sus variables y parámetros adimensionales tienen los mismos valores numéricos.El Análisis Dimensional nos permite generalmente (existen algunas limitaciones) determinar lascombinaciones adimensionales adecuadas a cada problema en particular. El Teorema Pi deBuckingham permite determinar el número de combinaciones adimensionales independientesque se pueden formar a partir de las cantidades dimensionales correspondientes a un problemadado: Teorema Pi: Si n es el número de parámetros característicos del problema (constantes o variables), y entre ellos hay k que tienen dimensiones independientes, la cantidad de combinaciones adimensionales independientes que se pueden formar es igual a n – k .La simetría de escala y sus consecuencias son siempre muy útiles. Cuando se conocen las ecua-ciones que rigen el problema, los parámetros, variables y constantes se determinan por inspec-ción y son la base para discutir la semejanza, efectuar las consideraciones dimensionales y ob-tener las leyes de escala. En estos casos la simetría de escala simplifica la investigación al redu-cir el número de parámetros y al restringir las dependencias funcionales.A veces es imposible resolver el problema por el proceso de análisis y cálculo debido a dificulta-des matemáticas demasiado grandes, o a que el problema no se puede formular matemática-mente porque el fenómeno bajo estudio es muy complejo, o, finalmente, porque nuestro conoci-miento es incompleto. En estos casos la simetría de escala y las consideraciones dimensionalessirven igualmente, porque permiten investigar el problema mediante modelos a escala o bienporque proporcionan en forma simple y directa respuestas teóricas aproximadas y/o cualitativas.A veces esto puede ser todo lo que se requiere, o que se puede tener la esperanza de obtener.Finalmente, este tipo de análisis sugiere la naturaleza del conocimiento que está faltando y asíindica la dirección en que se debe seguir investigando.La arbitrariedad de la elección de las magnitudes y dimensiones fundamentalesUna característica de la Mecánica Newtoniana es que en su formulación matemática no apareceninguna constante fundamental propia de la teoría. Por consiguiente todas sus leyes escalan per-fectamente ante cambios de magnitud arbitraria de los parámetros. Es usual, aunque no obligato-rio, formular la mecánica en términos de tres magnitudes dimensionales: masa (m), longitud ( l)y tiempo (t) y esto es lo que hemos supuesto implícitamente en este Capítulo. Cabe observar, sinembargo, que se trata de una elección arbitraria. En efecto, el número de magnitudes se puedeaumentar o disminuir. Consideremos por ejemplo la relación (2.4) entre el volumen y la longi-tud. Esta relación se funda en la ley de escala de origen geométrico V ~ l 3 entre el volumen de uncuerpo y sus medidas lineales. A partir de la misma se obtiene la relación dimensional[V ] = [ Kl3 ] donde K es una constante. Para llegar a la (2.4) hemos elegido K = 1 . Pero con igualderecho podríamos haber hecho una elección diferente, en la cual K difiere de la unidad y tiene 29 www.cienciamatematica.com
  • 42. 2. Magnitudes físicasdimensiones. De hacer así, nuestra teoría se formularía en términos de cuatro magnitudes (m, l,t y V) en vez de las habituales tres y contendría además la constante dimensional K. Esto es per-fectamente legítimo y a los efectos prácticos no altera las conclusiones del análisis dimensional.En particular en el Teorema Pi tendríamos ahora n′ = n + 1 parámetros característicos (los ante-riores más K) y tendríamos entre ellos k ′ = k + 1 que tienen dimensiones independientes pueshabría una dimensión independiente más. Pero la cantidad de combinaciones adimensionales encualquier problema seguiría siendo la misma pues n′ − k ′ = n − k . También se puede proceder ala inversa, y disminuir el número de dimensiones (y unidades) fundamentales, suponiendo arbi-trariamente que ciertas constantes son adimensionales y su valor es 1. Un ejemplo de este tipo esla convención usada frecuentemente en Mecánica Cuántica que consiste en suponer que la velo-cidad de la luz en el vacío (c) y la constante de Planck ( h ) son iguales a 1. Con esta elección setiene que [l ] = [t ] = [ m −1 ].Mencionamos estos ejemplos con el único fin de mostrar al lector que el número de dimensionesindependientes es arbitrario incluso en la Mecánica Newtoniana, aunque la conveniencia sugiereuna determinada elección. En general, cuanto mayor sea el número de dimensiones que se elijan,tanto más grande será el número de unidades independientes que se pueden elegir de manera quesu tamaño resulte conveniente a los fines prácticos. Es importante recordar, sin embargo, quecambiar las unidades e incluso el número de dimensiones no afecta el contenido físico de lasfórmulas que se obtengan de la teoría, siempre y cuando se las interprete correctamente.En la mecánica Newtoniana se usa siempre (por convención) el sistema m, l, t, por lo tanto loque se acaba de comentar no reviste mayor interés. Pero la cuestión es relevante en otras teorías,en cuya formulación aparecen constantes fundamentales. Un ejemplo es el Electromagnetismo,en el cual c figura como constante fundamental de la teoría. En este caso las leyes físicas escalancorrectamente sólo si se mantienen constantes las razones entre longitudes y tiempos. En elElectromagnetismo, además, se usan distintos sistemas que difieren en el número de dimensio-nes fundamentales, que pueden ser tres (m, l, t) como ocurre en el sistema Gaussiano o cuatrocomo en el sistema MKSI. 30 www.cienciamatematica.com
  • 43. 3. Cinemática3. CINEMÁTICALa cinemática se ocupa de describir el movimiento sin tomar en cuenta sus causas. El movi-miento consiste en el cambio de posición de los objetos con el paso del tiempo y para comenzarconviene aclarar como se especifica la posición de un objeto. Para eso hace falta referirlo a algúnotro, por ejemplo al observador. Esto requiere dar varios datos como la distancia entre observa-dor y objeto, en que dirección se halla éste, la orientación del objeto en el espacio, etc.Objeto puntiformeUn punto es el objeto más simple. Como no tiene partes, no tiene sentido hablar de su orienta-ción. Entonces su posición se conoce si se conoce el segmento orientado que va del observadorO al objeto A (Fig. 3.1a). Basta pues especificar al vector rOA , o más brevemente, se puede in-dicar la posición con rA , dando por sobrentendido el observador. Es útil a veces considerar unsistema de coordenadas cartesianas con origen en O. En este caso la posición de A queda deter-minada por las tres coordenadas x A , y A , z A que son, naturalmente, las componentes del vectorrA en el sistema x, y, z: ˆ ˆ rA = x A x + y A y + z A z ˆ (3.1) ˆ, ˆ ˆsiendo x y, z vectores unitarios (versores) en la dirección de los ejes (Fig. 3.1b). zA A A z rOA rOA ` z ` y yA O O ` y x xA x (a) (b) Fig. 3.1. Posición de un objeto puntual: (a) el vector posición, (b) las componentes carte- sianas del vector posición.Objeto extenso y cuerpo rígidoSi el objeto es extenso el problema se complica. En general podemos suponer que un objeto ex-tenso está constituido por un conjunto de (infinitos) puntos. Luego para conocer su posición ne-cesitaríamos conocer la posición de todos esos (infinitos) puntos. Esto plantea una dificultadseria. Hay dos caminos para avanzar. El más general es el que se emplea en la Mecánica delContinuo (que veremos más adelante). El más simple consiste en usar el modelo de objeto (ocuerpo) rígido. Un objeto rígido tiene la propiedad que la distancia entre dos cualesquiera de suspuntos A y B es siempre la misma cualquiera sea el movimiento del cuerpo (Fig. 3.2.a). No hayen realidad cuerpos perfectamente rígidos en la naturaleza y por eso el “objeto rígido” es un mo- 31 www.cienciamatematica.com
  • 44. 3. Cinemáticadelo. Pero muchas veces ocurre que las deformaciones que sufre el objeto en su movimiento sonmuy pequeñas y a los fines prácticos despreciables. En ese caso podemos aplicar el modelo sintemor de equivocarnos seriamente. Por ejemplo si estudiamos el movimiento de una piedra quecae la podemos considerar como rígida. Una bola que rueda por un plano inclinado se puedeconsiderar rígida (aunque en realidad sufre deformaciones muy pequeñas). B B A A C O (a) (b) Fig. 3.2. Objeto rígido: (a) la distancia entre dos puntos cualesquiera A y B es siempre la misma, (b) tres puntos cualesquiera (no alineados) del cuerpo determinan su posición.Supongamos que queremos especificar la posición de un cuerpo rígido ¿Cuántos datos hacenfalta? Es evidente (Fig. 3.2.b) que la posición del cuerpo queda determinada si se conoce la detres cualesquiera de sus puntos (con tal que no estén alineados). Podemos entonces proceder delmodo que describimos a continuación.• Comenzamos por determinar la posición de un punto cualquiera A. Para esto necesitamos ˆ ˆ conocer rA = x A x + y A y + z A z, o sea tres datos. ˆ• Determinamos ahora la posición de otro punto B; como A ya se ha fijado y la distancia de A a B es fija (cuerpo rígido) el punto B no puede estar en cualquier parte: tiene que estar sobre la superficie de una esfera con centro en A y radio igual a la distancia AB. Pero sabemos que para fijar la posición de un punto sobre una esfera bastan dos datos (por ejemplo la latitud y la longitud en la Tierra). Luego, conocido A, la posición de B queda determinada por dos datos (no interesa ahora discutir cuáles son, en general serán dos ángulos).• Conocida la posición de A y de B también está determinada la de todos los puntos de la recta AB que pasa por ambos. Como las distancias AC y BC son fijas la distancia de C a la recta AB es también fija. Luego C se tiene que encontrar en algún punto de una circunferencia con centro en dicha recta. Basta entonces un dato más para determinar la posición de C.En síntesis se necesitan 3 + 2 + 1 = 6 datos para fijar la posición de un cuerpo rígido: la posiciónde un punto cualquiera A y tres ángulos que definen la orientación del cuerpo1. También se llegaal mismo resultado de la siguiente forma: tres puntos A, B, C no alineados fijan la posición delobjeto; la posición de esos puntos requiere conocer 3 × 3 = 9 datos, pero esos datos no son inde-pendientes ya que se cumplen las tres condiciones AB = cte., AC = cte.′ y BC = cte.′′ . Luego9 − 3 = 6 datos independientes fijan la posición.1 Ver el Capítulo 10. 32 www.cienciamatematica.com
  • 45. 3. CinemáticaGrados de libertad y vínculosSe dice que un cuerpo tiene n grados de libertad si se requieren n parámetros independientespara fijar su posición. A cada parámetro independiente le corresponde un grado de libertad. Cadagrado de libertad corresponde a un posible movimiento del cuerpo en el cual varía el parámetrocorrespondiente a ese grado de libertad. El movimiento más general consistirá en que varíensimultáneamente los parámetros correspondientes a todos los grados de libertad. En base a ladiscusión precedente podemos hacer la siguiente tabla: Tabla 3.1. Grados de libertad y posibles movimientos. Objeto: Grados de libertad: Movimientos: Puntiforme 3 traslaciones Cuerpo rígido 6 traslaciones y rotaciones Cuerpo deformable infinitos traslaciones, rotaciones y deformacionesUn objeto se mueve cuando su posición varía en el tiempo. El movimiento más general de unobjeto puntiforme es una traslación (en tres dimensiones). El movimiento más general de unobjeto extenso y rígido es una combinación de traslación y rotación. Sin embargo en muchoscasos hay condiciones materiales, denominadas vínculos, que limitan los movimientos del ob-jeto. Por ejemplo, una polea está obligada a girar alrededor de un eje fijo. En este caso si el ejees inmóvil la polea tiene un solo grado de libertad. z x = f(s) z z y = g(s) z = h(s) s z = f(x,y) y y y x x x (a) (b) (c) Fig. 3.3. Distintas clases de movimiento: (a) unidimensional, (b) bidimensional, (c) tridi- mensional.Consideremos un objeto puntiforme. Cuando el móvil está obligado a desplazarse siguiendo unalínea determinada (como una hormiga que camina sobre una cuerda) tendrá un grado de libertady el movimiento se dice unidimensional (Fig. 3.3a). En este caso la posición depende de unúnico parámetro, que puede ser (por caso) la distancia s medida a lo largo de la línea a partir deun punto elegido como origen. Si el objeto está obligado a moverse sobre una superficie dadasus coordenadas x, y, z no son independientes, pues se cumple que z = z( x, y) por estar sobre lasuperficie. Por eso una tortuga que camina sobre el suelo tiene dos grados de libertad (Fig. 3.3b).Decimos en este caso que el movimiento es bidimensional. Un ave elige libremente hacia dondevolar (Fig. 3.3c) y por lo tanto su movimiento de traslación tiene tres grados de libertad. 33 www.cienciamatematica.com
  • 46. 3. CinemáticaCinemática de los movimientos traslatoriosEn lo que queda de este Capítulo consideraremos solamente movimientos de traslación2. Si nohay vínculos y si no se toman en cuenta las rotaciones del móvil, éste tiene 3 grados de libertad.A los fines prácticos cuando sólo consideramos traslaciones todo objeto se puede considerarpuntiforme, cualquiera sea su tamaño, a condición de elegir un punto del mismo y estudiar lastraslaciones de ese punto. En el caso de un cuerpo extenso que se mueve en tres dimensiones(como una piedra que se ha arrojado) conviene elegir el centro de masa o baricentro del mismo,ya que como veremos más adelante la descripción del movimiento del baricentro es más simpleque la del movimiento de cualquier otro punto del cuerpo. Si consideramos un movimiento enuna dimensión, como el desplazamiento de un tren sobre una vía, lo podemos tratar como unobjeto puntiforme aunque tiene muchos metros de longitud. La elección del punto representativoes arbitraria ya que todos los puntos del tren tienen un movimiento unidimensional y basta cono-cer la posición de uno cualquiera de ellos (por ejemplo una marca sobre el paragolpes delanteroderecho de la locomotora) para saber donde está ubicado el resto del tren.TrayectoriaNos interesa estudiar ahora cómo se produce el movimiento, cuáles son las magnitudes que lodescriben y qué relaciones hay entre ellas. La primera noción que podemos introducir es la detrayectoria. Como estamos estudiando traslaciones trataremos objetos puntiformes (si el móviles extenso tomaremos en consideración uno de sus puntos). A medida que transcurre el tiempoel móvil ocupa posiciones distintas, de modo que su posición es función del tiempo, es decir r = r (t ) (3.2)La (3.2) es una ecuación vectorial (equivalente a tres ecuaciones en términos de las componentesde r) que describe la línea que une los puntos por los que pasa el móvil a medida que transcurreel tiempo. Dicha línea3 se denomina trayectoria del móvil. L s(t) O x1 x2 x3 x O t1 t2 t3 (a) (b) Fig. 3.4. Movimientos unidimensionales: (a) a lo largo de una curva, (b) según una recta.2 La cinemática de las rotaciones de un cuerpo rígido se trata en el Capítulo 10.3 Atención a no confundir conceptos: todo movimiento sigue una trayectoria pero eso no quiere decir que seaunidimensional. El vuelo de una mosca no es un movimiento unidimensional pese a que sigue una línea, porque lamosca va donde quiere: no hay vínculos que la obliguen a seguir una trayectoria determinada. El movimiento esunidimensional sólo cuando el móvil está obligado a seguir una línea fijada de antemano. 34 www.cienciamatematica.com
  • 47. 3. CinemáticaEn general la trayectoria de un móvil es una curva en el espacio y puede ser muy complicada.Comenzaremos estudiando las trayectorias más simples que son las que corresponden a movi-mientos unidimensionales, por ejemplo un movimiento a lo largo de una recta, o a lo largo deuna línea determinada como el de un tren a lo largo de la vía (Fig. 3.4a). En este caso la ecuaciónvectorial (3.2) se reduce a una única ecuación s = s(t ) , sonde s es el arco medido a lo largo de lalínea. Para fijar ideas consideraremos movimientos rectilíneos, pero lo que se diga vale para todomovimiento unidimensional.Movimiento en una dimensiónLa Fig. 3.4b representa sucesivas posiciones de un móvil que se desplaza a lo largo de una recta.Podemos tomar un origen O y medir en cada instante t su posición x. Así x1, x2 , x3 , … son lasposiciones del móvil en t1, t2 , t3 , … Esta es una manera de describir el movimiento. Una maneramás útil de representarlo es mediante la línea horaria (Fig. 3.5a). La línea horaria del móvil es lalínea x = x (t ) que representa las sucesivas posiciones que ocupa en función del tiempo. x x x3 Facultad x2 Callao x1 Tribunales 9 de Julio Catedral t1 t2 t3 t ∆t t (a) (b) Fig. 3.5. Un móvil que se desplaza a lo largo de una recta: (a) línea horaria que describe el movimiento; (b) línea horaria de un tren subterráneo.La Fig. 3.5b representa la línea horaria de un tren subterráneo que parte en t = 0 desde Catedralhacia Palermo. Los tramos horizontales donde la posición no cambia durante un intervalo ∆trepresentan los lapsos en que el tren está detenido en las estaciones. A partir del diagrama delíneas horarias podemos apreciar varias propiedades del movimiento, que comentaremos ahora.VelocidadLa Fig. 3.6 muestra las líneas horarias de dos móviles que en el instante t1 estaban ambos en elpunto x1 . El móvil A, que va más ligero, llega a x2 en t2 , antes que el móvil B que llega a eselugar recién en t2 ( t2 > t2 ). Se ve entonces que cuanto más rápido es el móvil, tanto más empi- ′ ′nada es la línea horaria correspondiente, porque emplea menos tiempo en recorrer la misma dis-tancia. Podemos hacer más preciso este concepto definiendo la velocidad media como x2 − x1 ∆x v12 = = (3.3) t2 − t1 ∆tEl subíndice 12 y la barra indican que se trata de la velocidad media en el tramo 12. 35 www.cienciamatematica.com
  • 48. 3. Cinemática x x A x2 B x2 Dx Dx a x1 Dt x1 Dt t1 t2 t2 t t1 t2 t (a) (b) Fig. 3.6. Velocidad media: (a) dos móviles que se desplazan de 1 a 2 con diferentes velo- cidades medias, (b) obtención gráfica de la velocidad media.Toda vez que se introduce una magnitud física corresponde especificar sus dimensiones y lasunidades en que se mide. Claramente, de la definición (3.3) resulta que [v] = [l / t ] (3.4)y entonces las unidades de la velocidad serán cm/s en el sistema cgs, o bien m/s en el sistemaMKS ( 1 m/s = 100 cm/s ). Cuando se viaja en automóvil es usual medir la velocidad en km/h: 1000 m 1 km/h = = 0.2777… m/s = 27.77… cm/s (3.5) 3600 sLos valores de ∆x y ∆t se pueden obtener del gráfico de la línea horaria si se conocen las esca-las del mismo. La escala de distancias dirá, por ejemplo, que 1 cm del gráfico representa ex cmrecorridos, la escala de tiempos dirá que 1 cm del gráfico representa et segundos. Luego ∆x = ex ∆xg , ∆t = et ∆tg (3.6)donde ∆xg y ∆tg son las longitudes en cm de los respectivos segmentos, tal como se miden enel gráfico por medio de una regla (ver Fig. 3.6b). Entonces: ∆x ex ∆xg ex v12 = = = tan α ~ tan α (3.7) ∆t et ∆tg etLuego la velocidad media es proporcional a la tangente del ángulo α que forma la cuerda de lalínea horaria con el eje de las abscisas. La velocidad media es un concepto útil como sabe quienviaja y quiere saber cuándo llegará a destino, pero depende de dos posiciones y dos instantes detiempo ( x1 , x2 y t1, t2 ) y no se relaciona de un modo sencillo con el tipo de movimiento. Porejemplo la Fig. 3.7a muestra tres líneas horarias de 1 a 2 que tienen el mismo valor de v12 : (i)describe un móvil que empezó yendo hacia x2 , se paró, volvió hacia atrás, se paró otra vez y sepuso en movimiento muy ligero llegando finalmente a x2 ; (ii) es un movimiento bastante parejo 36 www.cienciamatematica.com
  • 49. 3. Cinemáticade x1 a x2 ; (iii) es un movimiento que empezó muy rápido, luego se frenó y recorrió lentamentela última parte del trayecto. x x 2 x2 (iii) 2 (i) (ii) x2 Dx Dx 1 a x1 x1 Dt 1 Dt t1 t2 t t1 t2 t (a) (b) Fig. 3.7. (a) Tres móviles que se desplazan de A a B con igual velocidad media, (b) defi- nición de la velocidad instantánea.Un concepto mucho más útil es la velocidad instantánea. Consideremos la línea horaria x = x (t )de un móvil. Sea 1 el punto de la misma que corresponde a la posición x1 que el móvil ocupa ent1. (Fig. 3.7b). Si 2 es un punto de la línea horaria próximo a 1, se define como velocidad ins-tantánea del móvil en el instante t1 a ∆x  dx  v1 = lim 2→1 v12 = lim ∆t → 0 = (3.8) ∆t  dt  t = t1Si α es la pendiente de la línea horaria en 1 es evidente que v1 = (ex / et ) tan α . En general defini-remos la velocidad instantánea como la derivada de x (t ) con respecto del tiempo: dx v= (3.9) dtEn lo sucesivo para referirnos a la velocidad instantánea omitiremos el calificativo y hablaremosde velocidad a secas. En general v variará de un punto a otro (en la Fig. 3.7b la pendiente de lalínea horaria es diferente en 2 de lo que es en 1, y por lo tanto v2 ≠ v1 ).Movimiento rectilíneo uniformeUn caso muy simple de movimiento rectilíneo es aquél en que la velocidad no varía con eltiempo ( v = cte.). La línea horaria de un movimiento rectilíneo uniforme (en lo sucesivo MRUpor brevedad) es una recta cuya pendiente es proporcional a v (Fig. 3.8a) y su ecuación es x − x0 =v (3.10) t − t0de donde se tiene que x = x 0 + v ( t − t0 ) (3.11) 37 www.cienciamatematica.com
  • 50. 3. Cinemática x v x v(t – t0) v x0 v(t – t0) t0 t t t0 t t (a) (b) Fig. 3.8. Movimiento rectilíneo uniforme: (a) la línea horaria x = x (t ) , (b) v = cte.AceleraciónCuando v varía con t es útil definir una magnitud que describa esa variación. Análogamente acomo definimos la velocidad media y la velocidad instantánea para el caso en que la posiciónvaría con el tiempo podemos definir (Fig. 3.9a) la aceleración media a como v2 − v1 ∆v a12 = = (3.12) t2 − t1 ∆ty la aceleración instantánea (Fig. 3.9b) o aceleración (a secas) como ∆v  dv  a1 = lim ∆t → 0 = (3.13) ∆t  dt  t = t1 v v v2 2 Dv 1 b 1 b1 v1 v1 Dt t1 t2 t t1 t (a) (b) Fig. 3.9. Aceleración: (a) media, (b) instantánea.En general, definiremos la aceleración como dv d 2 x a= = (3.14) dt dt 2 38 www.cienciamatematica.com
  • 51. 3. CinemáticaEn el MRU la velocidad es constante y entonces la aceleración es nula en todo momento.De la definición (3.14) podemos obtener las dimensiones de la aceleración como [a] = [v]/[t ] = [lt −2 ] (3.15)Las unidades de aceleración serán el cm/s2 en el sistema cgs y el m/s2 en el sistema MKS. Launidad cgs de aceleración se llama Galileo (abreviado gal) en honor al célebre físico italiano.Naturalmente 1 gal = 1 cm/s2=10–2 m/s2. De la (3.14) resulta dv = a dt , de donde obtenemos t v = v0 + ∫ a(t ′)dt ′ (3.16) t0donde v0 = v(t0 ) . El cálculo de la integral requiere conocer la aceleración a como función deltiempo. Una vez calculada la velocidad podemos obtener la posición ( x0 = x (t0 ) ) como t t t′ x = x0 + ∫ v(t ′)dt ′ = x0 + v0 (t − t0 ) + ∫ dt ′ ∫ dt ′′a(t ′′) (3.17) t0 t0 t0 x v x v a(t – t0) x0 v0 t0 t t t0 t t (a) (b) a a a(t – t0) t0 t t (c) Fig. 3.10. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: (a) posición, (b) velocidad, (c) aceleración. 39 www.cienciamatematica.com
  • 52. 3. CinemáticaMovimiento uniformemente aceleradoUn caso particularmente interesante (e importante) de movimiento acelerado es el movimientouniformemente acelerado (MUA) que es aquél que tiene lugar cuando la aceleración es cons-tante. Si a = cte. de la (3.16) obtenemos de inmediato v = v0 + a(t − t0 ) (3.18)y sustituyendo este resultado en la (3.17) resulta x = x0 + v0 (t − t0 ) + 1 a(t − t0 )2 2 (3.19)que es la ecuación que describe el MUA. En la Fig. 3.10 representamos la distancia recorrida, lavelocidad y la aceleración como funciones del tiempo para el MUA. En la misma se aprecia quex (t ) es una parábola, y(t ) es una recta y a es una recta paralela al eje de las abscisas. z t=0 h v0 = 0 g 0 Fig. 3.11. Caída libre en el vacío.Caída libre en el vacíoUn caso muy importante de MUA es la caída de los cuerpos bajo la acción de la gravedad. Sedebe a Galileo el descubrimiento que todos los cuerpos que están cerca de la superficie terrestrecaen con una aceleración constante. En realidad las cosas son más complicadas debido a la pre-sencia del aire, que ofrece resistencia al movimiento. Pero si se hace la experiencia en el vacío seobserva que todos los cuerpos caen con una aceleración constante, que además es la misma paratodos cualquiera sea su forma, su tamaño y el material que los compone. Esta aceleración recibeel nombre de aceleración de la gravedad y se indica con g. Su valor depende del lugar de laTierra en que nos encontramos y de la altura sobre el nivel del mar. En el Capítulo 9 trataremosen detalle el problema de los valores de g. Pero para muchos cálculos se puede tomar el valoraproximado 40 www.cienciamatematica.com
  • 53. 3. Cinemática g ≅ 980 gal = 9.8 m/s2 (3.20)Consideremos un cuerpo que dejamos caer desde una altura h en el instante t = 0. Sea z la coor-denada vertical medida a partir del suelo y positiva hacia arriba (ver Fig. 3.11). Las ecuacionesdel movimiento se obtienen de las (3.18) y (3.19) con a = − g , v0 = 0 y z0 = h ; resulta entonces v = − gt , z = h − 1 gt 2 2 (3.21)El tiempo tc que tarda el cuerpo en caer desde h hasta el suelo está dado por tc = 2 h / g (3.22)Movimiento en tres dimensionesCuando el móvil describe una trayectoria general r = r (t ) el movimiento se puede analizar, si sequiere, como la superposición de tres movimientos unidimensionales considerando las proyec-ciones de r en una terna x, y, z; tendremos así que x = x (t ) , y = y(t ) , z = z(t ) . Para cada proyec-ción se pueden entonces aplicar las consideraciones precedentes acerca del movimiento a lolargo de una recta. Así definiremos las componentes x de la velocidad y de la aceleración como vx = dx / dt y ax = dvx / dt = d 2 x / dt 2 , y análogamente para las componentes y, z. Esta forma deproceder es útil cuando ax no depende de y, z, y análogamente para ay , az . Sin embargo es máspráctico y más intuitivo describir el movimiento en forma vectorial. Si r = r (t ) podemos definirla velocidad como ∆ r dr v = lim ∆t → 0 = =r ˙ (3.23) ∆t dtAquí el punto indica la derivada respecto del tiempo de q, donde q es una magnitud cualquieraescalar o vectorial. Obviamente v es tangente a la trayectoria.La aceleración se define vectorialmente como dv d 2r a= =v= 2 =r ˙ ˙˙ (3.24) dt dtdonde dos puntos indican la derivada segunda de q respecto de t.Terna intrínsecaPara estudiar la aceleración conviene primero recordar algunas nociones de geometría. Sea unacurva C en el espacio (ver Fig. 3.12) y sean P , P2 , P3 tres puntos de C. Como todos sabemos de 1la geometría elemental, tres puntos cualesquiera no alineados definen un plano Π, y en ese planodefinen un círculo C cuyo radio indicaremos con ρ. Si desplazamos P , P2 , P3 con continuidad a 1lo largo de C cambiará la orientación de Π y también se modificarán C y ρ. Si P , P2 , P3 tienden 1a un único punto P (es decir si P , P2 , P3 → P ) el plano Π y el círculo C tienden a límites 1 Π ( P) , C( P) y ρ tiende a un valor ρ ( P) . Con este paso al límite podemos asociar a cada punto Pde C un plano Π ( P) que se denomina plano osculador de C en P, un círculo C( P) que se llamacírculo osculador de C en P y un radio de curvatura ρ ( P) de C en P (Fig. 3.13). Se conocenfórmulas que permiten hallar estos elementos dadas las ecuaciones de C, pero eso no nos 41 www.cienciamatematica.com
  • 54. 3. Cinemáticainteresa ahora. Lo que aquí importa es solamente tener la imagen intuitiva del plano osculador,el círculo osculador y el radio de curvatura4 en cada punto de C. P C C r P1 P2 P3 Fig. 3.12. Tres puntos próximos de la trayectoria determinan un plano y un círculo.Usando estos conceptos podemos definir en cada punto de C una terna intrínseca (intrínsecaporque está asociada a la curva misma) formada por tres ejes perpendiculares entre sí (Fig. 3.14) ˆ ˆ ˆcuyas direcciones identificaremos mediante tres versores t , n, b definidos de la manera si- ˆ ˆ ˆguiente: t es tangente a C en P, n es perpendicular a t y se dirige hacia el centro de C( P) y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b = t × n es perpendicular al plano osculador, de modo que t , n, b (en este orden) forman una ˆ ˆ ˆterna derecha. El versor t se llama tangente, el n normal, y el b binormal de C en P. P (P) C (P) C(P) ` r(P) b ` n ` P t Fig. 3.13. Plano osculador, círculo osculador y radio de curvatura de C en P.Velocidad y aceleración en un movimiento curvilíneo generalMediante la terna intrínseca es simple analizar la velocidad y la aceleración cuando C ≡ r(t ) esla trayectoria de un móvil5. En efecto, de la Fig. 3.15 es evidente que (v es el módulo de v): dr ˆ v= = vt (3.25) dt4 Una forma sintética de expresar estos conceptos es decir que el círculo osculador es el círculo definido por trespuntos de C infinitamente próximos, que el plano de ese círculo es el plano osculador y su radio el radio decurvatura.5 No confundir el símbolo t que representa el tiempo con el símbolo que designa el versor tangente. 42 www.cienciamatematica.com
  • 55. 3. Cinemática C ` b(t) ` n(t) ` t(t) r(t) Fig. 3.14. Terna intrínseca. C C ` b ` n ` v dr = vdt t r(t) r(t +dt) r O O (a) (b) Fig. 3.15. La velocidad en un movimiento curvilíneo general.La aceleración se obtiene derivando respecto del tiempo la (3.25). Resulta dv ˆ ˆ dt a= t +v (3.26) dt dt ˆPara ver que significa la (3.26) tenemos que calcular dt / dt . Observando la Fig. 3.16 vemos quedt = dα n y que ρ dα = v dt , por lo tanto ˆ ˆ ˆ dt v = n ˆ (3.27) dt ρSustituyendo en la (3.26) obtenemos finalmente dv ˆ v 2 a= t+ n ˆ (3.28) dt ρ 43 www.cienciamatematica.com
  • 56. 3. Cinemática ˆEn general la aceleración es la suma de dos términos. El primero, ( dv / dt )t , se relaciona con lavariación del módulo de v y se llama aceleración tangencial porque está dirigido según t . El ˆsegundo, (v 2 / ρ )n , se llama aceleración centrípeta porque al estar dirigido según n apunta ˆ ˆsiempre hacia el centro (instantáneo) de curvatura de la trayectoria. La aceleración centrípetacambia la dirección de la velocidad pero no su módulo. ` n ` da t r ` ` dt = da n ` ` rda t t ` t (a) (b) ˆ Fig. 3.16. Cálculo de dt / dt .Algunos ejemplos de movimientoTiro oblicuo en el vacíoSi en t = t0 lanzamos un proyectil desde un punto P ≡ ( x0 , y0 z0 ) con velocidad inicial v0 elmóvil describirá un movimiento uniformemente acelerado con la aceleración a = − gz = cte. La ˆvelocidad vale entonces v = v0 − g(t − t0 ) z ˆ (3.29)Integrando la (3.29) obtenemos la ecuación del movimiento: r = r0 + v0 (t − t0 ) − 1 g(t − t0 )2 z 2 ˆ (3.30)Sin pérdida de generalidad podemos elegir el sistema de coordenadas de modo que v0 y = 0 yque en t = t0 el proyectil esté en el plano y = 0 . Entonces la ecuación vectorial (3.29) equivale a vx = v0 x , vy = 0 , vz = v0 z − g(t − t0 ) (3.31)Del mismo modo la (3.30) equivale a las tres ecuaciones x = x0 + v0 x (t − t0 ) , y = 0 , z = z0 + v0 z (t − t0 ) − 1 g(t − t0 )2 2 (3.32)La trayectoria del móvil es una parábola en el plano (x, z). El punto más alto de la trayectoria sealcanza cuando vz = 0 . Esto ocurre para t = tm dado por v0 z t m = t0 + (3.33) g 44 www.cienciamatematica.com
  • 57. 3. CinemáticaLa altura máxima que alcanza el proyectil vale 2 v0 z z m = z0 + 1 2 (3.34) g z zm v0 g z0 x0 x 0 Fig. 3.17. Tiro oblicuo en el vacío.Vamos a escribir los resultados (3.31)-(3.34) en forma universal expresándolos en términos delos parámetros característicos del problema, que podemos elegir como g, v0 (el módulo de lavelocidad inicial) y θ 0 (la elevación del tiro). A partir de ellos podemos definir las escalas delongitud, tiempo, velocidad y aceleración del fenómeno como, respectivamente: 2 l* = v0 / g , t* = 2 v0 / g , v* = v0 , a* = g / 2 (3.35)donde el factor 2 se puso por conveniencia. Sean x ′ = x − x0 , z ′ = z − z0 , t ′ = t − t0 y x ′ = l * X , z′ = l * Z , t ′ = t * T , v = v * V (3.36)Entonces nuestros resultados anteriores se escriben como Vx = cosθ 0 , Vz = sen θ 0 − 2 T (3.37)y X = 2 T cosθ 0 , Z = 2 T sen θ 0 − T 2 (3.38)de donde resultan los datos de la altura máxima del tiro en la forma sen θ 0 sen 2 θ 0 Tm = , Xm = cosθ 0 sen θ 0 , Zm = (3.39) 2 2 2y por lo tanto Xm = 2 Zm (1 − 2 Zm ) . Si eliminamos T entre las (3.38) podemos obtener laecuación de la trayectoria en la forma X2 Z = X tan θ 0 − (3.40) 2 cos2 θ 0 45 www.cienciamatematica.com
  • 58. 3. Cinemática 85˚ 0.5 75˚ 65˚ 0. 4 0. 3 55˚ Z 0. 2 35˚ 0. 1 25˚ 45˚ 15˚ 5˚ 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0.7 0.8 0.9 1.0 X Fig. 3.18. Trayectorias de tiros en el vacío correspondientes a disparos con diferentes ele- vaciones.El alcance Xa del tiro se obtiene poniendo Z = 0 en la (3.40) y resulta Xa = sen 2θ 0 (3.41)El tiempo de vuelo entre X = 0 y X = Xa es Ta = 2 sen θ 0 . De la (3.41) es evidente que el má-ximo alcance vale Xam = 1 y se obtiene para θ 0 = π / 4 , después de un tiempo de vuelo Tam = 1.En la Fig. 3.18 se muestran varias trayectorias para diferentes valores de θ 0 .Movimiento circularLa trayectoria del movimiento circular es una circunferencia C de radio r y centro en O (Fig.3.19). La posición P del móvil se puede especificar dando el ángulo α entre una dirección fija xy el vector r = rOP . Podemos definir la velocidad angular como dα ω= (3.42) dtcuyas dimensiones son [ω ] = [α ]/[t ] = [t −1 ] (3.43)o sea las de la inversa del tiempo. Conviene definir el vector velocidad angular ω como un vec-tor cuyo módulo es ω, cuya dirección es la del eje de rotación (la normal al plano de la trayecto-ria que pasa por O) y cuyo sentido es el sentido de avance de un tornillo de rosca derecha quegira en el sentido en que lo hace el móvil, de modo que ω , r, v (en este orden) forman una ternaderecha. Observando la Fig. 3.19 está claro que v = ωr (3.44)vectorialmente: 46 www.cienciamatematica.com
  • 59. 3. Cinemática ˆ v = ω × r =ω rt (3.45)Para calcular la aceleración derivamos la (3.45) recordando que r es constante y que la direcciónde ω no cambia. Resulta entonces dω ˆ ˆ dt a=r t +ωr (3.46) dt dtRecordando la (3.27) tenemos que ˆ dt v = n=ωn ˆ ˆ (3.47) dt rLuego dω ˆ a=r t +ω2 rn ˆ (3.48) dtTenemos pues una aceleración tangencial (presente solo si ω varía en el tiempo) y una acelera-ción centrípeta v2 ac = ω 2 r n = ˆ ˆ n (3.49) rEstos resultados se podrían haber obtenido de inmediato usando la (3.28). w O O r da a v x P r rda = vdt x (a) (b) Fig. 3.19. Movimiento circular: (a) geometría del problema, (b) relación entre α y v.Movimiento circular uniformeSi no hay aceleración tangencial ω se mantiene constante y sólo tenemos aceleración centrípeta,entonces la velocidad v mantiene constante su módulo y sólo cambia su dirección: ˆ ˆ v = ω rt = vt (3.50) 47 www.cienciamatematica.com
  • 60. 3. CinemáticaPara el movimiento circular uniforme es útil definir el período, es decir el tiempo T que tarda elmóvil en dar una vuelta. Claramente 2π T= (3.51) ωOtra magnitud útil es la frecuencia, es decir la cantidad f de vueltas por unidad de tiempo: 1 ω f = = (3.52) T 2πEn términos de T y f la velocidad y la aceleración centrípeta se escriben: 2πr 4π 2 r v= = 2πrf , ac = 2 = 4π rf 2 2 (3.53) T TMovimiento en un planoPara describir un movimiento plano podemos emplear coordenadas polares con origen en unpunto O. En tal caso especificaremos r dando su módulo r y el ángulo ϕ que forma con una di-rección fija x. La trayectoria de un móvil se describe entonces dando r (t ) y ϕ (t ) . Claramente ˆ dϕ ω= (3.54) dtes la velocidad angular de rotación alrededor del origen (que no es en general el centro instantá-neo de giro). Por otra parte dr vr = (3.55) dtes la velocidad radial, es decir la velocidad con que el móvil se aleja del o se acerca al origen.En cada punto P de la trayectoria podemos definir dos versores r y ϕ (Fig. 3.20), el primero en ˆ ˆla dirección radial y el segundo perpendicular al primero y en el sentido de ϕ creciente. Entonces v = vr r + ω rϕ ˆ ˆ (3.56)La aceleración es dvr ˆ dr dω dϕ ˆ a= r + vr ˆ +r ϕ + ω vr ϕ + ω r ˆ ˆ (3.57) dt dt dt dtPero es fácil verificar que ˆ dr dϕ ˆ =ωϕ , ˆ = −ω r ˆ (3.58) dt dtSustituyendo (3.58) en la (3.57) obtenemos la expresión de la aceleración: a = (˙˙ − ω 2 r ) r + (2ω vr + rω ) ϕ r ˆ ˙ ˆ (3.59) 48 www.cienciamatematica.com
  • 61. 3. Cinemática v vj ` j vr ` r r r j x j x O O trayectoria MRU (a) (b) Fig. 3.20. Descripción de un movimiento plano usando coordenadas polares: (a) compo- nentes de la velocidad, (b) el movimiento rectilíneo uniforme.Es interesante mostrar como se describe el movimiento rectilíneo uniforme en coordenadas pola-res. Puesto que a = 0 las componentes de la (3.59) son nulas. De aϕ = 0 resulta 2ω vr + rω = 0 , ˙que multiplicado por r equivale a 2ω r vr + r ω = 0 , o sea 2˙ d 2 d (r ω ) = (r vϕ ) = 0 (3.60) dt dtLa (3.60) implica que r vϕ = cte . (3.61)Se puede notar que la cantidad dA = (1 / 2)r vϕ dt es el área barrida por el radio vector OP en elintervalo dt. Luego la (3.61) expresa que OP barre áreas iguales en tiempos iguales6.De ar = 0 y recordando la (3.61) obtenemos ˙˙ = ω 2 r = (r vϕ )2 r −3 que significa que la acelera- rción radial es inversamente proporcional a r 3.Movimiento relativo de traslaciónNos interesa ahora analizar qué pasa cuando un móvil es visto por dos observadores distintosque se mueven el uno respecto del otro. Como se ve de la Fig. 3.21 la posición del objeto A estádada por rA para el observador O y por rA para el observador O′ . Si rO′ es la posición de O′ ′para el observador O, vale la relación rA = rA − rO′ ′ (3.62)En componentes, si x A , y A , z A son las coordenadas de A y xO′ , yO′ , zO′ son las coordenadasde O′ en el sistema x, y, z con origen en O, y si x ′ , y ′ , z ′ son las coordenadas de A en un sis- A A Atema con origen en O′ cuyos ejes x ′ , y ′ , z ′ son paralelos a x, y, z, será6 Este es un caso particular de la Segunda Ley de Kepler, también llamada Ley de las Áreas, que estudiaremos en elCapítulo 7. 49 www.cienciamatematica.com
  • 62. 3. Cinemática x ′ = x A − xO′ , y ′ = y A − yO′ , z ′ = z A − zO′ A A A (3.63)Supongamos ahora que el móvil A se desplaza respecto de O con la velocidad v A y la acelera-ción a A . El problema es: ¿cómo ve este movimiento un observador ubicado en O′ que se mueverespecto de O con la velocidad vO′ y la aceleración aO′ ? A rA rA O rO O Fig. 3.21. La posición depende del observador.Para averiguar esto basta derivar la (3.62) respecto del tiempo. Resulta entonces que v ′ = v A − vO′ , a ′ = a A − aO′ A A (3.64)Estas son las fórmulas que resuelven nuestro problema. Un caso importante es aquél en queaO′ = 0 , o sea que los observadores O y O′ se mueven el uno respecto del otro con velocidadconstante (el movimiento relativo de O y O′ es rectilíneo y uniforme). En este caso v ′ = v A − vO′ , a ′ = a A , ( aO′ = 0) A A (3.65)y ambos observadores encuentran que la aceleración de A es la misma. Las transformaciones(3.65) se llaman transformaciones de Galileo.Movimiento relativo de rotaciónVamos a estudiar como se relaciona el movimiento de un objeto visto desde un sistema de refe-rencia fijo Σ con el que se observa desde un sistema de referencia rotante Σ ′ que gira respectode Σ con una velocidad angular ω . Este caso es importante porque corresponde a un observadorsituado sobre la Tierra, que como sabemos gira sobre su eje. Vamos a llamar x, y, z a los ejesfijos y x ′ , y ′ , z ′ los ejes rotantes (indicaremos con prima una variable referida al sistema móvily sin prima si está referida al sistema fijo). Si P es un punto fijo respecto de Σ ′ , que gira solida-riamente con él respecto de Σ, tendrá en el sistema fijo la velocidad va = ω × r . Esta va es lavelocidad con que P es arrastrado por el sistema rotante. Si además el móvil se mueve respectode Σ ′ con la velocidad v ′ su velocidad en el sistema fijo será v = v′ + ω × r (3.66)Esta es la expresión que relaciona v con v ′ . 50 www.cienciamatematica.com
  • 63. 3. Cinemática y v v y w×r P r x r ` ` y y ` ` x r⊥ r||w x ` w x w ` ` z z z z (a) (b) y x v ` ` y x w ` z ac = 2v×w z (c) Fig. 3.22. Movimiento relativo de rotación: (a) la relación entre las velocidades que se ob- servan desde el sistema fijo y desde el sistema rotante, (b) componentes del vector posi- ción paralela y perpendicular a ω, (c) la aceleración de Coriolis.Calculemos ahora las aceleraciones. Para ello tenemos que derivar respecto del tiempo los dostérminos del miembro derecho de la (3.66). Para calcular el primero recordemos que v ′ = v x ′ x ′ + v y ′ y ′ + vz ′ z ′ = ′ ˆ ′ ˆ ′ ˆ ∑ vi′′ iˆ ′ (3.67) i ′= x ′, y ′, z ′donde x ′ , y ′ , z ′ son los versores correspondientes a los ejes rotantes, que naturalmente no son ˆ ˆ ˆconstantes sino que varían con el tiempo debido a la rotación. Luego dv ′ dvi′′ ˆ ˆ di ′ = ∑ i ′ + ∑ vi′′ (3.68) dt i ′= x ′, y ′, z ′ dt i ′= x ′, y ′, z ′ dt 51 www.cienciamatematica.com
  • 64. 3. CinemáticaAhora dvi′′ ˆ ∑ i ′ = a′ (3.69) i ′= x ′, y ′, z ′ dt ˆ ˆes la aceleración que se observa desde el sistema rotante. Por otra parte di ′ / dt = ω × i ′ puestoque los versores x ′ , y ′ , z ′ rotan con velocidad angular ω. Luego ˆ ˆ ˆ ˆ di ′ ∑ vi′′ = ∑ v′ ω × i ′ = ω × v′ dt i ′= x ′, y ′,iz′′ ˆ (3.70) i ′= x ′, y ′, z ′Usando las (3.69) y (3.70) la (3.68) se escribe en la forma dv ′ = a′ + ω × v′ (3.71) dtDerivando el segundo término de la (3.66) obtenemos d dω dr dω (ω × r ) = ×r +ω× = ×r +ω×v (3.72) dt dt dt dtRecordando la (3.66) tenemos que ω × v = ω × v ′ + ω × (ω × r ) (3.73)Para evaluar el triple producto vectorial ω × (ω × r ) ponemos r = r|| ω + r⊥ donde r|| y r⊥ son las ˆpartes de r paralela y perpendicular a ω . Evidentemente ω × r = ω × r⊥ . Además usando la fór-mula del triple producto vectorial A × ( B × C ) = B( A ⋅ C ) − C( A ⋅ B) (3.74)tenemos que ω × (ω × r⊥ ) = −ω 2 r⊥ . Luego d (ω × r ) = ω × r + ω × v ′ − ω 2 r⊥ ˙ (3.75) dtPor lo tanto reuniendo los dos términos (3.71) y (3.75) de la aceleración resulta a = a ′ − ω 2 r⊥ + 2ω × v ′ + ω × r ˙ (3.76)De aquí podemos obtener la aceleración que se observa en el sistema rotante: a ′ = a + ω 2 r⊥ + 2v ′ × ω + r × ω ˙ (3.77)La fórmula (3.77) expresa que la aceleración observada desde el sistema rotante (que se llamaaceleración aparente) es igual a la aceleración que se ve en el sistema fijo más tres términos:• El primer término ( ω 2 r⊥ ) es la aceleración centrífuga. Se la llama así porque tiene la direc- ción de r⊥ , es decir alejándose del eje de rotación. Esta aceleración existe aunque el objeto esté en reposo en el sistema rotante (corresponde a la aceleración centrípeta de arrastre). 52 www.cienciamatematica.com
  • 65. 3. Cinemática• El término 2v ′ × ω se llama aceleración de Coriolis o aceleración complementaria y es per- pendicular a v ′ y ω . Por efecto de la aceleración de Coriolis un móvil que se mueve en el sistema rotante tiende a desviarse de la línea recta.• El último término ( r × ω ) depende de la aceleración de la rotación. ˙Para ver mejor el significado de la aceleración de Coriolis consideremos un movimiento rectilí-neo uniforme en el sistema fijo, visto desde un sistema rotante con ω = cte. En este caso a = 0 ,v = cte. , ω = 0 y a ′ = ω 2 r⊥ + 2v ′ × ω . Supongamos que el movimiento tiene lugar en un plano ˙perpendicular a ω , que tomaremos como el plano de la Fig. 3.23, y que en t = 0 el móvil pasapor el origen (eje de rotación). La Fig. 3.23a muestra la trayectoria en el sistema rotante y seindica como varía v ′ debido a la aceleración centrífuga y al término de Coriolis. trayectoria en el sistema fijo w v(t ) ` r⊥w2 v(t + dt) r v(t ) f a dt q r trayectoria en el sistema móvil v(t + dt) 2v×w dt (a) (b) Fig. 3.23. Un movimiento rectilíneo uniforme visto desde un referencial rotante: (a) la tra- yectoria del móvil, (b) las componentes de la aceleración.Empleando coordenadas polares r, θ en el sistema rotante las ecuaciones del movimiento son r = vt , θ = −ω t (3.78)Eliminando el tiempo obtenemos la ecuación de la trayectoria v r=− θ (3.79) ωque describe una curva llamada espiral de Arquímedes. La velocidad en el sistema rotante no es,naturalmente, constante pues v ′ = v − ω × r por la (3.66). Su módulo vale v ′ = v 2 + r 2ω 2 (3.80)y el ángulo φ que forma con r está dado por ˆ tan φ = rω / v (3.81) 53 www.cienciamatematica.com
  • 66. 3. CinemáticaLa velocidad radial en el sistema rotante es vr = v ′ cos φ y se mantiene constante. De allí la ′construcción geométrica de la Fig. 3.23b donde se muestra que la variación de v ′ se debe a losefectos de la aceleración centrífuga ω 2 r⊥ ( = ω 2 r ) y la aceleración de Coriolis.La Tierra como sistema de referenciaLa Tierra gira sobre un eje que pasa por los polos con una velocidad angular 2π ω= ≅ 7.27 × 10 −5 radianes/s (3.82) día sidéreoque podemos considerar constante. El radio de la Tierra (que es aproximadamente esférica) valerT ≅ 6400 km = 6.4 × 10 6 m .Efectos de la aceleración centrífugaPara un observador en la superficie de la Tierra la aceleración centrífuga vale ac = ω 2 r⊥ = ω 2 rT cosθ r⊥ = 0.034 cosθ r⊥ ( m/s2 ) ˆ ˆ (3.83)siendo θ la latitud geográfica (Fig. 3.24a). Debido a esto la aceleración aparente de la gravedad(la que observamos desde la Tierra) para un objeto en reposo difiere de la que vería unobservador desde el espacio (Fig. 3.24b). La aceleración centrífuga es nula en los polos y esmáxima en el ecuador, donde su magnitud es de 3.4 gal (un 0.35% de g) y su dirección coincidecon la de g (la vertical geométrica). Salvo en los polos la aceleración aparente de la gravedad g ′ = g + ac difiere de g. La diferencia en módulo es máxima (un 0.35%) en el ecuador. Lavertical de la plomada (dada por g ′ ) se desvía hacia el ecuador respecto de la verticalgeométrica (dada por g) en un ángulo ψ ≅ 1.78 × 10 −3 sen 2θ ; la desviación máxima ocurre paraθ = ±45˚ y es de apenas 0.1˚.Efectos de la aceleración de CoriolisPara un objeto en movimiento está presente también el término de Coriolis y entonces a ′ = a + ω 2 r⊥ + 2v ′ × ω (3.84) = a + 0.034 cosθ r⊥ + 1.454 × 10 −4 (v ′ × ω ) ˆ ˆ (MKS)La aceleración de Coriolis ( aCo ) conduce a varios efectos observables. Estos comprenden:• La desviación desde la vertical en la caída libre de un objeto. Como se puede ver fácilmente de la Fig. 3.25 el término conduce a una desviación hacia el este respecto de la vertical.• La desviación de movimientos horizontales. Como se puede apreciar de la Fig. 3.26, un ob- jeto que se mueve horizontalmente se tiende a desviar hacia la derecha en el hemisferio Norte y hacia la izquierda en el hemisferio Sur. ˆ ˆPara movimientos horizontales v ′ × ω = v ′ × (cosθ θ + sen θ r ) de modo que la componente hori- ˆzontal de aCo es 2ω (v ′ × ω )h = 2ω sen θ v ′ × r = f v ′(v ′ × r ) donde f = 2ω sen θ se denomina ˆ ˆ ˆ ˆparámetro de Coriolis. Para la Tierra f = 1.454 × 10 sen θ s −1 y aCo es pequeña. Usando la −4(3.84) podemos estimar las desviaciones ∆v ′ / v ′ producidas en un lapso ∆t como∆v ′ / v ′ ≈ 1.454 × 10 −4 ∆t (s) . Luego para que sean apreciables la duración del fenómeno tieneque ser larga. 54 www.cienciamatematica.com
  • 67. 3. Cinemática w N vertical geométrica r⊥ q r⊥ q r⊥w2 q g O E g vertical según la plomada rT S (a) (b) Fig. 3.24. Efecto de la aceleración centrífuga para un observador terrestre: (a) la geometría del problema, (b) debido a la aceleración centrífuga la vertical que indica una plomada no coincide con la vertical geométrica del lugar.Consideremos la desviación hacia el Este en la caída libre de un cuerpo desde 100 m de altura.De la (3.22) se obtiene ∆t = tc = 4.51 s , de donde resulta una desviación de 0.038˚, que implicaque el cuerpo toca el suelo a una distancia de 6.5 cm del pie de la vertical. Este ejemplo muestraque cuando se trata de fenómenos cuya duración no excede de pocos segundos los efectos de aCo se pueden ignorar. No es así sin embargo cuando ∆t es largo. Consideremos un tiro deartillería para batir un blanco a 10 km de distancia. Usando las fórmulas del tiro oblicuo ysuponiendo que la elevación del cañón es de 45˚ para obtener el máximo alcance se encuentraque el proyectil demora 45 s para llegar al blanco. Con este valor de ∆t resulta una desviaciónde 0.38˚ que implica que el proyectil llega a 65 m de distancia de donde se apuntó. Luego siquiere dar en el blanco el artillero tiene que tomar en cuenta7 aCo . Notemos que ∆v ′ / v ′ = 1 / Ro ,donde Ro es el número de Rossby que se define como Ro = U/fL . El número de Rossby es larazón entre la magnitud de la aceleración a y aCo y para flujos en gran escala es muy pequeño.Por ejemplo para corrientes marinas U ≈ 0.01 m/s , L ≈ 1000 km y f ≈ 10 −4 s −1 luegoRo ≈ 10 −4 . Al estudiar fenómenos como las corrientes marinas y atmosféricas es fundamentaltomar en cuenta los efectos de la rotación de la Tierra. La desviación de movimientoshorizontales explica el sentido de la circulación de los vientos alrededor de los centros de bajapresión (centros ciclónicos) que es antihorario en el hemisferio Norte y horario en el hemisferioSur. El sentido de la circulación de las corrientes marinas también se relaciona con laaceleración de Coriolis.7 Se debe tener presente que en estas groseras estimaciones de orden de magnitud ignoramos los efectos de laresistencia del aire y del viento. En un cálculo realístico estos efectos se deben tomar en cuenta. 55 www.cienciamatematica.com
  • 68. 3. Cinemática w N w vertical según N la plomada q v E ac = 2v×w O E ` r⊥ O S S (a) (b) Fig. 3.25. Desviación hacia el Este en la caída libre. w w E E N N ac = 2v×w ac = 2v×w S S v v O O baja baja presión presión (a) (b)Fig. 3.26. Desviación de los movimientos horizontales por efecto de la aceleración de Coriolis:(a) en el hemisferio Norte se produce una desviación hacia la derecha y por ese motivo la cir-culación ciclónica tiene sentido antihorario, (b) en el hemisferio Sur la desviación es hacia laizquierda y la circulación ciclónica es horaria. 56 www.cienciamatematica.com
  • 69. 4. Dinámica4. DINÁMICAHasta aquí analizamos el movimiento sin preocuparnos por sus causas. Estudiaremos ahora lascausas y el tipo de movimiento a que dan lugar. Es intuitivo que para poner en movimiento unobjeto (o para detenerlo si se mueve) hace falta ejercer una fuerza, lo que lleva a pensar que loscambios del estado de movimiento se deben a fuerzas que actúan sobre el móvil. Como todoobjeto se puede analizar como un conjunto de puntos materiales (en número suficiente)consideraremos por ahora objetos puntiformes; oportunamente veremos como se generalizan losconceptos que introduciremos a casos más complicados.Sistemas inerciales y Principio de InerciaEl movimiento aparece en forma diferente a distintos observadores1. Por lo tanto al discutir laDinámica debemos elegir un sistema de referencia oportuno. Ahora bien, la experiencia indicaque hay una clase de referenciales llamados inerciales en los que un objeto libre de fuerzasqueda en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. No todo sistema dereferencia es inercial: un referencial acelerado no lo es pues al discutir el movimiento relativovimos que en un sistema cuya aceleración es a los objetos están sometidos a una aceleración −a ,de modo que un objeto en reposo se pone en movimiento aunque no actúen fuerzas sobre él. Unsistema rotante tampoco es inercial ya que los cuerpos están sometidos a la aceleracióncentrífuga y la aceleración de Coriolis. La existencia de sistemas inerciales se infiere (pero no sedemuestra) de las experiencias de Galileo, que observó que el movimiento uniforme y el reposono necesitan causa. Si lanzamos una bocha sobre una superficie plana y horizontal se moverá enlínea recta y luego de recorrer cierta distancia se detendrá. Si la superficie es rugosa la distanciaes modesta porque la fricción frena la bocha. Cuanto más pulida es la superficie menor es el rocey mayor la distancia recorrida. Si el objeto se desplaza sobre un colchón de aire (lo que seconsigue con dispositivos adecuados) el roce es insignificante y el movimiento es rectilíneo yuniforme con excelente aproximación. De esto se infiere que en el caso ideal que no hubierarozamiento el movimiento de la bocha sería exactamente rectilíneo y uniforme2. La conclusiónde lo dicho es que en un sistema inercial los cuerpos tienden a mantener su estado de reposo o demovimiento rectilíneo uniforme. Esta tendencia es una propiedad de los objetos materiales y sellama inercia. Es por la inercia que cuando vamos en un automóvil que frena bruscamentesomos despedidos hacia adelante (es decir tendemos a mantener el estado de movimiento queteníamos). La generalización de estas observaciones lleva a postular una ley o principiofundamental de la Dinámica de validez universal: I Ley: En un sistema de referencia inercial, cuando no actúan fuerzas sobre un punto material, éste mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme.Este postulado recibe el nombre de Primera Ley (o Principio) de la Dinámica, Primera Ley (oPrincipio) de Newton y Ley (o Principio) de Inercia.1 Recordar el caso de un movimiento rectilíneo visto por un observador en reposo y por un observador en rotación.2 La Tierra no es un sistema inercial y aún eliminando el rozamiento el movimiento de la bocha no será rectilíneo yuniforme debido a la aceleración de Coriolis y a la componente horizontal de la aceleración centrífuga. Luego lasexperiencias que se acaban de describir se tendrían que hacer en un laboratorio ideal que esté en reposo. 57 www.cienciamatematica.com
  • 70. 4. DinámicaFuerzas y Segundo PrincipioLa noción de fuerza viene de la experiencia del esfuerzo muscular que se ejerce para desplazarobjetos, levantarlos, etc. (Fig. 4.1). Un resorte ejerce una fuerza que se opone a que se lo estire,por eso se tiene que realizar un esfuerzo para estirarlo. Todo objeto tiene peso: por eso tenemosque hacer un esfuerzo para levantarlo. L A GI FR F P (a) (b) Fig. 4.1. Fuerzas: (a) para estirar un resorte hay que realizar un esfuerzo, (b) para levantar un objeto hace falta un esfuerzo muscular.Los atributos de una fuerza son su magnitud, su dirección y su sentido y por lo tanto se repre-senta por medio de un vector. Cabe aclarar que la fuerza no es un vector libre pues como todo elmundo sabe por experiencia su efecto depende del punto del cuerpo donde está aplicada. Volve-remos sobre esta cuestión más adelante. Como por ahora tratamos objetos puntiformes vamos asuponer que las fuerzas están aplicadas en el punto mismo. Si (como ocurre a veces) sobre unpunto material actúan varias fuerzas F1, F2, … (Fig. 4.2), su efecto equivale al de una únicafuerza llamada resultante, igual a la suma vectorial de las mismas: F = F + F2 + … 1 (4.1)Siempre que sobre un punto material actúen varias fuerzas las reemplazaremos por su resultante. F1 F P F2 Fig. 4.2. Cuando varias fuerzas actúan sobre un punto material su efecto equivale al de su resultante.Una vez establecido el sistema de referencia que se debe emplear, es decir el sistema inercial,queda claro que toda vez que un cuerpo se desvía del reposo o del movimiento rectilíneo y uni-forme, la causa de esa desviación, o sea del cambio de velocidad, es una fuerza. Debemos buscarentonces la relación entre las aceleraciones y las fuerzas.Cuando un objeto cae por efecto de la gravedad (Fig. 4.3a) la aceleración está dirigida en lamisma dirección (indicada por la plomada) de la fuerza (el peso) que la produce. Si se hace girarcon movimiento circular uniforme un objeto atado por un cordel, la fuerza que el cordel ejerce 58 www.cienciamatematica.com
  • 71. 4. Dinámicasobre el objeto está dirigida en la dirección radial y la aceleración que le imprime (la aceleracióncentrípeta) es también radial (Fig. 4.3b). Podemos considerar más ejemplos y veremos siempreque cuando un cuerpo tiene una aceleración a existe también una fuerza F que tiene igual direc-ción y sentido que a. w L A GI FR O a P F a v P (a) (b) Fig. 4.3. La aceleración tiene igual dirección y sentido que la fuerza que la produce: (a) la aceleración de un cuerpo que cae por efecto de su peso está dirigida verticalmente hacia abajo, (b) un objeto realiza un movimiento circular uniforme atado por un cordel que ejerce una fuerza en la dirección radial, la cual produce la aceleración centrípeta necesaria.Para averiguar más sobre la relación entre fuerza y aceleración conviene recordar los experi-mentos de Galileo con el plano inclinado. Sea un dispositivo (ver la Fig. 4.4a) consistente en dosplanos inclinados separados por un plano horizontal (las superficies deben ser pulidas para queno influya el rozamiento o mejor aún, se debe usar un colchón de aire). Estudiando el movi-miento de un cuerpo que se suelta en el extremo A del plano inclinado se ve lo siguiente:• En el tramo AB el movimiento es uniformemente acelerado. La aceleración depende de la pendiente α del plano, más precisamente a ~ sen α , y no depende del material de que está hecho el cuerpo ni de su tamaño.• En el tramo horizontal BC el movimiento es rectilíneo y uniforme.• En el tramo CD el móvil se acelera como en AB, pero en el sentido de reducir su velocidad. A A P|| a ~ sena D a P⊥ a a B a=0 C P a (a) (b) Fig. 4.4. Relación entre fuerza y aceleración: (a) cuando un cuerpo desliza sin rozamiento su movimiento es uniformemente acelerado en los tramos AB y CD y es rectilíneo y uni- forme en el tramo BC; (b) las partes paralela y perpendicular a un plano inclinado del peso de un cuerpo. 59 www.cienciamatematica.com
  • 72. 4. DinámicaLa fuerza que actúa es el peso P del cuerpo y lo podemos imaginar (Fig. 4.4b) como la suma deuna parte P⊥ perpendicular a la superficie del plano inclinado y una parte P|| paralela al mismo: P = P⊥ + P|| , P⊥ = P cos α , P = P sen α || (4.2)La componente P⊥ mantiene el cuerpo en contacto con el plano y no produce aceleración dadoque el plano no se deja penetrar por el cuerpo (es un vínculo, en el sentido que estudiamos en elCapítulo 3). La componente tangencial es la que produce la aceleración. Lo observado en eltramo horizontal es consecuencia de la Primera Ley: como P = 0 , no hay aceleración y tenemos ||un movimiento rectilíneo uniforme. Lo observado en el tramo inclinado, o sea a ~ sen α , juntocon la (4.2) indica que la aceleración es proporcional a la fuerza: P|| = K = cte. ⇒ P = K a || (4.3) aAl experimentar con diferentes cuerpos se encuentra que la aceleración no depende del materialni del tamaño de los mismos, sino sólo de la pendiente α . Por otra parte P es proporcional al ||peso del cuerpo. Por lo tanto se concluye que el factor de proporcionalidad K entre aceleración yfuerza depende del cuerpo. Para investigar esta dependencia podemos realizar otras experiencias.Por ejemplo si tiramos de un carro con una fuerza F fija, se observa que cuanto más se carga elcarro tanto menor es la aceleración (Fig. 4.5). Luego K es proporcional a la carga del carro. Laconstante de proporcionalidad está pues relacionada con la cantidad de materia del cuerpo queestá siendo acelerado3, esto es, con la masa del cuerpo que es la medida de la cantidad de mate-ria del mismo. Por lo tanto si con m indicamos la masa podemos escribir F = Cma (4.4)donde C es una constante a determinar, que depende de las unidades en que se miden las fuerzas. L L L A GI A GI A GI FR F FR FR F a a (a) (b) Fig. 4.5. Si tiramos de un carro con una fuerza F fija, la aceleración es tanto menor cuanto más se carga el carro.Si definimos la unidad de fuerza como aquella fuerza que aplicada a la unidad de masa le im-parte una unidad de aceleración, tendremos que C = 1 y la (4.4) queda F = ma (4.5)Recordando que la dirección y el sentido de la fuerza y de la aceleración coinciden se tiene que3 En realidad la experiencia del plano inclinado, al mostrar que K es proporcional al peso, muestra también que elpeso es proporcional a la cantidad de materia. 60 www.cienciamatematica.com
  • 73. 4. Dinámica F = ma (4.6)En base al resultado que hemos inferido podemos postular con validez general una nueva ley oprincipio fundamental de la Dinámica: II Ley: La aceleración de un punto material es directamente proporcional a la resultante de las fuerzas que actúan sobre él, e inversamente proporcional a su masa: F = maEste enunciado recibe el nombre de Segunda Ley (o Principio) de la Dinámica, Segunda Ley (oPrincipio) de Newton o Ley (o Principio) de Masa.Corresponde aclarar que nuestras consideraciones dan por implícita una definición rigurosa delconcepto de masa, que todavía no dimos. Tal definición se puede lograr por medio de la TerceraLey de la Dinámica, que introduciremos en breve. Pero no entraremos ahora en ese tema dadoque el concepto de masa como medida de la “cantidad de materia”, aunque no riguroso es bas-tante intuitivo y preferimos evitar por el momento una disquisición epistemológica que antes queaclarar las cosas puede producir confusión. Más adelante volveremos sobre la cuestión.Dimensiones y unidades de masa y fuerzaLa masa se toma habitualmente como magnitud fundamental. Sus unidades son el kilogramo(kg) en el sistema MKS y el gramo (g) en el sistema cgs. Por definición el kilogramo es la masade un bloque patrón de metal que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de Sévres (Fran-cia) y equivale muy aproximadamente a la masa de un litro de agua.De acuerdo con la (4.6) las dimensiones de fuerza derivan de las de la masa y la aceleración: [ F ] = [ m][a] = [ mlt −2 ] (4.7)En el sistema MKS la unidad de fuerza es el kg m/s2 = Newton = N y en el sistema cgs elg cm/s2 = dina = dy . Se verifica que 1 N = 10 5 dy . También se suele medir la fuerza en kilogra-mos fuerza (kgf); esta unidad es el peso de una masa de 1 kg, de modo que 1 kgf = 9.8 N .Interacciones y Tercer PrincipioLas fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo se deben a la acción de otros cuerpos. Estas accionesmutuas de los cuerpos se denominan interacciones. En ausencia de interacciones no actúan fuer-zas sobre el cuerpo, y éste se mueve de acuerdo con la Primera Ley.La observación muestra que si aplicamos una fuerza a un cuerpo soportamos una reacción, esdecir una fuerza que el cuerpo ejerce sobre nosotros. Esta reacción es tanto mayor cuanto mayores la fuerza aplicada. Todos sentimos sobre nuestra mano la reacción de la mesa si descargamosun puñetazo sobre la misma: no hay que dar un golpe demasiado fuerte, no sea cosa que la reac-ción nos lastime. Si tiramos de un carro con una cuerda (Fig. 4.6) ejerciendo una fuerza sobre elcarro, la cuerda soporta una reacción que la pone tensa. Se pueden dar más ejemplos y se en-cuentra siempre que a toda fuerza le corresponde una fuerza de reacción, que actúa sobre aquelloque está ejerciendo la primera fuerza, o sea la acción. Por eso la acción no ocurre nunca sola: entoda interacción entre cuerpos a cada acción le corresponde una reacción. Las fuerzas se pre-sentan siempre de a pares: una sobre cada uno de los cuerpos que interactúan. 61 www.cienciamatematica.com
  • 74. 4. Dinámica L A GI FR R F Fig. 4.6. Cuando al tirar con una cuerda ejercemos una fuerza sobre el carro, la cuerda so- porta una reacción que la pone tensa.Los ejemplos mencionados muestran que en toda interacción se cumple que• la magnitud de la fuerza de reacción es igual a la magnitud de la fuerza de acción,• ambas fuerzas tienen la misma recta de acción,• ambas fuerzas tienen sentido opuesto.Estas observaciones permitieron a Newton postular una ley o principio de la Dinámica de vali-dez universal (Fig. 4.7): III Ley: En toda interacción entre dos puntos materiales A y B en que el primero ejerce una fuerza FAB sobre el segundo, éste ejerce sobre el primero una reacción FBA . La fuerza de reac- ción es de igual magnitud y sentido contrario a la fuerza de acción y ambas se ejercen a lo largo de la recta que une los dos puntos: FBA = − FAB (4.8)Este enunciado se conoce como Tercera Ley (o Principio) de la Dinámica, Tercera Ley (o Prin-cipio) de Newton, o Ley (o Principio) de Acción y Reacción. B FAB A FBA Fig. 4.7. La Ley de Acción y Reacción: si A ejerce una fuerza FAB sobre B, éste ejerce so- bre A una reacción FBA = − FAB ; ambas fuerzas se ejercen a lo largo de la recta AB.Cantidad de movimiento e impulsoSea un objeto puntiforme de masa m que se desplaza con velocidad v. La magnitud p = mv (4.9)se denomina cantidad de movimiento del móvil. En términos de la cantidad de movimiento, laSegunda Ley de la Dinámica se escribe como dp F= dt (4.10) 62 www.cienciamatematica.com
  • 75. 4. Dinámicadonde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el móvil. Notar que esta formulación dela Segunda Ley es más general que la ec. (4.6) pues incluye el caso en que la masa del sistemaes variable, como ocurre con un cohete que pierde masa a medida que quema combustible.La Segunda Ley se escribe en forma diferencial como dp = Fdt . En general F es una funcióndel tiempo y la variación de la cantidad de movimiento en el intervalo t2 − t1 se expresa como: t2 t2 ∆p = p(t2 ) − p(t1 ) = ∫ dp = ∫ Fdt (4.11) t1 t1La cantidad t2 I21 = ∫ Fdt (4.12) t1se denomina impulso de la fuerza F. Para evaluar el impulso es preciso, naturalmente, conocercómo dependen del tiempo las fuerzas.La expresión (4.11) no es otra cosa que la expresión integral de la Segunda Ley, que se puedeenunciar como: II Ley: La variación de la cantidad de movimiento de un móvil es igual al impulso de la resultante de las fuerzas que actúan sobre él.Conservación de la cantidad de movimientoLa cantidad de movimiento es una magnitud extensiva: si S es un sistema compuesto por variosmóviles S1, S2, ... cuyas cantidades de movimiento son p1, p2, ... , respectivamente, la cantidadde movimiento p de S es igual a la suma de las cantidades de movimiento de sus partes: p = p1 + p2 + K (4.13)Sea ahora S un sistema aislado (es decir que no interactúa con el resto del universo) que com-prende los subsistemas S1 y S2. No hay fuerzas de origen externo sobre S1 y S2 y por lo tanto laúnica fuerza que actúa sobre S1 es F21, que proviene de su interacción con S2. Análogamente laúnica fuerza que actúa sobre S2 es F12, que proviene de su interacción con S1. Como F 21 y F12son un par de acción y reacción, por la Tercera Ley F21 = − F . Además, por la Segunda Ley 12 dp1 dp2 = F21 y =F12 (4.14) dt dtLuego dp1 / dt + dp2 / dt = 0 y por lo tanto p = p1 + p2 = cte. (4,15)Luego la cantidad de movimiento de S se conserva si no hay fuerzas externas. Usando la (4.11)la conservación de la cantidad de movimiento de S se expresa en la forma ∆p = ∆p1 + ∆p2 = 0, o sea ∆p2 = − ∆p1 (4.16) 63 www.cienciamatematica.com
  • 76. 4. DinámicaEsta fórmula pone de manifiesto que en toda interacción entre dos cuerpos hay una transferenciade cantidad de movimiento de uno a otro. Pero la cantidad de movimiento total se mantieneconstante, porque por la Ley de Acción y Reacción la cantidad de movimiento que gana unaparte se compensa exactamente con la que pierde la otra.Conviene aquí hacer un comentario acerca del concepto de sistema aislado. En sentido estrictoningún sistema es aislado, es decir no interactúa con el resto del universo. Cabe entonces pre-guntarse para qué sirven en la práctica las anteriores consideraciones. Para aclarar la cuestiónveamos como se modifican nuestros resultados cuando S interactúa con el resto del universo. Ental caso la fuerza que actúa sobre S1 es la resultante de F 21 y F e1, la fuerza de origen externoresultante de las interacciones de S1 con el resto del universo. Análogamente la fuerza que actúasobre S2 es la resultante de F12 y Fe2. Por lo tanto dp1 dp2 = F21 + Fe1 , = F + Fe 2 12 (4.17) dt dtAl sumar ambas ecuaciones obtenemos dp = Fe1 + Fe 2 = Fe (4.18) dtdonde Fe es la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre S. Por lo tanto t ∆p = ∫ 2 Fe dt (4.19) t1Este resultado indica que la variación de la cantidad de movimiento de un sistema proviene ex-clusivamente del impulso de las fuerzas de origen externo. Ahora bien, en muchas situaciones deinterés puede ocurrir que la variación de la cantidad de movimiento del sistema (debida comovimos a las fuerzas externas) sea despreciable. Eso sucede si Fe es muy pequeña, o si el intervalode tiempo ∆ t=t2 −t1 que estamos considerando es muy breve (como ocurre en el choque entredos cuerpos). En tales casos tendremos ∆p ≅ 0 (4.20)Si δp es la magnitud de la transferencia de cantidad de movimiento entre las partes del sistema( δ p≈Fint ∆ t , donde Fint es el valor típico de las fuerzas internas), la condición para que a losfines prácticos el sistema se pueda considerar aislado se puede expresar como ∆p Fe ∆t F a ≈ = e = e << 1 (4.21) δp Fint ∆t Fint aintdonde ae y aint son las magnitudes de las aceleraciones de una parte cualquiera del sistema debi-das a las fuerzas externas e internas, respectivamente. Entonces un sistema se puede consideraraislado si la aceleración de una cualquiera de sus partes debida a las fuerzas externas es despre-ciable frente a la aceleración producida por las fuerzas que las demás partes del sistema ejercensobre ella. 64 www.cienciamatematica.com
  • 77. 4. DinámicaAmortiguamiento de una caídaComo aplicación de estos conceptos estimemos desde que altura puede caer un hombre sin las-timarse, suponiendo que cae de pie y amortigua el impacto sobre el piso doblando las piernas.Estudiaremos el impacto, es decir el proceso desde que los pies tocan el suelo con las piernasestiradas y con velocidad v, hasta que el movimiento se detiene y las piernas están flexionadas.El problema parece complicado porque sobre el hombre actúan el peso P = mg (m es la masa yg la aceleración de la gravedad) y la fuerza normal de contacto N debida a la impenetrabilidaddel piso4, cuyo valor no conocemos de antemano. Pero no queremos un resultado exacto, sólouna estimación. Para resolver el problema vamos a suponer que el sistema hombre-piso se puedetratar como aislado, sujeto a verificar a posteriori que esta hipótesis se cumpla satisfactoria-mente. Nuestra hipótesis implica que durante el intervalo ∆t que dura el frenado podemos des-preciar el impulso del peso.Si h es la altura de la caída, al llegar al suelo la velocidad es v = 2 gh . Supongamos que du-rante el impacto la desaceleración es constante e igual a G; entonces v = 2Gl , donde l es lalongitud de las piernas ( l ≈ 0.75 m); luego h / l = G / g . Para que el hombre no se rompa loshuesos N debe ser menor que el valor límite F* dado por la resistencia mecánica del esqueleto,cuyo valor aproximado es: F* ≈ 10 P = 10 mg (4.22)Entonces el máximo valor admisible de la desaceleración es G = 10 g . De aquí resulta h ≤ Gl / g = 10 l ≈ 7.5 m (4.23)Luego la máxima altura desde la cual se puede caer sobre un piso rígido sin lastimarse es unas10 veces la longitud de las piernas: unos 7.5 m, más o menos la altura de un segundo piso5.Falta verificar que se cumple nuestra hipótesis. El tiempo de frenado es ∆t = 2l / G , durante elcual ocurre una variación δp = mv de la cantidad de movimiento. Durante ese lapso la variaciónde cantidad de movimiento debida al impulso del peso es ∆p = mg∆t , por lo tanto ∆p g 1 = ≈ (4.24) δp G 10Luego se justifica considerar el sistema hombre-suelo como aislado.Ley de escala de los esqueletosEl concepto de la fuerza límite (4.22) permite formular una ley de escala para el esqueleto de losvertebrados terrestres. Si l es la dimensión lineal típica del cuerpo y ρ la densidad del mismotenemos que m ~ ρ l3 . Por otra parte F ∗ ~ kd 2 donde d es la dimensión transversal de los huesosy k es una constante que depende del material y estructura de los mismos y que podemos supo-ner que tiene el mismo valor para todos los vertebrados. De esto resulta que d 2 gρ ~ =K (4.25) l3 k4 Más adelante se tratan las fuerzas de contacto.5 La (4.22) en que se basa nuestra estimación no se debe tomar al pie de la letra, sino sólo con carácter indicativo.No aconsejo a nadie que haga la prueba de saltar desde un segundo piso, salvo en caso de extrema necesidad. 65 www.cienciamatematica.com
  • 78. 4. Dinámicadonde K es (aproximadamente) constante para animales terrestres del mismo tipo de estructura.De esto se desprende la siguiente ley de escala: d ~ l1 / 2 (4.26) lque implica que los animales de mayor tamaño tienen huesos proporcionalmente más gruesos.Lógicamente estos argumentos no se aplican si se comparan animales que viven en el agua conanimales terrestres.Problemas de DinámicaComo dijimos al comienzo de este Capítulo el problema de la Dinámica es establecer la relaciónentre el movimiento y sus causas. Concretamente: dado un móvil y dadas las fuerzas que actúansobre el mismo, determinar su movimiento. O bien resolver el problema inverso: conociendocomo se mueve un cuerpo, deducir las fuerzas a las que está sometido. Para eso contamos con latres leyes fundamentales de la Dinámica: la Ley de Inercia, la Ley de Masa y la Ley de Acción yReacción. Estas tres leyes contienen en principio todo lo necesario para resolver estos proble-mas. Pero su aplicación a casos concretos requiere superar dos escollos:• conocer las fuerzas que están actuando y• dadas las fuerzas, encontrar las ecuaciones del movimiento.Muchos piensan que la parte más difícil del problema es la segunda, tal vez influidos por el grandesarrollo que se da en los textos a las técnicas y formalismos matemáticos, así como por la in-troducción de importantes conceptos que ayudan a plantear y resolver las ecuaciones. Sin em-bargo la primera parte es tanto o más difícil. En los casos prácticos no es siempre sencillo reco-nocer correctamente qué fuerzas están actuando. Más aún, cuando actúan varias fuerzas (y es asíen la mayoría de los problemas de la realidad) no es fácil saber cuales son las más importantes(porque determinan las principales características de la dinámica), cuales producen efectos se-cundarios (o sea pequeñas correcciones) y cuales finalmente se pueden despreciar dentro de laprecisión con que estudiamos el problema. Conviene entonces que el lector se familiarice con lasfuerzas que va a encontrar en la práctica. Aquí describiremos algunas de ellas y otras más sepresentarán en los Capítulos siguientes.El pesoYa hemos mencionado esta fuerza. El peso es la fuerza que hace caer los cuerpos. Proviene deuna de las interacciones fundamentales: la interacción gravitatoria, que trataremos en el Capítulo9. Concretamente, el peso de todo objeto material proviene de la atracción que la Tierra ejercesobre él. Su dirección define la vertical del lugar (que con buena aproximación coincide con larecta que pasa por el centro de la Tierra y por el lugar de que se trate6) y su sentido es hacia elinterior de la Tierra. La magnitud del peso es proporcional a la masa del cuerpo, de modo que P = mg (4.27)Cuando se considera un cuerpo extenso, su peso es la resultante de los pesos de cada uno de loselementos materiales que lo componen. Esta resultante se puede considerar aplicada en un punto6 Pasaría exactamente por el centro de la Tierra si ésta fuera una esfera perfecta y si no girara sobre sí misma. 66 www.cienciamatematica.com
  • 79. 4. Dinámicaque se llama baricentro o centro de masa, o centro de gravedad del cuerpo. Veremos más ade-lante como se determina la posición del baricentro de un cuerpo extenso o de un sistema depuntos materiales. Cuando el cuerpo tiene una forma simple y es homogéneo, el baricentro coin-cide con el centro geométrico del mismo.En virtud de la Tercera Ley a toda acción le corresponde una reacción. Por lo tanto si la Tierraejerce una acción gravitatoria sobre el cuerpo, de modo que sobre el cuerpo actúa el peso, hayuna reacción ejercida por el cuerpo sobre la Tierra. Esta reacción es la resultante de todas lasfuerzas que ejerce el cuerpo sobre cada uno de los elementos materiales que componen la Tierray se puede considerar aplicada en el baricentro de la Tierra, que coincide prácticamente con elcentro geométrico de nuestro Planeta. La situación se muestra en la Fig. 4.8, donde P ′ = − Pdesigna la reacción del peso de un cuerpo de masa m. En realidad tanto P como P ′ son las re-sultantes de las fuerzas de interacción gravitatoria que se ejercen sobre cada una de las partículasque componen, respectivamente, el cuerpo y la Tierra, pero a los fines de sus efectos dinámicoses equivalente reemplazar esos conjuntos de fuerzas por sus resultantes, si suponemos que tantola Tierra como el cuerpo son rígidos (lo cual es razonable en muchas situaciones). P P Fig. 4.8. La Tierra ejerce una atracción gravitatoria sobre todo cuerpo, que se manifiesta en el peso. El cuerpo ejerce una reacción que se puede considerar aplicada en el baricentro de la Tierra, que coincide prácticamente con el centro geométrico del Planeta.La masa de la Tierra es de 5.976×1024 kg, luego la aceleración que sufre debido a la reacción P ′provocada por un cuerpo de escala humana es despreciable. No es así, sin embargo, cuando seconsideran las reacciones debidas a la interacción gravitatoria con otros cuerpos celestes como laLuna, el Sol, etc.La relación entre el peso y la masaPara un objeto que cae acelerado por su peso la Segunda Ley establece que a = P / m . Pero es unhecho experimental (observado por Galileo) que todos los cuerpos que caen bajo la acción de supropio peso sufren la misma aceleración a = g = cte. Resulta entonces que el peso de un cuerpoes proporcional a su masa, pues P = mg . Este hecho no es una consecuencia de la Segunda Ley,sino que es un resultado experimental independiente que proviene de la particular naturaleza de 67 www.cienciamatematica.com
  • 80. 4. Dinámicala gravitación. Recordemos que la masa es una característica dinámica de los cuerpos que midela inercia de los mismos, es decir la resistencia que oponen al cambio en su estado de movi-miento. Que la inercia esté vinculada con la gravitación es, lo repetimos, un hecho experimentaly no una consecuencia de las leyes de la Dinámica Newtoniana. Volveremos más adelante sobreesta cuestión y sus implicancias.Fuerzas de contacto entre cuerpos sólidosEstas fuerzas son muy importantes en nuestra vida cotidiana y se deben a la presencia de cuerposque actúan como vínculos. En la Fig. 4.9 se muestra un libro que descansa sobre una mesa. De-bido a la presencia de la mesa el libro no cae al suelo. Lo que ocurre es que sobre la tapa dellibro que está en contacto con la superficie de la mesa está actuando una fuerza, que indicaremoscon N, que equilibra el peso del libro de modo que la fuerza resultante es nula: P + N = 0. Poreste motivo el libro no cae atravesando la mesa. Esta fuerza actúa sólo cuando el libro está encontacto con la mesa y por eso se denomina fuerza de contacto. Otra fuerza de contacto es la queda lugar al rozamiento, que se opone a que un cuerpo deslice sobre otro. N P (a) (b) Fig. 4.9. Fuerza de contacto: (a) un libro apoyado sobre una mesa no cae al suelo atrave- sando la mesa porque (b) la mesa ejerce una fuerza de contacto que equilibra el peso del libro.Las fuerzas de contacto no son fuerzas fundamentales. Son una manifestación a escala macros-cópica de las interacciones entre los átomos y moléculas que componen los cuerpos y que hacenque éstos no se interpenetran y tienden a adherirse entre sí. Su origen, en última instancia, sedebe a las interacciones electrostáticas entre las nubes electrónicas y a ciertos efectos cuánticosque no vamos a discutir aquí. La teoría detallada de las fuerzas de contacto es muy difícil y nonos ocuparemos de ella, aunque más adelante presentaremos una discusión cualitativa. Afortu-nadamente en la mayoría de los casos que nos pueden interesar no importa conocer el detalle decómo actúan en escala microscópica las fuerzas de contacto, pues basta saber cual es su efectogeneral. Eso es lo que vamos a tratar ahora.Toda fuerza de contacto se puede imaginar como la suma de una fuerza de contacto normal N,perpendicular a la superficie de contacto, más una fuerza tangencial R paralela a dicha superficie(Fig. 4.10). La fuerza N es la que se opone a la penetración de los cuerpos. La fuerza R da lugaral rozamiento (o fricción). 68 www.cienciamatematica.com
  • 81. 4. Dinámica N Fc IL AG FR R Fig.4.10. Toda fuerza de contacto es la suma de una fuerza normal N, perpendicular a la superficie de contacto y que se opone a la penetración de los cuerpos, más una fuerza tan- gencial R paralela a dicha superficie y que da lugar al rozamiento.Fuerza normal de contactoLa fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie y su valor no depende de las caracte-rísticas de los cuerpos en contacto, sino que es exactamente el necesario para impedir la penetra-ción. En el ejemplo del libro sobre la mesa N = − P de modo que la resultante de las fuerzas queactúan sobre el libro es nula: el libro no cae porque está sostenido por la mesa que ejerce lafuerza N. Si apoyamos un segundo libro sobre el primero N se ajusta de modo de balancear elpeso de ambos libros. En realidad no es estrictamente correcto decir que N toma siempre el valornecesario para equilibrar las fuerzas que tienden a producir la penetración. Se debe notar queestamos tratando las fuerzas de contacto de manera fenomenológica, mediante el modelo decuerpo sólido, rígido e impenetrable. En realidad no existen sólidos perfectamente rígidos e im-penetrables: nuestro modelo tiene límites dados por la resistencia de los materiales. Todo elmundo sabe, en efecto, que si se coloca sobre una mesa un objeto demasiado pesado la mesa serompe. En nuestro lenguaje esto se describe así: por la Tercera Ley cuando la mesa ejerce lafuerza N sobre el objeto que se apoya sobre ella, el objeto ejerce una reacción –N sobre la mesa.Si el valor de N necesario para sostener el objeto es tal que N y/o –N superan, respectivamente,el límite de resistencia del objeto y/o de la mesa, éstos se rompen (antes de llegar a eso se de-forman apreciablemente y entonces la descripción del fenómeno se complica considerable-mente). Pero mientras esto no ocurra podemos aplicar con confianza nuestro modelo simple.La fuerza normal de contacto explica lo que ocurre cuando un objeto está apoyado sobre unplano inclinado (Fig. 4.11). Como P = P|| + P⊥ donde P = P sen α y P⊥ = P cos α son las partes ||de P paralela y perpendicular al plano y puesto que N = − P⊥ resulta que N = P cos α . Dejandode lado por un momento el rozamiento, la resultante sobre el cuerpo es F = P + N = P|| + P⊥ + N = P|| (4.28)Luego el cuerpo no atraviesa el plano sino que tiende a deslizarse sobre el mismo bajo la acciónde P|| . En ausencia de rozamiento el movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado, con laaceleración P a= || = g sen α (4.29) m 69 www.cienciamatematica.com
  • 82. 4. Dinámica N P|| P a P a Fig. 4.11. Cuando un objeto está apoyado sobre un plano inclinado la fuerza normal de contacto equilibra la componente del peso perpendicular al plano.Fuerza de rozamientoCuando un cuerpo está en contacto con otro hay, además de N, una fuerza de contacto tangencialR que se llama rozamiento y se opone a que el cuerpo deslice sobre el otro. Su comportamientoes diferente al de N. Para discutir el rozamiento hay que distinguir si los cuerpos que están encontacto tienen o no movimiento relativo. En el primer caso se habla de rozamiento dinámico, enel segundo de rozamiento estático.Rozamiento dinámicoCuando un cuerpo desliza sobre un plano inclinado se observa (si no se toman recaudos paraevitar el rozamiento, como usar un colchón de aire) que a ≠ g sen α . Esto se debe a la fuerza R.Si se hacen mediciones cuidadosas se encuentra que R tiene las siguientes propiedades:• tiene igual dirección y sentido opuesto que la velocidad v del móvil (ver Fig. 4.12a),• su magnitud es proporcional al módulo de la fuerza de contacto normal.Podemos escribir entonces R = − µ d Nv ˆ (4.30)donde µ d es una constante adimensional que se denomina coeficiente de rozamiento dinámico.El valor de µ d depende de los materiales de los cuerpos y de las características de las superficiesen contacto (su rugosidad o grado de pulimento, la presencia o no de sustancias como grasas oaceites lubricantes sobre las mismas, etc.). Algunos valores se dan en la Tabla 4.1. Tabla 4.1. Coeficientes de fricción para superficies limpias y secas. Superficies en contacto µd µe acero duro/acero duro 0.42 0.78 acero blando/acero blando 0.57 0.74 plomo/acero blando 0.95 0.95 cobre/acero blando 0.36 0.53 cobre/hierro fundido 0.30 1.10 níquel/níquel 0.53 1.10 hierro fundido/hierro fundido 0.15 1.10 teflón/teflón 0.04 0.04 70 www.cienciamatematica.com
  • 83. 4. DinámicaConsideremos un cuerpo que desliza hacia abajo sobre un plano inclinado con la velocidad v.Tendremos entonces que m a = P|| − R y recordando las (4.2) y (4.30) resulta µ a = v g sen α 1 − d  ˆ (4.31)  tan α Existe pues un valor crítico α d de la pendiente del plano (llamado ángulo de rozamiento diná-mico) dado por la condición tan α d = µ d , que permite distinguir tres posibilidades distintas:• si α < α d tendremos a ~ −v , luego el rozamiento frena al móvil, que acabará por detenerse, ˆ• si α = α d se tiene que a = 0 y el móvil desliza hacia abajo con velocidad constante,• si α > α d tendremos que a ~ v y el móvil se acelera al descender, pero su aceleración es ˆ menor que la que tendría en ausencia de rozamiento ( a < g sen α ). v FRA G IL R FRA G IL R P|| (a) (b) Fig. 4.12. Fuerza de rozamiento: (a) el rozamiento dinámico tiene igual dirección y sentido opuesto que la velocidad del móvil, (b) el rozamiento estático tiene igual dirección y sen- tido opuesto que la fuerza que tiende a desplazar el móvil.Rozamiento estáticoSi no hay movimiento relativo el rozamiento tiende a mantener los cuerpos en ese estado. Sea unlibro apoyado sobre una mesa. Si lo empujamos para ponerlo en movimiento veremos que hacefalta una fuerza apreciable para lograr nuestro objetivo. Se puede determinar que la fuerza Fnecesaria para poner en movimiento al móvil debe superar una cota dada por µe N , de modo que F ≥ µe N (4.32)El número µe se denomina coeficiente de rozamiento estático (algunos valores se dan en la Ta-bla 4.1) y se cumple que7 µe ≥ µ . El resultado de las observaciones indica que:• en tanto que F < µe N no hay movimiento, por lo tanto R = − F (Fig. 4.12b),• cuando F ≥ µe N el rozamiento estático no logra impedir el movimiento: estamos en presen- cia de rozamiento dinámico y R está dado por la (4.30).El comportamiento de R como función de F se representa en la Fig. 4.13. Volveremos sobre eltema del rozamiento en los Capítulos 11 y 12.7 El rozamiento estático juega un rol muy importante en el comportamiento de un automóvil. En condicionesnormales de marcha, las partes de las cubiertas en contacto con el pavimento están (instantáneamente) en reposo. Esel rozamiento estático lo que permite que las ruedas motrices tengan tracción, y que el vehículo mantengaadherencia al piso cuando acelera o frena. Si por cualquier causa las ruedas deslizan sobre el pavimento, entra enjuego el rozamiento dinámico cuyo valor es menor, el vehículo patina y el conductor puede perder el control delmismo. Por eso jamás hay que frenar bloqueando las ruedas. 71 www.cienciamatematica.com
  • 84. 4. Dinámica R/N me md me F/N Fig. 4.13. Comportamiento de R como función de F.Fuerzas sobre un cuerpo en el seno de un fluidoLos fluidos ejercen fuerzas sobre los cuerpos que están en su seno. Puesto que todo objeto te-rrestre está rodeado por un ambiente fluido sea gaseoso (la atmósfera), sea líquido (mares, lagoso ríos), es importante conocerlas. Su tratamiento riguroso requiere estudiar la Mecánica de losFluidos, pero por su gran importancia práctica las presentaremos aquí, aunque algunos aspectosse aclararán recién al estudiar los Capítulos 13 y 14. Estas fuerzas se dividen en tres grupos:• El empuje de Arquímedes, que actúa sobre todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido, cualquiera sea de su estado de movimiento.• Fuerzas que dependen de la velocidad del cuerpo, que a su vez se dividen en fuerzas de arrastre, que tienen la dirección de la velocidad relativa del cuerpo respecto del fluido y sen- tido opuesto, y fuerzas de sustentación, que son ortogonales a dicha velocidad relativa.• Fuerzas que dependen de la aceleración del cuerpo respecto del fluido que lo rodea.A continuación pasaremos revista a estas fuerzas.El empujeEs la fuerza más sencilla y se tratará en detalle en el Capítulo 13. Se la conoce desde la antigüe-dad (Arquímedes) y es la que permite que los barcos floten y que los objetos sumergidos en unlíquido sean más livianos. Proviene de la presión8 ejercida por el fluido sobre la parte sumergidadel cuerpo; su magnitud no depende del estado de movimiento del cuerpo y está dada por E = gρ f V (4.33)Aquí ρ f es la densidad del fluido, V el volumen de la parte sumergida del cuerpo y g laaceleración de la gravedad. Luego la magnitud del empuje es igual al peso del fluido desalojadopor el cuerpo. Su dirección es la misma del peso y su sentido es opuesto (Fig. 4.14), entonces: E = − gρ f V (4.34)8 La presión es la magnitud de la fuerza que se ejerce por unidad de área. 72 www.cienciamatematica.com
  • 85. 4. Dinámica E P Fig. 4.14. El empuje tiene igual dirección y sentido opuesto que el peso.El empuje se puede considerar aplicado en el baricentro de la masa de fluido que ocuparía ellugar del cuerpo si éste no estuviera presente. Notar que en general este punto no coincide con elbaricentro del cuerpo, hecho que como veremos más adelante tiene gran importancia en lo quehace a la estabilidad de una embarcación. Solamente si el cuerpo es homogéneo y está comple-tamente sumergido el punto de aplicación del empuje coincide con el del peso. Para tomar encuenta el empuje en la dinámica de un cuerpo homogéneo y completamente sumergido bastareemplazar el peso P del mismo por el peso aparente Pa dado por  ρf  Pa = P + E = P 1 −  (4.35)  ρdonde ρ es la densidad del cuerpo. La densidad del aire es de unos 10–3 g/cm3, mientras que ladensidad de la materia condensada es típicamente del orden de 1 g/cm3. Por lo tanto al tratarcuerpos en el aire podremos casi siempre despreciar el empuje. En cambio para objetos en elagua el empuje se debe tener en cuenta siempre.Fuerzas de arrastreFuerzas de arrastre y de sustentaciónLos fluidos se oponen al avance de los cuerpos que se mueven en su seno. De igual modo unacorriente de un fluido tiende a arrastrar consigo los objetos que están dentro de ella. Las fuerzasde arrastre junto con las de sustentación (que trataremos a continuación) son fundamentales paracomprender el transporte de materiales por los fluidos, la sedimentación, la locomoción acuáticay aérea, etc. Son fuerzas que dependen de la velocidad relativa del objeto respecto del fluido y suexpresión exacta es muy difícil de obtener, por lo cual sólo las trataremos en forma aproximada,justificando cualitativamente su origen y dando estimaciones de su magnitud.La fenomenología de las fuerzas de arrastre es muy compleja y se deben considerar varios casos,cada uno de los cuales es apropiado sólo para determinadas situaciones. Trataremos ahora dedescribirlas en términos sencillos.Arrastre viscosoCuando la velocidad relativa del objeto respecto del fluido es baja (más adelante veremos qué seentiende por baja) la resistencia al movimiento se debe a la viscosidad del fluido. La viscosidad 73 www.cienciamatematica.com
  • 86. 4. Dinámicaes una propiedad de los fluidos que se estudiará en el Capítulo 12, en virtud de la cual éstos seoponen con fuerzas toda vez que se intenta hacer deslizar una capa de fluido sobre otra. La mag-nitud del efecto es proporcional a un parámetro que se llama coeficiente de viscosidad, que indi-caremos con η, cuyo valor depende de la naturaleza del fluido y de su estado (básicamente de sutemperatura). Para fijar ideas supongamos tener dos capas planas 1 y 2 de fluido (Fig. 4.15) se-paradas por una distancia ∆d , que se mueven paralelamente a sí mismas con las velocidades v1y v2 = v1 + ∆v , respectivamente. En esas condiciones se encuentra experimentalmente que lacapa 2 ejerce sobre la capa 1 una fuerza F que tiene las siguientes propiedades: η• es proporcional a la diferencia de velocidades ∆v ,• es inversamente proporcional a la distancia ∆d entre las capas,• es proporcional al área de contacto S entre las capas,• se opone al movimiento relativo, es decir, tiende a aumentar la velocidad de la capa 1.En resumidas cuentas ∆v F = ηS η (4.36) ∆dEn virtud de la Tercera Ley la capa 1 ejerce sobre la capa 2 una fuerza −F , que tiende a dismi- ηnuir la velocidad de la capa 2. v 2 = v 1+ v 2 d Fh v1 1 Fig. 4.15. Cuando dos capas de un fluido deslizan la una sobre la otra, debido a la viscosi- dad se ejercen fuerzas entre ambas que tienden a disminuir la velocidad relativa.De la ec. (4.36) obtenemos las dimensiones de η: [η] =   m  tl  (4.37) La unidad de viscosidad en el sistema cgs es el poise (p), cuyo valor es 1 poise = 1 p = 1g/cm s (4.38)En las tablas se suele dar el coeficiente de viscosidad en centésimas de poise (centipoise), abre-viado cp. Valores típicos que conviene que el lector recuerde son: ηagua ≈ 1 cp , ηaire ≈ 0.02 cp (4.39)El coeficiente de viscosidad de los líquidos disminuye con la temperatura, por ejemplo 74 www.cienciamatematica.com
  • 87. 4. Dinámica ηagua (20˚ C) ≈ 1.1 cp , ηagua (100˚ C) ≈ 0.25 cp (4.40)Por el contrario la viscosidad de los gases crece con la temperatura: ηaire (0˚ C) ≈ 0.016 cp , ηaire (100˚ C) ≈ 0.025 cp (4.41)Imaginemos una gota microscópica de aerosol que cae en el aire por efecto de su peso (o unapartícula de limo que se está asentando en el agua). Las capas del fluido en contacto con la partí-cula tienden a adherirse a ella y ser arrastradas en su movimiento, pero las capas más lejanasquedarán, naturalmente, en reposo. Por lo tanto habrá capas que deslizan la una sobre la otra(Fig. 4.16a). Para calcular la fuerza de origen viscoso que actúa sobre la partícula es necesarioconocer como se mueven las capas de fluido que lo rodean y éste es un problema muy difícil quenosotros no resolveremos. En realidad el cálculo exacto sólo se puede hacer en casos muy senci-llos (como partículas esféricas, elipsoidales o cilíndricas que se mueven con velocidad uni-forme). Para formas más complicadas o partículas de forma irregular el cálculo teórico es impo-sible. Lo que vamos a hacer nosotros es una estimación, sin pretensión de mucha exactitud. (a) (b) Fig. 4.16. Flujo alrededor de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido, visto desde el referencial del cuerpo. Los diagramas son cualitativos. (a) Cuando la velocidad es baja el flujo es laminar. (b) Cuando la velocidad es alta detrás del cuerpo aparece una estela turbulenta.Sea l el tamaño lineal de la partícula (el diámetro de la misma si es esférica o una longitud ca-racterística de su tamaño si su forma es más complicada). Es razonable suponer que las capas defluido que tienden a ser arrastradas por la partícula se extienden hasta una distancia de la mismadel orden de l, o sea que ∆d ≈ l . El orden de magnitud del área de contacto es entonces S ≈ l2 ,y si u es la velocidad de la partícula tendremos que ∆v ≈ u . Sustituyendo en la (4.36) obtenemosque la magnitud de la fuerza de arrastre viscoso sobre la partícula es Fη = g1 η u l (4.42)donde g1 es un factor numérico del orden de la unidad; su valor depende de la forma de la partí-cula y de su orientación respecto de la dirección de su movimiento, que son los factores que de-terminan como se mueven las capas fluidas que la rodean.Podemos comparar nuestra estimación con los resultados del cálculo exacto cuando éste se co-noce. Para una partícula esférica de diámetro l que se mueve con velocidad constante el resul-tado exacto es g1 = 3π , de modo que 75 www.cienciamatematica.com
  • 88. 4. Dinámica Fη = 3π η u l (4.43)una expresión que se conoce como ley de Stokes. Para un disco plano de diámetro l que semueve perpendicularmente a su plano se obtiene g1 = 8 , mientras que si se mueve paralelamentea él g1 = 16 / 3 = 5.33… Como se ve g1 es siempre un número cercano a la unidad (más precisa-mente g1 ≈ 10 ). Pero lo que en definitiva interesa para nuestras estimaciones es que la fuerza dearrastre viscoso es proporcional al coeficiente de viscosidad del fluido, proporcional a la veloci-dad y proporcional a una longitud que caracteriza el tamaño del cuerpo.Velocidad límiteSea una partícula que cae por efecto de su peso en un fluido. Describiremos su posición me-diante una coordenada vertical x, positiva hacia abajo. Por la Segunda Ley la aceleración es Fη 1 a= g− = g− g1 η u l (4.44) m mSi la partícula parte del reposo en x = 0 su velocidad inicial es nula y por lo tanto su aceleracióninicial es igual a g. Pero al aumentar la velocidad disminuye la aceleración de acuerdo con la(4.44). La aceleración se anula cuando u alcanza la velocidad límite v* dada por mg v* = (4.45) g1 η lA partir de ese momento la partícula cae con la velocidad constante v *. La (4.44) se integrafácilmente. Poniendo u = V v * y t = t * T ( t* = m / g1ηl ) la (4.44) se escribe9 dV =1− V (4.46) dTDe aquí obtenemos dT = dV /(1 − V ) de modo que V (T ) dV ′ T= ⌠  = − ln(1 − V ) (4.47) ⌡ 1− V′ 0y por lo tanto V = 1 − e−T (4.48)La velocidad límite se alcanza para t ≈ t *, luego t * es el tiempo característico del fenómeno.Para integrar la (4.48) ponemos x = x * X donde x* = v *2 / g y obtenemos X = T − 1 + e−T (4.49)9 Conviene siempre escribir las ecuaciones en términos de invariantes porque así las expresiones que se obtienen(que se representan en la Fig. 4.17) son universales, esto es, valen para todo caso que se pudiera presentar. 76 www.cienciamatematica.com
  • 89. 4. DinámicaCuando T << 1 (es decir si t << t *) la (4.49) nos da x ≅ (1 / 2)gt 2 mientras que si T >> 1 (o seat >> t *) obtenemos x ≅ v * t , como debe ser. La distancia recorrida por la partícula en t * es x * v *2 1 x (t*) = = = gt *2 (4.50) e eg eCon esto queda resuelto nuestro problema. En la Fig. 4.17 se muestran V (T ) y X (T ) . 2 V 1 1 2 3 4 T 2 X 1 1 2 3 4 T Fig. 4.17. Caída libre de una partícula con arrastre viscoso.Veamos el caso de una gota de aerosol acuoso de 20 µm de diámetro que cae en el aire: usandonuestras fórmulas10 resulta v* ≈ 1 cm/s , t* ≈ 10 −3 s y x* ≈ 11 µm , luego el régimen de caída convelocidad constante se establece casi de inmediato y v * es, efectivamente, muy pequeña.Consideremos una gota de lluvia de 2 mm de diámetro. En este caso se obtiene v* ≈ 109 m/s ,t* ≈ 11 s y x* ≈ 120 m . Claramente en este caso algo anda mal con nuestras fórmulas, pues pre-dicen una velocidad límite absurdamente alta: todos hemos visto llover y sabemos que la veloci-dad de las gotas es, cuanto mucho, de algunos metros por segundo.Arrastre turbulentoEl modelo en que se basa nuestro análisis del arrastre viscoso se funda en suponer que el flujo eslaminar, esto es que el fluido se puede describir como un conjunto de capas o láminas que des-10 Hemos supuesto que la gota es esférica lo cual es cierto con buena aproximación, y hemos ignorado el efecto delmovimiento interno de la gota que se induce por efecto de la viscosidad. 77 www.cienciamatematica.com
  • 90. 4. Dinámicalizan las unas sobre las otras. A velocidades altas esto no es cierto pues la presencia del móvilproduce turbulencia, que es un movimiento desordenado de las parcelas del fluido (Fig. 4.16.b).¿Quién no ha visto un automóvil corriendo por un camino de tierra? Detrás del vehículo se ob-serva una estela turbulenta en la cual el movimiento del aire es arremolinado y arrastra consigouna nube de polvo ¿Quién no oyó hablar del efecto de chupada, por el cual un vehículo que sedesplaza detrás de otro y muy cerca de él experimenta menos resistencia a su avance? Todosestos son efectos de la turbulencia provocada por un móvil que se desplaza velozmente. Estáclaro que en estos casos el movimiento del aire no es laminar en absoluto. Podemos entendercualitativamente lo que pasa si analizamos el proceso desde el sistema de referencia del móvilque se mueve con la velocidad u respecto del fluido cuya densidad es ρ f . Desde este referencialcada parcela del fluido que viene hacia el móvil trae una cantidad de movimiento por unidad devolumen dada por − ρ f u , y al entrar en contacto con el móvil se desvía hacia los costados delmismo. Término medio las parcelas pierden (por unidad de volumen) la cantidad de movimiento − ρ f u que es transferida al móvil11. De resultas de esto, en la unidad de tiempo y por cada uni-dad de área de su sección transversal (a la dirección del movimiento), el fluido transfiere al mó-vil una cantidad de movimiento − ρ f u 2u . Si l es la dimensión lineal característica del móvil ˆtransversal a su dirección de movimiento, la cantidad de movimiento que adquiere por unidad detiempo es − ρ f u 2 l2u. Por lo tanto la magnitud de la fuerza de arrastre turbulento12 es ˆ 1 Ft ≅ Ca ρ f u 2 l2 (4.51) 2Aquí el factor 1/2 se introdujo por conveniencia, y Ca es un número puro que se llama coefi-ciente de arrastre, cuyo valor depende de la forma del cuerpo, de su orientación con respecto dela dirección del movimiento y también de la velocidad del mismo, que determina el detalle delmovimiento de las parcelas del fluido. Volveremos en breve sobre este tema. Detrás del móvilqueda, como ya dijimos, una estela turbulenta y cerca de la parte posterior del mismo, dentro dela estela, el movimiento arremolinado del fluido hace que otro móvil que sigue de cerca al pri-mero experimente un arrastre menor, de ahí el efecto de “chupada” que mencionamos antes.Velocidad límiteUsando la (4.51) podemos escribir la aceleración de una partícula que cae en régimen turbulento.Como antes usamos una coordenada vertical x positiva hacia abajo. Por la Segunda Ley: Ft 1 a= g− = g− Ca ρ f u 2 l2 (4.52) m 2mSi la partícula parte del reposo en x = 0 , t = 0 tenemos u(0) = 0 , a(0) = g . A medida que au-menta u disminuye a, que se anula cuando u alcanza la velocidad límite v* dada ahora por11 Las componentes transversales de la cantidad de movimiento que adquieren las parcelas del fluido tienden acompensarse entre sí, de modo que la cantidad de movimiento neta perpendicular a u que adquiere el móvil es engeneral pequeña. De todos modos por definición su efecto no es producir arrastre sino dar lugar a la fuerza desustentación, que consideraremos más adelante.12 Esta fuerza de arrastre es la que experimentamos cuando sacamos la mano por la ventanilla de un automóvil enmovimiento. 78 www.cienciamatematica.com
  • 91. 4. Dinámica 2m g v∗ = (4.53) Ca ρ f l2Poniendo u = v * V y t = t * T , donde t* = v * / g = (2 m / Ca ρ f l2 g)1 / 2 , la (4.52) se escribe como dV = 1− V2 (4.54) dTEs fácil integrar esta ecuación. La solución que cumple la condición inicial V (T = 0) = 0 es V = tanh T (4.55)Para encontrar el desplazamiento escribimos x = x * X con x* = v * t* = 2 m / Ca ρ f l2 . Entonces dX = V = tanh T (4.56) dTLa solución de la (4.56) que satisface la condición inicial X (T = 0) = 0 es X = ln(cosh T ) (4.57)En la Fig. 4.18 se muestran las soluciones (4.55) y (4.57). Es fácil verificar que cuando T << 1(es decir cuando t << t *) la (4.54) y la (4.57) nos dan v ≅ gt y x ≅ gt 2 / 2 , mientras que siT >> 1 (o sea t >> t *) obtenemos v ≅ v * y x ≅ v * t , como debe ser. 2 V1 1 2 3 4 T 2 X1 1 2 3 4 T Fig. 4.18. Caída libre de una partícula con arrastre turbulento. 79 www.cienciamatematica.com
  • 92. 4. DinámicaVolviendo ahora a la gota de lluvia de 2 mm de diámetro, la aplicación de estas fórmulas per-mite obtener (suponiendo que Ca ≈ 0.8 , que es un valor razonable para una partícula esféricaque se mueve con la velocidad de unos pocos m/s) los siguientes valores: v* ≅ 5.4 m/s ,t* ≅ 0.39 s y x* ≅ 1.5 m , que como se ve corresponden con los que efectivamente se observan.Corresponde hacer un comentario acerca de la expresión (4.53) de la velocidad límite. La masadel cuerpo escala como m ~ ρc l3 ( ρc es la densidad media del cuerpo). De esto resulta que v∗ ~ l (4.58)que nos dice que la velocidad límite escala como la raíz cuadrada del tamaño del cuerpo. Com-paremos la velocidad límite que alcanzan un hombre ( l hombre ≈ 180 cm ) y una hormiga( l hormiga ≈ 0.5 cm ). Resulta que v *hormiga / v *hombre ≈ (l hormiga / l hombre )1 / 2 ≅ 0.053. La veloci-dad límite que alcanza un hombre al caer en el aire13 es de unos 50 m/s. Por lo tanto la velocidadlímite que alcanza una hormiga es de solamente unos 2-3 m/s. Por este motivo los insectos yotros animales pequeños pueden caer desde grandes alturas sin hacerse daño.El número de ReynoldsEl lector se preguntará cuándo corresponde usar la (4.42) Fη = g1ηul que da la fuerza de arrastreviscoso y cuándo en cambio hay que usar la (4.51) Ft = Ca ρ f u 2 l2 / 2 que vale para el arrastreturbulento. Para contestar esta pregunta usaremos el análisis dimensional para obtener la expre-sión general del arrastre Fa sobre un cuerpo que se mueve con la velocidad u en seno un fluido(Fig. 4.19). Claramente las magnitudes dimensionales que intervienen en el problema son cinco: Fa , l , u , η , ρ f (4.59)y solamente tres de ellas tienen dimensiones independientes. Luego según el Teorema Pi pode-mos formar con ellas sólo dos combinaciones adimensionales, que podemos elegir como Fa Π= (4.60) 1 2 ρ f u 2 l2donde el factor numérico se ha puesto por comodidad, y ρ f ul R = (4.61) ηEl invariante R se llama número de Reynolds y es una importante característica del flujo, comoveremos en seguida.A los invariantes Π y R tenemos que agregar un conjunto adicional de invariantes (que indica-remos con f) que describen la forma del cuerpo y dos ángulos (que designaremos con α) quedeterminan su orientación respecto de la dirección de su movimiento. Por lo tanto la relacióninvariante más general que podemos escribir entre las magnitudes del problema es Π = φ (R , f , α ) (4.62)13 Esto requiere una caída de aproximadamente 125 m. 80 www.cienciamatematica.com
  • 93. 4. Dinámicadonde φ es una función cuya forma no podemos determinar por medio del análisis dimensional.De la (4.62) obtenemos la expresión general del arrastre como Fa = 1 ρ f u 2 l2 φ (R , f , α ) 2 (4.63) rf Fs F u Fa l a Fig. 4.19. Fuerzas sobre un cuerpo que se mueve en un fluido. Por definición el arrastre y la sustentación son, respectivamente, las componentes de la fuerza en la dirección paralela y perpendicular a u.Aunque no conocemos φ (R , f , α ) podemos decir algo acerca de su comportamiento en los lími-tes de bajas y altas velocidades. En el límite de velocidades bajas sabemos que el arrastre sedebe a la viscosidad y es independiente de ρ f (que da la medida de la inercia del fluido). Luegoen ese límite, que corresponde a R << 1, se debe cumplir que g1 ( f , α ) lim u→ 0 φ (R , f , α ) = (4.64) Rde modo tal que Fa = g1 ( f , α )η u l = Fη , R << 1 (4.65)y recuperamos así la fórmula (4.42) del arrastre viscoso. Por otra parte en el límite de altas velo-cidades sabemos que Fa no depende de η . Por consiguiente en ese límite, que corresponde atener R >> 1 , el arrastre debe ser independiente de R. En consecuencia lim u→∞ φ (R , f , α ) = g2 ( f , α ) = cte. (4.66)de modo tal que Fa = 1 g2 ( f , α )ρ f u 2 l2 = Ft 2 , R >> 1 (4.67)y si identificamos Ca con g2 ( f , α ) se obtiene la fórmula (4.51) del arrastre turbulento.Es interesante observar que R es del orden del cociente entre la fuerza de arrastre turbulento y lafuerza de arrastre viscoso. Ft g ( f ,α ) = 2 R ≈R (4.68) Fµ 2 g1 ( f , α ) 81 www.cienciamatematica.com
  • 94. 4. DinámicaTenemos entonces el criterio que nos permite decidir qué fórmula hay que aplicar en cada caso:• cuando R << 1 (velocidad baja) el arrastre es viscoso y se debe usar la (4.42);• cuando R >> 1 (velocidad alta) el arrastre es turbulento y corresponde usar la (4.51).Recordando nuestros resultados anteriores para la gota de agua de 20 µm de diámetro, obtene-mos en efecto que R = 0.1 << 1, de modo que en este caso es correcto aplicar la (4.42), comohicimos. En cambio para la gota de lluvia de 2 mm, a partir del resultado obtenido usando la(4.51) se tiene que R ≅ 540 >> 1 , lo que indica que es correcto aplicar la fórmula del arrastreturbulento.Si no conocemos de antemano u no podemos calcular R. En tal caso hay que proceder por tanteo,usando la (4.42) o la (4.51) para obtener u y luego calcular R, verificando a posteriori si el valorde R es consistente (o no) con la fórmula que se usó.El coeficiente de arrastreEs usual definir el coeficiente de arrastre como Fa Ca = Ca (R , f , α ) = (4.69) 1 2 ρ f u 2 S⊥donde S⊥ ≈ l2 es el área de la sección del cuerpo ortogonal a u. Entonces la (4.62) se escribe Fa = 1 Ca ρ f u 2 S⊥ 2 (4.70)Comparando la (4.65) con la (4.70) vemos que para velocidades bajas ( R << 1) el coeficiente dearrastre está dado por 2 g1 ( f , α ) Ca = (4.71) Ry por lo tanto es inversamente proporcional al número de Reynolds. Para velocidades mayoresCa tiene un comportamiento complicado y sólo tiende a un valor constante como predice la(4.67) para R muy grande. En general Ca se tiene que determinar experimentalmente, por mediode mediciones en túnel de viento. Por ejemplo para un cuerpo de forma esférica Ca ≈ 1 paraR ≈ 10 2 y cae a 0.5 para R ≈ 103 , luego es casi constante entre R ≈ 103 y R ≈ 10 2 , pero entreR ≈ 2 × 10 5 y 3×105 cae por un factor entre 4 y 5, y se mantiene aproximadamente constante deR ≈ 10 6 en adelante. Pero para cuerpos con un perfil aerodinámico (como el perfil de un ala deavión) Ca puede ser mucho más pequeño14, 15; por ejemplo para un ala de avión orientada segúnla dirección normal de vuelo se tiene que Ca ≈ 0.01 − 0.02 .14 Esto está relacionado con el comportamiento de la estela turbulenta, que a su vez depende no solo de R sino de laforma del cuerpo. Un cuerpo romo como el de la Fig. 4.16 desarrolla una estela muy ancha que abarca toda su parteposterior y por eso tiene un coeficiente de arrastre grande. Un cuerpo con perfil aerodinámico (como un ala deavión) produce una estela muy angosta y el flujo alrededor del mismo es laminar incluso para R muy grande y poreso tiene un coeficiente de arrastre muy pequeño.15 Para vehículos que se desplazan a velocidades altas la resistencia del aire es un factor muy importante en lo quehace a la economía de combustible. Por este motivo se debe tener en cuenta en el diseño. 82 www.cienciamatematica.com
  • 95. 4. DinámicaArrastre por emisión de ondasEl arrastre viscoso y el arrastre turbulento no son únicos que se tienen que considerar al estudiarfenómenos de la vida cotidiana. Bajo determinadas circunstancias hay otros procesos físicos quepueden dar lugar a fuerzas de arrastre. Estos procesos consisten en la emisión por parte del móvilde ondas que se propagan en la superficie del fluido o en el seno del mismo. Todos hemos vistoque cuando una embarcación se desplaza sobre un espejo de agua, detrás de la misma queda unaestela que consiste de un patrón de ondas que se propagan sobre la superficie16. Estas ondas, queson generadas por el movimiento de la embarcación, transportan cantidad de movimiento, que seresta de la cantidad de movimiento de la embarcación. Por lo tanto esta última experimenta unafuerza de arrastre, que se llama arrastre por emisión de ondas. Por ese motivo para que la em-barcación avance con velocidad constante tiene que contar con un mecanismo de propulsión(remo, vela o motor) que suministre una fuerza que compense esa fuerza de arrastre. Aquí cabeobservar que el casco de la embarcación sufre también arrastre del tipo considerado previamente(turbulento, en general) debido a que se mueve en el agua, y que la parte de la embarcación queestá fuera del agua sufre la resistencia del aire. Sin embargo cuando la velocidad de la embarca-ción es considerable, el efecto dominante es el arrastre por emisión de ondas ya que el mismoaumenta rápidamente con la velocidad al punto que se llega pronto a una velocidad límite que nose puede superar pues para hacerlo sería necesaria una planta motriz de tamaño y costo impracti-cables. Es por este motivo que ningún barco navega a una velocidad mayor que unos 40 nudos17(un nudo es una milla náutica por hora, equivalente a 1.852 km/h).Asimismo el movimiento de una embarcación, ya sea en la superficie o sumergida, puede darlugar a la emisión de otra clase de ondas, llamadas ondas internas18, si es que el agua presentaestratificaciones de densidad (como ocurre cuando hay una capa de agua dulce sobre agua sa-lada, o cuando la variación de la temperatura del agua con la profundidad produce variaciones dedensidad). La emisión de ondas internas por parte del barco produce un arrastre adicional, que endeterminadas circunstancias puede ser importante.Un móvil que se desplaza en el aire puede también sufrir arrastre por emisión de ondas. Estoocurre si su velocidad es cercana o mayor que la velocidad del sonido (unos 340 m/s en aire atemperatura ordinaria). En nuestros análisis anteriores del arrastre supusimos implícitamente queel flujo es incompresible. Esto es correcto sólo si la velocidad del móvil no es muy grande. Elparámetro que interesa aquí es el número de Mach, definido como velocidad del móvil M = (4.72) velocidad del sonidoSi M es mayor o cercano a 1 para calcular el flujo hay que tomar en cuenta la compresibilidaddel aire. Según el valor de M se distinguen varios regímenes. Para M d0.3 se tiene el régimenincompresible y la fórmula (4.63) se puede aplicar con buena aproximación. En el intervalo0.3 dM <1 está el régimen subsónico, en el cual es preciso aplicar correcciones para tomar encuenta la compresibilidad. Si M >1 tenemos el régimen supersónico, en el cual el desplaza-16 Un submarino en movimiento puede también emitir ondas de superficie, si navega a poca profundidad.17 Las embarcaciones pequeñas como las lanchas de carrera pueden superar esta limitación gracias a que viajanplaneando sobre la superficie con casi todo el casco fuera del agua.18 Esas ondas se estudian en el Capítulo 15. 83 www.cienciamatematica.com
  • 96. 4. Dinámicamiento del móvil produce ondas de choque. Entre el régimen subsónico y el supersónico, cuandoM ≈1, se tiene el régimen transónico, cuyo análisis es muy complicado ya que parte del flujo essubsónico y parte supersónico. Finalmente si M >>1 se tiene el régimen ultrasónico.Debido a la compresibilidad el movimiento del cuerpo provoca la emisión de un patrón de ondasde compresión (ondas acústicas) que transportan cantidad de movimiento que se resta de la can-tidad de movimiento del móvil19 y produce un arrastre. El análisis dimensional que nos permitióencontrar la fórmula general del arrastre supone implícitamente que M << 1 y que por lo tantodicho parámetro no es relevante. Por consiguiente la fórmula (4.63) no se puede aplicar cuandoM ≈ 1 o mayor. Haciendo un nuevo análisis dimensional para este caso se obtiene Fa = 1 ρ f u 2 l2ψ (M , f , α ) 2 (4.73)En la (4.73) no figura R ya que obviamente para velocidades tan altas la viscosidad no puede serrelevante. Para móviles que se desplazan con velocidad ultrasónica, como meteoritos o bólidosque ingresan a la atmósfera con velocidades en el rango 20-70 km/s se tiene M ≈ 60 − 200 y eneste límite Fa se torna independiente de M, luego ψ (M , f , α ) → ψ 1 ( f , α ) y tenemos que Fa = 1 ρ f u 2 l2ψ 1 ( f , α ) 2 (4.74)En este caso el mecanismo dominante que determina el arrastre es que el móvil se lleva literal-mente por delante las moléculas del aire como si fuese una topadora. En efecto vista desde elreferencial del móvil, la cantidad de movimiento de las ondas que se emiten es insignificante encomparación con la cantidad de movimiento del cuerpo.Fuerzas de sustentaciónAdemás del arrastre, un cuerpo que se mueve en un fluido experimenta fuerzas cuya dirección esortogonal a la dirección de movimiento20 (Ver Fig. 4.19). Estas fuerzas se llaman de sustenta-ción y son las que permiten el vuelo de las aves, los aviones y los helicópteros, que no caen por-que la fuerza de sustentación equilibra su peso. Son estas fuerzas las que hacen que una pelotade fútbol pateada con “chanfle” siga una trayectoria con comba.Para entender el fenómeno de la sustentación es preciso invocar un resultado de la Mecánica deFluidos conocido como Teorema de Bernoulli, que se estudiará en el Capítulo 14. Adelantán-donos a lo que se verá más adelante, vamos a describir brevemente de qué se trata. Considere-mos un cuerpo que se desplaza horizontalmente en un fluido con la velocidad –u. Desde el re-ferencial del móvil (cuya dimensión característica en la dirección del flujo es l) lo que se ob-serva es un movimiento del fluido, que lejos del cuerpo es un flujo uniforme con la velocidadu = ux . En las proximidades del cuerpo la velocidad v del fluido es, en general, una función ˆcomplicada de la posición, que depende básicamente de la forma del cuerpo y del número deReynolds R = ρ f ul / η que caracteriza el flujo. Supongamos además que R >> 1 , de modo quelos efectos de la viscosidad se pueden ignorar en el grueso del flujo. Un flujo con estas caracte-rísticas se llama ideal. El flujo será estacionario (esto es v no dependerá del tiempo), salvo en la19 El estampido sónico que se percibe después que un avión supersónico ha pasado sobre nuestras cabezas se debe alas ondas emitidas por el mismo (en este caso, ondas de choque).20 Esto resulta evidente a partir de una observación muy simple: deje caer una hoja de papel. Verá que no se mueveen línea recta, lo cual implica que sobre la hoja actúan fuerzas cuya dirección es ortogonal a su movimiento. 84 www.cienciamatematica.com
  • 97. 4. Dinámicaestela turbulenta que queda detrás del móvil (Fig. 4.16b). En estas condiciones si el flujo es in-compresible se puede mostrar que fuera de la estela se cumple que v2 p u 2 p0 + = + = cte. (4.75) 2 ρf 2 ρfAquí p es la presión en el punto donde la velocidad del fluido es v y p0 es la presión muy lejosdel cuerpo (la presión atmosférica si el cuerpo se está desplazando en el aire). La ec. (4.75) ex-presa el Teorema de Bernoulli. El significado de esta fórmula es que la presión es tanto más altacuanto más baja es la velocidad, y viceversa.Supongamos por un momento que nuestro móvil tiene un perfil aerodinámico de modo que laestela turbulenta detrás del mismo es muy angosta y se puede ignorar, ya que el flujo alrededordel móvil es laminar casi en todas partes. Sea entonces un elemento de superficie dS del móvil, ˆcuya normal (dirigida del móvil al fluido) es n. Debido a la presión del fluido sobre ese ele-mento se ejerce una fuerza dF = − pndS . La fuerza neta F que el fluido ejerce sobre el móvil se ˆobtiene sumando todas esas contribuciones, esto es F = ∫ dF = − ∫ pndS ˆ (4.76) S Sdonde S es la superficie del móvil. Para calcular F es preciso conocer p, que se obtiene de la(14.75) como p = p0 + 1 ρ f (u 2 − v 2 ) 2 (4.77)La parte de F que está en la dirección del movimiento es la fuerza de arrastre que ya hemos es-tudiado, luego tendríamos que recuperar los resultados anteriores a partir de Fa = − x ∫ pnx dS ˆ (4.78) SSin embargo el cálculo de la (4.78) arroja un resultado paradojal21, pues se obtiene Fa = 0 (!!),lo cual contradice lo que se observa. Lo que pasa es que cuando R >> 1, si bien los efectos de laviscosidad se pueden ignorar en el grueso del fluido, de ningún modo son despreciables muycerca de la superficie del cuerpo. Cerca de la superficie existe una delgada capa límite dentro dela cual la velocidad del fluido relativa al cuerpo pasa de su valor externo a cero sobre la superfi-cie. Debido a esta rápida variación de v el cuerpo está entonces sometido a una fuerza de arras-tre viscoso. Pero para calcular su valor no podemos usar la (4.78) (porque se funda en el Teo-rema de Bernoulli que vale en el grueso del flujo, donde los efectos de la viscosidad no se tomanen cuenta) ni tampoco la (4.42) ya que no sabemos a priori cuál es el espesor de la capa límite.Es preciso entonces desarrollar la teoría de la capa límite, algo que no haremos aquí, pero men-cionaremos el resultado fundamental: su espesor es del orden de l / R . En base a esto sí sepuede calcular el arrastre que, por supuesto, no es nulo. ˆLa parte de F ortogonal a x es precisamente la fuerza de sustentación en la que estamos intere-sados. De la (4.76) y la (4.77) obtenemos21 Dicho resultado se conoce como la paradoja de D’Alembert. 85 www.cienciamatematica.com
  • 98. 4. Dinámica Fs = − ∫ p(ny y + nz z )dS = Fsy y + Fsz z ˆ ˆ ˆ ˆ (4.79) Sdonde22 Fsy = − ∫ pny dS , Fsz = − ∫ pnz dS (4.80) S SEl cálculo de las (4.80) es muy complicado, pero como lo que nos interesa ahora es el concepto,consideremos el caso en que el cuerpo tiene simetría bilateral respecto del plano y = 0 . En talcaso es evidente que Fsy es nulo (ya que todas las contribuciones a la integral se cancelan de apares) y por lo tanto sólo tenemos que calcular Fsz . Claramente Fsz será también nula (y enton-ces no habría sustentación) si las contribuciones pnz dS son simétricas respecto de algún planoz = cte. Observando la Fig. 4.20 que muestra una sección x = cte. del cuerpo se ve que para queesto no ocurra es preciso que la presión sobre la parte superior del cuerpo sea diferente (términomedio) de la presión sobre la parte inferior. Por el Teorema de Bernoulli, esto requiere que (tér-mino medio) el valor de v 2 por encima del cuerpo del cuerpo difiera de su valor por debajo. ` ` ` z ` dS ny y + nz z –pny y ` ` –pnz z y Fig. 4.20. Sección x = cte. de un cuerpo con simetría bilateral respecto del plano y = 0 .Para ver como se logra esa diferencia, consideremos un cilindro circular de radio R cuyo eje esparalelo al eje y, y que gira en sentido horario (Fig. 4.21) con la velocidad angular ω. La superfi-cie del cilindro tiene entonces una velocidad V = ωR y tiende a arrastrar consigo al fluido queestá en contacto con ella. La velocidad del fluido cerca del cilindro será entonces diferente porencima del cilindro donde el movimiento de rotación se suma a la velocidad u que traía el fluido,que por debajo donde la velocidad de rotación va en contra del movimiento general del fluido.De resultas de esto la presión debajo del cilindro es mayor (porque v 2 es menor) que arriba delmismo (porque allí v 2 es mayor). Por lo tanto hay una fuerza neta Fsz > 0 que tiende a desplazaral cilindro en la dirección +z . Si el cilindro gira en sentido antihorario el efecto es opuesto: lapresión es mayor arriba que abajo y entonces se tiene una fuerza de sustentación Fsz < 0 quetiende a desplazar al cilindro en la dirección −z .Si suponemos que el flujo es laminar en todas partes alrededor del cilindro (después veremosque si R >> 1 esto no es cierto) se puede mostrar que su patrón resulta de combinar el que setendría si el cilindro no girara, con un vórtice que describe la rotación del fluido arrastrado por larotación del cilindro. La presencia del vórtice causa la diferencia de velocidad por encima y por22 La presión no cambia en la capa límite, luego se puede usar el valor (4.77) calculado a partir del flujo exterior. 86 www.cienciamatematica.com
  • 99. 4. Dinámicadebajo del cuerpo y por lo tanto la diferencia de presiones que produce la sustentación. La mag-nitud del efecto depende de la fuerza del vórtice, dada por la cantidad Γ = ∫ v ⋅ dl (4.81) CEsta integral se puede calcular a lo largo de cualquier camino cerrado C dentro del fluido querodee al cilindro, y por convención se debe recorrer en sentido antihorario. En este caso resultaΓ = 2πωR2 = 2πVR . En términos de Γ (que se llama la circulación del campo de velocidad delfluido) la fuerza de sustentación por unidad de longitud (en la dirección y) del cilindro23 es− ρ f uΓ . Si el cilindro tiene una longitud L tenemos que (despreciando el efecto de los extremos,donde el patrón del flujo es diferente al del resto) la sustentación es Fsz = − ρ f uΓL = −2πρ f uVRL (4.82) z w x (a) (b) Fig. 4.21. Cilindro circular cuyo eje es paralelo al eje y que gira en sentido horario con la velocidad angular ω: (a) el flujo alrededor del cilindro, (b) la distribución de presiones de acuerdo con el Teorema de Bernoulli. Las presiones altas corresponden a las áreas gris claro mientras que las presiones bajas corresponden a los grises más oscuros.Si definimos el vector Γ = ω Γ podemos escribir la (4.82) como ˆ Fs = ρ f L u × Γ (4.83)Corresponde destacar que esta fórmula vale para un cuerpo de forma general. Del mismo modoque para el arrastre se define el coeficiente de sustentación como Fs Cs = (4.84) 1 2 ρ f u 2 S⊥donde S⊥ es el área de la sección del cuerpo transversal a la dirección del movimiento ( = 2RLpara el cilindro). En términos de Cs la fuerza de sustentación es23 El signo – viene porque al calcular la integral (4.80) el camino C se debe recorrer, por convención, en sentidoantihorario. 87 www.cienciamatematica.com
  • 100. 4. Dinámica Fs = 1 Cs ρ f u 2 S⊥u × ω 2 ˆ ˆ (4.85)Para el cilindro se tiene entonces 2πωR V Cs = = 2π (4.86) u uy por lo tanto la sustentación es proporcional a la velocidad angular de rotación del mismo.Sin embargo esta teoría sencilla no se compadece con las mediciones, que dan valores de Csmucho menores del que predice la (4.86). El motivo de la discrepancia es que no es correctoaplicar la (4.77) para toda la superficie del cilindro. El Teorema de Bernoulli vale para un flujolaminar y no se puede aplicar en la región de la estela turbulenta. Un perfil no aerodinámicocomo el del cilindro da lugar a una estela muy ancha como la que se ve en la Fig. 4.16b. Luegoal calcular las integrales (4.80) solo se debe tomar en consideración la parte delantera del cilin-dro, donde el flujo es laminar. Esto explica la discrepancia entre teoría y experimento.El fluido también ejerce una fuerza de sustentación sobre una esfera rotante. El coeficiente desustentación medido en un túnel de viento vale24 V Cs = β s , β s ≅ 0.355 (4.87) uAquí V = ωR (R es el radio de la esfera) y la fórmula (4.87) vale para V / u < 1. Por lo tanto te-nemos en este caso V Fs ≅ 1 β s ρ f u 2 S⊥ 2 u×ω ˆ ˆ (4.88) uNo es preciso que el móvil esté rotando para que haya sustentación25. En efecto, si su forma esadecuada, el movimiento mismo del cuerpo puede generar circulación alrededor suyo. Esto es loque ocurre con las alas de los aviones y de las aves. La característica crucial del perfil alar es quetiene un borde de fuga filoso: gracias a eso se consigue que el flujo sea laminar y que la estelaturbulenta sea muy delgada y se desprenda del borde de fuga. En estas condiciones si el ángulode ataque no es nulo, alrededor del perfil alar se establece una circulación que genera la susten-tación. El perfil de un ala es justamente el que se necesita para que se consigan esos efectos yque simultáneamente el coeficiente de arrastre sea muy pequeño. No entraremos aquí en los de-talles del cálculo de la sustentación de un ala ya que para eso hacen falta conocimientos másavanzados de Mecánica de Fluidos. Nos limitaremos a mencionar el resultado para una ala del-gada como la que se muestra en la Fig. 4.22, cuyo espesor es mucho menor que su cuerda l quea su vez es mucho menor que su envergadura L, y que avanza con un ángulo de ataque α (quedebe ser pequeño). Se obtiene entonces Fs ≈ πρ f u 2 lL sen α = πρ f u 2 S⊥ (4.89)24 Ver P. Gerhart, R Gross y J. Hochstein, Mecánica de Fluidos, Addison-Wesley Latinoamericana, 1995.25 La experiencia muestra que cuando se deja caer una hoja de papel ésta sufre fuerzas transversales a su direcciónde movimiento. Esto muestra que adquiere sustentación, lo cual a su vez implica que el flujo del aire alrededor de lamisma tiene circulación. 88 www.cienciamatematica.com
  • 101. 4. Dinámicay por lo tanto el coeficiente de sustentación vale Cs ≈ 2π (4.90)Si α > 0 la fuerza de sustentación está dirigida hacia arriba, si α < 0 se dirige hacia abajo26.Las fórmulas (4.89) y (4.90) se cumplen para α d10˚ . Para ángulos de ataque mayores el alapierde sustentación y al mismo tiempo aumenta muy fuertemente el arrastre, debido a que laestela turbulenta no se puede mantener ya confinada al entorno del borde de fuga, sino que secomienza a desprender de la parte superior del ala y es entonces mucho más gruesa. Cuando estoocurre se dice que el ala entra en pérdida (de sustentación). cuerda envergadura borde de ataque borde de fuga (a) posición del ala (c) ángulo de ataque U a posición del ala para la cual la sustentación es nula (b) Fig. 4.22. Un ala de avión. La característica crucial del perfil alar (a) es que tiene un borde de fuga filoso: gracias a eso se consigue que el flujo sea laminar y que la estela turbulenta sea muy delgada y se desprenda del borde de fuga (c) de modo que el coeficiente de arras- tre es muy pequeño. En estas condiciones si el ángulo de ataque no es nulo, alrededor del perfil alar se establece una circulación que genera la sustentación.La pelota de fútbol ¿dobla o no?Una pelota de fútbol reglamentaria tiene un diámetro D entre 21.6 y 22.6 cm y su masa m estácomprendida entre 400 y 450 g. Un tiro fuerte puede salir disparado con una velocidad inicial u0entre 15 y 20 m/s. Para el primer valor se tiene R = 2 × 10 5 de donde resulta un coeficiente dearrastre Ca ≈ 0.5 . Vamos a suponer que el jugador pateó la pelota con chanfle, de modo que éstagira a razón de f vueltas por segundo y v = πDf es la velocidad de rotación de un punto delecuador de la pelota, luego la fórmula (4.87) da un coeficiente de sustentación Cs = β s v / u ,donde u es el módulo de la velocidad de la pelota. Notar que Cs no es constante a lo largo de la26 Los alerones de los automóviles de carrera son, esencialmente, alas que trabajan con un ángulo de ataquenegativo. Su función es producir una sustentación negativa que aprete el vehículo contra el pavimento. De esamanera se consigue más adherencia al piso, porque la fuerza de rozamiento estático sobre las cubiertas es mayor.Así el vehículo acelera mejor, tiene menor distancia de frenado y es más gobernable. 89 www.cienciamatematica.com
  • 102. 4. Dinámicatrayectoria puesto que u es variable. Vamos a averiguar los efectos del arrastre y la sustentaciónsobre la trayectoria de la pelota, que suponemos lanzada con un ángulo de elevación θ 0 . La re-sultante de las fuerzas que actúan sobre la misma es F = − mgz + Fa + Fs y por lo tanto la acele- ˆración es a = − gz + Fa / m + Fs / m ˆ m f u2 m f u2 v (4.91) = − gz − 4 Ca ˆ 3 u − 4 βs ˆ 3 u×ω ˆ ˆ m D m Dudonde ω es la dirección del vector velocidad angular27, m f = πρ f D3 / 6 es la masa de aire des- ˆplazada por la pelota, y hemos usado que S⊥ = πD2 / 4 . Notar que Fs / Fa ~ v / u . luego el efectode la sustentación es mayor (en relación con el del arrastre) donde la velocidad de la pelota esmenor. Debido a la sustentación la pelota sufre una aceleración cuya dirección s = ω × u es per- ˆ ˆ ˆpendicular tanto a u como a ω , de modo que ω , u, s (en este orden) forman una terna derecha. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆLa sustentación no cambia el módulo de la velocidad, pero sí su dirección.Para poner en evidencia las modificaciones que el arrastre y la sustentación introducen respectodel tiro oblicuo el vacío, escribiremos las (4.91) en términos de invariantes, introduciendo lasescalas características del tiro oblicuo en el vacío l* = u0 / g , t* = 2u0 / g y u* = u0 y escribi- 2remos u = u * U , t = t * T , etc. (Ver el Capítulo 3). Con esto las (4.91) toman la forma dU ˆ ˆ ˆ 1 = − z − ACaU 2U − Aβ sUV U × ω ˆ (4.92) 2 dTdonde V = v / u0 da cuenta de la rotación de la pelota y mf l * A(u0 , ρ f , D) = 3 4 (4.93) m Des un parámetro que se mantiene constante a lo largo de la trayectoria y da cuenta del efecto dela resistencia del aire. Es razonable suponer que v (y por lo tanto V) se mantiene constante, dadoque el aire frena muy poco el movimiento de rotación de la pelota.El cálculo de la trayectoria a partir de la (4.92) no es difícil, pero se tiene que hacer numérica-mente y se dan muchos casos según sea la orientación de ω . Para entender la naturaleza de los ˆefectos que nos interesan bastará estudiar un caso particular. Supongamos que el eje de rotaciónes vertical y que ω = z . Conviene usar coordenadas esféricas U, θ, ϕ en el espacio de la veloci- ˆ ˆdad, definiendo U x = U cosθ cos ϕ , U y = U cosθ sen ϕ , Uz = U sen θ (4.94)Tomando las componentes cartesianas de la (4.92), usando las (4.94) y tras un poco de álgebrase obtienen las siguientes ecuaciones dU dθ cosθ dϕ 1 = − sen θ − ACaU 2 , 1 =− , 1 = Aβ sV (4.95) 2 dT 2 dT U 2 dT27 El signo – del término de sustentación proviene de que aquí u es la velocidad de la pelota, pues estamosobservando el movimiento desde el referencial del estadio, mientras que en la (4.88) u es la velocidad del aire(lejos) en el referencial de la esfera. 90 www.cienciamatematica.com
  • 103. 4. DinámicaLa primera de estas ecuaciones nos dice que el módulo de la velocidad varía por dos causas: elefecto de la componente de la gravedad en la dirección de U (que tiende a disminuir u cuando lapelota asciende pues entonces sen θ > 0 y aumentarlo en el descenso cuando sen θ < 0 ) y delarrastre, que tiende siempre a reducir U. La segunda ecuación nos dice que la componente de lagravedad perpendicular a U tiende a curvar hacia abajo la trayectoria, como todos sabemos. Latercera ecuación describe el efecto de la sustentación. Si la pelota no gira ( V = 0 ) esta ecuaciónnos dice que la trayectoria de la pelota se mantiene en el plano definido por el eje z y por la ve-locidad inicial u0 . Si la pelota gira, la trayectoria no es plana sino que tiene comba. La últimaecuación se puede integrar de inmediato ya que SV es una constante. Si ϕ 0 = ϕ (0) = 0 resulta 3πβ s mf ϕ = Aβ sVT = 4 2 ft (4.96) mEn la Fig. 4.23 se muestra el resultado del cálculo de tres trayectorias, todas con θ 0 = π / 4 ,ϕ 0 = 0 y con la misma velocidad inicial: la de mayor alcance corresponde a un tiro en el vacío,la de menor alcance corresponde a ρ f = 0.00120 g/cm 3 que es la densidad del aire al nivel delmar y la de alcance intermedio a ρ f = 0.0008194 g/cm 3 , que es la densidad del aire a una alturade 4000 m sobre el nivel del mar. Para que se apreciara mejor el efecto de la sustentación se su-puso f = 12 s −1, este es un valor muy grande que difícilmente se de en la práctica, pero conside-rando valores más realísticos tan sólo se reduce la escala horizontal transversal a u0 , mante-niendo la relación entre los ángulos de desviación. Fig. 4.23. Trayectorias de una pelota de fútbol pateada con chanfle. Mirando una de las fi- guras con un ojo y la otra con el otro ojo, con un poco de paciencia se puede ver una ima- gen tridimensional. De izquierda a derecha se muestran la trayectoria de un tiro efectuado al nivel del mar, de un tiro efectuado a 4000 m de altura y de un tiro en el vacío. La velo- cidad inicial es la misma en dirección y módulo en todos los casos. Se representan también las proyecciones verticales de las trayectorias, para que se pueda apreciar que las trayecto- rias de los tiros con chanfle no son planas.Observando la figura se nota que el efecto de la resistencia del aire es muy importante, ya que elalcance del tiro al nivel del mar es apenas el 55% del que tendría un tiro en el vacío. A 4000 m daltura la densidad del aire (y por lo tanto la fuerza de arrastre) es bastante menor que al nivel delmar y por ese motivo el alcance es un 20% mayor. En cuanto al efecto de la sustentación, a igualdistancia horizontal recorrida por la pelota, la desviación del tiro al nivel del mar es aproxima-damente el doble de la que corresponde al tiro en la altura. 91 www.cienciamatematica.com
  • 104. 4. DinámicaFuerzas que dependen de la aceleración: la masa inducida y la masa aparenteCuando un cuerpo de masa m que se mueve en un fluido se acelera, el fluido ejerce sobre elmismo una fuerza de diferente naturaleza que las que describimos anteriormente. Esto se debe aque cuando el cuerpo se acelera también se aceleran porciones del fluido para que el cuerpo seabra paso dentro de él. Qué porciones del fluido se aceleran y qué aceleraciones sufre cada unaes un asunto muy complicado. Sin embargo, si se ignoran los efectos de la viscosidad, se puedemostrar que en general la fuerza f que el fluido ejerce sobre un cuerpo de volumen V que semueve con la velocidad u está dada por  du j du  fi = − ρ f  α ij −V i (4.97)  dt dt Aquí los subíndices i, j identifican las componentes de f y u y las 9 cantidades α ij son las com-ponentes de un tensor simétrico (esto es, cumplen las relaciones α ij = α ji , de modo que sólo 6de ellas son independientes). El lector no se debe preocupar de que hayamos introducido un ten-sor, pues para nuestros fines alcanza con saber que las α ij son ciertas cantidades cuyo valor de-pende de la geometría del cuerpo y del campo de velocidad del fluido lejos del cuerpo, y cuyoorden de magnitud está dado por el cubo de la dimensión lineal característica del cuerpo o, loque es lo mismo, por su volumen V. Por ejemplo, en el caso particular de un objeto esférico deradio R que se mueve en un fluido de extensión infinita se encuentra que α ij = 2 Vδ ij 3 (4.98)En este caso la (4.97) se reduce a du f = − 1 ρfV 2 (4.99) dtde modo que f es paralela a du / dt . En general, sin embargo, f y du / dt no son paralelos.Vemos de la (4.97) que f es nula si el cuerpo se desplaza con velocidad constante. Este resultadono es otra cosa que la paradoja de D’Alembert que ya mencionamos anteriormente.Si ahora el cuerpo sufre una aceleración u por la acción de una fuerza F de origen externo28, la ˙ecuación de movimiento se escribirá como Fi + fi = mui ˙ (4.100)Usando la expresión (4.97) podemos escribir la (4.100) en la forma Fi = [( m − ρ f V )δ ij + ρ f α ij ]u j = ( mδ ij + M ij )u j ˙ ˙ (4.101)Luego el cuerpo se acelera como si en vez de tener la masa m tuviera una masa aparente, que seobtiene de sumar a m el tensor Mij = ρ f α ij − ρ f Vδ ij (4.102)28 Por ejemplo, una esfera metálica que cae en el seno del fluido por efecto de la gravedad. 92 www.cienciamatematica.com
  • 105. 4. Dinámicaque da cuenta de la reacción que el fluido acelerado ejerce sobre el cuerpo. El tensor M ij sellama tensor de masa inducida. En el caso de un cuerpo esférico M ij se reduce al escalar M = 1 ρfV 2 (4.103)La masa inducida es, en este caso, igual a la mitad de la masa del fluido desplazado por la esferay la (4.101) se reduce a F = ( m + 1 ρ f V )u 2 ˙ (4.104)Como se puede apreciar de la (4.102) la importancia del efecto de masa inducida está dada por larelación rm = m f / m entre la masa de fluido desplazada por el cuerpo y la masa del mismo. Paracuerpos que se mueven en el aire tendremos que rm << 1 en la mayoría de los casos29, luego elefecto será muy pequeño; esto justifica que no hayamos tomado en cuenta la masa inducidacuando estudiamos la caída de cuerpos en el aire. Pero para cuerpos que se mueven en el agua rm ≈ 1 y es importante entonces incluir la masa inducida en la dinámica.Una manifestación del efecto de la masa aparente que todos hemos observado es el movimientode las burbujas en un vaso que contiene una gaseosa o un vino espumante (Fig. 4.24). Las bur-bujas son aceleradas hacia arriba por el empuje de Arquímedes, dado por ρ f Vg . El peso ρVg dela burbuja es despreciable frente al empuje, puesto que ρ f / ρ = rm ≈ 103 . Si no fuera por la masainducida, la burbuja sufriría una aceleración inicial del orden de 103 g , cosa que evidentementeno ocurre. E P (a) (b) Fig. 4.24. Burbujas gaseosas que ascienden en un líquido (a), debido a que el empuje es mucho mayor que el peso de la burbuja (b).A modo de ejemplo consideremos el ascenso de una burbuja pequeña que mantiene la formaesférica30 durante el movimiento. La burbuja asciende entonces verticalmente y podemos tratarsu movimiento como unidimensional. Sea x la coordenada vertical medida a partir de la posición29 Salvo, por ejemplo, para un dirigible, un globo aerostático o un simple globito inflado.30 Una burbuja pequeña (digamos de un diámetro del orden del milímetro) mantiene la forma esférica debido a lasfuerzas de tensión superficial, que se tratarán más adelante en el Capítulo 12. Una burbuja de gran tamaño no tendráuna forma esférica, es más, su forma va a cambiar mientras se mueve, lo cual complica muchísimo la descripción ˙del fenómeno, dado que las M ij van a variar a medida que la burbuja se desplaza, además f no será paralelo a u(por eso una burbuja grande no asciende verticalmente). 93 www.cienciamatematica.com
  • 106. 4. Dinámicainicial de la burbuja, positiva hacia arriba, u = dx / dt y a = du / dt . La ecuación del movimientoes entonces ( 2 ) m 1 + 1 rm a = − gm + gm f − 1 Ca ρ f u 2 S⊥ 2 (4.105)Aquí el segundo término del primer miembro es el efecto de la masa inducida. Los términos delmiembro derecho son, respectivamente, el peso, el empuje y el arrastre. Verificaremos a poste-riori que está bien aplicar la expresión (4.70) del arrastre turbulento y que para las velocidadesen juego Ca ≅ 1 . Como rm ≈ 103 >> 1 podemos despreciar en la (4.105) la masa del gas de laburbuja frente a la masa inducida y el peso del gas frente al empuje, y la (4.105) se reduce a  u2  1a 2 = g1 − 4 Ca 3  (4.106)  gD donde D es el diámetro de la burbuja y hemos usado que ρ f S⊥ = 3m f / 2 D y quitado el factorcomún m f . De la (4.106) vemos que la velocidad límite es gD u* = 4 3 (4.107) CaSi D = 1 mm se obtiene u* ≅ 11 cm/s , de donde resulta R ≈ 100 , lo que justifica haber usado la(4.70), además para ese valor de R se tiene Ca ≅ 1 para una esfera. Introduciendo el tiempo ca-racterístico t* = u * / 2 g y la distancia característica x* = u * t * ( t* ≅ 5 × 10 −3 s y x* ≅ 0.05 cmpara D = 1 mm ), y poniendo u = u * U , t = t * T , x = x * X las ecuaciones del movimiento son dU dX = 1 − U2 , =U (4.108) dT dTque coinciden con las (4.54) y (4.56). Por lo tanto podemos aplicar aquí los resultados obtenidosantes, que están representados en la Fig. 4.18.Otras fuerzasLas fuerzas que hemos considerado hasta aquí son tan solo algunas de las que se manifiestan enla escala macroscópica. Dejamos para más adelante la discusión de otras fuerzas importantescomo las que provienen de la tensión superficial e interfacial, de la elasticidad de los sólidos yotras más que introduciremos cuando sea necesario. Lo expuesto hasta aquí, sin embargo,bastará para que el lector aprecie la dificultad de reconocer correctamente las fuerzas en juego ensituaciones concretas y la necesidad de estar suficientemente familiarizado con sus propiedades.Sin este conocimiento es imposible aplicar la Física a la naturaleza que nos rodea.Sistemas no inercialesHasta ahora en nuestro tratamiento de la Dinámica nos limitamos a considerar sistemas de refe-rencia inerciales. Es en esta clase de referenciales que valen las tres Leyes de Newton en laforma en que las hemos enunciado. Por otra parte muchas veces nos interesa estudiar el movi-miento desde referenciales que no son inerciales. En particular al tratar fenómenos del ambienteterrestre es natural emplear un referencial fijo a la Tierra. Sabemos que tal referencial no es 94 www.cienciamatematica.com
  • 107. 4. Dinámicainercial, ya que la Tierra gira sobre sí misma y además su movimiento en el espacio no es recti-líneo y uniforme. Está claro que sería en extremo engorroso y artificioso estudiar la dinámica decualquier fenómeno de los que ocurren alrededor nuestro empleando un referencial fijo al espa-cio. Afortunadamente, en muchos casos como los que tratamos hasta ahora (caída de partículasen el aire, trayectoria de una pelota de fútbol, etc. y otros movimientos de pequeña escala) po-demos ignorar el hecho que los describimos desde un referencial no inercial (como hicimos),dado que aunque no es correcto hacerlo el error que se comete es despreciable. En efecto, lasaceleraciones centrífuga, de Coriolis y del movimiento de traslación de la Tierra son muy pe-queñas en comparación con las que se producen debido a las fuerzas en juego y por lo tanto sepueden ignorar. Sin embargo cuando tratamos fenómenos de escala mayor como movimientosatmosféricos, corrientes marinas, tiro de artillería sobre blancos lejanos, trayectorias de misilesde largo alcance, etc. ya no podemos permitirnos el lujo de ignorar que nuestro referencial no esinercial. Asimismo, en muchas oportunidades es conveniente describir el movimiento de cuerposdesde referenciales locales. Por ejemplo cuando viajamos en un vehículo (automóvil, tren, etc.)es lógico que usemos un referencial fijo al vehículo para estudiar el movimiento de los objetosdentro del mismo; obviamente dicho referencial no es inercial, ya que el vehículo puede acele-rar, frenar o cambiar la dirección de su movimiento, y en tales casos las aceleraciones en juegonos son, en general, despreciables. Por estos motivos es importante saber cómo se deben modifi-car las leyes de la dinámica cuando el movimiento se estudia desde un referencial no inercial. PO r Σ Σ Σ O w O Fig. 4.25. El referencial no inercial Σ ′ gira con la velocidad angular ω y se desplaza con movimiento no uniforme respecto del sistema inercial Σ. El origen del referencial no iner- cial Σ ′′ (que no gira) coincide con el de Σ ′ .Sea entonces Σ ′ un sistema no inercial que gira con la velocidad angular ω y que se desplazacon movimiento no uniforme respecto de un sistema inercial Σ cuyo origen es O. Sea Σ ′′ unreferencial no inercial cuyo origen O′ coincide con el de Σ ′ , pero que a diferencia de éste nogira (Fig. 4.25). De acuerdo con la (3.64), la aceleración de un móvil P visto desde Σ ′′ es a ′′ = a − aO′ (4.109)donde a es la aceleración del móvil y aO′ es la aceleración de O′ vistas desde Σ. Por otra parte,de acuerdo con la (3.77) la aceleración de P vista desde Σ ′ está dada por a ′ = a ′′ + ω 2 r⊥ + 2v ′ × ω + r × ω ˙ (4.110) 95 www.cienciamatematica.com
  • 108. 4. Dinámicadonde r es la posición del móvil en Σ ′ y r⊥ es la parte de r perpendicular a ω . Combinando(4.109) y (4.110) resulta a ′ = a − aO′ + ω 2 r⊥ + 2v ′ × ω + r × ω ˙ (4.111)Esta es la expresión que vincula la aceleración aparente que se observa en Σ ′ con la aceleraciónque se observa en el sistema inercial Σ.En el sistema inercial vale la Segunda Ley, luego si m es la masa del móvil, se cumple que ma = F (4.112)Sustituyendo entonces en la (4.111) obtenemos m a ′ = F − m aO′ + m ω 2 r⊥ + 2 m v ′ × ω + m r × ω ˙ (4.113)Esta es entonces la expresión general de la Segunda Ley para un sistema no inercial. Como seve, difiere de la expresión (4.112) correspondiente a un sistema inercial por la presencia de cua-tro términos; el primero ( − maO′ ) proviene de la aceleración del movimiento de traslación de Σ ′ ,los restantes ( mω 2 r⊥ , 2m v ′ × ω y m r × ω ) provienen, respectivamente, de la aceleración centrí- ˙fuga, la aceleración de Coriolis y la aceleración de la rotación de Σ ′ .Si el sistema Σ ′ no gira y se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto de Σ, la(4.113) se reduce a ma ′ = F. En este caso Σ ′ es también un referencial inercial y se cumple que a ′ = a . Por lo tanto podemos concluir lo siguiente:• todo referencial Σ ′ que se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto de un refe- rencial inercial Σ, es también inercial,• las leyes de la Mecánica son invariantes frente al cambio de un referencial inercial a otro que también lo es,• todo referencial Σ ′ que tiene un movimiento de rotación y/o de traslación no rectilínea y uniforme respecto de un referencial inercial Σ, no es inercial; en este caso la descripción del movimiento en Σ ′ está dada por la (4.113) y difiere de la correspondiente a Σ por la presen- cia de las aceleraciones de la traslación, y de la aceleración centrífuga, la aceleración de Co- riolis y la aceleración de la rotación.Fuerzas inerciales o ficticiasDe acuerdo con la (4.113) en un sistema no inercial Σ ′ todo ocurre como si además de F actua-ran sobre el móvil otras fuerzas, a saber:• la fuerza FO′ = − maO′ debida a la aceleración de la traslación de Σ ′ ,• la fuerza centrífuga F⊥ = mω 2 r⊥ ,• la fuerza de Coriolis FCo = 2 m v ′ × ω ,• la fuerza Far = m r × ω debida a la variación de ω. ˙En consecuencia podemos escribir la (4.113) como ma ′ = F + FO′ + F⊥ + FCo + Far (4.114)Las fuerzas FO′ , F⊥ , FCo y Far se denominan fuerzas inerciales o también fuerzas ficticias,para expresar el hecho de que no provienen de interacciones entre cuerpos materiales, sino de lainercia del mismo móvil. Su origen es puramente cinemático, ya que aparecen porque observa- 96 www.cienciamatematica.com
  • 109. 4. Dinámicamos el movimiento desde un referencial no inercial. Estas fuerzas desaparecen si se usa un sis-tema de referencia inercial. Claramente, dado que no provienen de interacciones, no tienen reac-ciones. La característica de las fuerzas ficticias es que son estrictamente proporcionales a lamasa del móvil (es decir a su inercia).Por lo demás, un móvil en un referencial no inercial percibe las fuerzas ficticias igual que cual-quier otra fuerza, como todos comprobamos a diario cuando viajamos en un medio de transporte.Si un colectivo acelera (o frena) bruscamente, es la fuerza FO′ la que empuja a los pasajeros ha-cia atrás (o hacia adelante); si el vehículo toma una curva, es la fuerza centrífuga la que impulsalos pasajeros hacia un costado.El movimiento circular uniforme visto desde diferentes referencialesEn la Fig. 4.26 se observa un movimiento circular uniforme con velocidad angular ω visto desdeel referencial inercial Σ (x, y, z) y desde el referencial no inercial Σ ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) que gira con lavelocidad angular ω . Visto desde Σ el movimiento tiene una velocidad v = ω × r y una acelera-ción centrípeta a = −ω 2 r , por lo tanto la Segunda Ley nos dice que F = −mω 2 r (4.115)La fuerza centrípeta F es ejercida sobre el móvil por el cordel que lo obliga a girar con un radiofijo. Sabemos que por la Tercera Ley a esta fuerza le corresponde una reacción igual y opuesta,ejercida por el móvil sobre el cordel, que tensa al cordel.Desde Σ ′ el móvil se ve en reposo a una distancia r del eje de rotación, por lo tanto su acelera-ción aparente es nula y la (4.114) nos dice que 0 = F + F⊥ (4.116)En otras palabras, la fuerza del cordel equilibra exactamente a la fuerza centrífuga F⊥ = mω 2 r .Sobre el móvil además de la fuerza del cordel se ejerce entonces una fuerza ficticia (la cualcomo ya se dijo no tiene una correspondiente reacción). z z w w y O y O r r a = wt v a = cte. x P P x (a) (b) Fig. 4.26. El movimiento circular uniforme visto desde (a) un referencial inercial y (b) un referencial que gira solidariamente con el cuerpo.¿Qué pasa si de repente de rompe el cordel? Visto desde Σ, desaparecen tanto la fuerza centrí-peta como la reacción del cuerpo sobre el cordel. Al no haber más una fuerza que lo tensa, el 97 www.cienciamatematica.com
  • 110. 4. Dinámicacordel se afloja; al mismo tiempo deja de ejercerse una fuerza sobre el móvil y entonces éstepasa a moverse con movimiento rectilíneo y uniforme: sale disparado por la tangente al círculo,con la velocidad que tenía en el momento que se cortó el cordel.Visto desde Σ ′ también desaparecen tanto la fuerza centrípeta como la reacción del cuerpo so-bre el cordel. Al no haber más una fuerza que lo tensa, el cordel se afloja; en cuanto al móvil,siguen actuando sobre él las fuerzas ficticias debidas a la rotación de Σ ′ . Al no haber otra fuerzaque la equilibre, la fuerza centrífuga pone en movimiento al móvil, y tan pronto éste adquierevelocidad comienza a actuar sobre él la fuerza de Coriolis. El efecto combinado de ambas es queen el referencial Σ ′ el móvil describe una trayectoria complicada, cuya ecuación no vamos aescribir, pero que no es otra cosa que el mismo movimiento rectilíneo uniforme que se ve desdeΣ, pero visto desde el referencial rotante.Las definiciones de fuerza y masaHasta ahora en nuestra introducción de las leyes fundamentales de la Dinámica hemos usado losconceptos de fuerza y de masa sin dar definiciones precisas de los mismos, basándonos sola-mente en las nociones intuitivas de “esfuerzo muscular” y de “cantidad de materia”. En esto res-petamos el desarrollo histórico de la Mecánica, pues cuando Isaac Newton introdujo sus Princi-pios siguió precisamente ese camino. Sin embargo esta manera de hacer las cosas no es satisfac-toria y desde Newton en adelante se buscaron formas más rigurosas de presentar las Leyes de laDinámica. Ahora que hemos pasado revista a varias clases de fuerzas, nos hemos familiarizadocon ellas y hemos visto como se aplican las tres Leyes en diferentes situaciones, es el momentooportuno para volver al tema de las definiciones de fuerza y de masa. Lo haremos siguiendo elenfoque práctico que inspira este libro, evitando en lo posible disquisiciones más abstractas queel lector curioso puede encontrar en numerosos textos.Como sabemos (Capítulo 2) toda magnitud física queda definida cuando se han dado las pres-cripciones para medirla. Ahora bien, desde la más remota antigüedad el hombre inventó disposi-tivos que le sirvieron para medir el peso de los objetos (y otras fuerzas) y la cantidad de materiade los mismos (esto es, su masa). En la práctica, la masa se mide casi siempre por medio de labalanza (Fig. 4.27a). La fuerza, en cambio, se mide por medio de aparatos como el dinamómetroy la balanza de torsión (Fig. 4.27b, c).Todos sabemos que por medio de la balanza es posible comparar el peso de un objeto con elpeso de otro tomado como patrón. De esta manera podemos, en principio, determinar el peso decualquier cuerpo.Un dinamómetro es en esencia un resorte, por medio del cual se mide una fuerza midiendo elcambio de longitud que dicha fuerza produce cuando se la aplica al mismo. Sabemos, en efecto,que dentro de los límites en que las deformaciones del resorte son elásticas, el alargamiento esproporcional a la fuerza aplicada (ec. (1.1)). Podemos medir los alargamientos que sufre el re-sorte cuando se suspenden de él objetos cuyo peso hemos determinado previamente con la ba-lanza y así verificar (pues F y x son conocidos) que se cumple la ley F = kx y calibrar el dina-mómetro. De allí en más podemos usar el dinamómetro para medir no solamente el peso, sinocualquier otra fuerza (por ejemplo las fuerzas de arrastre y de sustentación sobre un cuerpo quese mueve dentro de un fluido). La balanza de torsión es esencialmente equivalente a un dina-mómetro; la diferencia es que la magnitud que se mide es el ángulo de torsión de una fibra elás-tica, que es (dentro del límite elástico del material de la fibra) proporcional al producto de lafuerza aplicada por el brazo de palanca del dispositivo. La balanza de torsión es más delicada y 98 www.cienciamatematica.com
  • 111. 4. Dinámicaprecisa que el dinamómetro y sirve para medir fuerzas muy pequeñas31. Contamos así con lasprescripciones que definen el concepto de fuerza. (a) (b) (c) Fig. 4.27. La balanza (a), el dinamómetro (b) y el péndulo de torsión (c).Por otra parte contamos con evidencia experimental independiente (la caída de los cuerpos en elvacío) según la cual el peso de un cuerpo es proporcional a su masa. Por lo tanto la balanza nosolamente nos permite comparar pesos, también nos permite comparar masas. Podemos entoncesusar la balanza para medir la masa de un cuerpo, comparándola con una masa patrón. Tenemosasí la prescripción necesaria para definir el concepto de masa32.Antes de concluir estos comentarios conviene detenernos sobre la relación entre peso y masa. Laintuición de Galileo de que la aceleración debida al peso es idéntica para todos los cuerpos, y porlo tanto que la masa gravitacional es idéntica a la masa inercial ha sido sometida muchas vecesal control experimental. El experimento más preciso fue realizado por primera vez por el BarónRoland von Eötvös y más recientemente por Robert Dicke, Vladimir Braginskii y sus colabora-dores con altísima precisión. Dada la importancia del asunto, conviene describir brevementedicho experimento, que conceptualmente es muy sencillo, pero cuya realización con la precisiónactual requiere técnicas muy sofisticadas. Dejando de lado otras fuerzas (como la atracción delSol y de la Luna, que se tienen que tomar en cuenta si se quieren resultados de la máxima preci-sión) el peso aparente P ′ de los cuerpos en la superficie de la Tierra es la resultante de dos fuer-zas (Fig. 4.28a). Una es la gravedad propiamente dicha y se dirige (dentro de la aproximación denuestra discusión simplificada) hacia el centro de la Tierra y viene dada por31 Usando la balanza de torsión Henry Cavendish pudo medir en 1797 la fuerza de atracción gravitatoria entre dosesferas metálicas, y de esa forma determinar G, la constante universal de la gravitación. También en 1785 Charles-Augustin de Coulomb empleó la balanza de torsión para estudiar las fuerzas entre cargas eléctricas, lo que locondujo a formular la famosa ley que lleva su nombre.32 Esta prescripción es en esencia equivalente a la definición de masa basada en la Tercera Ley, que sigue elargumento de Ernst Mach. 99 www.cienciamatematica.com
  • 112. 4. Dinámica P = mg g (4.117)donde mg es la masa gravitacional del cuerpo. La otra fuerza es la fuerza centrífuga debida a larotación de la Tierra, que está dirigida en el plano meridiano perpendicularmente al eje de rota-ción de la Tierra y está dada por F⊥ = miω 2 r⊥ (4.118)Aquí r⊥ está dirigido desde el eje de rotación al punto donde está ubicado el cuerpo, ω es la ve-locidad angular de la Tierra y mi es la masa inercial del cuerpo. Por lo tanto P ′ = P + F⊥ = mg g + miω 2 r⊥ (4.119)De esta ecuación se desprende que si la relación mi / mg fuese diferente para distintos cuerpos, ladirección del peso aparente de los mismos sería distinta. El objetivo del experimento es detectartal diferencia, si es que existe. N vertical geométrica B A r⊥ q F⊥ = mi r⊥w2 A P B P = mg g E S vertical según la plomada O (a) (b) Fig. 4.28. El peso aparente de un cuerpo es la resultante de la gravedad y la fuerza centrí- fuga (a). En este hecho se basa el experimento de Eötvös (b) que permite determinar la igualdad de la masa gravitatoria y la masa inercial.Con este propósito dos cuerpos A y B diferentes por su masa y composición química se fijan enlos extremos de la barra horizontal de una balanza de torsión (Fig. 4.28b). La barra está orien-tada de Oeste a Este y está suspendida de manera de permanecer horizontal. Si la dirección de ′ ′ PA fuera diferente de la de PB se debería producir un momento que haría girar la barra horizon-tal hasta que la torsión del filamento de suspensión equilibre dicho momento. Se marca entoncesla posición de la barra, luego de lo cual se gira en 180˚ el soporte del filamento. Con ello se in-vierte la posición de los cuerpos A y B y por lo tanto la dirección del momento (si es que existe).Por lo tanto la barra debiera ahora girar respecto de la dirección Oeste-Este en un ángulo igualque el anterior, pero en el sentido opuesto.El experimento ha dado siempre un resultado negativo, esto es, no indicó nunca una rotación dela barra cualquiera fuese la elección de los cuerpos A y B. La sensibilidad de los experimentosmás recientes hubiera revelado una diferencia de mi / mg respecto de la unidad de una parte en 100 www.cienciamatematica.com
  • 113. 4. Dinámica10 11 (esto es, un gramo en 105 toneladas). Esta extraordinaria precisión demuestra sin lugar adudas que la inercia y la gravedad son manifestaciones de una única realidad física.Los sistemas inerciales y el principio de equivalenciaAntes de concluir este Capítulo es necesario hacer algunos comentarios acerca de los referen-ciales inerciales ya que este concepto es el eslabón más débil de la estructura lógica de la Mecá-nica Newtoniana. Una vez establecido que las fuerzas producen aceleraciones, el Principio deInercia se reduciría a un simple corolario de la Segunda Ley si no fuera porque en su enunciadose invoca el “sistema de referencia inercial”. Pero aquí surge la dificultad: ¿cómo se sabe si unreferencial es inercial? Mientras no demos una definición de sistema inercial que sea indepen-diente de la Primera Ley, ésta no es más que una tautología.Si aceptamos por un momento la existencia de un referencial inercial, el resto de la Dinámica sedesarrolla sin inconvenientes. La idea central de la Mecánica Newtoniana (que incluye tambiénel Principio de Inercia) es lo que se llama la relatividad Galileiana, que conviene recordar bre-vemente.El concepto de la relatividad del movimiento (es decir, que el movimiento se define en relacióncon un observador) era bien conocido, aún antes que Copérnico considerara su aplicación al mo-vimiento de la Tierra y del Sol. Pero la idea de Galileo fue más lejos. El principio de relatividad(o equivalencia) Galileiano se puede enunciar diciendo que: dos referenciales que se mueven el uno respecto del otro con movimiento rectilíneo y uni- forme y sin rotar son equivalentes en cuanto a la descripción de los fenómenos mecánicos.En su Dialogo sui Massimi Sistemi, Galileo expresa claramente (la cita no es completamentetextual) esa idea : Encerraos con algún amigo en el mayor local bajo cubierta de un gran navío y después realizad todos los experimentos que se os ocurran, y decidme cómo podéis determinar si el navío está detenido o se mueve, siempre que ese movimiento sea uniforme y no fluctuante de aquí para allá y siempre que no os sea posible mirar hacia afuera.Entonces dado un referencial inercial podemos decir si otro referencial es o no inercial: basta versi se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto del primero, o no. Sin embargo, si-gue en pie nuestra pregunta: ¿cómo sabemos si el primer sistema es inercial?En algunos libros se lee que un referencial inercial es un sistema que está en reposo respecto de“las estrellas fijas”. Se intenta así resolver la cuestión, pero esto es ilusorio. Nadie ha intentadollevar a la práctica esa definición en lo que atañe a los movimientos de traslación (por de prontoporque no existen “estrellas fijas”). Por lo tanto se trata de un enunciado vacío sin consecuenciasprácticas.Los ejemplos que hemos presentado en este Capítulo muestran que el origen y los ejes de losreferenciales de interés se vinculan siempre con objetos cercanos al observador como la superfi-cie de la Tierra, el interior de un vehículo, etc. Cuando estudiaremos el movimiento planetarioemplearemos un referencial con origen en el Sol, o bien en el baricentro del sistema Sol-planeta.Como se ve se trata en todos los casos de sistemas locales en relación con los sistemas bajo es-tudio. Es para esta clase de sistemas que necesitamos criterios prácticos para decidir si son o noinerciales.Es importante notar que la noción de inercia y por lo tanto de referencial inercial está indisolu-blemente ligada a la interacción gravitatoria, que se manifiesta en el peso. Todos hemos visto 101 www.cienciamatematica.com
  • 114. 4. Dinámicapor la TV escenas que tienen lugar en una cápsula espacial en órbita alrededor de la Tierra. He-mos observado entonces que un objeto abandonado en el aire no cae al piso: permanece enreposo, o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se lo soltó con una velocidad nonula (respecto de la cápsula, se entiende). A semejanza del personaje de Galileo que no podíasaber si el navío se movía o estaba en reposo, un astronauta que hubiera perdido la memoria, nosupiera donde está y no pudiera mirar al exterior, no podría determinar si el referencial de lacápsula es inercial o no. En realidad tendría derecho de pensar (recordemos nuestro enunciadode la Primera Ley) que la cápsula es un referencial inercial. En efecto, en tanto y en cuanto selimite a estudiar el movimientos de cuerpos en el interior de la cápsula o cercanos a la misma(pero no el de objetos lejanos), la aplicación de las tres Leyes de la Dinámica le dará resultadoscorrectos.Sin embargo nosotros desde la Tierra diríamos que se equivoca, porque sabemos que la cápsulaestá en caída libre con la aceleración de la gravedad g (con el valor correspondiente a la distan-cia a la que está orbitando), por lo tanto para nosotros es un referencial no inercial en el cual lafuerza ficticia sobre un objeto de masa m es FO′ = − m aO′ = − m g (4.120)Como esta fuerza compensa exactamente el peso P = m g del objeto, se explica perfectamente(desde nuestro punto de vista) lo que observa nuestro hipotético pasajero. Al estudiar fenómenosterrestres sabemos que tenemos que tomar en cuenta las aceleraciones centrífuga y de Coriolisporque la Tierra gira sobre sí misma y por lo tanto no es un referencial inercial. Sin embargo notomamos en cuenta que la Tierra está en caída libre hacia el Sol con una aceleración de aproxi-madamente 0.6 gal (un valor pequeño, sin duda, pero no despreciable). Un observador ubicadoen el Sol nos podría entonces hacer la misma crítica que le hicimos nosotros al observador de lacápsula. ¿Quien tiene razón entonces?Estas observaciones ponen en evidencia la equivalencia entre campo gravitatorio y sistema noinercial que es una consecuencia de la característica singular de la interacción gravitatoria que yadiscutimos anteriormente, esto es, que la masa gravitatoria (que determina la intensidad de laatracción gravitatoria) coincide con la masa inercial (que determina la inercia de los cuerpos).Esta característica la posee solamente la interacción gravitatoria. Las otras fuerzas o no implicanacción a distancia y se ejercen solo cuando los cuerpos están en contacto (como varias de lasfuerzas que consideramos en este Capítulo), o, como las fuerzas eléctricas y magnéticas, noactúan por igual sobre todos los objetos materiales.Es importante subrayar el carácter local de la equivalencia que hemos señalado: es posible eli-minar el peso empleando un referencial en caída libre, pero sólo localmente. En efecto, el campogravitatorio no es uniforme y por lo tanto el valor de g difiere de un lugar a otro. Para el obser-vador de nuestra cápsula que cae con la aceleración g, un objeto en un lugar a cierta distancia,donde la aceleración de la gravedad es g ′ , aparece sometido a una fuerza m( g ′ − g ) que no esnula. Esta fuerza, que proviene de la no uniformidad del campo gravitatorio, es la fuerza de ma-rea de la que nos ocuparemos en el Capítulo 9. 102 www.cienciamatematica.com
  • 115. 4. Dinámica A P A P = 0 aA = –g a = – aA = g P = mg a = g FA = mg (a) (a) B P= 0 B P aB = g a = g – aB = 0 P=0 a=0 P + FA = 0 (b) (b) Fig. 4.29. El Principio de Equivalencia. Un referencial (a) en reposo en un campo gravita- cional que imparte una aceleración g a todos los cuerpos es equivalente a un referencial ( a ′ ) que (en ausencia de gravedad) es acelerado con la aceleración –g. Del mismo modo, un referencial ( b ′ ) en caída libre dentro de un campo gravitatorio es equivalente a un refe- rencial (b) en reposo y en ausencia de gravedad. La equivalencia es solamente local.Los comentarios anteriores encuentran su expresión en el Principio de Equivalencia debido aEinstein: Principio de Equivalencia: Un referencial Σ acelerado con una aceleración constante –g y en ausencia de gravedad es completamente equivalente a un referencial Σ ′ en reposo en un campo gravitacional uni- forme que imparte la aceleración g a todos los cuerpos por igual.Una consecuencia del Principio de Equivalencia es que (localmente) un campo gravitatorio sepuede compensar completamente por medio de un movimiento no uniforme del referencial(como sucede en la cápsula espacial que mencionamos antes).Todo esto es, por supuesto, consistente con la Mecánica Newtoniana, pero Einstein lo interpretócomo una ley fundamental de la naturaleza según la cual un campo gravitatorio es (localmente) 103 www.cienciamatematica.com
  • 116. 4. Dinámicaequivalente a un referencial acelerado. En otras palabras, al describir los fenómenos que ocurrenen un campo gravitacional nos podemos olvidar de la fuerza de gravedad, a condición de em-plear un referencial oportunamente acelerado. Si la cápsula espacial se hallara muy lejos de laTierra, el Sol y las demás masas de modo que la fuerza de gravedad debida a todos los cuerposexternos a la cápsula fuera despreciable, se podría crear un campo de gravedad ficticio encen-diendo los motores, o sea acelerando la cápsula respecto de un referencial inercial. En este casoningún experimento que se llevara a cabo dentro de la cápsula, sin referencia a objetos externosa la misma, podría revelar diferencias respecto de lo que ocurre en un campo de gravedad nor-mal. En tal sentido la cápsula espacial es la versión moderna del navío de Galileo: el Principiode Equivalencia es la extensión natural del Principio de Inercia.Volvamos ahora a nuestra pregunta original: ¿cómo sabemos si un referencial es inercial? A laluz de las consideraciones precedentes vemos que la respuesta es la siguiente: en toda situaciónque se presente en la práctica es siempre posible definir un referencial local el cual a todos losefectos que nos pueden interesar se comporta como si fuera inercial33 esto es, un referencial en elcual un objeto libre de fuerzas (fuerzas que podamos detectar con nuestras balanzas, dinamóme-tros, etc. en ese sistema) queda en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme.Aparece, sin embargo, una ambigüedad en la teoría ya que estos sistemas locales se mueven conmovimiento acelerado el uno respecto del otro. Aquí nos limitaremos a señalar que dentro de loslímites de nuestra teoría, esto es, mientras valgan las transformaciones (3.64), (3.77) y (4.112)esta ambigüedad no tiene efectos prácticos. Pero el lector debe tener presente que es un indiciode las limitaciones de la Mecánica Newtoniana, tema del cual nos ocuparemos más adelante33 Eventualmente tomando en cuenta las fuerzas de marea, como se verá en el Capítulo 9. 104 www.cienciamatematica.com
  • 117. 5. Trabajo y energía5. TRABAJO Y ENERGÍAEl concepto de energía es de enorme importancia en la Física y sus alcances exceden el contextode la Mecánica Newtoniana. En efecto la energía junto con la cantidad de movimiento juegan unrol primario en las Teorías Fundamentales que mencionamos en el Capítulo 1, básicamente por-que estas magnitudes se conservan (es decir se mantienen constantes) en todas las interaccionesbásicas de la naturaleza. Pero aquí nosotros estamos desarrollando una teoría macroscópica en lacual como ya vimos aparecen fuerzas no fundamentales como el rozamiento, el arrastre, etc.Estas fuerzas se relacionan de una forma muy complicada con las interacciones fundamentales yde resultas de ello en nuestra descripción de los fenómenos la energía nos aparece bajo diferen-tes aspectos, aunque a nivel microscópico se trata siempre de la misma cosa. Uno de esos as-pectos es la energía mecánica que trataremos aquí. El lector debe recordar lo que se acaba dedecir, y más adelante volveremos sobre esta cuestión.En el contexto de la Mecánica Newtoniana el concepto de energía es muy útil ya que en deter-minados casos ayuda a simplificar la solución de problemas. Se debe notar que la Segunda Leyestablece una ecuación diferencial del segundo orden en el tiempo, que se debe integrar paraconocer el movimiento de los cuerpos. Veremos que bajo ciertas condiciones la energía mecá-nica de un sistema se conserva (es decir no se transforma en otra clase de energía). Cuando estoocurre podemos escribir de inmediato una integral primera de las ecuaciones de Newton, lo cuales un paso adelante muy importante hacia la solución del problema.Trabajo mecánicoPara presentar la noción de energía mecánica conviene introducir el trabajo mecánico y eso es loque haremos ahora. Este concepto deriva de la noción del esfuerzo que es necesario realizar paradesplazar objetos. Es intuitivo que el esfuerzo está relacionado con la fuerza que se ejerce, peroes algo distinto. Cuando levanto un cajón y lo coloco en una estantería tengo que ejercer unafuerza igual a su peso, pero el esfuerzo es mayor cuanto más alto es el estante donde lo ubico. Sidesplazo un mueble de un lugar a otro la fuerza a ejercer es siempre la misma (la necesaria paravencer el rozamiento) pero el esfuerzo es tanto mayor cuanto más lejos lo llevo. Además el es-fuerzo depende de la dirección del desplazamiento en relación a la fuerza: el esfuerzo necesariopara transportar una valija depende de si el desplazamiento es horizontal, en subida, o en bajada.Estas observaciones cotidianas indican que el esfuerzo depende de la magnitud de la fuerza, dela magnitud del desplazamiento y del ángulo entre el desplazamiento y la fuerza. Basados enestos hechos definimos el trabajo mecánico de modo de respetar la noción intuitiva de esfuerzo,aunque con la precisión y rigor que corresponde a una magnitud física.Sea A un punto material sobre el que actúa la fuerza F y que sufre un desplazamiento infinite-simal dr (Fig. 5.1a). Definiremos el trabajo mecánico de F en el desplazamiento dr como dW = F ⋅ dr = F dr cos α (5.1)De la definición resulta que W es un escalar y que su magnitud y signo dependen del ánguloentre F y dr. Si α < π /2 (desplazamiento a favor de la fuerza) el trabajo es positivo. Si α > π /2(desplazamiento en contra de la fuerza) el trabajo es negativo. Si α = π /2 el trabajo es nulo. Eltrabajo de una fuerza en un desplazamiento finito del móvil entre una posición 1 y una posición2 según la trayectoria T (Fig. 5.1b) se define como 105 www.cienciamatematica.com
  • 118. 5. Trabajo y energía 2 2 W1,2,T = ∫ dW = ∫ F ⋅ dr (5.2) 1 1donde la integral se calcula a lo largo de T. F F A dr a T A dr 2 1 T (a) (b) Fig. 5.1. El trabajo depende (a) del ángulo entre fuerza y desplazamiento y (b) de la tra- yectoria del móvil.En general el trabajo depende del camino seguido para ir de 1 a 2, luego si T y T ′ son dos tra-yectorias diferentes que van ambas de 1 a 2 se tendrá que W1,2,T ≠ W1,2,T ′ (5.3)Si T se recorre en el sentido inverso, es decir de 2 a 1, se tiene W2,1,T = −W1,2,T (5.4)De la definición resulta que las dimensiones de trabajo son [W ] = [ F ][l] = [ ml2t −2 ] (5.5)La unidad de trabajo del sistema MKS es el Joule ( 1 J = 1 N m = 1 kg m 2 /s2 ) y en el sistema cgses el erg ( 1 erg = 1 dy cm = 1 g cm 2 /s2 ). La equivalencia entre ambas unidades es 1 J = 10 7 erg .Se usa también como unidad de trabajo el kgf m ( 1 kgf m = 9.81K J = 9.81K × 10 7 e rg).Fuerza conservativaConsideremos el trabajo del peso P = −mgz en un desplazamiento vertical dr = z dz (Fig. 5.2a). ˆ ˆSe tendrá dW = P ⋅ dr = − mgdz y entonces z2 W12 = − ∫ mgdz = − mg( z2 − z1 ) (5.6) z1En un desplazamiento cualquiera (Fig. 5.2b) dr = x dx + y dy + z dz pero dW = P ⋅ dr = − mgdz ˆ ˆ ˆcomo antes, luego W12 = − mg( z2 − z1 ) (5.7) 106 www.cienciamatematica.com
  • 119. 5. Trabajo y energía z z 2 2 dr dr P P 1 1 (a) (b) Fig. 5.2. El trabajo del peso en un desplazamiento vertical (a) y en un desplazamiento cualquiera (b) depende solamente de la diferencia de altura entre los extremos de la tra- yectoria.Hemos obtenido así un importante resultado: El trabajo del peso no depende del camino seguido para ir de 1 a 2 y sólo depende de la di- ferencia de altura entre dichos puntos.Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza en un desplazamiento entre dospuntos cualesquiera 1 y 2 tiene el mismo valor cualquiera sea el camino seguido para ir de 1 a 2.Es decir, si 1 y 2 son dos puntos cualesquiera y C, C ′ son dos trayectorias cualesquiera que vande 1 a 2 (Fig. 5.3a), F será conservativa si W1,2,C = W1,2,C ′ = W1,2 (5.8)De acuerdo con esta definición y con el resultado anterior el peso es una fuerza conservativa.Consideremos un camino C que parte de 1 y vuelve a 1 (Fig. 5.3b) y sea WC el trabajo realizadopor la fuerza conservativa F en el desplazamiento C. Por definición: WC = ∫ F ⋅ dr (5.9) CSea ahora 2 un punto cualquiera de C que la divide en dos partes: C ′ que va de 1 a 2 y C ′′ queva de 2 a 1. Claramente: WC = W1,2,C ′ + W2,1,C ′′ = W1,2,C ′ − W1,2,C ′′ = 0 (5.10)porque W2,1,C ′′ = −W1,2,C ′′ y W1,2,C ′ = W1,2,C ′′ por ser F conservativa.Luego si F es una fuerza conservativa y C un camino cerrado cualquiera se cumple ∫ F ⋅ dr =0 (5.11) CCon un razonamiento análogo se puede demostrar la propiedad inversa: si F es tal que su trabajoa lo largo de cualquier camino cerrado es nulo, entonces es conservativa. 107 www.cienciamatematica.com
  • 120. 5. Trabajo y energía F F A dr A 2 dr C C 2 C 1 1 C C (a) (b) Fig. 5.3. Si la fuerza es conservativa el trabajo en un desplazamiento de 1 a 2 (a) no de- pende del camino seguido y es nulo (b) en un desplazamiento que vuelve al punto inicial.Campo de fuerzaEl peso es un caso particular de una clase importante de fuerzas: aquellas que dependen de laposición. Otro ejemplo de esta clase es la fuerza electrostática entre dos cargas. En las proximi-dades de la superficie de la Tierra P = −mgz donde z es la dirección de la vertical del lugar ˆ ˆ(positiva hacia arriba). A medida que nos alejamos de la superficie terrestre g disminuye al au-mentar z, y a distancias r grandes del centro de la Tierra1 r 2 g = g(r ) = g(rT )  T  (5.12) rdonde rT ≅ 6400 km es el radio terrestre y g(rT ) ≅ 980 gal . Por lo tanto r 2 P = − mg(rT )  T  r ˆ (5.13) rEn casos como este, cuando en cada punto del espacio podemos definir un valor de la fuerza, sedice que estamos en presencia de un campo de fuerza. Si además la fuerza es conservativa sedice que el campo correspondiente es conservativo. Cuando además de la posición la fuerza de-pende de otras magnitudes (por ejemplo de la velocidad del cuerpo) no se puede hablar decampo de fuerza. Por ese motivo las fuerzas de rozamiento no son un campo.El concepto de campo es muy importante en la Física y más adelante volveremos sobre él. Por elmomento bastará con esta somera introducción.Energía cinéticaLa energía es la magnitud que da la medida de la capacidad de un sistema para producir trabajo.Hay distintas clases de energía, que se distinguen por• la forma como se manifiesta y• las fuerzas e interacciones que la originan.1 Esta fórmula es aproximada ya que la Tierra no es una esfera perfecta. 108 www.cienciamatematica.com
  • 121. 5. Trabajo y energíaEs así que se habla de energía mecánica, térmica, eléctrica, química, nuclear, etc. Nos ocupare-mos ahora de la energía mecánica, que es la energía que poseen los cuerpos en virtud de su mo-vimiento y de su posición.Para detener un móvil que se desplaza con cierta velocidad es preciso aplicarle una fuerza que lofrene. Dicha fuerza realiza un trabajo negativo, es decir, el móvil entrega trabajo al sistema queejerce la fuerza2. Luego el móvil por el hecho de moverse posee energía. En otras palabras: Por virtud de su inercia todo cuerpo en movimiento posee energía, que denominamos energía cinética. v2 v1 2 m v F 1 Fig. 5.4. El Teorema de la fuerza viva: la variación de la energía cinética del móvil es igual al trabajo de la fuerza que actúa sobre él.La energía cinética se relaciona con el esfuerzo necesario para cambiar el estado de movimientode un objeto. Dicho esfuerzo se origina en la inercia del cuerpo. Es sencillo calcular la energíacinética del móvil. Sea una masa m animada de una velocidad v, sobre la cual actúa la fuerza F.En el intervalo dt el desplazamiento del móvil es dr = v dt y la fuerza realiza un trabajo dW = F ⋅ dr = F ⋅ v dt (5.14)Por la Segunda Ley F = m dv / dt , luego dW = m v ⋅ dv = 1 m d (v 2 ) 2 (5.15)Por lo tanto el trabajo de la fuerza en el trayecto de 1 a 2 (Fig. 5.4) es 2 2 W12 = ∫ dW = 1m 2 ∫ d (v 2 2 2 ) = 1 m(v2 − v1 ) 2 (5.16) 1 1Si al llegar a 2 el móvil se detiene tendremos v2 = 0 y 2 W12 = − 1 m v1 2 (5.17)Este es el máximo trabajo que se puede extraer del móvil. Es natural entonces definir la cantidad T = 1 m v2 2 (5.18)2 Por ejemplo la fuerza que ejerce el clavo sobre el martillo que lo golpea realiza un trabajo negativo sobre éste y lofrena. La reacción del martillo realiza un trabajo que hace penetrar el clavo en el tablón. Así podemos extraertrabajo del móvil. 109 www.cienciamatematica.com
  • 122. 5. Trabajo y energíacomo la energía cinética del móvil, pues da la medida del trabajo que se puede extraer delmismo en virtud de su movimiento. En términos de la energía cinética los resultados anterioresse pueden escribir en la forma diferencial dW = dT (5.19)o bien en forma integral como W12 = T2 − T1 = ∆T (5.20)Las ecs. (5.19) y (5.20) constituyen el Teorema de la fuerza viva3.De lo anterior podemos concluir lo siguiente:• si queremos acelerar un móvil partiendo del reposo tenemos que realizar sobre él un trabajo igual a la energía cinética que adquiere;• si el móvil tiene la velocidad v y por lo tanto la energía cinética T = m v 2 / 2 se podrá extraer del mismo, frenándolo, un trabajo igual en valor a T.Notar que T depende del módulo de v y no de su dirección. Si por efecto de una fuerza v cambiasu dirección pero no su módulo, la fuerza no realiza trabajo. Esto ocurre si F es perpendicular av, pues entonces F ⋅ v = 0 ; por ejemplo, en un movimiento curvilíneo la fuerza centrípeta norealiza trabajo.En conclusión: el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un móvil determina elcambio de la energía cinética del mismo. Dejamos para más adelante aclarar cuál es la fuenteque suministra la energía cinética que gana el móvil, y cuál es el destino de la que pierde.Energía potencialLa energía cinética no es la única forma en que se puede manifestar la energía mecánica. Si unmóvil se encuentra en un campo de fuerza y su posición varía, la fuerza del campo realiza untrabajo. Existe entonces una forma de energía asociada con la posición de un cuerpo sometido aun campo de fuerza. Sea un móvil que se desplaza en un campo de fuerza de 1 a 2 según la tra-yectoria C. El trabajo de la fuerza es 2 W12,C = ∫ F ⋅ dr (5.21) 1En general el trabajo depende de la trayectoria y por lo tanto no se puede asignar un valor defi-nido a W12 y no podemos afirmar (como hicimos en el caso de la energía cinética) que W12 es ladiferencia entre cantidades calculadas para el punto 1 y el punto 2 (Fig. 5.5a). Hay sin embargouna clase de fuerzas, las fuerzas conservativas, para las cuales W12 es el mismo cualquiera sea elcamino seguido para ir de 1 a 2. Consideremos, para ser concretos, el peso. Para el pesoW12 = − mg( z2 − z1 ) lo que muestra que un cuerpo posee una capacidad de producir trabajo (esdecir una energía) que depende de la altura donde se encuentra (Fig. 5.5b). Luego en este casopodemos escribir W12 = −[V ( z2 ) − V ( z1 )] (5.22)3 La denominación proviene de vis viva (“fuerza viva” en latín), nombre (hoy en desuso) que se daba a la energíacinética. 110 www.cienciamatematica.com
  • 123. 5. Trabajo y energíadonde V ( z ) = mgz + V0 , V0 = cte. (5.23)La función V ( z ) se llama energía potencial gravitatoria de la masa m y como se ve está definidaa menos de una constante aditiva arbitraria V0 . Esta ambigüedad no tiene importancia pues sólopodemos medir diferencias de energía potencial. La elección de V0 equivale a fijar un nivel dereferencia en el cual V = 0 . Este nivel lo podemos elegir donde más nos guste o convenga. La(5.22) nos dice entonces que el trabajo del peso es igual a menos la variación de la energía po-tencial gravitatoria del cuerpo. F z 2 dr C dr 2 P 1 1 C (a) (b) Fig. 5.5. En general (a) el trabajo depende de la trayectoria, luego no se puede asignar un valor definido a W12 . Pero para el peso W12 no depende de la trayectoria (b), luego pode- mos introducir una energía potencial y escribir W12 = −[V ( z2 ) − V ( z1 )] .Corresponde aclarar que la fórmula (5.23) vale sólo cerca de la superficie de la Tierra. Si quere-mos calcular la energía potencial gravitatoria de un cuerpo lejos de la superficie, por ejemplo unsatélite artificial, tenemos que emplear la expresión (5.12) de g. Se obtiene entonces 2 1 V (r ) = − mg(rT )rT + V∞ (5.24) rdonde r = rT + z es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra y V∞ es la energía potencial delcuerpo cuando su distancia es infinita. Es habitual poner V∞ = 0 , de modo que 2 1 V (r ) = − mg(rT )rT (5.25) rNotar que esta elección del nivel de referencia corresponde a fijar V0 = − mg(rT )rT en la (5.23).En general para una fuerza conservativa cualquiera podemos definir una energía potencial delmodo siguiente (Fig. 5.6):• se elige (arbitrariamente) un nivel de referencia, por ejemplo el punto R,• la energía potencial en otro punto r cualquiera es entonces r V ( r ) = − ∫ F ⋅ dr ′ + V0 (5.26) R 111 www.cienciamatematica.com
  • 124. 5. Trabajo y energíaAquí V0 es una constante arbitraria y la integral se calcula sobre cualquier camino que lleve de Ra r, porque por ser F conservativa la integral no depende del camino.Si ahora queremos calcular el trabajo de F en un desplazamiento de 1 a 2 tendremos que r2 R r2 r1 r2 W12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ d r + ∫ F ⋅ d r = − ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ d r (5.27) r1 r1 R R R = −[V ( r2 ) − V ( r1 )]Según la definición anterior el trabajo de la fuerza conservativa es igual a menos la variación dela energía potencial. Luego si el trabajo realizado por la fuerza del campo es positivo el móvilpierde energía potencial. Viceversa, si el trabajo es negativo el cuerpo gana energía potencial. r 1 2 F(r) F(r) R R (a) (b) Fig. 5.6. Para definir la energía potencial de una fuerza conservativa cualquiera se elige un nivel de referencia R, luego (a) para un punto r cualquiera V( r ) está dada por la (5.26). El trabajo de F en un desplazamiento (b) de 1 a 2 es entonces W12 = −[V ( r2 ) − V ( r1 )].Relación entre energía potencial y fuerzaPor definición, para una fuerza conservativa r V ( r ) = − ∫ F ⋅ dr ′ + V0 (5.28) RPor lo tanto dV ( r ) = − F ⋅ dr . Esto significa que ∂V ∂V ∂V = − Fx , = − Fy , = − Fz (5.29) ∂x ∂y ∂zque se puede escribir como F = −∇V = − grad V (5.30)donde hemos introducido el operador gradiente ∂ ∂ ∂ ∇ ≡ grad ≡ x ˆ +y +z ˆ ˆ (5.31) ∂x ∂y ∂z 112 www.cienciamatematica.com
  • 125. 5. Trabajo y energíaCorresponde aclarar que la condición F ≡ F( r ) es necesaria pero no suficiente para que F seaconservativa. Por ejemplo, una fuerza de la forma F = f (r )ϕ no es conservativa; en efecto, es ˆfácil verificar que en este caso la condición ∫ F ⋅ dr = 0 , todo C (5.32) Cno se cumple. Por lo tanto para dicha fuerza no se puede encontrar una función V( r ) tal queF = −∇V = f (r )ϕ . ˆDe las (5.29) podemos obtener las condiciones para que F sea conservativa. De la primera y se-gunda de dichas ecuaciones obtenemos que ∂ 2V ∂F ∂Fy ∂Fx ∂Fy =− x =− ⇒ − =0 (5.33) ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂xDel mismo modo, de la segunda y la tercera, y de la tercera y la primera de las (5.29) se obtie-nen, respectivamente, las condiciones ∂Fy ∂Fz ∂Fz ∂Fx − =0 , − =0 (5.34) ∂z ∂y ∂x ∂zSi en todo punto se cumplen las tres condiciones (5.33), (5.34) F ⋅ dr es un diferencial totalexacto: éstas son pues las condiciones suficientes para que F sea conservativa.Usando el operador gradiente las condiciones (5.33), (5.34) se expresan en la forma compacta ∇ × F ≡ rot F = 0 (5.35)El operador ∇ × se denomina rotor y un campo vectorial A que cumple la condición ∇ × A = 0se dice irrotacional. Por lo tanto la condición necesaria y suficiente para que un campo de fuerzasea conservativo es que sea irrotacional en todo punto. La fuerza F = f (r )ϕ cumple la condición ˆ∇ × F = 0 para todo r ≠ 0, pero no la cumple en r = 0: por eso dicho campo no es conservativo.Energía mecánicaSea una masa que se mueve bajo la acción de una fuerza desde 1 hasta 2. Por el Teorema de lafuerza viva W12 = T2 − T1 . Si además la fuerza es conservativa y V es la energía potencial corres-pondiente, W12 = −(V2 − V1 ) . Comparando ambas expresiones y ordenando términos obtenemos T2 + V2 = T1 + V1 (5.36)Vemos así que la cantidad E = T + V ≡ Energía mecánica (5.37)se conserva en el movimiento aunque T y V varían4. En un movimiento bajo la acción de fuerzasconservativas todo aumento de la energía cinética ocurre a expensas de la energía potencial delmóvil, y viceversa, de modo tal que la energía mecánica, suma de ambas, se mantiene constante.4 De la definición es evidente que las dimensiones y unidades de la energía son las mismas que las del trabajo. 113 www.cienciamatematica.com
  • 126. 5. Trabajo y energíaImportancia de las constantes del movimientoCuando una magnitud física se conserva durante el movimiento se dice que es una constante delmovimiento o, también, que es una integral primera del movimiento. Muchas veces la integra-ción de las ecuaciones del movimiento es complicada o difícil. En estos casos el conocimientode las constantes del movimiento es de gran importancia pues:• permite deducir de inmediato propiedades del movimiento y relaciones entre las magnitudes que lo describen, sin que haga falta para eso integrar las ecuaciones de Newton,• simplifica el problema de resolver las ecuaciones del movimiento pues ayuda a hacer el planteo más conveniente para el cálculo.Por lo tanto uno de los más importantes problemas de la Mecánica es encontrar las constantesdel movimiento. Ya encontramos dos leyes de conservación:• la conservación de la cantidad de movimiento para sistemas aislados,• la conservación de la energía mecánica para sistemas sometidos a fuerzas conservativas.Se puede mostrar que la conservación de la cantidad de movimiento se vincula con la simetría deun sistema aislado frente a traslaciones. Esta simetría refleja el hecho de que el resultado de unexperimento no depende del lugar donde está ubicado el laboratorio. La conservación de la ener-gía mecánica se vincula con la simetría frente a desplazamientos en el tiempo, lo que refleja elhecho que el resultado de un experimento no depende del momento en que se lleva a cabo. Estosejemplos (y otros que veremos más adelante) muestran que: Toda ley de conservación está relacionada con una propiedad de simetría del sistema.También vale la inversa: cuando un sistema posee una simetría (es decir cuando hay una trans-formación que lo deja igual del punto de vista físico), asociada con esta simetría hay una cons-tante de movimiento. Por lo tanto existe la siguiente relación biunívoca: simetrías ⇔ constantes del movimientoPor eso al comenzar el estudio de un problema es siempre útil detenerse a reflexionar sobre suspropiedades de simetría. Eso veremos a medida que avancemos.PotenciaEn muchas aplicaciones interesa el tiempo necesario para realizar un trabajo. La magnitud físicaque da la medida del trabajo producido en la unidad de tiempo es la potencia δW P= (5.38) δtComo δW = F ⋅ δr = F ⋅ vδt , será P = v⋅F (5.39)La unidad de potencia en el sistema MKS es el Watt (W): 1 W = 1 J/s=1 Nm/s = 1 kg m2/s3. Enel sistema cgs es el erg/s = 10–7W. En algunas aplicaciones se usa el HP (1HP = 748W). De launidad de potencia deriva una unidad de energía muy usada: el kWh (1 kWh = 3.6 × 106J).Calculemos la potencia disipada en un salto de agua en el que en la unidad de tiempo un masadm / dt cae desde una altura h; claramente 114 www.cienciamatematica.com
  • 127. 5. Trabajo y energía dm P= gh (5.40) dtSi el caudal del salto es de 1000 m 3 /s tendremos que dm / dt = 10 6 kg/s . Si h = 100 m resultaentonces P ≅ 9.8 × 108 W = 980 MW .Trabajo y energía en movimientos unidimensionalesEn todo movimiento unidimensional si la fuerza depende sólo de la posición y no del tiempo, dela velocidad, etc. o sea si F = F( x ) , F es conservativa y podemos introducir la energía potencial x V ( x ) = − ∫ Fdx + V0 (5.41) 0En presencia de una fuerza conservativa la energía mecánica se conserva y E = T + V = cte.Examinemos las consecuencias de la conservación de la energía mecánica en un movimientounidimensional (Fig. 5.7a). Una forma útil de analizarlo se basa en el diagrama de la energía(Fig. 5.7b), en el cual representamos los términos de E en función de la coordenada x:• E ( = cte.) es una recta paralela al eje x,• V(x) es una curva cuya forma depende de F(x),• T = E − V como se ve en la figura para el punto x1 . V(x) E x T(x1) O x1 x– x+ x2 x V(x1) (a) (b) Fig. 5.7. En un movimiento unidimensional (a) bajo el efecto de una fuerza conservativa es útil el diagrama de la energía (b) que da una representación integral del movimiento.El diagrama de la energía es una representación integral del movimiento que permite deducirvarias características del mismo sin necesidad de cálculos laboriosos, de ahí su utilidad.Puesto que T no puede ser negativa ( T = mv 2 / 2 ≥ 0 ) se debe cumplir E ≥ V ( x) (5.42)Luego el movimiento está confinado a los intervalos de x tales que V < E . Por eso en el caso dela Fig. 5.7b el móvil no puede llegar al punto x2. En la Fig. 5.7b el movimiento está limitado alos puntos que cumplen la condición x− < x < x+ . En x− y x+ , que se llaman puntos de retorno,se tiene T = 0 o sea v( xm ) = 0 , luego E = V .En un punto como x1 la velocidad puede tener dos valores: 115 www.cienciamatematica.com
  • 128. 5. Trabajo y energía 2 v( x1 ) = ± [ E − V ( x1 )] (5.43) mEn x1 la fuerza F( x1 ) = −  dV (5.44)  dx  x 1apunta hacia las x negativas. Si imaginamos que V ( x ) representa el perfil de una cuesta, lafuerza está siempre dirigida cuesta abajo. Está claro pues que a medida que el móvil se acerca a x+ la fuerza lo frena. Análogamente si el móvil se acerca a x− la fuerza (ahora dirigida en sen-tido x positivo) también lo frena. Luego el movimiento descripto por el diagrama es una oscila-ción en que el móvil va y viene entre los puntos de retorno. E4 V(x) E3 E2 x E1 x5 x1 x2 x3 x4 x6 x7 Fig. 5.8. Diagrama de la energía que muestra los diferentes tipos de movimiento que se presentan según sea el valor de la energía mecánica del móvil.El tipo de movimiento depende de la forma de V ( x ) y del valor de E. Observando la Fig. 5.8vemos que se presentan varias posibilidades:• para E = E1 puede haber dos movimientos posibles: una oscilación con puntos de retorno x1 y x2 y una oscilación con puntos de retorno x3 y x4 ;• para E = E2 el movimiento es una oscilación con puntos de retorno x5 y x6 ;• para E = E3 el movimiento no es oscilatorio; el móvil viene de la izquierda desde el infinito y al acercarse a x7 se frena, se detiene y vuelve atrás alejándose nuevamente hasta el infi- nito: hay un solo punto de retorno;• para E = E4 no hay puntos de retorno: un móvil que viene de –∞ va hasta +∞ sin detenerse (aunque su velocidad varía con x); también es posible el movimiento en sentido contrario, en que el móvil viene de +∞ y va a –∞ sin detenerse.Luego el movimiento puede ser ligado, si el móvil está atrapado en un pozo de energía potencialy oscila entre dos puntos de retorno, o no ligado, cuando el móvil viene y va al infinito. Veamosalgunos ejemplos. 116 www.cienciamatematica.com
  • 129. 5. Trabajo y energíaLanzamiento verticalSi lanzo un objeto de masa m hacia arriba con velocidad v0, inicialmente T0 = m v0 / 2 , V = V0 y 2E = T0 + V0 . La altura máxima corresponde al punto de retorno zm donde E = V ( zm ) . Luego zm = v0 / 2 g 2 (5.45) V(r) V(z)–V0 mg(rT)rT mg(rT)rT rm/rT r/rT 0.5 1.0 1.5 2 2.5 3 –0.2 0.8 –0.4 0.6 mg(rT)z 2 –mg(rT)rT/r –0.6 0.4 E –0.8 0.2 E z/rT –1.0 0.0 zm/rT 0.5 1 1.5 2 Fig. 5.9. Diagrama de la energía para el lanzamiento vertical.La (5.45) vale para zm << rT , es decir para valores pequeños de la velocidad inicial v0 . Para va-lores grandes de v0 hay que tomar en cuenta la variación de g con la altura, usando la expresión(5.25) de la energía potencial (Fig. 5.9). Tenemos entonces que 1 1 2 E = T (r ) + V (r ) = 1 mv(r )2 − mg(rT )rT 2 2 = mv0 − mg(rT )rT = cte. (5.46) r 2De aquí obtenemos que el punto de retorno5 rm (correspondiente a v(rm ) = 0 ) está dado por 1 1 2 v0 = −1 (5.47) rm rT 2 g(rT )rT 2Para que el cuerpo se pueda alejar hasta el infinito es preciso que v0 cumpla la condición v0 ≥ ve = 2 g(rT )rT ≅ 11.2 km/s (5.48)La velocidad ve se llama velocidad de escape. Si v0 < ve el movimiento es ligado y el móvilvuelve a caer. Si v0 > ve el móvil se aleja al infinito. Un cuerpo lanzado con la velocidad vellega a r = ∞ con velocidad nula. La velocidad de escape es igual a la velocidad con la cual uncuerpo que cae (con velocidad inicial nula) desde el infinito llega a la superficie de la Tierra.5 Estas fórmulas valen siempre y cuando se conserve la energía mecánica y por lo tanto no toman en cuenta laresistencia del aire, que reduce la velocidad del móvil mientras éste se encuentra dentro de la atmósfera terrestre. 117 www.cienciamatematica.com
  • 130. 5. Trabajo y energíaLa fórmula (5.48) de la velocidad de escape vale para cualquier cuerpo celeste, con tal de usar elvalor correspondiente del radio y de la aceleración de la gravedad en la superficie. Consideremosla Luna: su radio es de 1738 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es de 162.4 gal(aproximadamente una sexta parte de la gravedad en la superficie de la Tierra). De la (5.48) ob-tenemos entonces que la velocidad de escape desde la Luna es de 2.38 km/s.Oscilaciones de un resorteSi desplazo el extremo de un resorte una distancia x desde el equilibrio (x es la elongación) elresorte ejerce una fuerza que tiende a devolverlo al equilibrio, dada por F = − kx (5.49)donde k es la constante del resorte (Fig. 5.10). La energía potencial correspondiente vale: x V = ∫ kx ′dx ′ = 1 kx 2 + V0 2 (5.50) 0 m x F = – kx m Fig. 5.10. Si desplazamos el extremo de un resorte una distancia x desde el equilibrio el re- sorte ejerce una fuerza F = − kx que tiende a devolverlo al equilibrio.Es usual elegir V0 = 0 . Luego V ( x ) = 1 kx 2 2 (5.51)El movimiento de una masa m sometida a la fuerza (5.49) se describe por medio de la Fig. 5.11.El movimiento es siempre ligado y consiste de una oscilación entre los puntos de retorno −a y+a , dados por 2E a= (5.52) kLuego a es la amplitud de la oscilación. La energía de la oscilación es proporcional al cuadradode la amplitud. En los extremos de la trayectoria ( x = ± a ) la energía cinética de la masa es nulay la energía mecánica es solamente potencial. En el punto medio ( x = 0 ) la energía potencial esnula y le energía mecánica es puramente cinética. Por lo tanto a medida que el móvil se desplazaalejándose de x = 0 , la energía cinética se transforma en energía potencial; viceversa a medidaque el móvil se acerca a x = 0 , su energía potencial se transforma en energía cinética. 118 www.cienciamatematica.com
  • 131. 5. Trabajo y energía 2V(x)/k 0.5 0.4 0.3 E 0.2 0.1 –a a x –1 –0.75 –0.5 –0.25 0.25 0.5 0.75 1 Fig. 5.11. Diagrama de la energía para las oscilaciones de una masa movida por un resorte.Consideraciones dimensionales sobre las oscilacionesClaramente la oscilación está completamente definida dando k, m, a y la fase inicial ϕ 0 , cuyasdimensiones son [k ] = [ m / t 2 ] , [ m] , [a] = [l] , [ϕ 0 ] = 0 (5.53)Todas las características del movimiento se deben poder expresar en términos de estos paráme-tros. En particular el periodo T de la oscilación no puede depender de ϕ 0 , luego T ~ m/k (5.54)Por lo tanto el periodo de las oscilaciones del resorte no depende de la amplitud de las mismas6.Nuestro análisis muestra que T es proporcional a m / k pero no permite conocer la constante(numérica) de proporcionalidad. Podemos sólo suponer que esa constante es del orden de la uni-dad. Para determinar su valor exacto hay que resolver las ecuaciones del movimiento (cosa queharemos en el Capítulo 6). Es interesante, sin embargo, hacer una estimación. ¿Cómo? Basán-donos en consideraciones sobre el impulso y la cantidad de movimiento. Consideremos, porejemplo, qué sucede en un cuarto de período, cuando el móvil va de 0 hasta a. Será T/4 ∆p= ∫ Fdt (5.55) 0Pero ∆ p = − m vm donde la velocidad máxima vm = v( x = 0) vale vm = a k / m , luego ∆ p = −m a k / m (5.56)Por otra parte el miembro derecho de la (5.55) se puede escribir como FT / 4 donde F es el va-lor medio temporal de la fuerza. Obviamente F = q Fm , donde Fm = − k a y 0 < q < 1 . El factor q6 La razón física de esto es la ley de fuerza (5.49), que determina las dimensiones de k. 119 www.cienciamatematica.com
  • 132. 5. Trabajo y energíaes menor que la unidad, pero próximo a ella pues el móvil pasa más tiempo cerca del punto deretorno, donde tiene menos velocidad. Luego q d1. Por lo tanto T/4 q ∫ Fdt = − k aT 4 (5.57) 0Entonces de (5.56) y (5.57) resulta 4 m T= , q d1 (5.58) q kEn el Capítulo 6 veremos que T = 2π m / k de modo que q = 2 / π ≅ 0.64 , luego nuestra conje-tura es correcta. El lector pensará que tiene poca gracia nuestra estimación siendo que se conoceel valor exacto. Sin embargo es útil acostumbrarse a hacer estimaciones porque:• para hacerlas se tiene que analizar la física del problema y evaluar la importancia relativa de factores y efectos, lo cual mejora la comprensión del mismo;• a veces el cálculo exacto es muy difícil o imposible; cuando eso ocurre las estimaciones son el único recurso que queda para obtener algún resultado. Una estimación, por grosera que sea, es siempre mejor que nada.Variación de la energía mecánica por efecto de fuerzas no conservativasLa noción de sistema mecánico conservativo, para el cual el movimiento consiste en un juego enel que la energía cinética aumenta a expensas de la energía potencial y viceversa, es una ideali-zación ya que en realidad ningún sistema macroscópico es conservativo. En la práctica existensiempre fuerzas no conservativas de una u otra clase7. Consideremos entonces el caso en quealgunas de las fuerzas que actúan sobre un móvil no son conservativas, de modo que F = Fc + Fnc (5.59)donde Fc = ∇V es la resultante de las fuerzas conservativas y Fnc indica la resultante de lasfuerzas no conservativas que actúan sobre el móvil (fuerzas de rozamiento, resistencia del aire yotras que tienden a disipar la energía mecánica o bien fuerzas que tienden a aumentarla, comolas que actúan cuando se produce una explosión). Si calculamos el trabajo, será δ W = F ⋅ δ r = Fc ⋅ δ r + Fnc ⋅ δ r = −δ V + δ Wnc (5.60)Pero por el Teorema de la fuerza viva δ W = δ T . En consecuencia δ T = −δ V + δ Wnc , de donde δ E = δ T + δ V = δ Wnc (5.61)Luego en general la energía mecánica no se conserva y su variación es igual al trabajo de lasfuerzas no conservativas. Si éstas se oponen al movimiento (como las fuerzas de roce), el trabajoque realizan es negativo y la energía mecánica disminuye: hay lo que se llama disipación.7 El movimiento de los cuerpos celestes, como los que integran el Sistema Solar, es quizás lo que mejor seaproxima a un sistema conservativo ideal. Pero aún en ese caso hay fuerzas no conservativas provenientes de lainteracción de esos cuerpos con el gas y el polvo del espacio interplanetario y de otros efectos. 120 www.cienciamatematica.com
  • 133. 5. Trabajo y energíaDisipación de energía mecánicaLa energía mecánica se puede disipar cuando actúan fuerzas no conservativas. Es así que lasoscilaciones de un resorte se amortiguan y finalmente cesa el movimiento. En este proceso desa-parece la energía mecánica, pero no se aniquila: se transforma en otra clase de energía.En ciertos casos la energía mecánica se transforma en calor: es un dato de la experiencia que lafricción genera calor (todos saben que los frenos de un automóvil se calientan). Cuando se pro-duce un fenómeno de esta clase, al desaparecer una cantidad de energía mecánica dada por δ E = δ Wnc < 0 (5.62)se produce una cantidad equivalente de calor: δ Q = −δ Wnc (5.63)El calor es una forma de energía: a nivel microscópico es la energía mecánica debida a la agita-ción desordenada de las moléculas de todo medio material.Las unidades de calorEl calor una forma de energía y se lo puede medir en la misma unidad que la energía mecánica(por ejemplo J o erg). Pero como el concepto de calor se introdujo antes de saber que se tratabade una forma de energía, se establecieron para el mismo unidades independientes de las unidadesmecánicas. La unidad de calor es la caloría (cal), que originalmente se definió como la cantidadde calor necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua de 14.5 ˚C a 15.5 ˚C. Posteriormentese determinó la equivalencia entre las unidades de calor y energía midiendo el trabajo disipativonecesario para producir 1 cal. Se encontró así que 1 cal = 4.1868 J. Hoy día se sigue empleandola caloría en algunas aplicaciones, pero su definición actual es simplemente 1 cal = 4.186 J (5.64)Si se emplean las calorías o los Joules es puramente cuestión de conveniencia.Transformaciones de la energíaLa energía mecánica se puede transformar en calor produciendo una variación de la energía tér-mica o energía interna. Esta es sólo una de las transformaciones que puede sufrir la energía. Sise toman en cuenta todas las formas de energía y todas las transformaciones, resulta que la ener-gía total (suma de todas las formas) de un sistema aislado permanece constante. Luego la ener-gía no se crea ni se destruye, sólo se transforma y se transfiere de un sistema a otro8.Así como la energía mecánica se transforma en energía interna, se puede dar el proceso inverso,es decir la transformación Energía Interna ⇒ Energía Mecánica. Por ejemplo si se expande ungas contenido en un cilindro moviendo el pistón, la fuerza debida a la presión del gas realiza untrabajo sobre el pistón, que podemos usar para aumentar la energía mecánica del ambiente (porejemplo levantando una pesa). Al mismo tiempo el gas del cilindro se enfría y su energía internadisminuye, a menos que compensemos esa pérdida de energía interna suministrándole calor(para lo cual hay que poner el gas en contacto con una fuente térmica). En este último caso, el8 Este hecho constituye la Primera Ley de la Termodinámica. 121 www.cienciamatematica.com
  • 134. 5. Trabajo y energíaresultado neto del proceso es que el calor que hemos suministrado al gas se ha convertido enenergía mecánica del ambiente, el gas ocupa un volumen mayor pero su energía interna es lamisma que antes de la expansión, y la fuente térmica ha perdido energía. Pero en esta clase detransformaciones hay limitaciones: no es posible un proceso cuyo único resultado sea transfor-mar totalmente en energía mecánica el calor extraído de una fuente térmica9. Sólo una parte delcalor extraído de la fuente se puede transformar en energía mecánica. El resto tiene que ser en-tregado en forma de calor a otra fuente más fría. No seguiremos más sobre estos temas. Bastaesto como introducción. El estudio de las transformaciones de la energía y de sus limitaciones esmateria de la Termodinámica.No está demás señalar aquí que la energía es un bien útil y valioso, pero no hay que perder devista que la presencia de grandes cantidades de energía en pequeños volúmenes es potencial-mente peligrosa. Esto es obvio en el caso de la energía química de un explosivo, pero la gente nosuele pensar en eso cuando se trata de la energía química almacenada en el tanque de un auto-móvil o de la energía cinética de un vehículo lanzado con alta velocidad, a pesar que todos losdías nos enteramos de las lamentables consecuencias que resultan si esas cantidades de energíase liberan por accidente en forma imprevista y no deseada. Veremos en lo que sigue que las altasdensidades de energía pueden producir efectos catastróficos.Caída de un objeto en el aireSi un objeto cae en el aire su aceleración está dada por la ec. (4.52): Fa 1 a= g− =g− Ca ρ f u 2 l2 (5.65) m 2mAquí m es la masa del cuerpo, l es su dimensión lineal transversal al movimiento, u su veloci-dad, ρ f es la densidad del aire y el valor del coeficiente da arrastre Ca depende del numero deReynolds R (ver el Capítulo 4). Sabemos que en este caso se alcanza una velocidad límite v*para la cual a = 0 . A partir del momento en que el móvil llega a la velocidad límite, se tiene quev = v* = cte. y todo el trabajo de la fuerza de gravedad se disipa, dado que la energía cinética delmóvil no crece a medida que éste desciende y pierde energía potencial. Tendremos entonces queδT = 0, δV = − mgδz y δWdis = − Faδz . Luego δ E = − mgδz = − Faδz (5.66)¿En qué va a parar en este caso la energía mecánica que pierde el móvil? Esa energía queda en elfluido, parte en forma de energía cinética del movimiento de las parcelas del fluido (que se po-nen en movimiento debido al pasaje del móvil), parte como energía interna del mismo. En con-diciones de arrastre turbulento ( R >> 1) el grueso va a parar a la energía cinética del movimientodel fluido. Eso es lo que ocurre de inmediato. Es complicado describir lo que pasa después, peroesencialmente lo que sucede es que los vórtices y remolinos de la turbulencia intercambianenergía entre sí, y de resultas de ello los vórtices pequeños ganan energía a expensas de los másgrandes. Al mismo tiempo la energía de los vórtices más pequeños se disipa por efecto de laviscosidad, transformándose en energía interna. Se produce así lo que se llama una cascada en lacual la energía pasa gradualmente de los vórtices grandes a los pequeños y de éstos a la energía9 Este hecho se conoce como Segunda Ley de la Termodinámica. 122 www.cienciamatematica.com
  • 135. 5. Trabajo y energíadel movimiento desordenado de las moléculas del fluido. Al final del proceso el fluido queda denuevo en reposo y toda la energía que ganó a expensas de la energía mecánica del móvil acabaen forma de energía interna, o sea de calor.Impacto de bólidosEl impacto de cuerpos celestes es un proceso de fundamental importancia para la formación y laevolución de los cuerpos del Sistema Solar y que alteró (y sigue alterando) las superficies de lamayor parte de ellos debido a la formación de cráteres de impacto. El impacto en la Tierra degrandes bólidos en el remoto pasado provocó catástrofes globales de resultas de las cuales ocu-rrieron extinciones masivas de especies. Desde nuestro punto de vista son un ejemplo especta-cular de los efectos de la disipación de energía mecánica, que muestra la variedad de transfor-maciones de la energía.Varias clases de objetos cósmicos pueden chocar con la Tierra y lo han hecho en el pasado comolo muestra la evidencia geológica. Los impactores o meteoroides más grandes (afortunadamentepoco frecuentes) son asteroides o cometas; los menores son fragmentos de dichos cuerpos, tro-zos de roca de la superficie de algún planeta arrojados al espacio de resultas de un impacto ante-rior, u objetos primordiales. Los meteoroides más pequeños se destruyen en la atmósfera y sustrayectorias visibles dan lugar a meteoros tales como estrellas fugaces y bolas de fuego; los me-teoritos son los restos de esos cuerpos que sobrevivieron y llegaron el suelo. Aquí nos ocupare-mos de meteoroides cuyo tamaño es de 100 m o más, cuyo impacto puede producir catástrofesde escala local, regional e incluso global.Los asteroides y cometas orbitan alrededor del Sol y cuando llegan a las proximidades de nues-tro planeta sus velocidades vb son del orden de 30 km/s para los asteroides y 40 km/s para loscometas. La velocidad orbital vT de la Tierra es de unos 30 km/s. La velocidad relativa vr deuno de esos cuerpos respecto de la Tierra depende del ángulo con que se intersecan las respecti-vas órbitas y su valor (Fig. 5.12) está comprendido entre vT − vb ≤ vr ≤ vT + vb (5.67) bólido vT v vb Tierra Fig. 5.12. La velocidad relativa de un cuerpo respecto de la Tierra depende del ángulo con que se intersecan las respectivas órbitas. 123 www.cienciamatematica.com
  • 136. 5. Trabajo y energíaAl acercarse a la Tierra el impactor se acelera al caer en el campo gravitatorio terrestre. Podemosestimar el efecto que esto tiene sobre la velocidad vi con que choca con nuestro planeta a partirde la conservación de la energía mecánica. Lejos de la Tierra la energía del bólido es puramentecinética y vale T = T∞ = mb vr / 2 . Al llegar a la superficie T = T (rT ) = mb vi2 / 2 y su energía po- 2tencial es V (rT ) = − mb g(rT )rT (5.25). Por conservación de la energía mecánica T (rT ) + V (rT ) = T∞ (5.68)Usando la expresión (5.48) de la velocidad de escape obtenemos vi2 = vr + ve 2 2 (5.69)De aquí y de (5.67) resulta que vi es como mínimo ve ≅ 11.2 km/s y como máximo unos70 km/s . Un valor típico para un impacto asteroidal es 20 km/s mientras que para un impactocometario es de 56 km/s. Podemos entonces suponer que 30 km/s es la típica escala de velocidadasociada con los impactos.La energía cinética específica de un bólido de masa mb cuya velocidad es vi vale ε i = Ti / mb = vi2 / 2 ≅ 450 V 2 (MJ/kg) , V ≡ vi ( km/s) / 30 (5.70)donde V es del orden de la unidad. El valor de ε i es mucho mayor que la energía química especí-fica de un explosivo como el TNT ( ε TNT ≈ 4.7 MJ/kg ). Luego a igual masa el contenido deenergía cinética de un bólido lanzado a 30 km/s es 100 veces mayor que la energía química deun explosivo militar. La comparación es apropiada pues veremos que al chocar con el suelo elbólido libera su energía cinética (es decir la disipa) en forma de una explosión.Los cometas son una mezcla porosa de hielo y polvo y su densidad media es ρb ≈ 0.6 g/cm 3 . Lamayoría de los asteroides y de sus fragmentos son rocosos ( ρ ≈ 2.3 − 3.5 g/cm 3 ), pero una pe-queña fracción de ellos son metálicos (esencialmente hierro, ρ ≈ 7.8 g/cm 3 ). Su porosidad varíadesde 0 hasta un 70%. Según su composición y porosidad, su densidad media ρb está compren-dida entonces entre 1 y 7 g/cm3. La forma de los asteroides y los cometas es irregular y sus di-mensiones lineales van desde algunas decenas de metros a varias decenas de km. Para evitarfactores numéricos no esenciales en nuestras fórmulas vamos a suponer que el impactor es uncubo de arista d. Resulta entonces Ti ( ton TNT) ≅ 108 ρb,cgs dm V 2 3 (5.71)Aquí ρb,cgs ≡ ρb (g/cm 3 ) , dm ≡ d ( m ) y expresamos la energía cinética en términos de toneladasde TNT o de sus múltiplos como el kiloton y el megaton10.El estudio del impacto es muy difícil. De hecho no se pueden encontrar soluciones exactas nique se expresen en términos de fórmulas cerradas y funciones conocidas. Esta es una situaciónque se presenta a menudo cuando se estudian fenómenos de la naturaleza y lo que se hace enesos casos es recurrir a simulaciones numéricas basadas en sofisticados códigos. Cabe pregun-10 El megaton es aproximadamente equivalente a la energía liberada en la detonación de 106 toneladas de TNT. Pordefinición 1 megaton (Mton) = 4.184 × 1015 J. 124 www.cienciamatematica.com
  • 137. 5. Trabajo y energíatarse entonces de qué sirven las estimaciones11. La respuesta es que no se puede encarar el desa-rrollo de un código si no se tiene una idea previa de cuál es la física que tiene que contemplar.Aún contando con los más poderosos supercomputadores, ningún código puede incluir todos losprocesos y efectos imaginables. Por lo tanto hay que tener criterios para decidir qué se debe in-cluir y qué se puede omitir sin temor de descuidar aspectos fundamentales. Por eso las estima-ciones son un paso previo indispensable cuando se aborda un problema de esta clase.Para nuestras estimaciones numéricas usaremos un bólido “patrón” para el cual ρb = 2.5 g/cm 3 , d = 100 m , vi = 30 km/s , que entra en la atmósfera con una inclinación θ = 45˚ desde la vertical.Con estos datos resulta Ti ≅ 270 megatones (unas 10000 veces más que la energía conjunta delas explosiones atómicas que destruyeron Hiroshima y Nagasaki a fines de la Segunda GuerraMundial). Puesto que existen en el sistema Solar numerosos objetos cuyos tamaños llegan hastavarias decenas de km o más, que circulan en órbitas que pueden llegar a intersecar la de la Tie-rra, y dado que Ti escala como d 3 , está claro que se trata de objetos en extremo peligrosos.Impacto de un bólido a hipervelocidadSi nada frena al bólido antes de estrellarse12, como ocurre en la Luna, el cuerpo al llegar al sueloconserva su velocidad cósmica vi . Veamos qué sucede entonces.Penetración y frenadoLa velocidad cs de las ondas elásticas en la corteza terrestre (que pueden transportar energía lejosdel punto del impacto) es a lo sumo de 3 – 5 km/s, según sea el material de la misma. Luego cs << vi (5.72)Mientras su velocidad está muy por encima de cs el impactor interactúa sólo con el material quese lleva por delante. El material embestido es empujado por el proyectil, dejando detrás un túnel(Fig. 5.13). Por lo tanto durante la fase principal del frenado la perturbación afecta apenas unacapa muy delgada alrededor de dicho túnel. Consideramos despreciable esa pequeña capa. Elmodelo que resulta de esta hipótesis recibe el nombre de modelo de barrenieve, o de topadora.Si ρs es la densidad del suelo, la masa barrida por el impactor en un intervalo dt esdms = ρs v dt d 2 . Esta masa adquiere la velocidad v, y por lo tanto la cantidad de movimiento dps = dms v = ρs v 2 dt d 2 (5.73)Por conservación de la cantidad de movimiento, dps + dpb = 0 (5.74)Luego en dt el bólido pierde la cantidad de movimiento dpb = − ρs v 2 dt d 2 , de modo que lamagnitud de la fuerza de arrastre es dpb Fa = = ρs v 2 d 2 (5.75) dt11 Se advierte al lector que para entender bien algunos aspectos de nuestras estimaciones conviene haber leídopreviamente los Capítulos 12, 14 y 15 de este libro.12 Veremos que la atmósfera puede frenar cuerpos de pequeño tamaño. 125 www.cienciamatematica.com
  • 138. 5. Trabajo y energíaEn la (5.75) se reconoce la expresión (4.74) de la fuerza de arrastre. Como mb ≈ ρb d 3 , la ecua-ción de movimiento es dv v2 =− (5.76) dt ldonde hemos introducido la longitud característica de frenado ρb l= d (5.77) ρs d vi Fig. 5.13. Impacto a hipervelocidad en el suelo. Mientras la velocidad del cuerpo es mucho mayor que la cs el proyectil interactúa sólo con el material que encuentras en su camino, de modo que durante la fase principal del frenado el impacto no perturba lugares alejados y sólo afecta una zona despreciable alrededor del túnel que excava el proyectil.La (5.76) se puede escribir como d (1 / v) = dt / l , que se integra de inmediato dando 1 1 t = + (5.78) v vi lde donde obtenemos vi v= (5.79) 1 + vi t / lLuego la velocidad disminuye hiperbólicamente en el tiempo característico l ρb d t* = = (5.80) vi ρs viLa distancia característica de frenado l corresponde a un espesor de suelo tal que la masa ba-rrida es igual a la masa del proyectil. En pocas palabras, en el intervalo t * el bólido penetra en 126 www.cienciamatematica.com
  • 139. 5. Trabajo y energíael suelo hasta una distancia l, su velocidad se reduce a la mitad y por lo tanto se disipan las 3/4partes de su energía cinética, esto es, el grueso de la misma (Fig. 5.14). 1.0 0.8 v(t)/vi 0.6 0.4 T(t)/Ti 0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 t/t* Fig. 5.14. Mientras el impactor se entierra en el suelo su velocidad disminuye hiperbóli- camente con t. El tiempo característico de frenado es t* = l / vi y la distancia característica l de frenado corresponde a un espesor de suelo tal que la masa barrida es igual a la masa del proyectil. En t * el bólido recorre la distancia l, su velocidad se reduce a la mitad y se disipan las 3/4 partes de su energía cinética.Luego si nuestro bólido patrón impacta sobre un suelo rocoso ( ρs ≅ 2.5 g/cm 3 ) se enterrará auna profundidad l ≈ 100 m en t* ≈ 3 × 10 −3 s disipando una energía equivalente a 270 megato-nes. En ese tiempo la perturbación se habrá alejado a una distancia c t* ≈ 10 − 15 m del lugar delimpacto. Lo que sucede después que la velocidad ha disminuido hasta hacerse sónica es difícilde describir en detalle. Pero las características esenciales del fenómeno no dependen de eso, sinode consideraciones generales que se puedan hacer fácilmente.La atmósfera puede frenar un bólido?Cada año ingresan en la atmósfera unos 1500 meteoroides de más de 100 kg, que si llegaran alsuelo sin frenarse producirían explosiones equivalentes a 10 toneladas de TNT o más. Afortuna-damente la atmósfera brinda cierta protección contra estos peligrosos proyectiles. En efecto,mientras cruza la atmósfera el bólido está sometido a esfuerzos mecánicos debidos al frenadocausado por la fuerza de arrastre (ver el Capítulo 4). Estos esfuerzos lo pueden fracturar y redu-cir a fragmentos si la presión de estancamiento pe = 1 ρa v 2 (v es la velocidad del bólido y ρa es 2la densidad del aire) supera la resistencia mecánica Yb del cuerpo. Por ejemplo si v = 17 km/s, pe ≈ 1.7 kbar al nivel del suelo. Por otra parte las propiedades mecánicas de los impactores nose conocen bien. Algunos de esos cuerpos (llamados “pilas de escombros”) son aglomerados depequeños fragmentos ligados muy débilmente por su atracción gravitatoria mutua y su resisten-cia mecánica es casi nula, pero otros son monolíticos y su resistencia puede ser de algunos kbar.Además muchos impactores son muy porosos, hecho que puede tener efectos importantes sobresu deformación y fragmentación. Aquí no vamos a entrar en detalles sobre este complicadoasunto y nos limitaremos a mencionar que se puede mostrar que la mayoría de los cuerposrocosos y cometarios de pequeño tamaño ( d d100 m) se desintegran y disipan su energía en laatmósfera. Por otra parte objetos metálicos de pequeño tamaño pueden llegar al suelo enteros.Por lo tanto el lector debe ser prudente al usar nuestras estimaciones cuando se trata de objetos 127 www.cienciamatematica.com
  • 140. 5. Trabajo y energíacon d d100 m. Pero para tamaños mayores se puede ignorar la ruptura cualquiera sea la resisten-cia mecánica del impactor, porque la escala temporal del proceso de fragmentación crece li-nealmente con d y para d > 100 m se hace mayor que el tiempo requerido para atravesar la at-mósfera. En esos casos se puede suponer que el bólido llega al suelo como un único cuerpo.Si no ocurre fragmentación podemos estimar el efecto de la atmósfera sobre el movimiento deun proyectil que llega con una velocidad muy grande (hipervelocidad) por medio del modelo debarredora de nieve que usamos anteriormente. Para ello tenemos que observar que la velocidadde agitación térmica de las moléculas del aire ( ≈ 0.3 km/s) es despreciable frente a la velocidaddel bólido. Todo ocurre en la práctica como si estuvieran inmóviles. q (a) q ha (b) Fig. 5.15. Ingreso de un bólido en la atmósfera: (a) geometría del problema, (b) modelo aproximado empleado para las estimaciones.La densidad del aire es ρa ≈ 1.2 × 10 −3 g/cm 3 al nivel del mar y disminuye con la altura, ademásen general la trayectoria del bólido es oblicua y se debe tomar en cuenta la curvatura de la Tierra(Fig. 5.15a). Pero como sólo nos interesa calcular órdenes de magnitud, supondremos que laatmósfera es una capa plana (Fig. 5.15b) de densidad uniforme ρa ≈ 1.2 × 10 −3 g/cm 3 y de espe-sor ha = p0 / gρa ≈ 8.6 km ( p0 ≈ 1 bar es la presión13 atmosférica al nivel del suelo).Con un razonamiento parecido al que hicimos antes obtenemos que la fuerza de arrastre vale Fa = τρa v 2 d 2 (5.81)13 El bar es un unidad de presión (1 bar = 105 N/m2 ) que equivale aproximadamente a una atmósfera. 128 www.cienciamatematica.com
  • 141. 5. Trabajo y energíaAquí τ ≅ 1 / 2 es un factor que toma en cuenta los detalles del flujo alrededor del impactor. Eltiempo que tarda el bólido en cruzar la atmósfera es del orden de ha / v cosθ , luego la variaciónde su cantidad de movimiento por el impulso de Fa es ∆p ≈ − ha / v cosθ = −τρa ha vd 2 / cosθ , demodo que la variación relativa de la cantidad de movimiento del impactor es ∆p τρa ha =− = −ε (5.82) p ρb d cosθLuego, siempre y cuando no se fragmente, si el parámetro τρa ha ε= << 1 (5.83) ρb d cosθel bólido chocará con el suelo sin haber perdido una fracción importante de su cantidad de mo-vimiento. Se debe observar que ε es inversamente proporcional a d, de modo que los meteoroi-des grandes, para los cuales ε << 1 (por ejemplo ε ≈ 0.03 para nuestro bólido patrón) se frenanmuy poco en la atmósfera. También se puede ver que la energía cinética de bólidos con ε << 1es siempre mayor que varios megatones.Es sencillo estimar el efecto del aire sobre la trayectoria de un bólido grande. Puesto que conbuena aproximación v se mantiene constante, cruzará la atmósfera en un lapso del orden de ha 0.3 (s) ta = ≈ (5.84) vi cosθ V cosθLa desviación en radianes de la trayectoria del bólido respecto una recta debida a la aceleraciónde la gravedad es gta sen θ tan θ ≈ 10 −4 2 (5.85) vi Vy claramente es despreciable excepto si θ ≈ π / 2 .Si el bólido no pierde masa mientras cruza la atmósfera, usando la (5.82) resulta que llega alsuelo con la velocidad vi (1 − ε ) y la energía cinética Ti (1 − 2ε ) , de modo que la energía disipadaen la atmósfera es Ed ≈ 2εTi . De acuerdo con este resultado nuestro bólido patrón al cruzar laatmósfera pierde el 6% de su energía cinética, esto es 16 megatones.No discutiremos aquí lo que ocurre con meteoroides pequeños ( εt1). Todos ellos se destruyenpor completo, la mayoría en la alta atmósfera. Por otra parte veremos en breve que la pérdida demasa de los impactores de gran tamaño es despreciable.Explosión y formación del cráter de impactoVimos que nuestro bólido patrón al chocar con el suelo se frena en 3 milisegundos, tiempo en elcual disipa una energía cinética equivalente a 254 megatones14 dentro de un volumen de ~ 10 6 m 3 que contiene una masa 2 mb ≈ 5 × 10 9 kg . Esta energía cinética se convierte en energíainterna de dicha masa y equivale en promedio a 225 MJ/kg, cantidad más que suficiente paravaporizar cualquier material (el calor latente de vaporización de las rocas es del orden de 814 Al cruzar la atmósfera disipó 16 megatones de los 270 que traía. 129 www.cienciamatematica.com
  • 142. 5. Trabajo y energíaMJ/kg) y llevar el vapor a una temperatura del orden de 104 – 105 ˚K. Por lo tanto el bólido y lamasa del suelo que barrió se vaporizan de inmediato. La liberación casi instantánea de estaenorme cantidad de energía provoca una explosión centrada a una profundidad d, cuya magnituden nuestro ejemplo supera ampliamente la de las mayores bombas nucleares.En efecto, la presión del vapor que se produce se puede estimar por razones dimensionales como p* ≈ Ti / d 3 , lo que da p * (Mbar) ≈ 10 ρb,cgsV 2 (5.86)Este es un valor enorme15, que supera por más de 3 órdenes de magnitud la resistencia mecánicade cualquier material. Como nada puede contener semejante presión, se produce una poderosaonda de choque que a medida que se expande alrededor del punto de impacto desmenuza y pul-veriza la corteza y lanza los fragmentos (llamados ejecta) hacia arriba y a los costados16. dejandouna cavidad aproximadamente semiesférica llamada cráter transitorio (Fig. 5.16a). Este procesode excavación continúa hasta que la onda de choque se atenúa al punto que ya no puede fracturarlas rocas de la corteza, luego de lo cual se propaga como una onda sísmica. D D (a) (b) Fig. 5.16. Formación de un cráter de impacto: (a) la explosión desmenuza el suelo cerca del punto de impacto y lanza los fragmentos hacia arriba y a los costados dejando una ca- vidad transitoria (gris oscuro); (b) las paredes de la cavidad transitoria se derrumban, parte de los fragmentos cae dentro de la misma y en sus alrededores y el cráter toma su forma definitiva.Podemos estimar el tamaño del cráter transitorio comparando la energía Ti de la explosión conla energía Ec necesaria para fragmentar los materiales del suelo y con la energía potencial gra-vitatoria Eg que hay que suministrar a los fragmentos para que salgan del cráter. El orden demagnitud de Ec resulta de multiplicar el volumen de una semiesfera de diámetro D por la cargade ruptura Y del material del suelo. Resulta entonces (redondeando π ≈ 3) que Ec ≈ YD3 / 4 (5.87)15 1Mbar = 106 bar = 1011 N/m2.16 Los fragmentos expulsados tienen toda clase de tamaños, desde partículas de polvo hasta grandes bloques de rocay salen disparados en trayectorias balísticas con enormes velocidades. Algunos de ellos, cuya velocidad supera lavelocidad de escape, se alejan permanentemente y quedan en órbita alrededor del Sol. Otros vuelven a caer, algunosmuy lejos del punto del impacto, otros más cerca. Los mayores pueden a su vez dar lugar a impactos secundarioscon formación de cráteres. 130 www.cienciamatematica.com
  • 143. 5. Trabajo y energíaEl valor de Y para la corteza terrestre oscila entre 0.2 y 0.4 kbar; de ahora en más haremos loscálculos con Y = 0.3 kbar . Por otra parte Eg se puede estimar como el peso de la masa contenidaen una semiesfera de diámetro D, multiplicado por su profundidad media que es 3 D / 16 .Redondeando como antes el factor numérico resulta Eg ≈ ρs gD4 / 20 (5.88)La relación entre Ec y Eg está dada por Ec 5Y 5h * ≈ = (5.89) Eg ρs gD Ddonde el parámetro Y h* ≡ ≈ 1.2 km (5.90) ρs ges la altura para la cual la energía potencial gravitatoria es igual a la energía de cohesión.Si D << 5h* ≈ 6 km tendremos Ec >> Eg , e igualando Ti y Ec obtenemos la ley de escala D ~ ( 4Ti / Y )1 / 3 (5.91)Para Y = 0.3 kbar resulta D( km ) ≈ 0.81[Ti (Mton )]1 / 3 (5.92)Sustituyendo en (5.87) el valor de Ti dado por la (5.72) se obtiene D ≈ 39 ρ1/3 V 2 / 3 b, cgs (5.93) dSi en cambio D >> 5h* ≈ 6 km tendremos Eg >> Ec y domina la gravedad; la correspondienteley de escala se obtiene igualando Ti y Eg y es D ~ (20Ti / ρs g)1 / 4 (5.94)de donde se obtiene D( km ) ≈ 1.74 [Ti (Mton ) / ρs,cgs ]1 / 4 (5.95)Sustituyendo el valor de Ti resulta D − ≈ 138 dm1 / 4 [ ρb / ρs ]1/4 V 1 / 2 (5.96) dPara impactos sobre la Tierra la transición entre las leyes de escala debidas a la cohesión y a lagravedad ocurre para energías de impacto de unos 400 megatones (Fig. 5.17). 131 www.cienciamatematica.com
  • 144. 5. Trabajo y energía lnD D ~ Ti1/4 domina Y 6 km domina g D ~ Ti1/3 400 Mton lnTi Fig. 5.17. Si la energía Ti del impactor es menor que unos 400 Mton el tamaño del cráter de impacto está determinado por la cohesión del suelo y D ~ Ti1 / 3 ; en cambio cuando Ti supera los 400 Mton el tamaño está determinado por la gravedad y D ~ Ti1 / 4 .Se debe mencionar que las leyes de escala que hemos obtenido se refieren al cráter transitorio,que no coincide ni en su forma ni en su tamaño con la estructura de impacto que queda. Estaúltima (Fig. 5.16b) está determinada por varios procesos que dependen de la magnitud del im-pacto e incluyen el derrumbe de las paredes del cráter transitorio, el rellenado parcial de la cavi-dad por la caída de fragmentos, la formación eventual de un pico central o de relieves en formade anillos y la efusión de magma.Una de las consecuencias de las explosiones que producen los cráteres de impacto es que el bó-lido se destruye por completo. Las tremendas aceleraciones durante el frenado implican esfuer-zos que ningún material resiste. Es un hecho que en los grandes cráteres de impacto no se en-cuentran nunca fragmentos grandes del proyectil. También se debe mencionar que la mayorparte del material expulsado del cráter está frío, pues la masa que se calienta y vaporiza es unafracción muy pequeña del total afectado por el fenómeno. En efecto, como D >> d la masa ex-pulsada (del orden de ρc D3 ) es mucho mayor que la masa vaporizada (del orden de ρb d 3 ).Uno de los más conocidos cráteres de impacto es el Meteor Crater de Arizona, cuyo diámetro esde 1.22 km, la explosión que lo produjo ocurrió hace 50000 años y liberó entre 20 y 40 megato-nes. En un artículo de R. Grieve (Terrestrial Impact Structures, Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 15,245-270, 1987) figura una lista de 116 cráteres de impacto conocidos, cuyos diámetros estáncomprendidos entre 0.01 km y 140 km. Un lista más reciente17 incluye 171 cráteres de impacto,el mayor de los cuales (Vredefort, Sudáfrica) tiene 300 km de diámetro y corresponde aTi ≈ 6 × 108 megatones. Cuesta imaginar la pavorosa catástrofe ocasionada por ese impacto,piense el lector que la explosión fue 60000 veces más poderosa que lo que sería la explosiónsimultánea de todo el arsenal nuclear mundial, que asciende a unos 104 megatones. Para producirun cráter de 100 km de diámetro hace falta (si v1 = 30 km/s ) un bólido de unos 3 km de diáme-tro. El volumen excavado es del orden de 104 km3. Parte de esta enorme cantidad de material vaa parar a la atmósfera en forma de polvo. Es obvio que el cataclismo resultante provoca impor-tantes consecuencias sobre el clima y las condiciones de vida en la Tierra. Si el bólido en lugarde caer en el suelo cayera en el agua las consecuencias también serían catastróficas. Afortuna-damente para nosotros esos eventos son muy raros (Fig. 5.18).17 Ver www.unb.ca/passc/ImpactDatabase/ . 132 www.cienciamatematica.com
  • 145. 5. Trabajo y energía –12 Impactores de 1 µm observados por el Intervalo medio de tiempo (años) entre impactos sobre la Tierra 10 –10 Space Shuttle, cada 30 µs 10 10 –8 10 –6 Estrellas fugaces ; 1 mm, cada 30 s 10 –4 10 –2 1 Meteoritos 1 m, cada año 2 10 4 Meteor Crater (Arizona) 10 100 m, cada 10.000 años 10 6 10 8 Sudbury, Ontario 10 km, cada 100 Ma –6 –4 –2 2 4 6 8 10 10 10 10 1 10 10 10 10 10 Diámetro del impactor (metros) Fig. 5.18. Intervalo medio entre impactos en la Tierra de objetos de diferente tamaño. Obsérvese que la probabilidad de los impactos disminuye con el tamaño del impactor. Esto se debe a que los bólidos grandes son mucho menos abundantes que los pequeños.Disipación de energía durante el frenamiento en el aireLa física del ingreso de meteoroides en la atmósfera es sumamente compleja. Afortunadamente,para meteoroides de gran tamaño ( ε << 1) se pueden hacer estimaciones sencillas porque esoscuerpos cruzan la atmósfera con una velocidad prácticamente constante y disipan una pequeñafracción de su energía cinética18. La potencia disipada durante el frenamiento de un bólido queatraviesa el aire es enorme, así como son enormes las fuerzas y aceleraciones en juego. Al niveldel suelo el arrastre aerodinámico vale Fa = τρa vi2 d 2 ≈ 1.1 × 10 9 τV 2 dm ( N ) 2 (5.97)18 Se debe notar, sin embargo, que la disipación de muchos megatones en la atmósfera puede por sí misma dar lugara efectos catastróficos. 133 www.cienciamatematica.com
  • 146. 5. Trabajo y energíay la potencia disipada se puede estimar como P = Fa vi = ρa d 2 vi3 ≅ 32 τ dmV 3 ( TW) 2 (5.98)En comparación la potencia eléctrica instalada en nuestro país asciende a unos 0.01 TW.La energía disipada durante el ingreso se transfiere a la atmósfera por medio de tres procesos: (a)delante del bólido se desarrolla una onda de choque y el aire que la cruza se calienta adiabática-mente; (b) la superficie del bólido se calienta al absorber la radiación que emite al aire que secalentó al cruzar la onda de choque, lo que produce la fusión y evaporación de material; (c) elmaterial perdido por el bólido entrega finalmente su energía a la atmósfera.Estimaremos primero la pérdida de masa de un meteoroide de gran tamaño. La onda de choquefuerte que se desarrolla delante del mismo disocia las moléculas del aire y las ioniza. Estos pro-cesos consumen la mayor parte de la energía disipada y por este motivo la temperatura del gasque atravesó la onda de choque se estabiliza. En estas condiciones se puede mostrar19 que inde-pendientemente de vi , la radiación emitida por el gas caliente corresponde a una temperatura Tque depende de la mezcla de gases que intervienen en el proceso. Para el aire T ≈ 20000˚K . Estaradiación determina el calentamiento del bólido de modo que la potencia que éste absorbe nodepende de su velocidad20. La potencia absorbida por el impactor es entonces Pa = 6 d 2 caσT 4 (5.99)donde ca ≤ 1 es el coeficiente de absorción y σ = 0.567 × 10 –7 W/m 2 ˚K 4 es la constante deStefan-Boltzmann. La potencia absorbida calienta la superficie, que se funde y se vaporiza por locual la temperatura superficial del bólido no puede superar la temperatura de ebullición del ma-terial. Por lo tanto el flujo de masa que se evapora es Fm = Pa / 6 d 2 L (5.100)donde L ( = 2, 8 y 5 MJ/kg para hielo, rocas e hierro, respectivamente) es el calor latente de va-porización. De (5.99) y (5.100) resulta que Fm = caσT 4 / L . La masa evaporada al atravesar laatmósfera es ∆mb = 6 d 2 Fmta = Pata / L y la fracción de masa perdida por el impactor es ∆mb 6caσT 4 ha 2.27ca = ≈ ε (5.101) mb Lρb vi d cosθ τLVDe aquí se ve que ∆mb / mb es inversamente proporcional a d. Para nuestro bólido patrón resulta(suponiendo ca = 1) que ∆mb / mb ≈ 0.027 . Estos resultados justifican nuestra hipótesis anteriorde que cuando se trata de bólidos de gran tamaño se puede ignorar la pérdida de masa.También se puede mostrar que el calor no penetra de modo apreciable al interior del impactor.En efecto, por medio de consideraciones dimensionales se encuentra que la profundidad a la quepenetra el calor en el tiempo ta es δ ≈ ( Kta / Cρb )1 / 2 , donde K es la conductividad térmica y Cel calor específico del medio. Introduciendo valores razonables para estos parámetros (K ≈ 2019 La demostración excede el nivel de este texto y por eso no la damos.20 Este régimen no se da para los meteoroides pequeños, que disipan la mayor parte de su energía cinética en la altaatmósfera. 134 www.cienciamatematica.com
  • 147. 5. Trabajo y energíaJ/m s ˚K , C ≈ 440 J/kg) obtenemos δ ≈ 3 mm. Esta estimación muestra que independientementede d el interior del bólido permanece frío mientras sus capas superficiales se evaporan. Se puedetambién observar que Pa 6caσT 4 c = ≈ 1.7 × 10 −3 a3 (5.102) P τρa vi 3 τVde modo que en este régimen el bólido absorbe una fracción muy pequeña de la energía disipadamientras cruza la atmósfera.Vamos ahora a discutir brevemente posibilidad de que el bólido se fragmente. La presión que seejerce sobre el mismo debido al frenado vale p = Fa / d 2 = τρa vi2 ≈ 6 V 2 ( kbar) (5.103)y la magnitud de la aceleración es Fa ρ v2 V2 a= = τ a i ≈ 2 × 10 4 g (5.104) mb ρb d dmSi Y es la resistencia mecánica del impactor, la condición para que se fracture es τρa vi2 ≈ 6 V 2 (kbar) > Y (5.105)La condición (5.105) no depende del tamaño del objeto y se cumple siempre si Y ≈ 0.3 kbar quees un valor razonable para un objeto de tamaño grande, pero si V es apreciablemente menor que1 no se cumple para un bloque de hierro o un monolito, cuya carga de ruptura es mucho mayor.Por eso los meteoritos que se ven en los museos llegaron al suelo sin romperse.Hay que observar, sin embargo, que la (5.105) es una condición necesaria, pero no suficientepara que el bólido se fragmente ya que se debe tomar en cuenta el tiempo necesario para que seproduzca la fractura y el tipo de deformación que ocurre. La presión (5.101) debida al frenadoactúa sobre la cara anterior del bólido y tiende a comprimirlo en sentido antero-posterior y ha-cerlo más chato y más ancho. Haciendo una aproximación muy grosera podemos suponer que lamitad anterior del bólido (cuya masa es mb / 2 ) es acelerada por una fuerza pd 2 hacia la mitadposterior. Podemos definir entonces una escala temporal de compresión tc como el tiempo nece-sario para que la mitad anterior se desplaze en d / 2 hasta superponerse a la mitad posterior. Deesto resulta que 1/ 2 d ρ  tc =  b  (5.106) vi  2τρa de modo que tc es proporcional a d. Comparando tc con ta obtenemos 1/ 2 tc d  ρ  d (m) = cosθ  b  ≈ cosθ [ ρb (cgs)]1 / 2 (5.107) ta ha  2τρa  290 135 www.cienciamatematica.com
  • 148. 5. Trabajo y energíaDe todo lo dicho podemos sacar las siguientes conclusiones para meteoroides de gran tamaño( ε << 1):(a) Los bólidos de cualquier clase con d t 300 m tienen tc > ta y llegan al suelo como un únicocuerpo.(b) Los cuerpos con d d 100 m tienen tc d ta . Si son cometas o asteroides rocosos se fracturarány sufrirán importantes deformaciones. Sin embargo no es fácil prever si se fragmentarán en elaire o si llegarán al suelo, pues esto depende del tipo de deformación que sufran. Se ha sugeridoque el aplastamiento y consiguiente ensanchamiento del impactor, al reducir su espesor y por lotanto su poder de penetración (dado por el producto de la densidad por el espesor), hacen que laaceleración de frenado aumente catastróficamente y el bólido disipe toda su energía cinética enla atmósfera dando lugar a una explosión en el aire21. Pero se debe observar que para que el pro-ceso que se acaba de describir ocurra es necesario que la densidad del bólido se mantenga cons-tante a fin que se ensanche a medida que se aplasta. No está claro que esto ocurra cuando el bó-lido es poroso (y muchos lo son) pues en este caso se puede aplastar compactándose y sin ensan-charse, con lo cual su poder de penetración no varía y tampoco varía la aceleración de frenado.ConclusionesEn esta somera discusión de la física del impacto de bólidos hemos tocado solamente algunosaspectos del fenómeno y muchos más no han sido siquiera mencionados. Por ejemplo, no hemosdicho nada acerca de las perturbaciones atmosféricas ocasionadas por el ingreso de un cuerpo degran tamaño que se desplaza a hipervelocidad, no hemos comentado los efectos sísmicos delimpacto, ni de la recaída de los ejecta de diferentes tamaños, ni tampoco las particularidades deun impacto oceánico, un tema muy importante dado que 2/3 de la superficie de nuestro planetaestán bajo el agua. El tema es demasiado vasto para tratarlo exhaustivamente aquí22.Sin embargo nuestra discusión, pese a ser incompleta, muestra al lector dos aspectos que quere-mos subrayar. Uno es la riqueza y variedad de fenómenos involucrados en la disipación y redis-tribución de la energía cinética del impactor y en sus sucesivas transformaciones en otras formasde energía, que conforman una cascada de enorme complejidad. El segundo es la utilidad deformular modelos simples, que aunque groseros, permiten que el lector capte los aspectos másimportantes de algunos de estos procesos y estime el orden de magnitud de sus efectos.21 Tal cosa parece haber ocurrido con el objeto que cayó en Tunguska (Siberia) en 1908, que no llegó al suelo peroprodujo una explosión de 15 megatones. Se supone que se trató de un objeto rocoso cuyas dimensiones eran de unos40 m.22 Una presentación de nivel divulgativo del tema se encuentra en el artículo Impactos catastróficos y extinciones, J.Gratton, Ciencia e Investigación 46, nº 2, 61-79, 1993. 136 www.cienciamatematica.com
  • 149. 6. Movimientos oscilatorios6. MOVIMIENTOS OSCILATORIOSCuando estudiamos movimientos unidimensionales por medio del diagrama de la energía (Ca-pítulo 5) vimos que si un móvil está atrapado en un pozo de energía potencial su movimiento esuna oscilación, o sea un vaivén entre dos posiciones extremas (los puntos de retorno x− y x+ ).Esta situación se da muchas veces en la práctica y por eso el estudio de los movimientos oscila-torios tiene gran importancia. Las características de las oscilaciones dependen de la ley de fuer-zas o, lo que es lo mismo, de la forma de la energía potencial V ( x ) y de la presencia o no deotras fuerzas no conservativas que pueden dar lugar a la disipación o al aumento de la energíamecánica del sistema. Veremos que esto da lugar a una gran variedad de fenómenos y compor-tamientos diferentes.El movimiento oscilatorio más simple es el de una masa movida por un resorte (Fig. 6.1a), encuyo caso la fuerza es F = −k x (6.1)y corresponde a una energía potencial V = 1 k x2 2 (6.2)Las oscilaciones del resorte son una primera aproximación para muchos movimientos oscilato-rios. En efecto, si x0 es un punto de equilibrio donde la energía potencial correspondiente V ( x )es mínima (Fig. 6.1b), en el entorno de x0 podremos escribir V ( x ) = V0 + 1 k ( x − x0 )2 + 1 q( x − x0 )3 + ... , V0 , k, q, … = cte. 2 3 (6.3) V0+ 1 (x − x0)2 2 V(x) m x E F = − kx V0 m x x– x0 x+ (a) (b) Fig. 6.1. Las oscilaciones de una masa movida por un resorte (a) son el modelo básico y la primera aproximación de muchos movimientos oscilatorios de pequeña amplitud (b).Si k ≠ 0 , como ocurre en muchos casos, y si la amplitud de las oscilaciones no es demasiadogrande, se puede entonces aproximar V ( x ) por medio de una parábola de la forma (6.2). Por lotanto los movimientos oscilatorios de pequeña amplitud que responden a la fuerza de restitución(6.1) son fenómenos muy frecuentes y de gran importancia práctica y por eso merecen un estu-dio detenido. Comenzaremos por el caso más simple, que es aquél en que no actúan fuerzas noconservativas, de modo que la fuerza es únicamente la (6.1). 137 www.cienciamatematica.com
  • 150. 6. Movimientos oscilatoriosOscilaciones libres de un resorteEn ausencia de fuerzas no conservativas la ecuación del movimiento de la masa m sometida a lafuerza de restitución (6.1) es d2x k 2 =− x (6.4) dt mEs fácil verificar que la solución de esta ecuación es una función del tipo seno o coseno ya quex (t ) es proporcional a −x (t ) . Además por ser la (6.4) del 2º orden, su solución general debe˙˙contener dos constantes de integración. Ensayamos entonces una solución de la forma x = a cos(ω t + ϕ ) , a, ϕ = cte. (6.5) 1 xêa 0 p 2p 3p 4p wt -1 1 . xêwa 0 p 2p 3p 4p wt -1 1 .. xêw2 a p 2p 3p 4p wt -1 Fig. 6.2. Posición, velocidad y aceleración para una oscilación armónica.La (6.5) describe una oscilación sinusoidal de amplitud a y frecuencia angular ω = 2π / T cuyoperíodo y fase inicial son T y ϕ; para ver si satisface la ecuación del movimiento calculamos x = −ω a sen(ω t + ϕ ) , x = −ω 2 a cos(ω t + ϕ ) = −ω 2 x ˙ ˙˙ (6.6)Sustituyendo (6.5) y (6.6) en la (6.4) resulta ω 2 = k / m , luego la (6.5) satisface la (6.4) si k m ω= ⇒ T = 2π (6.7) m k 138 www.cienciamatematica.com
  • 151. 6. Movimientos oscilatoriosLa magnitud ω es la frecuencia propia del oscilador1. La solución general (6.5) describe todaslas oscilaciones posibles; a y ϕ se determinan a partir de las condiciones iniciales, para lo cualhay que dar dos condiciones, por ejemplo la posición y velocidad inicial, o la posición y energíainicial, o la velocidad y energía inicial, etc. Es útil escribir x, x y x en la forma ˙ ˙˙ x = a cos(ωt + ϕ ) , x = ω a cos(ωt + ϕ + π / 2) , x = ω 2 a cos(ωt + ϕ + π ) ˙ ˙˙ (6.8)Luego x, x y x son funciones sinusoidales del tiempo y sus amplitudes están en la relación ˙ ˙˙ 1:ω :ω2 (6.9)Esto es lógico por razones dimensionales, ya que x ~ a / T ~ ω a y x ~ a / T 2 ~ ω 2 a . Además x ˙ ˙˙ ˙y x están desfasadas respecto de x: las fases de la velocidad y la aceleración están adelantadas ˙˙en π / 2 y π, respectivamente (Fig. 6.2). Este tipo de movimiento se denomina movimiento ar-mónico simple u oscilación armónica. Como se demostró en el Capítulo 5, la energía mecánicadel movimiento oscilatorio armónico es proporcional al cuadrado de la amplitud E = T + V = 1 ka 2 2 (6.10)Oscilaciones amortiguadasSi la masa oscila en un fluido está sometida a la fuerza de arrastre, que al disipar la energía me-cánica produce con el correr del tiempo una disminución de la amplitud de las oscilaciones o seaun amortiguamiento. Para calcular lo que pasa es necesario resolver la ecuación del movimientocon el agregado de la fuerza de arrastre: m a = − kx + Fa (6.11)donde Fa = −ηa xl o bien Fa = − ρa x | x | l2 según si el número de Reynolds R = ρa xl / ηa es ˙ ˙ ˙ ˙mucho menor o mucho mayor que la unidad. Aquí m es la masa del cuerpo que oscila, l su di-mensión lineal, ρa es la densidad del fluido y ηa es el coeficiente de viscosidad. En muchoscasos de interés R es pequeño, luego usamos2 Fa = − Cx , C = ηa l ˙ (6.12)Si sustituimos Fa en la (6.11) se obtiene m x + Cx + kx = 0 ˙˙ ˙ (6.13)Antes de resolver esta ecuación diferencial es útil estimar el amortiguamiento en base a argu-mentos físicos. Supongamos que C es muy pequeño, de manera que el amortiguamiento es débil.En este caso la disminución de la amplitud en un período de la oscilación será muy pequeña, demodo que podemos suponer que en primera aproximación el movimiento sigue siendo una osci-lación armónica simple. Calculemos entonces la energía disipada en un período:1 El argumento dimensional del Capítulo 5 dio correctamente T a menos de un factor 2/π .2 En el caso que R > 1 la fuerza de arrastre depende de ˙2 x y entonces la ecuación de movimiento no es lineal. Estocomplica el análisis, como veremos más adelante. 139 www.cienciamatematica.com
  • 152. 6. Movimientos oscilatorios T a a ∆ E = Wa = ∫ Fa dx = 4 ∫ Fa dx = −4C ∫ v dx = −4Cva (6.14) 0 0 0siendo v el valor medio de la velocidad. Ahora, del diagrama de la energía se ve que E = 1 mv 2 + 1 kx 2 = 1 ka 2 2 2 2 (6.15)de donde despejamos v = ω a(1 − ξ 2 )1 / 2 donde ξ = x / a = cos(ωt + ϕ ) . Luego v = ω a ζ dondeζ es el valor medio de ζ = (1 − ξ 2 ) = sen(ωt + ϕ ) en el intervalo (0, 1). Como ζ 2 + ξ 2 = 1 , lacurva ζ (ξ ) es un cuarto de circunferencia de radio 1 y centro en el origen. El valor medio bus-cado es el área del correspondiente cuarto de círculo, de modo que ζ = π / 4 y v = πω a / 4 .Luego ∆ E = −π Cω a 2 y usando (6.7) y (6.10) obtenemos finalmente ∆E 2πC =− (6.16) E mkLuego la energía mecánica decrece en progresión geométrica ya que en cada oscilación se disipauna fracción constante 2πC / mk de la energía mecánica. Calculemos qué sucede con la am-plitud. De E ~ a 2 obtenemos ∆a / a = ∆E / 2 E y por lo tanto ∆a πC =− (6.17) a mkLuego la amplitud decrece en progresión geométrica de razón πC / mk . Recordemos que nues-tro argumento se basa en suponer que ∆a / a << 1 , por lo tanto se debe cumplir C << mk . SiC ≥ mk este análisis no sirve pues la (6.17) da ∆a ≥ a , de modo que la amplitud cae prácti-camente a cero en el tiempo 2π ( m / k )1 / 2 y no podemos entonces hablar de oscilaciones. Por lotanto la solución de la (6.13) tiene diferente carácter según si el amortiguamiento es débil ofuerte, y hay que considerar esos casos por separado.Amortiguamiento débilPuesto que cuando el amortiguamiento es débil el movimiento es una oscilación amortiguada,vamos a buscar una solución de la (6.13) de la forma x = ae −γt cos(ω ′t + ϕ ) (6.18)donde a, ϕ, γ y ω ′ son constantes a determinar. Sustituyendo esta expresión en la (6.13) es fácilverificar que la misma se cumple para todo a, ϕ, si C γ = , ω ′2 = ω 2 − γ 2 (6.19) 2mLuego el movimiento es una oscilación exponencialmente amortiguada cuya frecuencia ω ′ di-fiere de la frecuencia ω de las oscilaciones libres. El parámetro γ se llama coeficiente de amorti-guamiento. Si γ → ω , esto es si C → 4 mk , ω ′ → 0. Si γ << ω , o sea si C << mk , la (6.19)da ω ′ ≈ ω a menos de términos del orden de C 2 / mk y es fácil ver que se obtiene la (6.17) loque justifica nuestro anterior tratamiento. Por supuesto la (6.18) tiene sentido sólo si 140 www.cienciamatematica.com
  • 153. 6. Movimientos oscilatorios C γ <ω ⇒ <1 (6.20) 4 mkLas constantes a y ϕ de la solución general (6.18) dependen de las condiciones iniciales. Six0 = x (t = 0) y x0 = x (t = 0) se tiene que ˙ ˙ x0 + 2γx0 x0 + ω 2 x0 2 ˙ ˙2 γ x  ˙ a= , ϕ = − arctan + 0  (6.21) ω′  ω ′ ω ′x0 En la Fig. 6.3 se muestra una solución de este tipo. xêa 1 2p 4p 6p 8p 10p 12p wt –1 Fig. 6.3. Oscilación amortiguada ( γ = 0.2 ω , ϕ = 0 ). Con línea de trazos se muestra la os- cilación libre ( γ = 0 , ϕ = 0 ) para que se pueda apreciar la diferencia entre ω ′ y ω.Amortiguamiento fuerteSi C > 4 mk el tratamiento anterior no sirve porque el movimiento no es oscilatorio. Buscamosentonces una solución de la (6.13) de la forma x = e −γt ( ae βt + be − βt ) (6.22)donde a, b, γ, β son constantes a determinar. Sustituyendo (6.22) en la (6.13) es fácil verificarque la misma se cumple para todo a, b, si C γ = , β2 = γ 2 − ω2 (6.23) 2mLa (6.22) describe un movimiento que se acerca exponencialmente (ya que γ > β ) a x = 0 , ytiene sentido solamente si C γ >ω ⇒ >1 (6.24) 4 mkLas constantes a, b de la solución general (6.22) dependen de las condiciones iniciales: [ x0 ( β + γ ) + x0 ] ˙ [ x ( β − γ ) − x0 ] ˙ a= , b= 0 (6.25) 2β 2βEn la Fig. 6.4 se muestran dos soluciones de este tipo. 141 www.cienciamatematica.com
  • 154. 6. Movimientos oscilatorios xêa 1 2p 4p 6p 8p wt Fig. 6.4. Movimiento con amortiguamiento fuerte. Las dos soluciones que se han dibujado corresponden a v0 = 0 y v0 = −ωx0 .Amortiguamiento críticoEl caso límite C = 4 mk se denomina amortiguamiento crítico y se tiene que tratar por sepa-rado. Buscaremos soluciones de la (6.13) de la forma x = e −γt ( A + Bt ) (6.26)donde A, B, γ son constantes a determinar. Sustituyendo (6.26) en la (6.13) es fácil verificar quela misma se cumple para todo A, B, si C C γ =ω = , =1 (6.27) 2m 4 mk xêa 1 2p 4p 6p wt Fig. 6.5. Amortiguamiento crítico. Las dos soluciones que se han dibujado corresponden a v0 = 0 y v0 = −ωx0 .La (6.26) describe un movimiento que se acerca exponencialmente a x = 0 . Las constantes A, Bdependen de las condiciones iniciales: A = x0 , B = γx0 + v0 (6.28)En la Fig. 6.4 se muestran dos soluciones de esta clase.Oscilaciones forzadasSea un oscilador cuya frecuencia propia es ω 0 = k / m . El problema que nos interesa, y que esmuy importante por sus aplicaciones, consiste en estudiar el movimiento que realiza si lo sometoa una fuerza externa Fe que varía sinusoidalmente en el tiempo con la frecuencia ω (que puedeser diferente o igual a ω0). Tendremos entonces 142 www.cienciamatematica.com
  • 155. 6. Movimientos oscilatorios Fe = F cos ω t , F = cte. (6.29)La ecuación del movimiento es mx = − kx + Fa + Fe o sea ˙˙ x + cx + ω 0 x = f cos ω t , c = C / m , ˙˙ ˙ 2 f = F/m (6.30)Claramente la energía mecánica no se conserva porque la fuerza externa realiza trabajo. Antes deresolver la (6.30) vamos a poner en evidencia los aspectos físicos más importantes del problemacon un mínimo de matemática. La observación muestra lo siguiente:• si partimos con el oscilador en reposo y a partir de t = 0 aplicamos la fuerza Fe el oscilador se pone en movimiento, pero al cabo de cierto tiempo alcanza un régimen estacionario;• el régimen estacionario consiste de oscilaciones cuya frecuencia es igual a ω, la frecuencia de la fuerza excitadora.Para que exista un régimen estacionario la energía mecánica neta que recibe el oscilador en unperíodo debe ser nula. Caso contrario cambiaría la amplitud, contrariamente a lo supuesto.Sobre el sistema actúan tres fuerzas• La fuerza de restitución del resorte es conservativa y por lo tanto su trabajo en un periodo es nulo (cualquiera sea el tipo de oscilación, basta con que vuelva a la posición del comienzo).• La fuerza excitadora Fe no es conservativa y en principio realiza un trabajo neto sobre el sistema, que en un periodo está dado por T T ∫ Fe dx = ∫ Fe vdt (6.31) 0 0• La fuerza de arrastre Fr = − Cv = − cmv que amortigua las oscilaciones libres.Veamos entonces como se puede obtener un régimen estacionario. En este régimen x = A cos(ωt + ϕ ) , x = ωA cos(ωt + ϕ + π / 2) , x = ω 2 A cos(ωt + ϕ + π ) ˙ ˙˙ (6.32)donde A es la amplitud de las oscilaciones y ϕ es una fase constante.Consideremos primero el caso en que la disipación es despreciable ( c ≈ 0 ) y veamos si se puedesatisfacer la ecuación del movimiento. Sustituyendo (6.32) en (6.30) queda (ω 0 − ω 2 ) A cos(ω t + ϕ ) = f cos ω t 2 (6.33)Hay que distinguir aquí dos casos:• si ω 0 > ω (el término de la fuerza de restitución ω 0 x domina sobre el término de inercia 2 ω 2 x ) podemos satisfacer la (6.30) si ˙˙ f A= , ϕ =0 (6.34) ω0 2 −ω2• si ω 0 < ω (la inercia domina sobre la fuerza de restitución) podemos satisfacer la (6.30) si f A= , ϕ = ±π (6.35) ω2 − ω0 2 143 www.cienciamatematica.com
  • 156. 6. Movimientos oscilatoriosEn el último caso se suele elegir ϕ = −π . Tenemos pues oscilaciones estacionarias. La amplitudes constante porque en un período la fuerza excitadora realiza un trabajo neto nulo. En efectoFe = F cos ω t y v = ω A cos(ω t ± π / 2) (+ si ϕ = 0 y – si ϕ = −π ), luego T We = ∫ Fe v dt = 0 (6.36) 0puesto que Fe y v tienen una diferencia de fase de ±π / 2 . Esto se puede observar en la Fig. 6.6donde se aprecia que en el primer cuarto de periodo (I) el producto Fe v es negativo y en el se-gundo cuarto (II) es positivo y es fácil ver comparando intervalos de tiempo homólogos que( Fe v dt )I compensa exactamente a ( Fe v dt )II ; lo mismo ocurre con los otros cuartos de período. 1 I II III IV Fê f 0 p 2p wt -1 1 I II III IV vêwA 0 p 2p wt -1 Fig. 6.6. Oscilaciones forzadas. Si ω ≠ ω 0 el trabajo neto de la fuerza excitadora en un pe- ríodo es nuloVolviendo a las oscilaciones forzadas tenemos entonces que• si ω 0 > ω (resorte “duro”) los términos dominantes en la ecuación de Newton son la fuerza excitadora y la fuerza de restitución: ϕ = 0 y la masa oscila en fase con Fe con la amplitud f A= (6.37) ω0 −ω 2 2 en particular si ω = 0 (fuerza externa constante), f F A= = (6.38) ω0 k 2 luego A es igual a la elongación de equilibrio bajo la acción de la fuerza constante F. 144 www.cienciamatematica.com
  • 157. 6. Movimientos oscilatorios• si ω 0 < ω (resorte “blando”) los términos dominantes son Fe y el término de inercia, enton- ces ϕ = −π y la masa oscila en contrafase con la fuerza excitadora, con la amplitud f A= (6.39) ω2 − ω0 2ResonanciaEn la Fig. 6.7 se aprecian en líneas de trazos A(ω) y ϕ(ω). Se ve que cuando ω → ω 0 , A → ∞ .Esto no es físico y proviene de que ignoramos la fuerza de arrastre. Lo que pasa es que no escierto que la fuerza excitadora no realiza trabajo neto. En realidad debe entregar algo de trabajoal oscilador para compensar la disipación debida a Fa . ¿Cómo se consigue eso? Pues por mediode la fase ϕ, que debe ser diferente de 0 y –π, a fin que T ∫ Fev dt ≠0 (6.40) 0Este efecto no es importante para ω lejos de ω 0 . Pero cerca de ω 0 , donde A se hace grande, ladisipación (proporcional a v, y por la tanto a A) se hace también grande y la fase debe ser biendiferente de 0 y π. Por lo tanto la amplitud en resonancia no es infinita, sino que está limitadapor la disipación, esencialmente porque la velocidad no puede superar la velocidad límite v *.Estimemos el efecto de la disipación. En resonancia ( ω = ω 0 ) tenemos Fa = − C v = − CA ω 0 cos(ω 0t + ϕ + π / 2) (6.41)Cuando la amplitud es máxima se debe cumplir Fe + Fa = 0 , luego se debe tener F cos ω 0t = C A ω 0 cos(ω 0t + ϕ + π / 2) (6.42)Esto implica π f ϕ=− , A= (6.43) 2 cω0Luego Fe y v están en fase, de modo que la fuerza excitadora equilibra el arrastre y la masa os-cila con v = v *. La amplitud es finita y su valor está determinado por la relación entre f y c.Es fácil obtener la solución estacionaria exacta del problema. Para esto basta sustituir la (6.32)en la (6.30) y se obtiene entonces de inmediato f cω A= , tan ϕ = (6.44) (ω 0 − ω 2 )2 + c 2ω 2 2 ω2− ω0 2En la Fig. 6.7 se han dibujado con líneas llenas A(ω ) y ϕ(ω ). Se ve que para ω lejos de ω 0 lasolución aproximada (sin disipación) difiere muy poco de la solución exacta. Pero la diferenciaes importante cerca de la resonancia. Es fácil verificar que cuando ω = ω 0 recuperamos elresultado (6.43) que obtuvimos mediante un argumento físico. Sin embargo se debe notar que elmáximo de A no ocurre para ω = ω 0 sino para un valor ligeramente inferior dado por 145 www.cienciamatematica.com
  • 158. 6. Movimientos oscilatorios ω = ω m ≡ ω 0 1 − c 2 / 2ω 0 2 (6.45)como se obtiene de la (6.44). El máximo valor de A es un poco mayor que A(ω 0 ) ; su valor es f 1 f Am = A(ω m ) ≡ = (6.46) cω 0 1 − c 2 / 4ω 0 cω ′ 2donde ω ′ = (ω 0 − γ 2 )1 / 2 y γ es el coeficiente de amortiguamiento definido por la (6.19). Vemos 2entonces que la resonancia produce una eficiente disipación de la energía de las oscilaciones. AkêF 6 5 4 3 2 1 1 2 3 wêw0 j 1 2 3 wêw0 p - ÅÅÅÅ 2 -p Fig. 6.7 Amplitud y fase de las oscilaciones forzadas.Debido a la resonancia una fuerza excitadora pequeña puede provocar oscilaciones de gran am-plitud, que en determinados casos pueden llegar a romper el sistema oscilante. Esto es lo queocurre en los terremotos, cuando la resonancia entre las frecuencias propias de oscilación de losedificios y la frecuencia de las ondas sísmicas provoca el derrumbe de los mismos. Un caso muycitado también es el derrumbe del puente de Tacoma Narrows en los Estados Unidos, provocadopor el viento que excitó oscilaciones de gran amplitud del puente. Por supuesto cuando lasoscilaciones alcanzan una amplitud grande nuestro análisis no sirve pues se funda en aproximarV ( x ) mediante una parábola, algo que vale sólo para oscilaciones de pequeña amplitud como yacomentamos al comienzo del Capítulo. Si la amplitud de la oscilación es grande hay que tomarmás términos del desarrollo de V ( x ) y entonces la ecuación de movimiento deja de ser lineal.Más adelante trataremos algunos de los efectos de la no linealidad. 146 www.cienciamatematica.com
  • 159. 6. Movimientos oscilatoriosEn la solución estacionaria (6.32) no figura ninguna constante arbitraria. Esto se debe a que esuna solución particular de la ecuación de movimiento (6.30) de las oscilaciones forzadas, quereproducimos aquí: x + cx + ω 0 x = f cos ω t ˙˙ ˙ 2 (6.47)La (6.47) es una ecuación lineal inhomogénea y es sabido que su solución general se obtienecomo la suma de la solución general de la correspondiente ecuación homogénea x + cx + ω 0 x = 0 ˙˙ ˙ 2 (6.48)más una solución particular de la ecuación inhomogénea3. Podemos entonces escribir de inme-diato la solución general de la (6.47) ya que conocemos una solución particular, que es precisa-mente la (6.32) donde A y ϕ están dadas por la (6.44) y también conocemos la solución generalde la (6.48) en los tres casos que ya estudiamos, esto es oscilaciones amortiguadas, amortigua-miento fuerte y amortiguamiento crítico. De este modo podemos encontrar las soluciones de la(6.47) para cualquier tipo de condiciones iniciales y estudiar, por ejemplo, las características deltransitorio que tiene lugar antes que el sistema llegue al régimen estacionario (6.32), (6.44). Acontinuación vamos a estudiar algunos casos de interés.Excitación de la resonanciaVeamos qué pasa cuando un oscilador que está en reposo comienza a ser excitado en t = 0 poruna fuerza cuya frecuencia está en resonancia con la frecuencia de las oscilaciones libres. Antesde examinar la solución exacta del problema consideremos el comienzo del proceso. Despre-ciando la disipación porque la amplitud es pequeña al comienzo, la ecuación de movimiento es x + ω 0 x = f cos ω t , (t > 0) ˙˙ 2 (6.49)Supondremos entonces que la solución es del tipo x = a(t )cos(ωt + ϕ ) , a(t ) = αt + 0(t 2 ) ≈ αt (6.50)Entonces: x = α t cos(ω t + ϕ ) x = −ω α t sen(ωt + ϕ ) + α cos(ω t + ϕ ) ˙ (6.51) x = −ω 2α t cos(ω t + ϕ ) − 2ω α sen(ω t + ϕ ) ˙˙Sustituyendo en la (6.49) obtenemos ( −ω 2 + ω 0 )α t cos(ω t + ϕ ) + 2ω α cos(ω t + ϕ + π / 2) = f cos ω t 2 (6.52)Si ω = ω 0 esta ecuación de reduce a 2ω 0α cos(ω 0t + ϕ + π / 2) = f cos ω 0t (6.53)3 Esto vale solamente si las ecuaciones son lineales. 147 www.cienciamatematica.com
  • 160. 6. Movimientos oscilatoriosque se satisface si ϕ = −π / 2 , α = f / 2ω 0 (6.54)La amplitud de las oscilaciones crece pues linealmente con el tiempo: ft ft x= cos(ω 0t − π / 2) = sen(ω 0t ) (6.55) 2ω 0 2ω 0 AkêF 10 5 4p 8p 12p 16p 20p 24p 28p 32p wt -5 -10 AkêF 1.0 0.5 0.2 p 0.4 p wt Fig. 6.8. Excitación de la resonancia. Se muestran la solución exacta (6.58) y la solución aproximada (6.55). Las curvas han sido dibujadas para c = 0.1 y f = 1.Notar que la (6.55) es una solución exacta de la ecuación4 x + ω 0 x = f cos ω 0t , pero en el pre- ˙˙ 2sente contexto es una solución aproximada de la (6.47) y vale mientras se pueda despreciar ladisipación, esto es, siempre que ft / 2ω << A = f / cω (6.56)o sea para t << 2 / c = 1 / γ (6.57)4 Esta ecuación fue estudiada por Euler en 1739. 148 www.cienciamatematica.com
  • 161. 6. Movimientos oscilatoriosEs fácil verificar que la solución exacta de la (6.47) que satisface las condiciones inicialesx(0) = 0 , x (0) = 0 es ˙ f f −γt c x= sen(ω 0t ) − e sen(ω ′t ) , ω ′ = ω 0 − γ 2 2 , γ = (6.58) cω 0 cω ′ 2Luego el movimiento es una superposición de la solución estacionaria más una oscilación amor-tiguada5 del tipo (6.18). La oscilación amortiguada tiende a cero exponencialmente en el tiempota = 1/ γ . En la Fig. 6.8 se muestran la solución aproximada (6.55) y la solución exacta (6.58).Fuerza constante aplicada súbitamenteVeamos qué pasa si se aplica de repente una fuerza constante F a un oscilador en reposo. Estoocurre cuando se carga el platillo de una balanza de resorte, o cuando varía bruscamente la mag-nitud que estamos midiendo con un instrumento de aguja. Sea t = 0 el instante en que se aplicala fuerza. Queremos conocer el transitorio hasta que se alcanza el régimen estacionario quecomo sabemos es una elongación constante de magnitud A = F / k = f / ω 0 .2 Fêk 1.5 1.0 0.5 4p 8p 12p 16p 20p 24p wt F/k 1.0 0.5 0.2 p 0.4 p wt Fig. 6.9. Transitorio de un oscilador cuando se aplica una fuerza constante. Se puede ver que el régimen estacionario se alcanza más rápidamente si el amortiguamiento es crítico.5 Sólo tenemos que considerar soluciones oscilatorias amortiguadas de la ecuación homogénea ya que si elamortiguamiento es fuerte no puede haber resonancia. 149 www.cienciamatematica.com
  • 162. 6. Movimientos oscilatoriosAquí tenemos que considerar tres casos según si la solución de la ecuación homogénea es osci-latoria amortiguada, fuertemente amortiguada o con amortiguamiento crítico. En el primer casola solución exacta de la (6.47) que satisface las condiciones iniciales x(0) = 0 , x (0) = 0 es ˙ f x= [1 − ae −γt cos(ω ′t + ϕ )] , a = ω 0 / ω ′ , ϕ = − arctan(γ / ω ′) (6.59) ω0 2donde γ y ω ′ están definidos por la (6.58). Si el amortiguamiento es fuerte la solución exacta es f β +γ β −γ x= [1 − e −γt ( ae βt + be − βt )] , a = , b= (6.60) ω0 2 2β 2βcon β = (γ 2 − ω 0 )1 / 2 . Si el amortiguamiento es crítico ( c = 2ω 0 ) la solución exacta es 2 f x= [1 − e −γt (1 + γt )] , γ = ω 0 (6.61) ω0 2Las tres soluciones se aprecian en la Fig. 6.9, donde se ve que la solución con amortiguamientocrítico es la que tiende más rápidamente al régimen estacionario. Por eso las balanzas y los ins-trumentos de aguja trabajan en condiciones de amortiguamiento crítico.Fuerza impulsivaConsideremos un oscilador en reposo al que se le aplica una fuerza F muy grande durante unintervalo δt muy corto, como ocurre cuando una rueda de un automóvil impacta en un bache delpavimento. Vamos a suponer que F → ∞ y δt → 0 de modo tal que el impulso Fδt que recibela rueda tiene un valor finito. Sea t = 0 el instante en que se aplica la fuerza. Las condicionesiniciales del problema son entonces x(0) = 0 , x (0) = V , donde x es el desplazamiento de la ˙rueda desde su posición de equilibrio y V = Fδt / m la velocidad que adquiere de resultas delimpacto. Queremos conocer la respuesta de la suspensión de la rueda, que como sabemos con-siste de un resorte y un amortiguador. Si el sistema es débilmente amortiguado la soluciónexacta de la (6.47) que satisface las condiciones iniciales es sen(ω ′t ) x = e −γt V (6.62) ω′donde γ y ω ′ están definidos por la (6.58). Si el amortiguamiento es fuerte la solución exacta es senh( βt ) x = e −γt V (6.63) βdonde β = (γ 2 − ω 0 )1 / 2 . Finalmente la solución exacta para el caso de amortiguamiento crítico 2( c = 2ω 0 ) es x = e −γt Vt , γ = ω 0 (6.64)Las tres soluciones es muestran en la Fig. 6.10, donde se ve que la solución con amortigua-miento crítico es la que se anula más rápidamente. Por ese motivo la suspensión de un automóviltrabaja en condiciones de amortiguamiento crítico. 150 www.cienciamatematica.com
  • 163. 6. Movimientos oscilatorios AêA0 2ê3 1ê3 4p 8p 12p 16p wt -1ê3 -2ê3 AêA0 1ê3 1ê6 0.2 p 0.4 p wt Fig. 6.10. El transitorio de un oscilador cuando se aplica una fuerza impulsiva en t = 0. Se puede apreciar que la perturbación se anula más rápidamente en condiciones de amorti- guamiento crítico.Oscilaciones anarmónicasCerca de un punto de equilibrio (que supondremos es x = 0 ) del sistema la energía potencialV ( x ) se puede aproximar por medio de la energía potencial (6.2) de un oscilador armónico.Luego si la amplitud es pequeña las oscilaciones son armónicas. Pero para amplitudes mayoreshay que tomar en cuenta los términos siguientes del desarrollo en serie de la fuerza: dV F= = − kx + qx 2 + K (6.65) dxVeamos las modificaciones debidas a los primeros términos. Conservando solamente la primeracorrección qx 2 , la ecuación de Newton es x = −ω 2 x + α x 2 ˙˙ (6.66)Aquí ω 2 = k / m y α = q / m . Esta es una ecuación no lineal y su tratamiento no es tan sencillocomo el de las ecuaciones lineales que consideramos hasta ahora. Sin embargo si el término nolineal α x 2 es pequeño se puede emplear una técnica simple y muy útil llamada método de pe-queñas perturbaciones. Con este fin escribimos la (6.66) en la forma 151 www.cienciamatematica.com
  • 164. 6. Movimientos oscilatorios x + ω 2 x = α x2 ˙˙ (6.67)Vamos a suponer que α x 2 es una pequeña corrección, de modo que x + ω 2 x ≈ 0 . La idea básica ˙˙del método de pequeñas perturbaciones es aprovechar esta circunstancia para escribir x = x0 + x1 (6.68)donde x0 = a cos(ω t + ϕ ) es solución de x + ω 2 x = 0 y x1 es una pequeña corrección. Luego ˙˙ x = − a ω sen(ω t + ϕ ) + x1 , x = − a ω 2 cos(ω t + ϕ ) + x1 ˙ ˙ ˙˙ ˙˙ (6.69)Sustituyendo en la ecuación de Newton y despreciando cantidades de orden superior al primero(como α x1 y α x1 ) resulta 2 x1 + ω 2 x1 = α x0 = α a 2 cos2 ω t ˙˙ 2 (6.70)Usando la fórmula trigonométrica cos2 z = 1 (1 + cos 2 z ) 2 (6.71)la (6.70) se escribe como α a2 x1 + ω 2 x1 = ˙˙ (1 + cos 2ωt ) (6.72) 2Esta ecuación describe una oscilación forzada por una fuerza constante que proviene del primertérmino del miembro derecho, más una fuerza que oscila con la frecuencia 2ω . Podemos enton-ces aprovechar los resultados anteriores y escribir el resultado: α a2 x1 = a1 cos(ωt + ϕ1 ) + + A1 cos 2ω t (6.73) 2ω 2El primer término del miembro derecho describe las oscilaciones libres de x1 y lo podemos su-poner nulo pues sólo cambia la amplitud de x0 . El segundo modifica la posición media, que nocoincide con la posición de equilibrio x = 0 . El tercero describe la oscilación forzada de fre-cuencia 2ω , y usando la (6.39) tenemos que f α a2 A1 = = (6.74) (2ω )2 ω 2 6ω 2La solución es entonces α a2 α a2 x = x0 + x1 = a cos ω t + + cos 2ω t (6.75) 2ω 2 6ω 2se trata pues de oscilaciones, pero no armónicas. La Fig. 6.11 muestra la solución (6.75) y conlíneas de trazos los tres términos de la misma. El efecto del término qx 2 en la fuerza es introdu-cir una anarmonicidad en la oscilación, que consiste en la aparición, además de la frecuenciafundamental ω, de la segunda armónica 2ω. Como veremos, los términos de orden más alto en la 152 www.cienciamatematica.com
  • 165. 6. Movimientos oscilatoriosfuerza (proporcionales a x3, x4, ...) dan lugar a la aparición de la tercera armónica (3ω), la cuarta(4ω), etc., así como otros efectos. VHxL 1 2 ÅÅÅÅÅ kx 2 E 1 3 ÅÅÅÅÅ qx 3 -2 -1 1 xêa 2 xêa 1 p 2p 3p wt 4p -1 Fig. 6.11. Oscilaciones anarmónicas. Con líneas de trazos finos se muestran los tres térmi- nos de la (6.75).Oscilaciones de un pénduloUna masa m suspendida de un hilo inextensible de longitud l y masa despreciable puede oscilaralrededor de la posición de equilibrio (Fig. 6.12). La trayectoria de la masa es un arco de circun-ferencia de radio l. Si s es el arco medido desde la posición de equilibrio tendremos que s = lα s = lα ˙ ˙ ˙˙ = lα s ˙˙ (6.76)La fuerza de restitución es la componente tangencial a la trayectoria del peso, esto es Ft = − m g sen α (6.77)La energía potencial es V = m g h = m g l(1 − cos α ) (6.78) 153 www.cienciamatematica.com
  • 166. 6. Movimientos oscilatoriosLa ecuación del movimiento es entonces ms = Ft , esto es ˙˙ g α = − sen α ˙˙ (6.79) lEn esta ecuación no aparece la masa, luego el periodo de las oscilaciones del péndulo no de-pende de su masa. La ecuación (6.79) no es lineal y no se puede resolver en términos de funcio-nes elementales. Dejaremos para más adelante su estudio detallado y trataremos ahora las oscila-ciones de pequeña amplitud para las cuales es fácil obtener soluciones aproximadas. a l g m Fig. 6.12. Un péndulo consiste de una masa m suspendida de un hilo inextensible de lon- gitud l y masa despreciable, que puede oscilar alrededor de la posición de equilibrio.Oscilaciones de amplitud infinitesimalRecordando que sen α ≅ α − 3! α 3 + K 1 (6.80)vemos que si α << 1 se puede poner sen x ≈ α , luego para oscilaciones de pequeña amplitud g α=− α ˙˙ (6.81) lEsta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia ω = g / l y período T = 2π l / g .Por lo tanto el período no depende de la amplitud (siempre que ésta sea pequeña).Oscilaciones de amplitud pequeña pero no infinitesimalSi α es pequeño pero no despreciable se puede intentar una primera corrección al resultado ante-rior tomando en consideración el término siguiente de la serie (6.80). Pondremos entonces sen α = α − 3! α 3 = α − 1 α 3 1 6 (6.82)con lo cual la ecuación de movimiento es 154 www.cienciamatematica.com
  • 167. 6. Movimientos oscilatorios ˙˙ ( α = −ω 2 α − 1 α 3 6 ) (6.83)Trataremos de resolver la (6.83) usando el método perturbativo. Para eso escribimos la ecuaciónde movimiento en la forma α + ω 2α = aα 3 , a = ω 2 / 6 ˙˙ (6.84)y consideraremos aα 3 como una pequeña perturbación. Suponemos entonces que α = α 0 cos ω t + α1 (6.85)donde α 0 cos(ωt ) es solución de la (6.79) y α1 es una pequeña corrección. Entonces α = −ω α 0 sen ω t + α1 , α = −ω 2α 0 cos ω t + α1 ˙ ˙ ˙˙ ˙˙ (6.86)y sustituyendo en la (6.84) obtenemos α1 − ω 2α1 = aα 0 cos3 ω t ˙˙ 3 (6.87)donde hemos omitido términos de orden superior en las cantidades pequeñas. Ahora bien cos 3 x = 3 cos x + 1 cos 3 x 4 4 (6.88)de donde resulta que la ecuación para α1 es α1 − ω 2α1 = 4 aα 0 cos ωt + 1 aα 0 cos 3ωt ˙˙ 3 3 4 3 (6.89)Surge aquí un problema ya que en la (6.89) figura el término (3 / 4)aα 0 cos ω t que está en reso- 3nancia con la frecuencia ω. Como un sistema excitado en resonancia oscila con una amplitud 6grande, la (6.89) contradice nuestra hipótesis de que la perturbación α1 es pequeña.El método perturbativo que hemos planteado hasta aquí falla porque la aproximación de ordenmás bajo (α 0 cos ω t ) tiene un defecto y la forma de salir del paso es mejorarla. La pista paralograrlo proviene del experimento, que muestra que el período (y por lo tanto la frecuencia) delpéndulo depende de la amplitud de las oscilaciones. Luego no basta con sumar la pequeña co-rrección α1, también hay que modificar (perturbar) la frecuencia. Pondremos entonces α = α 0 cos ω ′t + α1 , ω ′ = ω + δω (6.90)donde δω es una pequeña corrección que vamos a determinar de modo que no aparezca el tér-mino secular en la ecuación para α1 . De la (6.90) resulta α = −ω ′α 0 sen ω ′t + α1 , α = −ω ′ 2α 0 cos ω ′t + α1 ˙ ˙ ˙˙ ˙˙ (6.91)Sustituyendo (6.90) y (6.91) en la (6.84) y puesto que ω ′ 2 ≈ ω 2 + 2ω δω , se obtiene −2ωδωα 0 cos ω ′t + α1 + ω 2α1 = aα 0 ( 4 cos ω ′t + 1 cos 3ω ′t ) ˙˙ 3 3 4 (6.92)6 Términos de este tipo de denominan seculares. 155 www.cienciamatematica.com
  • 168. 6. Movimientos oscilatoriosPedimos ahora que el término que contiene δω cancele el término secular del miembro derecho.Para esto es preciso que α0 2 δω = −ω (6.93) 16Con esta elección de δω el término de la perturbación es solución de la ecuación ω ′ 2α 0 3 α1 + ω 2α1 = ˙˙ cos 3ω ′t (6.94) 24que describe un oscilador forzado en 3a armónica y no contiene términos seculares, como debeser. La amplitud de la oscilación forzada es ω 2α 0 / 24 3 α 3 A1 = = 1 0 (6.95) (3ω )2 − ω 2 3  4 Luego el término correctivo es 3 α1 = A1 cos 3ω ′t = 1  α0  cos 3ω ′t (6.96) 3  4El movimiento completo es, en esta aproximación (Fig. 6.13),  α 3 α 3 α (t ) = α 0 − 1  0   cos ω ′t + 1  0  cos 3ω ′t 3 (6.97)  4  3 4donde el segundo término en el corchete se agregó para renormalizar la amplitud de la oscilaciónde frecuencia ω ′ , de modo que la elongación máxima sea α 0 . La frecuencia de la oscilación es  α 2 ω ′ = ω + δω = ω 1 −  0   (6.98)  4  y el período T ′ = 2π / ω ′ es  α 2 l   α0  2  T ′ = T 1 +  0   = 2π 1 +  (6.99)  4 g   4   de modo que el período depende de la amplitud.Es instructivo calcular de nuevo la corrección del período a partir de la ecuación de la energía E = T + V = 1 ml2α 2 + m gl(1 − cos α ) = m gl(1 − cos α 0 ) = cte. 2 ˙ (6.100)donde α 0 es la amplitud de la oscilación. De la (6.100) podemos despejar dα 2g = (cos α − cos α 0 ) (6.101) dt l 156 www.cienciamatematica.com
  • 169. 6. Movimientos oscilatorioso sea l dα dt = (6.102) 2g cos α − cos α 0 1 ÅÅÅÅÅ mgl a2 VHaL 2 a2 H1-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a4 L 1 1 E ÅÅÅÅÅ mgl 2 12 -p a0 a p 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mgl a4 24 a a0 p 2p 3p 4p wt -a0 Fig. 6.13. Oscilaciones del péndulo de amplitud pequeña pero finita. Con líneas de trazos finos se muestran los dos términos de la (6.97).Integrando la (6.102) en un cuarto de período obtenemos α0 l ⌠ dα T=4 T (α 0 ) , T (α 0 ) =  (6.103) 2g ⌡ cos α − cos α 0 0La función T (α 0 ) se puede expresar en términos de la integral elíptica de primera especie, unafunción especial cuyas propiedades se encuentran en los tratados. Sin embargo si α 0 es pequeñose puede calcular fácilmente una expresión aproximada de T (α 0 ) , válida a menos de términosdel orden de α 0 y superiores. Para eso partimos de la serie del coseno 4 φ2 φ4 cos φ = 1 − + +K (6.104) 2! 4! 157 www.cienciamatematica.com
  • 170. 6. Movimientos oscilatoriosy escribimos el radicando de la (6.103) hasta el orden 4 en α y α 0 : α0 − α 2 α0 − α 4 α0 2 4 2  α2  cos α − cos α 0 ≅ − = (1 − ξ 2 )1 − 0 (1 + ξ 2 ) (6.105) 2 24 2  12 donde en el último paso hemos introducido la variable ξ = α / α 0 . Por lo tanto, recordando que 1 − x ≈ 1 − x / 2 si x << 1 y que (1 − z )−1 ≈ 1 + z para z << 1, resulta 1 ⌠ dξ T (α 0 ) ≈ 2  ≅ T 0 + α 0T 2 2 (6.106) ⌡ 1−ξ 2 1 − α 2 (1 + ξ 2 ) / 12 0 0Aquí 1 ⌠ dξ π T0 = 2 = ⌡ 1 − ξ2 2 0 (6.107) 1 1 2⌠ dξ π 2 ⌠ ξ 2 dξ T2 = (1 + ξ 2 ) = +  24  ⌡ 1 − ξ 2 24 2 24 ⌡ 1 − ξ 2 0 0Si α 0 es muy pequeño α 0T 2 es despreciable y queda 2 2 l l T≅4 T 0 = 2π (6.108) 2g gque es el resultado que obtuvimos para las oscilaciones de amplitud infinitesimal. Si α 0 es pe-queño pero no infinitesimal hay que calcular la última integral que queda en T 2 . Es fácil ver que 1 ⌠ ξ 2 dξ π  = (6.109) ⌡ 1 − ξ2 4 0Luego π 2 T2 = (6.110) 32y resulta finalmente l   α0  2  T = 2π 1 +  (6.111) g   4 que reproduce el resultado anterior (6.99). 158 www.cienciamatematica.com
  • 171. 6. Movimientos oscilatoriosModos lineales normales de osciladores acopladosMuchos sistemas físicos pueden llevar a cabo movimientos oscilatorios. Debido a sus interac-ciones, un sistema que oscila puede influenciar otros sistemas e inducir oscilaciones en los mis-mos. Se dice entonces que los sistemas están acoplados. Por ejemplo si dos guitarras están afi-nadas y se pulsa una cuerda de una de ellas, la cuerda correspondiente de la otra guitarra se ponetambién a vibrar. Esto sucede porque las oscilaciones de frecuencia ω de la primera cuerdaemiten ondas sonoras que son oscilaciones de la misma frecuencia de la presión del aire, lascuales al llegar a la segunda cuerda ejercen fuerzas oscilantes sobre la misma que la hacen vibrara su vez. El acoplamiento entre osciladores ocurre a menudo y por lo tanto merece un estudio. Elfenómeno no se presenta solamente entre los osciladores mecánicos como resortes, péndulos,etc., sino que aparece también en acústica (como en el ejemplo anterior), en los circuitos eléctri-cos y en muchas otras situaciones. Los mecanismos que dan lugar al acoplamiento son por lotanto de diferente especie según el caso. Sin embargo los aspectos esenciales del fenómeno sonlos mismos y los vamos a poner en evidencia considerando un caso particular que servirá demodelo para todos. Por el momento trataremos el caso más simple que es el de dos osciladoreslineales acoplados linealmente, dejando para más adelante el estudio de oscilaciones no linealesy acoplamientos no lineales que es mucho más complicado.Sea el sistema de la Fig. 6.14, que consiste de dos masas m1 y m2 movidas por sendos resortescuyas constantes son k1 y k2 , respectivamente. Estos son nuestros osciladores, cuyas oscilacio-nes libres tienen las frecuencias ω1 = ( k1 / m1 )1 / 2 y ω 2 = ( k2 / m2 )1 / 2 . El acoplamiento estáprovisto por el tercer resorte, cuya constante es k. Por el momento no vamos a hacer ningunahipótesis acerca de las magnitudes de los parámetros m1 , m2 , k1, k2 y k. k1 m1 k m2 k2 x1 x2 Fig. 6.14. Dos osciladores acoplados: arriba, en la posición de equilibrio; abajo, desplaza- dos.Supongamos que el sistema está en reposo y en t = 0 la masa m1 se pone en movimiento porquele dimos un golpe. Debido al resorte 1, m1 tiende a oscilar, pero no con la frecuencia ω1 pues almoverse cambia la longitud del resorte de acoplamiento, el cual entonces ejerce una fuerza sobre m1 y una reacción igual y contraria sobre m2 . De resultas de esto m2 se pone también en movi-miento, lo que afecta el movimiento de m1 debido al resorte de acoplamiento. Los movimientosde las dos masas se influencian mutuamente y para averiguar lo que pasa es preciso resolversimultáneamente las ecuaciones del movimiento de ambas.Si x1 y x2 son los desplazamientos de m1 y m2 desde sus posiciones de equilibrio, las ecuacio-nes del movimiento de las dos masas son m1 x1 = − k1 x1 + k ( x2 − x1 ) ˙˙ (6.112) m2 x2 = − k2 x2 − k ( x2 − x1 ) ˙˙ 159 www.cienciamatematica.com
  • 172. 6. Movimientos oscilatoriosTenemos entonces que resolver dos ecuaciones acopladas para los dos grados de libertad delsistema. Para hacer esto conviene escribir las (6.112) en la forma matricial equivalente  d2  m1 2 + k1 + k −k  x1   dt      =0 (6.113)  d2     −k m2 2 + k2 + k   x2   dt Esto implica imaginar que x1 y x2 son las dos componentes de un vector en el espacio de confi-guraciones del sistema, que tiene dos dimensiones puesto que tenemos dos grados de libertad.En este espacio vamos a definir el producto escalar de dos vectores  y1   z1  Y ≡  , Z≡  (6.114)  y2   z2 como  m1 0   z1  Y ⋅ Z ≡ ( y1, y2 )    = y1z1m1 + y2 z2 m2 (6.115)  0 m2   z2 Las (6.112) (o las (6.113)) muestran que el movimiento de cada una de las masas es unaoscilación forzada por el movimiento de la otra. Esto hace pensar que las oscilaciones tendránuna frecuencia ω que no es ni ω1 ni ω 2 y que no conocemos sino que hay que determinar apartir las ecuaciones del movimiento. Luego vamos a suponer que la solución tiene la forma  x1   A cos ωt    =  , A, B = cte. (6.116)  x2   B cos ωt Sustituyendo la (6.116) en (6.113) y usando que k1 = m1ω1 y k2 = m2ω 2 obtenemos 2 2  m1 (ω1 − ω 2 ) + k 2 −k   A     =0 (6.117)  −k m2 (ω 2 − ω 2 ) + k  2  BEste es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas para A, B . La condición necesaria ysuficiente para que tenga soluciones no triviales es que sea nulo el determinante de la matriz delos coeficientes. Esto nos da [ m1 (ω1 − ω 2 ) + k ][m2 (ω 2 − ω 2 ) + k ] − k 2 = 0 2 2 (6.118)La (6.118) es una ecuación bicuadrática que determina ω. Para escribirla mejor introducimos lamasa total M = m1 + m2 , la cantidad K = k1 + k2 y los parámetros k m1m2 K ωµ = 2 , µ= , ωM = 2 (6.119) µ M MAquí µ es la masa reducida del sistema m1 , m2 . Usando las (6.119) la (6.118) se escribe como 160 www.cienciamatematica.com
  • 173. 6. Movimientos oscilatorios ω 4 − ω 2 (ω1 + ω 2 + ω µ ) + ω1 ω 2 + ω µω M = 0 2 2 2 2 2 2 2 (6.120)Llamando p = (ω1 + ω 2 + ω µ ) / 2 y q = ω1 ω 2 + ω µω M , los dos pares de raíces de la (6.120) son 2 2 2 2 2 2 2 ω+ = p + d , ω− = p − d 2 2 (6.121)donde d 2 = p2 − q .Es fácil verificar que d 2 ≥ 0 , de modo que las cuatro raíces ±ω + y ±ω − son siempre reales.Esto es consecuencia de que la matriz (6.117) es simétrica, hecho que a su vez deriva de que eltérmino de acoplamiento k ( x2 − x1 ) aparece con signo opuesto en las ecuaciones de movimientode x1 y x2 de resultas de la Tercera Ley. Considerando solamente las frecuencias positivas te-nemos entonces dos posibles modos de oscilación de la forma (6.116), a saber:  A+ cos ω + t   A− cos ω − t  X+ =   , X− =   (6.122)  B+ cos ω + t   B− cos ω − t La relación entre A+ y B+ se obtiene de la primera o de la segunda de las (6.117) como kB+ = [k + m1 (ω1 − ω + )] A+ 2 2 ó kA+ = [k + m2 (ω 2 − ω + )]B+ 2 2 (6.123)Del mismo modo se obtiene la relación entre A− y B− : kB− = [k + m1 (ω1 − ω − )] A− 2 2 ó kA− = [k + m2 (ω 2 − ω − )]B− 2 2 (6.124)Los modos X+ y X− se llaman modos normales o modos propios del sistema y las frecuenciasω + y ω − son las frecuencias propias o autofrecuencias. Cada modo normal se puede pensarcomo un oscilador independiente en el espacio de configuraciones del sistema, porque sumovimiento está desacoplado del otro modo normal. Por eso cada modo normal conserva suenergía mecánica. Por otra parte tanto X+ como X− describen movimientos que involucransimultáneamente a m1 y m2 .Toda solución X de la (6.113) es una combinación lineal de X+ y X− , esto es X = a+ X+ + a− X− , a+ , a− = cte. (6.125)De esta forma hemos encontrado la solución general del problema (6.113). Las amplitudes a+ ,a− de la (6.125) dependen de las condiciones iniciales de cada caso. Es interesante notar que losmodos X+ y X− son linealmente independientes (por eso cualquier vector X del espacio de con-figuraciones se puede expresar en la forma (6.125)) y también (con la definición (6.115) del pro-ducto escalar) son ortogonales. En efecto, no es difícil verificar que  m1 0   A−  X+ ⋅ X− ≡ ( A+ , B+ )   = 0 (6.126)  0 m2   B− Pasemos a considerar ahora algunos casos particulares. 161 www.cienciamatematica.com
  • 174. 6. Movimientos oscilatoriosAcoplamiento débilSi k << k1, k2 la (6.120) se puede escribir como (ω 2 − ω1 )(ω 2 − ω 2 ) = ω µ (ω 2 − ω M ) 2 2 2 2 (6.127)donde el miembro derecho es una cantidad pequeña (ya que ω µ ~ k). Si los osciladores están 2completamente desacoplados ( k = 0 ) obtenemos un resultado trivial: las oscilaciones de m1 ylas de m2 son independientes y coinciden con los modos propios. Supongamos ahora que k espequeño pero no nulo. Aquí tenemos que tratar por separado los casos ω1 = ω 2 y ω1 ≠ ω 2 .Dejamos el primer caso para más adelante. Si ω1 ≠ ω 2 podemos suponer sin pérdida degeneralidad que ω1 < ω 2 ; entonces tendremos que ω − = ω1 + δ −1) + δ −2 ) + … , ω + = ω 2 + δ +1) + δ +2 ) + … 2 2 ( ( 2 2 ( ( (6.128)donde δ ±1) , δ ±2 ) , … son cantidades pequeñas del orden de k, k 2 , …, respectivamente (hay que ( (calcular las frecuencias de los modos normales hasta el orden k 2 para obtener A± y B± al ordenk). Sustituyendo (6.128) en (6.127) e igualando términos del mismo orden en k obtenemos ω1 − ω M 2 2 k ω µ − δ −1) 2 ( k2 1 δ −1) = ω µ ( 2 = , δ −2 ) = δ −1) 2 ( ( = (6.129) ω12 −ω2 2 m1 ω1 − ω 2 m1m2 ω1 2 2 −ω2 2y (1) (1) ω µ − δ + 2 ω2 − ω M 2 2 k k2 1 δ +1) ( = ωµ 2 = , δ +2 ) ( = δ+ = (6.130) ω2 2 −ω2 1 m2 ω 2 − ω1 2 2 m1m2 ω 2 2 −ω2 1y por consiguiente hasta el orden de k tenemos que las frecuencias del los modos propios son  k   k  ω − = ω1  1 +  y ω + = ω 2 1 +  (6.131)  2 m1   2 m2 Introduciendo ahora las (6.128), (6.129) y (6.130) en las (6.123) y (6.124) obtenemos k 1 k 1 B− = A 2 −ω2 − y A+ = − B 2 −ω2 + (6.132) m2 ω 2 1 m1 ω 2 1Luego los modos normales (normalizados a menos de términos del orden de k 2 son de la forma  1  − k 1   X− = C− cos ω − t k  , X+ = C+ cos ω + t  m1 ω 2 2 −ω2  (6.133)  1  1    2    m2 ω 2 − ω1  2 1donde C− y C+ son constantes. Los resultados (6.131), (6.133) son razonables. El modo X− esesencialmente una oscilación de m1 pues la amplitud de la oscilación de m2 es muy pequeña(del orden de k) o sea que m2 está casi quieta. La frecuencia ω − es mayor que ω1 ya que m1 semueve bajo la acción de los resortes k1 y k, que en la práctica equivalen (para este modo) a unúnico resorte de constante k1 + k . En cuanto al movimiento de m2 , comparando la expresión de 162 www.cienciamatematica.com
  • 175. 6. Movimientos oscilatorios B− con la fórmula (6.38) de la amplitud de una oscilación forzada vemos que es la que resulta sila fuerza excitadora es F(t ) = A− k cos(ω1t ) , que es justamente la fuerza que el resorte de aco-plamiento ejerce sobre m2 debido al estiramiento que sufre debido al movimiento de m1 ; elsigno + se debe a que como ω _ < ω 2 la masa m2 oscila en fase con F(t ) . De manera análoga sepuede interpretar el modo X+ ; en este caso los roles de las masas y sus respectivos resortes seinvierten: el movimiento es esencialmente una oscilación de m2 bajo la acción de un único re-sorte de constante k2 + k ya que la amplitud de la oscilación de m1 es del orden de k; el movi-miento de m1 es una oscilación forzada por la fuerza F ′(t ) = B+ k cos(ω 2t ) que el resorte de aco-plamiento ejerce sobre m1 debido al estiramiento que sufre por el movimiento de m2 ; el signo –se debe a que la masa m1 oscila en contrafase respecto de F ′(t ) porque ω + > ω1.Acoplamiento fuerteAhora k es del mismo orden que k1 y k2 . Para evitar fórmulas engorrosas supongamos quek = k1 = k2 de modo que ω µ = ω1 + ω 2 , ω µ ω M = ω1 ω 2 2 2 2 2 2 2 2 (6.134)con lo cual la (6.120) se reduce a ω 4 − 2ω 2 (ω1 + ω 2 ) + 3ω1 ω 2 = 0 2 2 2 2 (6.135)de donde obtenemos las frecuencias de los modos propios como ω − = ω1 + ω 2 − (ω1 + ω 2 )2 − 3ω1 ω 2 2 2 2 2 2 2 2 , ω + = ω1 + ω 2 + (ω1 + ω 2 )2 − 3ω1 ω 2 2 2 2 2 2 2 2 (6.136)Conviene introducir la frecuencia reducida ω r = ( k / M )1 / 2 ( M = m1 + m2 ); además sin perdergeneralidad podemos suponer que m1 ≤ m2 y escribir m1 = Mz , m2 = M (1 − z ) con 0 < z ≤ 1 / 2 .Entonces ω1 = ω r / z , ω 2 = ω r /(1 − z ) , y las (6.136) se escriben como 2 2 2 2 ωr2 ω± = 2 (1 ± q ) , q = 1 − 3z + 3z 2 (6.137) z(1 − z )donde q es una función decreciente de z que varía de 1 para z = 0 a 1/2 para z = 1 / 2 ; paraz << 1, q ≅ 1 − 3z / 2 . En la Fig. 6.15 se muestran ω + y ω − . En particular se tiene ω − ( z = 0) = 2 ω r , ω − ( z = 1 / 2) = 2ω r = ω1 ( z = 1 / 2) = ω 2 ( z = 1 / 2) 2 3 2 2 2 2 2 (6.138) ω + ( z = 0) = ∞ 2 , ω + ( z = 1 / 2) = 6ω r = 3ω1 ( z = 1 / 2) = 3ω 2 ( z = 1 / 2) 2 2 2 2Introduciendo las (6.136) en las (6.123) y (6.124) resulta  ω2  1 + q − 2z B− =  2 − −  A− = A−  ω1  2 1− z (6.139)  ω2  1 + q − 2z A+ =  2 − +  B+ = − B+  ω2  2 z 163 www.cienciamatematica.com
  • 176. 6. Movimientos oscilatoriosLa cantidad 1 + q − 2 z es siempre positiva y los modos normales son de la forma  1− z  1 + q − 2 z X− = C− cos ω − t   , X+ = C+ cos ω + t   (6.140) 1 + q − 2 z  −z donde C− y C+ son constantes. 6 5 4 w+ êwr 3 w1 êwr 2 w- êwr 1 w2 êwr 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 z Fig. 6.15. Frecuencias de los modos propios para acoplamiento fuerte. z = 1/2 z→0 X– X– X+ X+ Fig. 6.16. Modos propios de dos osciladores con acoplamiento fuerte.En el modo de baja frecuencia el movimiento de las masas tiene el mismo sentido, mientras quetiene sentido opuesto en el modo de alta frecuencia X+ (Fig. 6.16). Cuando z = 1 / 2 losdesplazamientos de m1 y m2 son iguales para el modo X− ; el resorte de acoplamiento notrabaja y por eso ω − = ω1 = ω 2 . En cambio en el modo X+ los desplazamientos son igualespero opuestos y el resorte de acoplamiento sufre un estiramiento (o acortamiento) doble, por esoω + = 3ω1 = 3ω 2 . Estas características se pueden obtener directamente de las ecuaciones de 164 www.cienciamatematica.com
  • 177. 6. Movimientos oscilatoriosmovimiento (6.112). A medida que z disminuye el efecto de la diferencia entre las masas sobrelos modos X− y X+ es distinto. Para X− el desplazamiento de la masa menor m1 sigue teniendoel mismo sentido pero es más pequeño que el de m2 y en el límite m1 → 0 es exactamente lamitad (como se ve de la ecuación de movimiento). Para X+ , por el contrario, el desplazamientode m2 se hace menor al de m1 y se anula para m1 → 0 ; en ese límite el único movimiento es elde m1 y ω + , ω1 → ∞ . Esto es razonable si se piensa que m2 está siendo forzada a oscilar con lafrecuencia ω + que es mucho mayor que su frecuencia natural ω 2 ; la fuerza que la hace oscilares F(t ) = 2 k cos ω + t y de acuerdo con la (6.39) la amplitud de esas oscilaciones es 2k 1 2k 1 ≅ =z (6.141) m2 ω + 2 −ω2 2 m2 ω + 2y están en contrafase con F(t ) porque ω + > ω 2 .Acoplamiento de osciladores de igual frecuenciaPor último es interesante examinar el efecto del acoplamiento sobre dos osciladores de igualfrecuencia. No haremos ninguna hipótesis sobre la magnitud de la constante de acoplamiento k,ni sobre los valores de m1 , m2 , k1 y k2 , salvo suponer que ω 2 = ω1 ≡ ω 0 . En este caso conm1 = Mz , m2 = M (1 − z ) tenemos que m2 k2 1 − z k 1 = = , ω M = ω0 , ωµ = ω0 2 2 (6.142) m1 k1 z K z(1 − z )donde K = k1 + k2 = 2 k0 . La (6.120) se reduce entonces a (ω 2 − ω 0 )(ω 2 − ω 0 − ω µ ) = 0 2 2 2 (6.143) 6 5 k = k0 4 3 w+ êw0 2 w- êw0 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 z Fig. 6.17. Frecuencias de los modos propios de un sistema de dos osciladores acoplados de igual frecuencia libre ω 0 .Por lo tanto las frecuencias propias del sistema acoplado son 165 www.cienciamatematica.com
  • 178. 6. Movimientos oscilatorios k 1 ω− = ω0 , ω+ = ω0 + ωµ = ω0 1 + 2 2 (6.144) 2 k0 z(1 − z )Vemos que ω + ( z → 0) → ∞ y ω + ( z = 1 / 2) = ω 0 (1 + 2 k / k0 )1 / 2 ( k2 = k1 = k0 cuando z = 1 / 2 ).Por lo tanto ω + es siempre apreciablemente mayor que ω 0 , salvo que k << k0 (Fig. 6.17).Introduciendo las (6.144) en las (6.123) y (6.124) resulta z B− = A− , B+ = − A+ (6.145) 1− zPor lo tanto los modos normales son  1  1− z  X− = C− cos ω − t   , X+ = C+ cos ω + t   (6.146)  1  −z con C− , C+ = cte. Notar que la forma de los modos normales no depende de k y que X− tampocodepende de la relación de masas. Se puede ver que el movimiento de m1 y m2 en el modo X− vasiempre en el mismo sentido y los desplazamientos son iguales ( x2 = x1), luego el resorte deacoplamiento no trabaja. En cambio en el modo X+ el movimiento de las masas va en sentidoopuesto y la magnitud de los desplazamientos depende de z (de manera análoga a la que semuestra en la Fig. 6.16 para el acoplamiento fuerte). Los desplazamientos de m1 y m2 soniguales y opuestos si z = 1 / 2 pero a medida que z disminuye el desplazamiento de m2 se hacemenor al de m1 y se anula en el límite m1 → 0 ; en ese límite el único movimiento es el de m1 .Como ya vimos, toda combinación lineal de X− y X+ de la forma (6.125) es solución de lasecuaciones del movimiento. Por lo tanto la solución general para el movimiento de dos oscilado-res acoplados de igual frecuencia es  a− cos(ω − t + ϕ − ) + a+ (1 − z )cos(ω + t + ϕ + ) X = a− X− + a+ X+ =   (6.147)  a− cos(ω − t + ϕ − ) − a+ z cos(ω + t + ϕ + ) El movimiento de las masas es entonces x1 = a− cos(ω − t + ϕ − ) + a+ (1 − z )cos(ω + t + ϕ + ) (6.148) x2 = a− cos(ω − t + ϕ − ) − a+ z cos(ω + t + ϕ + )Es interesante examinar las soluciones que se obtienen a partir de condiciones iniciales particula-res. Consideremos entonces el caso que en t = 0 la masa m2 está en reposo y la masa m1 se hadesplazado a una distancia A desde el equilibrio y su velocidad es nula, esto es x1 (0) = A , x1 (0) = 0 ˙ (6.149) x2 ( 0 ) = 0 , x2 ( 0 ) = 0 ˙Introduciendo estas condiciones iniciales en (6.148) se obtiene a− = zA , ϕ − = 0 (6.150) a+ = A , ϕ+ = 0 166 www.cienciamatematica.com
  • 179. 6. Movimientos oscilatoriosde modo que la solución es x1 = zA cos ω − t + A(1 − z )cos ω + t (6.151) x2 = zA(cos ω − t − cos ω + t )Recordando las fórmulas trigonométricas α + β α − β α + β α − βcos α + cos β = 2 cos cos , cos α − cos β = 2 sen sen (6.152)  2   2   2   2 podemos escribir x2 = −2 zA sen ω d t sen ω st , ω d = 1 (ω + − ω − ) , ω s = 1 (ω + + ω − ) 2 2 (6.153)De aquí se ve que el movimiento de m2 es una oscilación sinusoidal de frecuencia ω s cuyaamplitud está modulada por el factor sen ω d t , que varía lentamente con t pues ω d < ω s . Deresultas de esto la energía asociada al movimiento de m2 (inicialmente nula) crece con t aexpensas de la energía asociada al movimiento de m1 hasta que en t = π / 2ω d la amplitud de laoscilación de m2 alcanza su valor máximo 2zA y luego disminuye a medida que m2 devuelve am1 la energía que había recibido hasta anularse en t = π / ω d , después de lo cual el proceso serepite indefinidamente (si no hay amortiguamiento). Luego el efecto del acoplamiento espermitir una transferencia de energía de ida y vuelta entre los osciladores m1 y m2 . z = 1ê2, k = 0.04 k0 x1 x2 Fig. 6.18. Movimiento de dos osciladores de masas iguales acoplados débilmente, cuando en el instante inicial m2 está en reposo y m1 se ha apartado una distancia A del equilibrio.En la Fig. 6.18 se muestran x1 (t ) y x2 (t ) para m2 = m1 ( z = 1 / 2 ) y acoplamiento débil( k = 0.04 k0 ) de modo que ω d << ω s y el proceso de transferencia de energía entre ambososciladores es lento. En este caso x2 = A cos ω d t cos ω st , x2 = − A sen ω d t sen ω s t (6.154) 167 www.cienciamatematica.com
  • 180. 6. Movimientos oscilatoriosy por lo tanto la transferencia de energía es completa de modo que en el instante que las oscila-ciones de m2 alcanzan su máxima amplitud, m1 queda en reposo en el punto de equilibrio.En la Fig. 6.19 se muestran x1 (t ) y x2 (t ) cuando m2 = 7m1 / 3 ( z = 3 / 10 ), con el mismo valordel acoplamiento ( k = 0.04 k0 ) que en el caso anterior. Ahora la transferencia de energía es in-completa porque cuando las oscilaciones de m2 alcanzan su máxima amplitud m1 está todavíaoscilando con una amplitud grande, aunque menor que A. Se puede ver que el período π / ω d delproceso de transferencia de energía es menor que en el caso anterior puesto que por la (6.144)ω d ( z = 3 / 10) > ω d ( z = 1 / 2) . Esto es razonable porque la tasa de transferencia de energía (quedepende de k) es la misma en ambos casos pero la cantidad total de energía involucrada en latransferencia es menor cuando las masas son distintas. z = 3ê10, k = 0.04 k0 x1 x2 Fig. 6.19. Movimiento de dos osciladores de masas desiguales acoplados débilmente. En el instante inicial m2 está en reposo y m1 se ha apartado una distancia A del equilibrio.En la Fig. 6.20 se muestran x1 (t ) y x2 (t ) para m2 = m1 ( z = 1 / 2 ), pero con un acoplamiento másfuerte ( k = 0.4 k0 ) que en el primer caso. Como las masas son iguales la transferencia de energíaes completa, pero el período π / ω d del proceso de transferencia de energía es mucho menor queantes porque el acoplamiento es más fuerte y la tasa de transferencia de energía es mayor.Antes de concluir esta discusión de los osciladores acoplados conviene hacer un par de comen-tarios. El primero es que el presente tratamiento se puede generalizar para un número cualquieran de osciladores cuyas masas y frecuencias son m1 , m2 , …, mn y ω1, ω 2 , …, ω n , acopladosentre sí. En este caso el espacio de configuraciones tiene n dimensiones, y se obtienen n modospropios diferentes con frecuencias ω (1) , ω ( 2 ) , …, ω ( n ) (algunas de las cuales pueden ser igualesentre sí). El segundo es que el lector debe tener presente que el tratamiento de modos normalestiene una importante limitación, ya que se aplica solamente a osciladores lineales, y cuando losacoplamientos entre ellos son también lineales. Si uno o más de los osciladores no es lineal y/osi uno o más de los acoplamientos no es lineal el análisis de modos normales no se puede hacer yel problema es mucho más difícil de tratar ya que hay que resolver un sistema de ecuacionesdiferenciales no lineales acopladas. Generalmente sólo se pueden encontrar soluciones numéri-cas de tales sistemas, y aparecen fenómenos nuevos que no se presentan en el caso lineal. 168 www.cienciamatematica.com
  • 181. 6. Movimientos oscilatorios z = 1ê2, k = 0.4 k0 x1 x2 Fig. 6.20. Movimiento de dos osciladores de masas iguales acoplados fuertemente, cuando en el instante inicial uno de ellos ( m2 ) está en reposo en el punto de equilibrio mientras que el otro ( m1 ) se ha apartado una distancia A del equilibrio.El columpioTodo el mundo conoce el columpio, ese simple pero bonito entretenimiento de chicos y grandesy ha vivido la experiencia de precipitarse desde el punto más alto de la trayectoria y adquirir unavelocidad vertiginosa para luego remontarse a las alturas. Todos hemos sentido la fascinantesensación de partir del reposo y gobernando a voluntad las oscilaciones alcanzar casi sin es-fuerzo grandes alturas y velocidades en pocos vaivenes. Sin embargo muchos que han jugadocon el columpio y conocen las leyes de la Mecánica no logran explicar fácilmente en que meca-nismos físicos se funda la habilidad de los niños (y la suya propia). Vale la pena pues analizar elcolumpio para mostrar cómo se puede entender su funcionamiento en base a las Leyes deNewton y sin cálculos muy complicados. Hay dos aspectos diferentes en este problema, queconviene tratar por separado. El primero es cómo el niño hace oscilar el columpio a partir delreposo sin apoyarse en el suelo y sin que otro le de el envión inicial. El segundo es como logragobernar el movimiento del columpio y aumentar o disminuir a voluntad la amplitud de lasoscilaciones, una vez que comenzó a oscilar.Las criaturas aprenden por sí solas a columpiarse sin tocar el suelo y sin que otro lo empuje. Paraentender como lo hacen es preciso prestar atención a sus movimientos. Consideremos, para fijarideas, que el niño está en reposo sentado en el columpio (Fig. 6.21r). Para arrancar el niñomueve partes de su cuerpo en sentido más o menos horizontal: echa el torso hacia adelante yrecoge las piernas (movimiento A, Fig. 6.21a) y luego echa el torso hacia atrás y estira las pier-nas (movimiento B, Fig. 6.21b). Con esto logra que el columpio se ponga a oscilar. El mismoefecto lo consigue si está de pie y sus movimientos son del mismo tipo pues consisten en echarhacia adelante la parte superior del cuerpo y hacia atrás la parte inferior, y al revés. 169 www.cienciamatematica.com
  • 182. 6. Movimientos oscilatorios P P (r) (a) (b) Fig. 6.21. Para empezar a columpiarse a partir del reposo (r) el niño echa el torso hacia adelante y recoge las piernas (a), luego echa el torso hacia atrás y estira las piernas hacia adelante (b). Así logra que el columpio comience a oscilar.¿Porqué estos movimientos provocan la oscilación del columpio? Para entenderlo observemos laFig. 6.21a. El punto P es el lugar donde las manos toman las cadenas que sostienen el columpio.Cuando el niño realiza el movimiento A la parte de abajo del columpio se va hacia atrás y laparte de arriba se va para adelante. En cambio cuando hace el movimiento B los desplazamien-tos de la parte superior e inferior del columpio son al revés (Fig. 6.21b). Vemos así que el sis-tema constituido por el niño y el columpio se asemeja aun péndulo doble, esto es un conjunto dedos péndulos uno colgado debajo del otro (Fig. 6.22a). Este interesante sistema mecánico fueestudiado hace casi tres siglos por Euler y Daniel Bernoulli y merece una breve discusión. l1 α1 m1 m1 m1 l2 α2 m2 m2 m2 X– X+ (a) (b) (c) Fig. 6.22. Cuando el niño realiza los movimientos A o B el sistema se comporta como un péndulo doble (a). El péndulo doble tiene dos modos normales: en el modo de baja fre- cuencia X− las masas se mueven (b) en el mismo sentido y en el modo de alta frecuencia X+ lo hacen (c) en sentido opuesto. 170 www.cienciamatematica.com
  • 183. 6. Movimientos oscilatoriosEl péndulo dobleNo es difícil mostrar que las ecuaciones de movimiento del péndulo doble son α1 + ω1 sen α1 + µ (l2 / l1 )[α 2 cos(α 2 − α1 ) − α 2 sen(α 2 − α1 )] = 0 ˙˙ 2 ˙˙ ˙2 (6.155) α 2 + ω 2 sen α 2 + (l1 / l2 )[α1 cos(α 2 − α1 ) + α1 sen(α 2 − α1 )] = 0 ˙˙ 2 ˙˙ ˙2donde las cantidades están definidas en la Fig. 6.22a y ω1 = g / l1 , ω 2 = g / l2 , µ = m2 / m 2 2( m ≡ m1 + m2 ). Este es un sistema de ecuaciones no lineales acopladas y su solución no es sen-cilla. Pero si α1 y α 2 son muy pequeños podemos despreciar los términos cuadráticos α1 y α 2 , ˙2 ˙2poner sen α1,2 ≈ α1,2 , cos α1,2 ≈ 1 , etc. y las (6.155) se reducen a α1 + ω1 α1 + µ (l2 / l1 )α 2 = 0 , α 2 + ω 2 α 2 + (l1 / l2 )α1 = 0 ˙˙ 2 ˙˙ ˙˙ 2 ˙˙ (6.156)Combinando entre sí las (6.156) este sistema se lleva a la forma más conveniente (1 − µ )α1 + ω1 (α1 − µα 2 ) = 0 , (1 − µ )α 2 + ω 2 (α 2 − α1 ) = 0 ˙˙ 2 ˙˙ 2 (6.157)que podemos escribir en forma matricial como  (1 − µ )d 2 / dt 2 + ω1 2 − µω1 2   α1   2   =0 (6.158)  −ω 2 2 (1 − µ )d / dt 2 2 + ω2  α 2 El péndulo doble es un sistema de osciladores acoplados parecido a los que ya estudiamos, pueslas (6.158) son del mismo tipo que las (6.113). Esto es razonable ya que cuando un péndulo os-cila ejerce sobre el punto de suspensión una fuerza que varía al compás de las oscilaciones.Cuando el péndulo inferior está a la derecha de la vertical de su punto de suspensión esa fuerzatira del péndulo superior hacia la derecha y viceversa cuando el péndulo inferior está a la iz-quierda de esa vertical la fuerza tira del péndulo superior hacia la izquierda. Por la Tercera Leyel péndulo superior ejerce una fuerza igual y contraria sobre el inferior. Esto es lo que nos dicenlas (6.158). Como antes para encontrar los modos normales buscamos soluciones de la forma  α1   A cos ωt    =  , A, B = cte. (6.159)  α 2   B cos ωt Sustituyendo (6.159) en (6.158) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:  ω1 − (1 − µ )ω 2 2 − µω1 2   A     =0 (6.160)  −ω 22 ω 2 − (1 − µ )ω 2  2  BPara que este sistema tenga soluciones no triviales ω debe ser una raíz de la ecuación [(1 − µ )ω 2 − ω1 ][(1 − µ )ω 2 − ω 2 ] − µω1 ω 2 = 0 2 2 2 2 (6.161)Desarrollando (6.161) se obtiene (1 − µ )ω 4 − ω 2 (ω1 + ω 2 ) + ω1 ω 2 = 0 2 2 2 2 (6.162) 171 www.cienciamatematica.com
  • 184. 6. Movimientos oscilatoriosEsta ecuación bicuadrática tiene dos pares de raíces 1 ω1 + ω 2 2 2  ω 2ω 2  ωm = 2 1 m 1 − 4(1 − µ ) 2 1 22 2  (6.163) 2 1− µ   (ω1 + ω 2 )  Es fácil verificar que ω − y ω + son siempre reales y positivas. Si l1 = l2 ≡ l se tiene que 2 2ω1 = ω 2 ≡ ω 0 y entonces resulta ω0 2 ω0 2 ω− = 2 , ω+ = 2 (6.164) 1+ µ 1− µy de las (6.160) obtenemos A− = µ B− , A+ = − µ B+ (6.165)En general de la (6.160) resulta [ω1 − (1 − µ )ω − ] A− = µω1 B− 2 2 2 o bien ω 2 A− = [ω 2 − (1 − µ )ω − ]B− 2 2 2 (6.166) [ω1 − (1 − µ )ω + ] A+ = µω1 B+ 2 2 2