Carlos Ivorra Castillo          ´          ALGEBRA
Mathematics, rightly viewed, possesses not onlytruth, but supreme beauty —a beauty cold and aus-tere, like that of sculptu...
´Indice GeneralIntroducci´n          o                                                                                    ...
vi                                                                                    ´                                   ...
´INDICE GENERAL                                                                                                           ...
Introducci´n          o   El prop´sito de este libro es introducir a un lector con conocimientos m´          o            ...
x                                                                  Introducci´n                                           ...
xiest´ relacionada con el n´mero D = 13, invisible hasta ahora, y que se conoce   a                       ucomo discrimina...
xii                                                                             Introducci´n                              ...
xiiiabstractos que ya no tienen nada que ver con los n´meros (cuyo valor e inter´s                                        ...
Preliminares conjuntistas    Citamos aqu´ brevemente los resultados que el lector deber´ conocer para                 ı   ...
xvi                                                     Preliminares conjuntistasel cardinal de X, y que si X est´ dividid...
Cap´   ıtulo ILos n´ meros enteros y     uracionales1.1     Construcci´n de los n´ meros enteros                  o       ...
2                                    Cap´                                        ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales...
1.2. Anillos                                                                             3   La comprobaci´n es sencilla, ...
4                                  Cap´                                      ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales    ...
1.2. Anillos                                                                    5             ´   Demostracion:  1. a + b ...
6                                  Cap´                                      ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales    ...
1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales                            u                                                ...
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1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales                            u                                                ...
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1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales                            u                                                ...
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1.4. Cuaterniones racionales                                                                    131.4      Cuaterniones ra...
Cap´   ıtulo IIAnillos de polinomios    Si x e y son n´meros enteros, xy + x y x2 − 2y son otros n´meros enteros. Su      ...
16                                                 Cap´                                                      ıtulo 2. Anil...
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  1. 1. Carlos Ivorra Castillo ´ ALGEBRA
  2. 2. Mathematics, rightly viewed, possesses not onlytruth, but supreme beauty —a beauty cold and aus-tere, like that of sculpture. Bertrand Russell
  3. 3. ´Indice GeneralIntroducci´n o ixPreliminares conjuntistas xvCap´ ıtulo I: Los n´ meros enteros y racionales u 1 1.1 Construcci´n de los n´meros enteros . . . . o u . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Cuerpos de cocientes. N´meros racionales . u . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Cap´ ıtulo II: Anillos de polinomios 15 2.1 Construcci´n de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15 o 2.2 Evaluaci´n de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o 2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Cap´ ıtulo III: Ideales 25 3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Cap´ ıtulo IV: Divisibilidad en dominios ´ ıntegros 29 4.1 Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 29 4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 38Cap´ ıtulo V: Congruencias y anillos cociente 45 5.1 Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 N´meros perfectos . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 v
  4. 4. vi ´ INDICE GENERALCap´ ıtulo VI: Algunas aplicaciones 65 6.1 Ternas pitag´ricas . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 Sumas de dos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3 Sumas de cuatro cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4 N´meros de la forma x2 + 3y 2 . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.5 La ecuaci´n x2 + 3y 2 = z 3 . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ´ 6.6 El Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.7 Enteros ciclot´micos . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Cap´ ıtulo VII: M´dulos o y espacios vectoriales 87 7.1 M´dulos . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.2 Suma de m´dulos o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3 M´dulos libres. . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Cap´ ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos 105 8.1 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2 Homomorfismos entre extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.4 Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.5 Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.6 El teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Cap´ ıtulo IX: Grupos 135 9.1 Definici´n y propiedades b´sicas . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.2 Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.3 Generadores, grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9.4 Conjugaci´n y subgrupos normales o . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.5 Producto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.7 Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Cap´ ıtulo X: Matrices y determinantes 157 10.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.3 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Cap´ ıtulo XI: Enteros algebraicos 179 11.1 Definici´n y propiedades b´sicas . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . 179 11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . 185 11.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11.4 Factorizaci´n unica en cuerpos cuadr´ticos . o ´ a . . . . . . . . . . . . 195 11.5 Aplicaciones de la factorizaci´n unica . . . . o ´ . . . . . . . . . . . . 201
  5. 5. ´INDICE GENERAL viiCap´ ıtulo XII: Factorizaci´n ideal o 207 12.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 12.2 Factorizaci´n ideal en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . 214 o 12.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorizaci´n unica . . . . . 220 o ´Cap´ ıtulo XIII: Factorizaci´n en cuerpos o cuadr´ticos a 223 13.1 Los primos cuadr´ticos . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . 223 13.2 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13.3 C´lculo del n´mero de clases . . . . a u . . . . . . . . . . . . . . . . 230Cap´ ıtulo XIV: La ley de reciprocidad cuadr´tica a 243 14.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 243 14.2 El s´ ımbolo de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 14.3 El s´ ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 14.4 Los teoremas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Cap´ ıtulo XV: La teor´ de Galois ıa 259 15.1 La correspondencia de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 15.2 Extensiones ciclot´micas . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 15.3 Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 15.4 Polinomios sim´tricos . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Cap´ ıtulo XVI: M´dulos finitamente generados o 281 16.1 Los teoremas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 16.2 La estructura de los grupos de unidades . . . . . . . . . . . . . . 289Cap´ ıtulo XVII: Resoluci´n de ecuaciones por radicales o 293 17.1 Extensiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 17.2 Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 17.3 Caracterizaci´n de las extensiones radicales . . . . . . o . . . . . . 303 17.4 La ecuaci´n general de grado n . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 305Ap´ndice A: El teorema de la base normal e 307Ap´ndice B: Extensiones inseparables e 311Ap´ndice C: La resultante e 315Bibliograf´ ıa 319´Indice de Tablas 321´Indice de Materias 322
  6. 6. Introducci´n o El prop´sito de este libro es introducir a un lector con conocimientos m´ o ınimosde matem´ticas en el estudio de los n´meros naturales a u 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Quiz´ esta afirmaci´n sorprenda al lector por dos posibles motivos: bien a oporque crea que los n´meros naturales son algo tan simple que dif´ u ıcilmente sepuede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro as´ no deber´ ı ıa ´llamarse ‘Algebra’. El primer caso es f´cil de rectificar. Consideremos por aejemplo la ecuaci´n o x2 + xy − 3y 2 = 15. ¿Sabr´ decidir el lector si existen n´meros naturales (x, y) que satisfagan ıa uesta condici´n? Tenemos aqu´ un problema de planteamiento elemental cuya o ısoluci´n no es nada f´cil. Si existiera un par as´ podr´ o a ı ıamos tener suerte y en-contrarlo por tanteo, pero si no lo hay necesitaremos alg´n tipo de razonamiento uque lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya.Si el problema fuera x2 + xy + 3y 2 = 15 el asunto ser´ muy diferente, pues ıapodr´ ıamos hacer 4(x2 + xy + 3y 2 ) = (2x + y)2 + 11y 2 y de aqu´ sacar´ ı ıamos unacota a las posibles soluciones, con lo que un n´mero finito de comprobaciones ubastar´ para decidir si las hay. Aun as´ habr´ ıa ı ıamos necesitado un peque˜o truco nque requerir´ un m´ ıa ınimo de perspicacia. De nada sirve despejar la y en funci´n de x, o viceversa, pues entonces nos oencontraremos con el problema de determinar si una expresi´n con una ra´ o ızcuadrada puede o no ser un n´mero natural, y no podremos ir mucho m´s lejos. u a Sin duda el lector que cre´ dominar los n´meros naturales reconocer´ ya la ıa u aprecariedad de ese dominio. Sin embargo esta situaci´n suele causar rechazo al omatem´tico acostumbrado a otra clase de problemas m´s . . . ¿abstractos? La a areacci´n natural es: ¿pero qu´ importa si existen o no soluciones naturales? Una o epregunta interesante podr´ ser si existen funciones reales continuas no deriva- ıables en ning´n punto, por ejemplo, porque una soluci´n negativa consolidar´ u o ıanuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que unasoluci´n positiva ser´ (y de hecho es) algo verdaderamente curioso e intrigante. o ıaSin embargo, tanto si alguien encuentra una soluci´n a esa ecuaci´n como si o oprueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un datoirrelevante. ix
  7. 7. x Introducci´n o Esta objeci´n entronca con la posible sorpresa de que un libro que promete o ´abordar estas banalidades tenga la osad´ de titularse ‘Algebra’. El reproche ıaestar´ justificado si lo unico que fu´ramos a ver en este libro fuera una co- ıa ´ elecci´n de recetas o, a´n peor, de trucos para resolver ecuaciones como la de o uantes. Tambi´n en tal caso ser´ razonable opinar que el contenido del libro e ıaser´ irrelevante, al menos seg´n los gustos matem´ticos al uso. Sin embargo, ıa u ael inter´s de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta. eParafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas ocultauna disciplina que merece el t´ ıtulo de Reina de las Matem´ticas. ¿Por qu´ un a ematem´tico que destac´ tan prodigiosamente en an´lisis, geometr´ diferencial, a o a ıaf´ ısica y estad´ ıstica, entre otras partes de la matem´tica, antepon´ la teor´ de a ıa ıan´meros a todas ellas? Sencillamente porque al abordar problemas como el que uhemos propuesto se encontr´ con una teor´ mucho m´s rica, sutil y abstracta o ıa aque cualquier otra de su ´poca.e Ciertamente, la teor´ de n´meros antes de Gauss era esencialmente una ıa ucolecci´n de trucos, verdaderos monumentos al ingenio humano, eso s´ pero o ı,despreciables al gusto del matem´tico moderno, pero estamos hablando de la ateor´ de n´meros del siglo XVIII. Para los matem´ticos del siglo XIX la si- ıa u atuaci´n era radicalmente distinta, y es esta visi´n moderna la que queremos o otransmitir al lector de este libro. B´sicamente se puede describir como sigue: a Los n´meros naturales son unos objetos extremadamente caprichosos, pero uno ca´ticos. Es como si un pianista decide caprichosamente qu´ pieza va a o etocar. A priori no podemos predecir lo que har´, pero una vez que conocemos su adecisi´n podemos anticipar cada uno de sus movimientos a partir de la partitura. oUn pianista ca´tico ser´ por ejemplo un int´rprete de jazz que improvisara en o ıa etodo momento. As´ el comportamiento de los n´meros puede ser controlado en ı, ufunci´n de ciertos par´metros, caprichosos hasta donde hoy se sabe, y la forma o ade controlarlos no es la fuerza bruta (la manipulaci´n de ecuaciones al estilo odel siglo XVIII), que ofrece resultados muy limitados, sino la psicolog´ m´s ıa afina, la b´squeda de leyes generales que s´lo pueden ser expresadas en t´rminos u o ede objetos abstractos, impensables en una primera aproximaci´n, pero que los omatem´ticos han podido descubrir poco a poco a lo largo de casi dos siglos. a Pensemos por ejemplo en la introducci´n de los n´meros enteros: o u... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...Se trata del ejemplo m´s elemental de c´mo un artificio algebraico como es poner a oun signo delante de los n´meros resulta ser de inestimable ayuda en su manejo. uTanto es as´ que en realidad, aunque la motivaci´n primera en el estudio de los ı on´meros proviene de los n´meros naturales, es m´s justo decir que en este libro u u ase estudian los n´meros enteros. u Pero si queremos resolver el problema que hemos planteado necesitamos irmucho m´s lejos. El paso siguiente en esta direcci´n es factorizar la ecuaci´n a o o ≥ √ ¥≥ √ ¥ x2 + xy − 3y 2 = x + y 1+2 13 x + y 1−2 13 .Esto puede parecer un sucio ‘truco’, pero en realidad es un paso obvio si sedisfruta del punto de vista adecuado. As´ nos encontramos con que la ecuaci´n ı o
  8. 8. xiest´ relacionada con el n´mero D = 13, invisible hasta ahora, y que se conoce a ucomo discriminante de la ecuaci´n. Por ejemplo, si antes dec´ o ıamos que el proble-ma con −3 es m´s dif´ que el mismo problema pero con un +3, un algebrista a ıcilver´ el discriminante D = 13 frente al discriminante D = −11, y el algebrista asabe que una de las caracter´ısticas generales de este tipo de ecuaciones es que lasde discriminante negativo siempre son m´s f´ciles. Vemos as´ que el verdadero a a ıproblema no era el signo del −3, sino el del discriminante.√ Adem´s nos ha aparecido el n´mero irracional 1+2 13 , y en este punto el a ualgebrista deja de pensar en n´meros para fijarse en algo mucho m´s abstracto, u acomo es el conjunto h √ i n √ o Z 1+2 13 = x + y 1+2 13 | x, y ∈ Z .´El sabe que este conjunto tiene una estructura importante conocida como do- ıntegro, que lo hace muy similar al propio conjunto Z de los n´merosminio ´ uenteros. Sobre este conjunto est´ definida una aplicaci´n llamada norma a o h √ i N : Z 1+2 13 −→ Z, ≥ √ ¥ ≥ √ ¥≥ √ ¥dada por N x + y 1+2 13 = x + y 1+2 13 x + y 1−2 13 = x2 + xy − 3y 2 ycuyo comportamiento es extremadamente regular. El resultado es que la penetraci´n del algebrista convierte un arduo problema oque todo el mundo entiende en un sencillo problema que s´lo los algebristas √ oentienden: ¿Existe un entero cuadr´tico en Q( 1+2 13 ) cuya norma sea 15? a Decimos ‘sencillo’ pensando, por supuesto, en el punto de vista del algebristaque cuenta con el equipaje de una s´lida y elegante teor´ Para ´l la soluci´n se o ıa. e oobtiene analizando unos objetos todav´ m´s abstractos y alejados de la simple ıa aecuaci´n dada: los ideales del anillo anterior. No importa si el lector no sabe en oeste punto de qu´ estamos hablando (eso es lo que puede aprender en este libro, eprecisamente), lo que importa es que esos ideales siguen un comportamientoextremadamente simple, de modo que una comprobaci´n elemental le permite oconcluir la inexistencia de soluciones enteras. Citamos aqu´ la comprobaci´n sin ı oa´nimo de que el lector la entienda, s´lo para que admire su sencillez formal: o Tenemos que 15 = 3 · 5 y si existiera un ideal de norma 15 ´ste tendr´ e ıaun factor primo de norma 5, pero eso significar´ que el discriminante 13 ser´ ıa ıaun resto cuadr´tico m´dulo 5, pero (13/5) = (3/5) = (5/3) = (2/3) = −1, a ocontradicci´n. o Todo esto puede ser razonado sin esfuerzo incluso mentalmente. El lectorencontrar´ los detalles en el cap´ a ıtulo XIV. En realidad este problema era muy f´cil. Si el t´rmino independiente de la a eecuaci´n no hubiera sido 15, sino otro n´mero, como 17, entonces la soluci´n o u ohabr´ sido positiva, y para justificarlo el algebrista habr´ tenido que contar ıa ıacon dos datos m´s, todav´ m´s≥abstractos: a ıa a √ ¥ 1) El n´mero de clases de Q 1+2 13 es h = 1, u ≥ √ ¥ 2) El cuerpo Q 1+2 13 contiene unidades de norma negativa.
  9. 9. xii Introducci´n o Una vez m´s, no esperamos que el lector entienda nada de esto. La segunda apropiedad es f´cil de comprobar con un m´ a ınimo tanteo, mientras que la primeraes un hecho nada trivial y que ejemplifica lo que antes llam´bamos comporta- a ≥ √ ¥miento ‘caprichoso’ de los n´meros. En efecto, cada cuerpo como Q 1+2 13 utiene asociado un n´mero natural h llamado su ‘n´mero de clases’, que se puede u ucalcular en la pr´ctica mediante un algoritmo. a √ ¿Por qu´ el n´mero de clases para 13 es h = 1 mientras que, por ejemplo, √ e upara 15 es h = 2? Esto forma parte del comportamiento caprichoso de losn´meros del que habl´bamos antes, pero lo cierto es que, una vez determinado u ael n´mero de clases, el algebrista sabe cu´l es el ‘car´cter’ que este capricho u a aimprime a los problemas asociados a este n´mero, y sabe a qu´ atenerse. u e No creemos necesario aburrir al lector con m´s afirmaciones que probable- a ´mente no entienda. Estas habr´n bastado para que comprenda la situaci´n. a oLos problemas num´ricos como el que hemos presentado abren la puerta, a la evez que dan sentido y motivaci´n, a una teor´ cuyo ‘sabor’ ha podido captar o ıahace un momento, una teor´ profunda, rica en conceptos y en ideas y que nos ıapermite llegar a elegantes principios generales m´s simples formalmente cuanto am´s elevados y complejos conceptualmente. a Se trata de una situaci´n similar a la de la mec´nica celeste: el movimiento de o alos planetas puede ser descrito eficientemente por las leyes ptolemaicas, mera-mente descriptivas y aproximadas, o por las leyes de Kepler, rigurosas perot´cnicas, o por la ley de la gravitaci´n universal de Newton, la m´s simple e o aformalmente, o por las ecuaciones de la relatividad general de Einstein, las m´s asofisticadas de todas, pero las que proporcionan una mejor comprensi´n del ofen´meno. o El estudio de los n´meros enteros se conoce en general como Teor´ de u ıaN´meros, y la teor´ que hay detr´s es tan vasta que no encaja en ninguna u ıa arama particular de las matem´ticas, sino que en ella intervienen el ´lgebra, la a atopolog´ el an´lisis e incluso la geometr´ Por ello, y a pesar de que fraccio- ıa, a ıa.narla no deja de ser artificial, se habla de una Teor´ de N´meros Elemental (que ıa uno usa m´s que la aritm´tica b´sica), una Teor´ Algebraica de N´meros, una a e a ıa uTeor´ Anal´ ıa ıtica de n´meros y una Geometr´ de los N´meros. (No obstante u ıa ulas fronteras no pueden establecerse con precisi´n, y por eso se ha terminado ohablando de una Teor´ Algebraica de N´meros Anal´ ıa u ıtica). El ejemplo que hemos dado corresponde a la Teor´ Algebraica de N´meros ıa u(al igual que el contenido de este libro). Quiz´ despu´s de todo podr´ tener a e ıa o ´raz´n el lector que considerara que ‘Algebra’ no es el t´ ıtulo adecuado de estelibro, sino que ser´ mejor haberlo llamado ‘Teor´ Algebraica de N´meros’. ıa ıa uSin embargo hemos decidido darle el t´ ıtulo que tiene porque al fin y al caboabordamos a un nivel aceptable como introducci´n el equivalente a un primer ocurso de ´lgebra: ´lgebra lineal (m´dulos, espacios vectoriales, matrices, deter- a a ominantes), teor´ de anillos, teor´ de cuerpos y teor´ de grupos finitos (con ıa ıa ıaespecial hincapi´ en los grupos abelianos y resolubles y los grupos de permu- e ´taciones), y no creemos que la palabra ‘Algebra’ deba significar otra cosa m´s aespecializada. M´s bien los libros que se ocupan de resultados algebraicos tan a
  10. 10. xiiiabstractos que ya no tienen nada que ver con los n´meros (cuyo valor e inter´s u e ´nadie pone en duda) deber´ llamarse ‘Algebra abstracta’ (como de hecho al- ıangunos lo hacen), y un libro de Teor´ Algebraica de N´meros ser´ algo m´s ıa u ıa aespecializado y sistem´tico. Preferimos pensar, pues, que ´ste es un libro de a ea´lgebra con ilustraciones de teor´ de n´meros, encaminado a dotar al lector de ıa uuna base algebraica suficiente para un estudio posterior de la Teor´ Algebraica ıade N´meros propiamente dicha. u El criterio general en la redacci´n ha sido usar los n´meros como hilo con- o uductor e ir introduciendo progresivamente los conceptos algebraicos necesariosa un nivel lo suficientemente general como para que el lector termine con un co-nocimiento s´lido del ´lgebra elemental, pero nunca hasta el punto (esperamos) o ade que las ideas resulten oscurecidas por los conceptos formales. La restricci´n principal ha sido que a todos los efectos no existen los n´meros o ureales. No hemos demostrado ning´n resultado que requiera el uso de n´meros u ureales ni se da ninguna interpretaci´n geom´trica o aplicaci´n a la geometr´ o e o ıade los conceptos algebraicos. La raz´n de esta restricci´n es que, en primer o olugar, los n´meros reales no han resultado necesarios en ning´n momento y, u uen segundo lugar, que consideramos que la introducci´n m´s razonable de los o an´meros reales es una introducci´n geom´trica y no algebraica ni anal´ u o e ıtica, porlo que no es ´ste el libro adecuado para presentarlos. e La unica laguna importante que este criterio ha ocasionado es que no hemos ´hablado de equivalencia y semejanza de matrices, vectores propios, polinomioscaracter´ ısticos, etc., pues estos conceptos tienen una interpretaci´n geom´trica o eimportante y ser´ absurdo introducirlos sin ella. Tambi´n puede echarse en ıa efalta la teor´ de Sylow, de la que no hemos hablado porque su indiscutible ıautilidad en el estudio de los n´meros s´lo se pone de manifiesto en estados m´s u o aavanzados de la teor´ y por lo tanto hubiera sido forzado mostrar alguna apli- ıa,caci´n m´s all´ de la propia teor´ de grupos. Hemos incluido tres ap´ndices o a a ıa econ algunos resultados cuyo inter´s no puede comprenderse plenamente sin co- enocer el desarrollo posterior de la teor´ pero que de todos modos pueden ser ıa,ilustrativos porque son una prolongaci´n natural de la teor´ elemental. o ıa El orden de exposici´n pretende combinar la naturalidad, en el sentido de oque cada concepto aparezca en el momento en que resulta necesario, con elm´ınimo orden preciso para una correcta asimilaci´n por parte del lector. Esto ohace que algunos resultados puedan estar en cap´ ıtulos donde en principio nose esperar´ encontrarlos. Pi´nsese que ´ste no es un libro de consulta, sino ıa e eun libro para ser le´ desde el principio hasta el final, un libro donde no se ıdopretende que est´ ‘todo’ sino s´lo lo necesario para que no haya paja que saltar. e o Esperamos sinceramente que el lector disfrute, si no con la forma de estelibro, de la que somos responsables, s´ con su contenido, que ha cautivado a ıtantos matem´ticos.a
  11. 11. Preliminares conjuntistas Citamos aqu´ brevemente los resultados que el lector deber´ conocer para ı ıaentender este libro. De todos modos, salvo en muy contadas ocasiones todos losrequisitos pueden suplirse con un poco de sentido com´n (o intuici´n, como suele u odecirse). Por ello el unico requisito real es estar familiarizado con el lenguaje y ´el razonamiento matem´tico. a Suponemos que el lector conoce el lenguaje de la teor´ de conjuntos ele- ıamental: conjuntos, subconjuntos, uni´n, intersecci´n, producto cartesiano, apli- o ocaciones, etc. S´lo hay un punto a destacar a este respecto, y es que en este olibro adoptaremos siempre el convenio de que en una composici´n de aplicacio- o ° ¢nes act´a primero la aplicaci´n de la izquierda, esto es, (f ◦ g)(x) = g f (x) . u oConsideramos que, a la larga, este convenio resulta mucho m´s natural que el acontrario. Necesitaremos tambi´n algo de teor´ de cardinales, aunque normalmente e ıatodos los cardinales que nos aparecer´n ser´n finitos. Si el lector decide ignorar a atoda alusi´n a cardinales infinitos se perder´ una m´ o a ınima parte del contenido deeste libro. Baste, pues, saber que el cardinal de un conjunto es, al menos si elconjunto es finito, lo que usualmente se entiende por su ‘n´mero de elementos’, uy que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y s´lo si se puede establecer una oaplicaci´n biyectiva entre ellos. El cardinal de un conjunto X es menor o igual oque el cardinal de un conjunto Y si y s´lo si existe una aplicaci´n inyectiva de o oX en Y . Un hecho elemental de uso muy frecuente es que si un conjunto finito X tieneel mismo cardinal que un subconjunto Y , entonces X = Y . M´s en general: una aaplicaci´n entre dos conjuntos finitos del mismo cardinal es biyectiva si y s´lo o osi es inyectiva si y s´lo si es suprayectiva. o Respecto a la aritm´tica cardinal usaremos a menudo que si un conjunto eest´ dividido en subconjuntos disjuntos, entonces su cardinal es la suma de los acardinales de sus partes, y si todas ellas tienen el mismo cardinal, entonces elcardinal del conjunto total es el de una de sus partes multiplicado por el n´mero ude partes. As´ mismo, el cardinal de un producto cartesiano es el producto de ılos cardinales de los factores. El unico punto donde necesitaremos alg´n resultado adicional es en la prueba ´ ude la equicardinalidad de bases (cap´ ıtulo VII). All´ usaremos que si X es un ıconjunto infinito, entonces el n´mero de subconjuntos finitos de X coincide con u xv
  12. 12. xvi Preliminares conjuntistasel cardinal de X, y que si X est´ dividido en conjuntos finitos, entonces el acardinal de X coincide con el n´mero de partes. u Menci´n especial requiere el Lema de Zorn, que nos aparecer´ en pocas o apero importantes ocasiones. Recordemos las definiciones que intervienen en suenunciado: Un conjunto X est´ parcialmente ordenado por una relaci´n ≤ si se cumple: a o 1. x ≤ x para todo x ∈ X. 2. Si x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y, para todo x, y, ∈ X. 3. Si x ≤ y e y ≤ z, entonces x ≤ z, para todo x, y, z ∈ X. El ejemplo t´ıpico de orden parcial en una familia de conjuntos es el dado porla inclusi´n, es decir, x ≤ y si y s´lo si x ⊂ y. o o Un subconjunto Y de un conjunto parcialmente ordenado X es una cadenasi cualquier par de elementos x, y ∈ Y cumple x ≤ y o y ≤ x. Un elemento x de un conjunto parcialmente ordenado X es una cota superiorde un conjunto Y ⊂ X si para todo y ∈ Y se cumple y ≤ x. Si X es un conjunto parcialmente ordenado, un maximal de X es un elementox ∈ X tal que no existe ning´n y ∈ X que cumpla x ≤ y, x 6= y. uLema de Zorn Si X es un conjunto parcialmente ordenado no vac´ en el que ıotoda cadena tiene una cota superior, entonces X tiene un elemento maximal. En la pr´ctica, el lema de Zorn se aplica a conjuntos ordenados por la in- aclusi´n, y la forma t´ o ıpica de probar que una cadena tiene cota superior es probarque la uni´n de todos sus elementos es tambi´n un elemento del conjunto, lo o ecual es siempre un ejercicio sencillo. El resultado es entonces la existencia de unmiembro de la familia que no est´ contenido en ning´n otro. Todas las verifica- a uciones concretas de las hip´tesis del lema de Zorn en este libro se dejan como oun sencillo ejercicio para el lector. Hay un teorema que puede probarse mediante el lema de Zorn pero quehemos preferido probar de otro modo para evitar tecnicismos conjuntistas de-masiado prolijos. Se trata de la existencia de clausura algebraica (cap´ ıtulo VIII)En su lugar usaremos un resultado equivalente al lema de Zorn, y es el principiode buena ordenaci´n de Zermelo: oPrincipio de buena ordenaci´n Todo conjunto admite un buen orden, esto oes, una relaci´n de orden total en la que todo subconjunto no vac´ tiene un o ıom´ınimo elemento. Usaremos este hecho junto con el teorema de recursi´n transfinita, seg´n el o ucual, si X es un conjunto bien ordenado por una relaci´n ≤, podemos definir ouna sucesi´n {Ax }x∈X definiendo un t´rmino arbitrario Ax en funci´n de la o e osucesi´n de t´rminos anteriores {Ay }y<x . o e
  13. 13. Cap´ ıtulo ILos n´ meros enteros y uracionales1.1 Construcci´n de los n´ meros enteros o u Seguramente el lector conocer´ de sobra los n´meros enteros. Los n´meros a u uenteros son:... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...En definitiva los n´meros enteros no son sino los n´meros naturales por dupli- u ucado, de modo que mientras la operaci´n 4 − 7 no puede efectuarse con n´meros o unaturales, tiene en cambio la soluci´n entera −3. o En primer lugar vamos a indicar c´mo construir los n´meros enteros en o uteor´ de conjuntos. Aunque la formalizaci´n conjuntista no va a ser nuestra ıa opreocupaci´n principal, consideramos ilustrativo detenernos en ello porque se otrata de un buen ejemplo del uso de las relaciones de equivalencia, y el lectordeber´ reflexionar sobre esta construcci´n no s´lo hasta entenderla, sino hasta ıa o overla natural. En principio podr´ ıamos definir los n´meros enteros como los n´meros natu- u urales precedidos de un signo +/−, con el convenio de que +0 = −0. Esto ser´ ıal´gicamente aceptable y probablemente es la definici´n que m´s se ajusta a la o o aidea que el lector tiene de estos n´meros, pero no es la definici´n m´s pr´ctica u o a ani mucho menos en la que podr´ ıamos pensar. Por ejemplo, si a partir de dichadefinici´n queremos definir la suma de dos n´meros enteros deber´ o u ıamos escribiralgo as´ como: ı La suma de dos n´meros enteros del mismo signo se calcula sumando sus uvalores absolutos con el mismo signo. La suma de dos n´meros enteros de signos uopuestos se calcula restando sus valores absolutos con el signo del sumando demayor valor absoluto. El lector lo habr´ entendido perfectamente, pero desde un punto de vista al´gico es una ley enrevesada y si quisi´ramos usarla para probar algo tan simple o e 1
  14. 14. 2 Cap´ ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales ucomo que (n + m) + r = n + (m + r) nos obligar´ a distinguir casos y m´s casos. ıa a La idea para obtener una definici´n pr´ctica parte del hecho de que un o an´mero entero puede ser determinado algebraicamente como la resta de dos un´meros naturales. Por ejemplo, el par (8, 3) determina el n´mero 8 − 3 = +5, u umientras que el par (3, 8) determina al n´mero 3 − 8 = −5. u No podemos establecer que el n´mero entero +5 ser´ para nosotros el par u ade n´meros naturales (8, 3), porque, por ejemplo, el par (7, 2) es otro objeto udistinto que tendr´ el mismo derecho a ser identificado con el entero +5. ıa Entonces nos preguntamos cu´ndo dos pares de n´meros (a, b) y (c, d) dan a ulugar al mismo n´mero entero al restar sus componentes. Obviamente se cumple ua − b = c − d si y s´lo si a + d = b + c. Ahora observamos que los pares de on´meros naturales y la relaci´n a + d = b + c no involucran en absoluto n´meros u o uenteros, luego podemos usarlos para definir los n´meros enteros sin que nuestra udefinici´n resulte circular. oDefinici´n 1.1 Suponemos conocido el conjunto de los n´meros naturales, al o uque aqu´ llamaremos N. Definimos en N × N la relaci´n R dada por ı o (a, b) R (c, d) si y s´lo si a + d = b + c. o Es f´cil probar que se trata de una relaci´n de equivalencia. Llamaremos a o[a, b] a la clase de equivalencia del par (a, b), es decir, [a, b] es el conjunto formadopor todos los pares relacionados con (a, b). En los t´rminos anteriores los elementos de [a, b] son todos los pares que edan lugar al mismo n´mero entero que (a, b) al restar sus componentes, con ulo que existe exactamente una clase de equivalencia por cada n´mero entero. uPor ejemplo, el n´mero +5 se corresponde con la clase cuyos elementos son u(5, 0), (6, 1), (7, 2), . . . La diferencia l´gica es que los n´meros enteros no los o utenemos definidos y las clases de equivalencia respecto a la relaci´n R s´ o ı. Llamaremos conjunto de los n´meros enteros al cociente Z = (N × N)/R. La uletra Z es por el alem´n Zahl (n´mero). Si n es un n´mero natural llamaremos a u u+n = [n, 0] y −n = [0, n]. Ahora es f´cil probar que todo n´mero entero [a, b] es de la forma [a − b, 0] o a ubien [0, b − a], seg´n si a es mayor o menor que b, es decir, todo n´mero entero u ues de la forma +n o bien −n para un n´mero natural n. Adem´s todos ´stos u a eson distintos salvo en el caso +0 = −0 = [0, 0]. Llamaremos n´meros positivos a los del conjunto Z+ = {+n | n ∈ N, n 6= 0}. uLos n´meros negativos ser´n los del conjunto Z− = {−n | n ∈ N, n 6= 0}. De u aeste modo el conjunto Z se expresa como uni´n disjunta Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}. o Para ordenar los n´meros enteros observamos que ha de ser a − b ≤ c − d si y us´lo si a + d ≤ b + c (para todos los n´meros naturales a, b, c, d), luego podemos o udefinir [a, b] ≤ [c, d] si y s´lo si a + d ≤ b + c. o Esta definici´n exige comprobar que es compatible con la relaci´n R, es o odecir, que si [a, b] = [a0 , b0 ] y [c, d] = [c0 , d0 ] entonces a + d ≤ b + c si y s´lo si oa0 + d0 ≤ b0 + c0 .
  15. 15. 1.2. Anillos 3 La comprobaci´n es sencilla, como tambi´n lo es probar que esta relaci´n o e odefine un orden total con el cual Z queda ordenado seg´n lo hemos representado uen la p´gina 1. En lo sucesivo identificaremos los n´meros naturales con los a un´meros enteros no negativos. En particular suprimiremos el signo +, de modo uque 2 y +2 ser´n una misma cosa. Por tanto podemos escribir N ⊂ Z. a La suma y el producto de n´meros enteros se definen como sigue: u [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d], [a, b][c, d] = [ac + bd, ad + bc].(El lector debe convencerse de que ´stas son las definiciones l´gicas. Por ejemplo, e oen el caso de la suma ha de considerar que (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).) Es f´cil ver que estas operaciones son compatibles con la identificaci´n que a ohemos hecho entre n´meros naturales y enteros, es decir, que 7 + 5 = 12 visto utanto como suma de n´meros naturales como de enteros (m´s concretamente: u a(+m) + (+n) = +(m + n)). Ahora es f´cil demostrar las propiedades b´sicas de la suma de enteros. a aVeamos como muestra la asociatividad que antes hab´ ıamos puesto como ejemplo:([a, b] + [c, d]) + [e, f ] = [a + c + e, b + d + f ] = [a, b] + ([c, d] + [e, f ]).1.2 Anillos Nuestro estudio de los n´meros enteros nos va a llevar m´s adelante a tra- u abajar con ‘n´meros’ m´s generales (o m´s abstractos, si se quiere). Por ello, en u a alugar de enunciar directamente las propiedades b´sicas de las operaciones con aenteros conviene hacerlo en un contexto m´s general, de manera que el mismo alenguaje que introduzcamos ahora nos permita despu´s sentir cierta familiaridad econ los objetos que nos encontraremos.Definici´n 1.2 Una ley de composici´n interna en un conjunto A es una apli- o ocaci´n ∗ : A × A −→ A. Escribiremos a ∗ b en lugar de ∗(a, b). o Diremos que una ley de composici´n interna ∗ es asociativa si cumple que o(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todos los elementos a, b y c del conjunto A. En tal caso las expresiones de la forma a ∗ b ∗ c ∗ d ∗ e, y en general a1 ∗ · · · ∗ anest´n bien definidas, en el sentido de que no dependen del orden en que se aefect´en las operaciones (respetando la posici´n de los factores) y por lo tanto u ono se necesitan par´ntesis. e Una ley de composici´n interna ∗ es conmutativa si cumple a ∗ b = b ∗ a opara todos los elementos a y b del conjunto A. Si ∗ es a la vez asociativa yconmutativa las expresiones a1 ∗ · · · ∗ an no dependen tampoco de la posici´n ode cada factor, es decir, podemos desordenarlas sin alterar el resultado. Un anillo es una terna (A, +, ·) en la que A es un conjunto y +, · son dosleyes internas en A, de modo que se cumplan las propiedades siguientes: 1. (a + b) + c = a + (b + c) para todos los a, b, c de A. 2. a + b = b + a para todos los a, b de A.
  16. 16. 4 Cap´ ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales u 3. Existe un elemento 0 en A tal que a + 0 = a para todo a de A. 4. Para todo a de A existe un −a en A tal que a + (−a) = 0. 5. (ab)c = a(bc) para todos los a, b, c de A. 6. a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc para todos los a, b, c de A. El elemento aludido en la condici´n 3 ha de ser unico, pues si 0 y 00 cumplen o ´lo mismo entonces 0 = 0 + 00 = 00 . Lo llamaremos elemento neutro o nulo delanillo A. Igualmente, para cada a de A el elemento −a aludido en 4 es unico, pues ´si b cumpliera lo mismo entonces b = 0 + b = −a + a + b = −a + 0 = −a. Lollamaremos elemento sim´trico u opuesto de a. e En lo sucesivo usaremos siempre los signos + y · para nombrar las operacio-nes de un anillo cualquiera, aunque en cada caso se tratar´ de una operaci´n a odistinta. A la operaci´n + la llamaremos ‘suma’ y a la operaci´n · la llama- o oremos ‘producto’. Igualmente, ‘A es un anillo’ significar´ que lo es con ciertas aoperaciones que se sobrentienden. Pn Escribiremos a − b en lugar de a + (−b). La notaci´n i=1 ai se usar´ para Qn o arepresentar sumas finitas mientras que i=1 ai indicar´ un producto finito. a Un anillo A es conmutativo si ab = ba para todos los elementos a y b de A. Un anillo A es unitario si existe un elemento 1 en A tal que a · 1 = 1 · a = apara todo elemento a de A. Dicho elemento 1 ha de ser unico, pues si 1 y ´10 cumplen lo mismo entonces 1 = 1 · 10 = 10 . Al elemento 1 lo llamaremosidentidad de A. El teorema siguiente contiene unas cuantas propiedades sencillas de los ani-llos. Todas ellas se cumplen en particular en el caso de Z, pero a´n m´s im- u aportante es saber que podremos usarlas al trabajar con cualquier conjunto delque sepamos que tiene estructura de anillo, por muy abstracta que pueda ser lanaturaleza de sus elementos y sus operaciones.Teorema 1.3 Sea A un anillo y a, b, c elementos de A. 1. Si a + b = a + c entonces b = c. 2. Si a + a = a entonces a = 0. 3. −(−a) = a. 4. 0a = a0 = 0. 5. (−a)b = a(−b) = −(ab). 6. (−a)(−b) = ab. 7. −(a + b) = −a − b.
  17. 17. 1.2. Anillos 5 ´ Demostracion: 1. a + b = a + c ⇒ −a + a + b = −a + a + c ⇒ 0 + b = 0 + c ⇒ b = c. 2. a + a = a ⇒ a + a = a + 0 ⇒ a = 0. 3. −a + a = 0 = −a + (−(−a)) ⇒ a = −(−a). 4. 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a ⇒ 0a = 0. 5. (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0 ⇒ (−a)b = −(ab). 6. (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab. 7. (−a − b) + (a + b) = a − a + b − b = 0 ⇒ (−a − b) = −(a + b). Observemos que si en un anillo unitario A se cumple 1 = 0 entonces cualquiera ∈ A cumple a = a · 1 = a · 0 = 0, luego A = {0}. Los anillos que m´s nos avan a interesar son los anillos conmutativos y unitarios distintos de este casotrivial. A tales anillos los llamaremos dominios es decir: Un dominio es un anilloconmutativo y unitario en el que 1 6= 0. Es f´cil ver que Z es un dominio. a Notemos que en cualquier anillo a0 = 0a = 0, pero no es cierto en generalque si ab = 0 uno de los factores haya de ser nulo. Por supuesto en Z s´ ocurre ıas´ Vamos a dar una definici´n que recoja este hecho. ı. oDefinici´n 1.4 Un elemento a de un dominio A es un divisor de cero si es no onulo y existe un b en A no nulo tal que ab = 0. Un dominio ´ıntegro es undominio sin divisores de cero. Una propiedad muy importante de los dominios ´ ıntegros es que en ellospodemos simplificar elementos no nulos de las igualdades, es decir, si en undominio ´ıntegro tenemos que ab = ac y a 6= 0, entonces b = c, pues a(b − c) = 0,luego b − c = 0.Ejercicio: Dotar a Z × Z de una estructura de dominio que no sea ´ ıntegro. Para acabar con las propiedades b´sicas del anillo Z vamos a probar que acualquier par de n´meros no nulos se puede dividir eucl´ u ıdeamente, es decir, sepuede obtener un cociente y un resto. Nos basamos en que los n´meros naturales ucumplen esto mismo.Teorema 1.5 Sean D y d n´meros enteros con d no nulo. Entonces existen uunos unicos enteros c y r tales que D = dc + r y 0 ≤ r < |d|, donde |d| es igual ´a d si d es positivo y a −d si es negativo. ´ Demostracion: Consideremos los n´meros naturales |D| y |d|. Sabemos uque existen naturales c y r tales que |D| = |d|c + r, con 0 ≤ r < |d|. Si r = 0 entonces cambiando el signo de c si es preciso tenemos D = dc + 0. Supongamos r > 0. Si D ≥ 0 y d > 0 entonces tenemos D = dc + r, como quer´ ıamos.
  18. 18. 6 Cap´ ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales u Si D ≥ 0 y d < 0 entonces sirve D = d(−c) + r. Si D < 0 y d > 0 entonces D = d(−c − 1) + (d − r). Si D < 0 y d < 0 entonces D = d(c + 1) + (−d − r). Si tuvi´ramos dos expresiones distintas D = dc + r = dc0 + r0 , entonces sea ec = c si d > 0 y c = −c si d < 0. Igualmente definimos c0 . As´ dc = |d|¯,¯ ¯ ¯ ı cdc0 = |d|0 c0 . Supongamos que c < c0 . Entonces ¯ ¯ ¯ D = dc + r = |d|¯ + r < |d|¯ + |d| = |d|(¯ + 1) ≤ |d|¯0 = dc0 ≤ dc0 + r0 = D, c c c cy esto es una contradicci´n. Por lo tanto ha de ser c = c0 y de aqu´ que o ıdc + r = dc + r0 , luego r = r0 . Esta propiedad de los n´meros enteros confiere propiedades muy importantes ual anillo Z y es pose´ tambi´n por otros anillos de inter´s. Por ello conviene ıda e etratarla en general.Definici´n 1.6 Un dominio eucl´ o ıdeo es un dominio ´ ıntegro A tal que existeuna funci´n φ : A {0} −→ N que cumpla lo siguiente: o 1. Si a, b son elementos de A no nulos φ(a) ≤ φ(ab). 2. Si D y d son elementos de A con d 6= 0 entonces existen c y r en A de manera que D = dc + r con r = 0 o bien 0 ≤ φ(r) < φ(d).La funci´n φ se llama norma eucl´ o ıdea. Es obvio que Z es un dominio eucl´ ıdeo con la norma φ dada por φ(a) = |a|.Ahora bien, observemos que el cociente y el resto no son unicos. Por ejemplo, ´para dividir 8 entre 3 podemos hacer 8 = 3 · 2 + 2 o bien 8 = 3 · 3 − 1. En amboscasos |r| < |d|. Un elemento a de un dominio A es una unidad si existe un elemento b enA tal que ab = 1. Dicho elemento b est´ un´ a ıvocamente determinado por a, yaque si ab = 1 = ac entonces b = b1 = bac = 1c = c. A este unico elemento lo ´llamaremos inverso de a y lo representaremos por a−1 . Obviamente 1 es una unidad y 1−1 = 1. En cambio 0 no puede ser unaunidad. Una unidad no puede ser divisor de cero, pues si a es una unidad yab = 0, entonces b = 1b = a−1 ab = a−1 0 = 0. Las unidades de Z son exactamente 1 y −1. Un anillo de divisi´n es un anillo unitario con 1 6= 0 en el que todo elemento ono nulo es una unidad. Un cuerpo es un anillo de divisi´n conmutativo. En particular todo cuerpo oes un dominio ´ıntegro. Observemos tambi´n que todo cuerpo K es un dominio eucl´ e ıdeo tomandocomo norma la aplicaci´n constante 1, pues la divisi´n eucl´ o o ıdea puede realizarsesiempre con resto 0, es decir, D = d(D/d) + 0. Vamos a definir operaciones entre n´meros enteros y los elementos de un uanillo.
  19. 19. 1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales u 7 Sea A un anillo, a un elemento de A y n un n´mero entero. Definimos el uelemento na como  n veces   a + ··· + a si n > 0 na = 0 si n = 0   −n veces (−a) + · · · + (−a) si n < 0 n veces Si n > 0 definimos tambi´n an = a · · · a. Si A es unitario a0 = 1, y si a es e −n vecesuna unidad y n < 0, entonces an = a−1 · · · a−1 . Es pura rutina comprobar los hechos siguientes.Teorema 1.7 Sea A un anillo unitario y a, b elementos de A (que supondremosinversibles cuando proceda). Sean m y n n´meros enteros. Se cumple: u 1. m(a + b) = ma + mb. 2. (m + n)a = ma + na. 3. (−m)a = −(ma) = m(−a). 4. m(na) = (mn)a. 5. Si ab = ba entonces (ab)m = am bm . 6. am+n = am an . 7. (am )n = amn . 8. a−m = (a−1 )m = (am )−1 .Adem´s si A = Z, ma es lo mismo en el sentido de la definici´n anterior que a oen el sentido del producto usual en Z.1.3 Cuerpos de cocientes. N´ meros racionales u A continuaci´n vamos a dar un m´todo para obtener un cuerpo a partir o ede un dominio ´ ıntegro. A partir de Z obtendremos el cuerpo de los n´meros uracionales, pero el m´todo es general y lo aplicaremos a m´s casos. e a Sea K un cuerpo y a, b dos elementos de K con b no nulo. Llamaremosab = ab−1 . Es f´cil comprobar las relaciones siguientes: a a c a c ad + bc ac ac = ⇔ ad = bc, + = , = . b d b d bd bd bd Con estos hechos in mente definimos:
  20. 20. 8 Cap´ ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales uDefinici´n 1.8 Sea A un dominio ´ o ıntegro y A∗ = A {0}. Sea R la relaci´n o ∗en el conjunto A × A dada por (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc. Es f´cil probar aque R es una relaci´n de equivalencia en A × A∗ . Llamaremos a a la clase o bde equivalencia del par (a, b). De este modo se cumple a = d ⇔ ad = bc. b cLlamaremos cuerpo de cocientes de A al conjunto cociente K = (A × A∗ )/R.Es f´cil comprobar que ciertamente K es un cuerpo con las operaciones dadas apor a + d = ad+bc , a d = ac . Concretamente 0 = 0 , 1 = 1 ,− a = −a = −b , y b c bd c a ° ab −1 bd ¢ 1 1 b bsi a 6= 0, entonces b b b = a. Para relacionar un anillo con su cuerpo de cocientes conviene introduciralgunos conceptos. Es claro que lo que interesa de un anillo no es en absolutola naturaleza conjuntista de sus elementos sino el modo en que los relacionanlas leyes internas. Por ejemplo, si A = {a, b} es cualquier conjunto con doselementos, es f´cil convertirlo en un anillo (cuerpo, de hecho) con las leyes adadas por a + a = b + b = a, a + b = b + a = b, aa = ab = ba = a, bb = b. Si hacemos lo mismo con otro conjunto A0 = {a0 , b0 } obtenemos un anillodistinto conjuntistamente, pero el mismo anillo algebraicamente. La forma deplasmar esta relaci´n es el concepto de homomorfismo de anillos que definimos oa continuaci´n. oDefinici´n 1.9 Sean A y B dos anillos. Una aplicaci´n f : A −→ B es un o ohomomorfismo de anillos si cumple f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b)para todos los elementos a y b de A. Una consecuencia inmediata es que f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), luegof (0) = 0, y que f (a) + f (−a) = f (a − a) = f (0) = 0, luego f (−a) = −f (a).Tambi´n es claro que si m es un n´mero entero f (ma) = mf (a). e u Una precauci´n es que no tiene por qu´ ocurrir f (1) = 1. Por ejemplo la o eaplicaci´n que vale constantemente 0 es un homomorfismo (el unico) que cumple o ´f (1) = 0. Suponiendo f (1) 6= 0, una condici´n suficiente para que f (1) = 1 es que B osea un dominio ´ıntegro, pues entonces f (1)f (1) = f (1 · 1) = f (1) = f (1)1, luegof (1) = 1. Cuando f (1) = 1 se cumple f (an ) = f (a)n para todo elemento a de A ytodo entero n. En cualquier caso esto vale para exponentes positivos. La composici´n de homomorfismos es un homomorfismo. o Un isomorfismo de anillos es un homomorfismo biyectivo. Notemos quesi f : A −→ B es ° isomorfismo, ¢ un entonces f −1¢ : B °−→ A¢tambi´n es un ° eisomorfismo, pues f f (a) + f (b) = f f −1 (a) + f f −1 (b) = a + b, luego −1 −1f −1 (a + b) = f −1 (a) + f −1 (b), e igualmente ocurre con el producto. Dos anillos A y B son isomorfos (abreviadamente, A ∼ B) si existe un =isomorfismo f : A −→ B. Cuando dos anillos son isomorfos son algebraicamenteindistinguibles, es decir, uno es conmutativo si y s´lo si lo es el otro, etc. Por otanto podemos considerarlos el mismo anillo.
  21. 21. 1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales u 9 Un anillo A es un subanillo de un anillo B si A ⊂ B y las operaciones de Ason las mismas que las de B. Por ejemplo, {2n | n ∈ Z} es un subanillo de Z(no unitario, por cierto). En general, si f : A −→ B es un homomorfismo, esf´cil ver que f [A] es un subanillo de B. aEjercicio: Considerando Z × Z y Z × {0}, probar que la identidad de un subanillopuede ser distinta de la del anillo. Probar que esto es imposible si los anillos sondominios ´ ıntegros. Un monomorfismo de anillos es un homomorfismo inyectivo. Si f : A −→ Bes un monomorfismo es claro que f : A −→ f [A] es un isomorfismo, o sea, Aes isomorfo a un subanillo de B, luego podemos identificar A con su imagen yconsiderar que A es un subanillo de B. ´ Este es el caso de un dominio ´ ıntegro y su cuerpo de cocientes:Teorema 1.10 Sea A un dominio ´ ıntegro y K su cuerpo de cocientes. a) La aplicaci´n φ : A −→ K dada por φ(a) = a/1 es un monomorfismo de oanillos. b) Si K 0 es un cuerpo y ψ : A −→ K 0 es un monomorfismo de anillos, existeun unico monomorfismo de cuerpos χ : K −→ K 0 tal que para todo a de A se ´cumple χ(φ(a)) = ψ(a). ´ Demostracion: a) es inmediato. Para probar b) basta definir χ(a/b) =ψ(a)ψ(b)−1 . Se prueba que la definici´n no depende de la representaci´n de a/b o ocomo fracci´n y que es un monomorfismo. o Lo que afirma la parte a) del teorema anterior es que podemos considerara A como un subanillo de su cuerpo de cocientes sin m´s que identificar cada aelemento a con a/1, es decir, considerando que dividir entre 1 es no hacer nada. La parte b) afirma que si un cuerpo K 0 contiene a A, entonces tambi´n econtiene una copia isomorfa de K, a saber, el conjunto {ab−1 | a, b ∈ A}. Enotras palabras, si ya tenemos a A contenido en un cuerpo K 0 no necesitamossalirnos de K 0 para construir el cuerpo de cocientes de A. Basta tomar todaslas fracciones posibles con elementos de A aunque, si no tenemos a A metido enning´n cuerpo, siempre podemos realizar la construcci´n de la definici´n 1.8. u o oDefinici´n 1.11 Llamaremos cuerpo de los n´meros racionales Q al cuerpo de o ucocientes de Z. Los elementos de Q son las fracciones a/b con a, b en Z, b 6= 0.Como a = −a , podemos exigir que b sea positivo. b −b El cuerpo Q est´ totalmente ordenado por la relaci´n a ≤ d ⇔ ad ≤ bc a o b c(si b, d > 0). Es f´cil ver que este orden extiende al de Z. Llamaremos Q+ aal conjunto de los n´meros racionales positivos (mayores que 0) y Q− al de los un´meros negativos. u El valor absoluto de un n´mero racional r es u Ω r si r ≥ 0, |r| = −r si r < 0.
  22. 22. 10 Cap´ ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales u El signo de r es   1 si r > 0, sig r = 0 si r = 0,  −1 si r < 0. El lector puede entretenerse demostrando el teorema siguiente:Teorema 1.12 Sean r, s, t y u n´meros racionales. u 1. Si r ≤ s y t ≤ u entonces r + t ≤ s + u. 2. Si r ≤ s entonces −s ≤ −r y si son positivos 1/s ≤ 1/r. 3. Si 0 ≤ r y s ≤ t, entonces rs ≤ rt. 4. Existe un n´mero natural n tal que r < n. u 5. Si r < s existe un n´mero racional t tal que r < t < s. u 6. |r| = |s| si y s´lo si r = s o r = −s. o 7. |r| ≤ a si y s´lo si −a ≤ r ≤ a. o 8. |rs| = |r||s|. 9. |a + b| ≤ |a| + |b|. Ø Ø 10. Ø|a| − |b|Ø ≤ |a − b|. (Veamos por ejemplo la prueba de 10: por 9) |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|,luego |a| − |b| ≤ |a − b|, y similarmente |b| − |a| ≤ |a − b|, luego tenemos que−|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|, y por 7) concluimos 10). Los cuerpos de cocientes nos permiten salirnos temporalmente de un anilloen nuestros c´lculos aunque despu´s volvamos a ´l. Veamos un ejemplo. a e eDefinici´n 1.13 Definimos inductivamente el factorial de un n´mero natural o umediante las condiciones siguientes: 0! = 1, (n + 1)! = (n + 1) n! Por ejemplo 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, etc. Sean n, n1 , . . . , nk n´meros naturales tales que n = n1 +. . . +nk . Definimos uel n´mero combinatorio u µ ∂ n n! = n1 · · · nk n1 ! · · · nk !Si 0 ≤ m ≤ n abreviaremos µ ∂ µ ∂ n n n! = = m m n−m m! (n − m)!
  23. 23. 1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales u 11 µ ∂ 5Por ejemplo, = 10. Vamos a demostrar las propiedades principales de los 3n´meros combinatorios. uTeorema 1.14 Sean m ≤ n n´meros naturales. u °n¢ ° n ¢ 1. m = n−m . ° ¢ ° ¢ °n¢ 2. n = n = 1, 0 n 1 = n. ° n ¢ ° n ¢ ° n+1 ¢ 3. Si m < n, m + m+1 = m+1 . 4. Los n´meros combinatorios son n´meros naturales. u u ´ Demostracion: 3) Hay que probar que n! n! (n + 1)! + = . m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)! (m + 1)! (n − m)!Ahora bien, µ ∂ n! n! + (m + 1)! (n − m)! m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)! n! (m + 1) m! (n − m)! n! (m + 1)! (n − m)(n − m − 1)! = + m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)! = n! (m + 1) + n! (n − m) = m n! + n! + n n! − m n! = (n + 1) n! = (n + 1)! °n¢ 4) Una simple inducci´n nos da que m es un n´mero natural, pues cada o un´mero combinatorio con n + 1 es suma de dos con n, por el apartado 3). u Para el caso general basta usar que µ ∂ µ ∂µ ∂ n n − nk+1 n = . n1 . . . nk nk+1 n1 . . . nk nk+1 La forma m´s f´cil de calcular los n´meros combinatorios es disponerlos en a a uforma de tri´ngulo, de modo que cada uno es la suma de los dos que hay sobre a´l. El tri´ngulo as´ construido se suele llamar tri´ngulo de Tartaglia.e a ı a 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Tri´ngulo de Tartaglia a La utilidad principal de estos n´meros ser´ para nosotros el hecho siguiente: u a
  24. 24. 12 Cap´ ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales uTeorema 1.15 (Binomio de Newton) Sea A dominio, n un n´mero natural uy a, b dos elementos de A. Entonces X µn∂ n (a + b)n = am bn−m . m=0 m ´ Demostracion: Por inducci´n sobre n. Para n = 0 es inmediato. o X µn∂ n n+1 n (a + b) = (a + b) (a + b) = am bn−m (a + b) m=0 m X µn∂ n X µn∂ n m+1 n−m = a b + am bn−m+1 m=0 m m=0 m n+1 X µ ∂ X µn∂ n n m n+1−m = a b + am bn+1−m m=1 m−1 m=0 m µ ∂ µ ∂ n 0 n+1 n n+1 0 = a b + a b 0 n Xµ n ∂ n X µn∂ n + am bn+1−m + am bn+1−m m=1 m−1 m=1 m µ ∂ µ ∂ n 0 n+1 n + 1 n+1 0 = a b + a b 0 n+1 X µµ n ∂ µ n ∂∂ n + + am bn+1−m m=1 m−1 m µ ∂ µ ∂ n µ ∂ n 0 n+1 n + 1 n+1 0 X n + 1 m n+1−m = a b + a b + a b 0 n+1 m=1 m n+1 X µ ∂ n + 1 m n+1−m = a b . m=0 m Pn ° ¢ n Una consecuencia inmediata es que m=0 m = (1 + 1)n = 2n . De forma similar se demuestra en general:Teorema 1.16 Sea A un anillo conmutativo y unitario,n un n´mero natural y ua1 , . . . , ak elementos de A. Entonces se cumple: X µ n ∂ n (a1 + · · · + ak ) = an1 · · · ank , n ,...,n n1 · · · nk 1 k 1 kdonde la suma se extiende sobre todos los n´meros naturales n1 , . . . , nk tales uque n1 + · · · + nk = n.
  25. 25. 1.4. Cuaterniones racionales 131.4 Cuaterniones racionales Para terminar esbozaremos un ejemplo de un anillo de divisi´n D que no oes un cuerpo. La idea es que los elementos de D han de ser de la forma a +bi + cj + dk, donde a, b, c y d son n´meros racionales. Los elementos i, j, k se umultiplican como sigue:i2 = j 2 = k2 = −1, ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j. O sea, cuando multiplicamos en el orden i → j → k → i, el producto esel elemento restante, pero si multiplicamos en el orden inverso obtenemos elopuesto. Seg´n esto, dos elementos cualesquiera se han de multiplicar as´ u ı:(a+bi+cj +dk)(a0 +b0 i+c0 j +d0 k) = (aa0 −bb0 −cc0 −dd0 )+(ab0 +ba0 +cd0 −dc0 )i +(ac0 + ca0 + db0 − bd0 )j + (ad0 + da0 + bc0 − cb0 )k.Como un elemento de D viene determinado por cuatro n´meros racionales, uformalmente podemos definir D = Q4 y las operaciones vendr´n dadas por: a (a, b, c, d) + (a0 , b0 , c0 , d0 ) = (a + a0 , b + b0 , c + c0 , d + d0 ) (a, b, c, d)(a0 , b0 , c0 , d0 )= (aa0 −bb0 −cc0 −dd0 , ab0 +ba0 +cd0 −dc0 , ac0 +ca0 +db0 −bd0 , ad0 +da0 +bc0 −cb0 ). As´ es f´cil, aunque tedioso, probar que D es un anillo unitario. La identidad ı aes, por supuesto, (1, 0, 0, 0). Llamando 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0) y k = (0, 0, 0, 1), esf´cil probar que a (a, b, c, d) = (a, 0, 0, 0)1 + (b, 0, 0, 0)i + (c, 0, 0, 0)j + (d, 0, 0, 0)k.Por otra parte, la aplicaci´n que a cada n´mero racional a le asigna (a, 0, 0, 0) o ues un monomorfismo de anillos, por lo que si identificamos a con (a, 0, 0, 0),obtenemos que cada elemento de D se expresa de forma unica como quer´ ´ ıamos,es decir, (a, b, c, d) = a + bi + cj + dk. Los elementos de D se llaman cuaterniones racionales. Para probar que D esrealmente un anillo de divisi´n conviene llamar conjugado de q = a + bi + cj + dk oal cuaterni´n q = a − bi − cj − dk. Es f´cil probar que q q = a2 + b2 + c2 + d2 . o ¯ a ¯A este n´mero lo llamaremos norma de q. La norma de un cuaterni´n q, que u orepresentaremos por N(q), es un n´mero racional positivo y adem´s claramente u aN(q) = 0 ⇔ q = 0. q ¯ Si q es un cuaterni´n no nulo, tenemos que existe q −1 = N(q) , luego cierta- omente D es un anillo de divisi´n. Como ij 6= ji, no es un cuerpo. oEjercicio: Comprobar que pq = q p, y de aqu´ a su vez que N(pq) = N(p) N(q). ¯¯ ıEjercicio: Escribir expl´ ıcitamente la igualdad N(pq) = N(p) N(q) e interpretarla comouna propiedad de los n´meros naturales. uEjercicio: ¿Qu´ condici´n ha de cumplir un cuerpo K para que podamos construir e oun anillo de divisi´n de cuaterniones sobre K? o
  26. 26. Cap´ ıtulo IIAnillos de polinomios Si x e y son n´meros enteros, xy + x y x2 − 2y son otros n´meros enteros. Su u usuma es x2 +xy+x−2y y su producto (xy+x)(x2 −2y) = x2 (xy+x)−2y(xy+x) =x3 y + x3 − 2xy 2 − 2xy. Al trabajar con n´meros enteros surgen f´cilmente relaciones de este estilo u ay a menudo resulta muy util poder tratarlas como objetos y no como meros ´t´rminos que relacionan n´meros concretos. Lo que vamos a hacer es dar una e uconstrucci´n general que permite a˜adir a cada anillo A un conjunto de elemen- o ntos indeterminados, como aqu´ son x e y, de modo que obtengamos un nuevo ıanillo con elementos como x3 y +x3 −2xy 2 −2xy. A estos objetos los llamaremospolinomios. Un polinomio no es nada m´s que esto, pero la construcci´n formal a oresulta un tanto t´cnica. e2.1 Construcci´n de los anillos de polinomios oDefinici´n 2.1 Sea S un conjunto. Llamemos M el conjunto de las aplicaciones ou : S −→ N tales que el conjunto {i ∈ S | u(i) 6= 0} es finito. Por ejemplo, si S = {x, y, z} y una funci´n u ∈ M cumple u(x) = 3, u(y) = 1, ou(z) = 7, nuestra intenci´n es que u represente al monomio puro x3 yz 7 . o Si u, v son funciones de M llamaremos u + v a la funci´n dada por o (u + v)(i) = u(i) + v(i).Claramente u + v est´ en M . a Notemos que la suma u + v representa al producto de los monomios repre-sentados por u y°por ¢ Si m ∈ N y u ∈ M llamaremos mu a la funci´n dada v. opor (mu)(i) = m u(i) . Tambi´n es claro que mu est´ en M . Es claro que mu e arepresenta a la potencia m–sima del monomio representado por u. Llamaremos0 a la funci´n de M que toma constantemente el valor 0. o Si x ∈ S llamaremos ≤x ∈ M a la funci´n que toma el valor 1 en x y vale 0 oen cualquier otro punto. Claramente, ≤x representa al monomio x. 15
  27. 27. 16 Cap´ ıtulo 2. Anillos de polinomios Notemos que si u ∈ M y x1 , . . . , xn son los puntos donde u no se anula,entonces u puede expresarse como u = u(x1 )≤x1 + · · · + u(xn )≤xn . Si pensamosen el primer ejemplo, esto se interpreta como que el monomio u es el productodel monomio x elevado a 3, por el monomio y, por el monomio z elevado a 7. Un polinomio arbitrario, como x3 y + x3 − 2xy 2 − 2xy, es una suma de mono-mios no necesariamente puros, sino multiplicados por coeficientes en un anillodado. Esto nos lleva a la definici´n siguiente: o Si A es un anillo, llamaremos conjunto de los polinomios con indeterminadasen S sobre A al conjunto A[S] formado por las funciones f : M −→ A tales queel conjunto {u ∈ M | f (u) 6= 0} es finito. As´ si f ∈ A[S] y u ∈ M , el elemento f (u) se interpreta como el coeficiente ı,del monomio u en f . Con estas ideas el lector puede convencerse de que ladefinici´n l´gica de las operaciones en A[S] es la siguiente: o o P (f + g)(u) = f (u) + g(u), (f g)(u) = f (v)g(w). v+w=u Notar que el sumatorio que define el producto es finito.Teorema 2.2 Sea A un anillo y S un conjunto. Entonces A[S] es un anillo.Si A es conmutativo o unitario, A[S] tambi´n lo es. e ´ Demostracion: Es f´cil ver que si f , g, h ∈ A[S], entonces (f + g) + h = af + (g + h) y f + g = g + f . La aplicaci´n 0 : M −→ A que toma constantemente el valor 0 es el elemento oneutro de A[S] y si f ∈ A[S], la funci´n dada por (−f )(u) = −f (u) es el osim´trico de f . Si f , g, h ∈ A[S] y u ∈ M se cumple e ° ¢ P P P (f g)h (u) = f (s)g(t)h(w) = f (s)g(t)h(w) v+w=u s+t=v w+s+t=u P P ° ¢ = f (s)g(t)h(w) = f (gh) (u), s+v=u t+w=vluego (f g)h = f (gh). ° ¢ P ° ¢ f (g + h) (u) = f (v) g(w) + h(w) v+w=u P P = f (v)g(w) + f (v)h(w) = (f g)(u) + (f h)(u), v+w=u v+w=uluego f (g + h) = f g + f h, e igualmente (f + g)h = f h + gh. Si A es conmutativo P P (f g)(u) = f (v)g(w) = g(w)f (v) = (gf )(u), v+w=u v+w=uluego f g = gf , es decir, A[S] es conmutativo. Si A es unitario, sea 1 la aplicaci´n que vale 1 sobre 0 ∈ M y vale 0 en otro ocaso. Entonces (f 1)(u) = f (u), luego f 1 = f . Igualmente 1f = f . Los teoremas siguientes prueban que los polinomios son lo que esperamosque sean. El primer paso es sumergir A en A[S]. El teorema siguiente es unacomprobaci´n rutinaria. o

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