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    Tablas2 Tablas2 Document Transcript

    • ÍNDICE<br />Introducción2La tabla de integrales4Utilización inmediata de las fórmulas12Método de sustitución16Otras técnicas de integración23Aplicaciones31Anexo 141Respuestas a los ejercicios42Bibliografía46<br />1. Introducción<br />El objetivo del presente trabajo es proporcionar al estudiante un repaso breve acerca de los métodos de integración más usuales empleando una tabla de integrales. <br />El concepto de integral es una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la ingeniería entre las que destacan obviamente el cálculo de áreas, volúmenes, centros de gravedad, trabajo mecánico, presión hidrostática, entre otras. Así mismo en las matemáticas mismas como lo son la probabilidad, el cálculo multivariable, cálculo vectorial y las ecuaciones diferenciales, por lo que resulta oportuno tener un manejo más o menos adecuado de las técnicas de integración para cursos posteriores.<br />Por esta razón y atendiendo a la petición de la Academia de Ciencias Básicas en 2006 y 2007 se trabajó en un pequeño curso intersemestral del que salieron las versiones 1 y 1.1 de este trabajo y es hasta este 2010 que se reescribe la versión 2.0 que mantiene el mismo espíritu de las versiones anteriores y de la cual se harán breves modificaciones que más adelante se describen brevemente.<br />El contenido está diseñado según lo siguiente:<br />En la primera sección se describe el uso de la tabla de integrales. En ella se explica cómo se encuentran agrupadas las fórmulas, lo que permite su rápida localización y posterior uso. Aunque existen muchas tablas de integrales, la utilizada aquí es la proporcionada por la Dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST) para el Evento Nacional de Ciencias Básicas (ENCB).<br />En la segunda se utilizan las fórmulas de manera directa.<br />La siguiente sección se repasa el método de sustitución, por lo que hay que tener presente el proceso de derivación. En esta sección también se reducen integrales que se pueden resolver por alguna de las fórmulas empleando este método.<br />La penúltima sección se refiere a otros artificios de integración, en la que se mostrará la técnica de completar cuadrados, de realizar manipulaciones algebraicas entre otras y que también son necesarias para enfrentarse con un problema de esta índole.<br />En la última sección se muestran las aplicaciones. En ella, se encuentran aquellas clásicas como lo son el área, volumen de sólidos de revolución, se introducen las integrales múltiples, las ecuaciones diferenciales de primer orden, la transformada de Laplace y los coeficientes de Fourier.<br />Entre los cambios que se han realizado con respecto a las versiones anteriores se encuentran las siguientes:<br />La primera de ellas es la explicación de cómo se encuentran agrupadas las integrales en el formulario. <br />Las ecuaciones en todos los ejemplos van numeradas para una fácil referencia. <br />Se integran comentarios adicionales acerca de la solución de cada uno de los ejemplos.<br />Respuestas a cada uno de los ejercicios planteados.<br />El desarrollo de este pequeño manual es de carácter práctico en un 95%, por lo que en el presente sólo encontrarán ejemplos, los cuales están rotulados en azul. Las fórmulas a utilizar también se resaltan y el término de la solución de un ejemplo se termina con el símbolo . <br />Finalmente quiero expresar mi agradecimiento a todos aquellos que de una manera directa o indirecta han inspirado, utilizado o criticado este material es sus versiones anteriores, de manera particular y sin querer omitir a alguien, a la Academia de Ciencias Básicas, ya que sin todos ustedes este pequeño esfuerzo no hubiera sido posible.<br />Julio 2010<br />2. La tabla de integrales<br />La tabla de integrales a utilizar es la siguiente:<br />3. Utilización inmediata de las fórmulas<br />Ejemplo 1. Calcular .<br />Solución. Vamos a ocupar la fórmula<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.1)<br />En este caso , por lo que según GOTOBUTTON ZEqnNum510138 * MERGEFORMAT (1.1) se tiene que:<br />. <br />Ejemplo 2. Calcular .<br />Solución. Se ocupa la fórmula<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.2)<br />En este caso, , por lo que según GOTOBUTTON ZEqnNum242169 * MERGEFORMAT (1.2) se tiene que:<br /> <br />Ejemplo 3. Determinar .<br />Solución. Se emplea la fórmula<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.3)<br />En este caso y , por lo que al ocupar GOTOBUTTON ZEqnNum543934 * MERGEFORMAT (1.3)<br /> <br />Ejemplo 4. Hallar .<br />Solución. Se ocupa la fórmula<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.4)<br />Aquí y , por lo que al sustituir en GOTOBUTTON ZEqnNum772689 * MERGEFORMAT (1.4)<br /> <br />Ejemplo 5. Evaluar .<br />Solución. Utilizaremos la fórmula<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.5)<br />Puesto que por lo que al sustituir en GOTOBUTTON ZEqnNum672050 * MERGEFORMAT (1.5)<br /> <br />Ejemplo 6. Encontrar .<br />Solución. Este ejemplo se refiere a las denominadas fórmulas de reducción, a saber:<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.6)<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.7)<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.8)<br />En este caso , por lo que aplicando GOTOBUTTON ZEqnNum291967 * MERGEFORMAT (1.6) tenemos que<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.9)<br />Ahora bien, por GOTOBUTTON ZEqnNum928118 * MERGEFORMAT (1.7),<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.10)<br />pero por GOTOBUTTON ZEqnNum184614 * MERGEFORMAT (1.8):<br />, <br />y por lo tanto, sustituyendo GOTOBUTTON ZEqnNum662767 * MERGEFORMAT (1.10) en GOTOBUTTON ZEqnNum642988 * MERGEFORMAT (1.9):<br /> <br />Ejemplo 7. Evaluar .<br />Solución. Se ocupa la fórmula<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.11)<br />En este caso, , por lo que al usar GOTOBUTTON ZEqnNum432337 * MERGEFORMAT (1.11)<br /> <br />Ejemplo 8. Determinar .<br />Solución. Se utiliza la fórmula<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (1.12)<br />En este caso, por lo que al ocupar GOTOBUTTON ZEqnNum162973 * MERGEFORMAT (1.12)<br /> <br />Ejemplo 9. Encontrar .<br />Solución. Se aplica la fórmula , con , para obtener<br /> <br />Ejercicios A<br />Encontrar las siguientes integrales.<br />1. .3. .5. .7. .9. .11. . 13. .15. .2. .4. 6. .8. .10. .12. .14. .<br />4. El método de sustitución.<br />El método de sustitución es un método muy eficaz para reducir el problema de calcular una integral a una que se encuentra en la tabla de integrales.<br />Consiste en cambiar el nombre a una expresión a través de una igualdad y hacer que aparezca la diferencial de esta expresión. Este método es el inverso de la regla de la cadena para derivación.<br />De manera general el esquema es el siguiente:<br />Llamar mediante una letra (frecuentemente se usa la letra u) una expresión en lo que se va a integrar.<br />Obtener la diferencial de esta expresión (se escribe du y se iguala a la derivada de la expresión elegida en 1 y se le agrega el símbolo dx (dependiendo de la letra que se deriva).<br />Se despeja dx (o la letra que se deriva) de la diferencial obtenida en 2.<br />Se sustituye lo que se obtiene en 1 y en 3 en la integral a calcular y se tiene entonces una que se calcula ocupando la tabla.<br />Se regresa a la variable anterior (la que se deriva) mediante 1.<br />Ejemplo 1. Evaluar .<br />Solución. Hacemos , de donde de donde<br /> MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section 2 SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT SEQ MTSec 2 h * MERGEFORMAT MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.1)<br />Para resolver la última integral en GOTOBUTTON ZEqnNum404841 * MERGEFORMAT (2.1) aplicamos la fórmula<br /> MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section 2 SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT SEQ MTSec 2 h * MERGEFORMAT <br />Con para obtener<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.2)<br />Al sustituir GOTOBUTTON ZEqnNum505588 * MERGEFORMAT (2.2) en GOTOBUTTON ZEqnNum404841 * MERGEFORMAT (2.1) se tiene finalmente que<br /> <br />Ejemplo 2. Hallar .<br />Solución. Hacemos de donde y así:<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.3)<br />Puesto que <br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.4)<br />Entonces al sustituir GOTOBUTTON ZEqnNum250492 * MERGEFORMAT (2.4) en GOTOBUTTON ZEqnNum729421 * MERGEFORMAT (2.3) se tiene que<br /> <br />Ejemplo 3. Encontrar .<br />Solución. Se hace , por lo que y así:<br />. MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.5)<br />Puesto que <br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.6)<br /> Entonces por GOTOBUTTON ZEqnNum826533 * MERGEFORMAT (2.6) en GOTOBUTTON ZEqnNum329932 * MERGEFORMAT (2.5)<br /> <br />Ejemplo 4. Determinar .<br />Solución. En este caso, entonces , por lo que<br /> <br />Ejemplo 5. Evaluar .<br />Solución. Se escribe primero<br />,<br />De donde se hace y y , por lo que<br /> <br />Ejemplo 6. Hallar .<br />Solución. Nuevamente se aplica la misma ley referente a los exponentes del ejemplo anterior, para que se escriba<br />,<br />por lo que se hace , por lo que y , para encontrar que<br /> <br />Ejemplo 7. Hallar .<br />Solución. Se pone , para determinar que y así:<br />.<br />Como<br />,<br />Entonces<br />Así<br /> <br />Ejemplo 8. Evaluar .<br />Solución. En este caso, se hace , por lo que<br />.<br />Puesto que <br />,<br />Entonces<br /> <br />Ejemplo 9. Obtener .<br />Solución. En este caso , de modo que<br />.<br />Ahora se utiliza la fórmula de reducción<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.7)<br />Se utiliza primero GOTOBUTTON ZEqnNum230308 * MERGEFORMAT (2.7) con para encontrar que<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.8)<br />Nuevamente se aplica GOTOBUTTON ZEqnNum230308 * MERGEFORMAT (2.7) con :<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.9)<br />Puesto que , entonces GOTOBUTTON ZEqnNum878868 * MERGEFORMAT (2.9) se transforma en<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.10)<br />Al incluir GOTOBUTTON ZEqnNum499275 * MERGEFORMAT (2.10) en GOTOBUTTON ZEqnNum431303 * MERGEFORMAT (2.8) <br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.11)<br />Como , GOTOBUTTON ZEqnNum365765 * MERGEFORMAT (2.11) finalmente se transforma en<br /> <br />Este último ejemplo, no sigue el esquema general presentado al principio de esta sección. La diferencia estriba en que después de elegir la variable u hay que despejar previamente para seguir con el procedimiento ya descrito.<br />Ejemplo 10. Encontrar .<br />Solución. Se hace , de donde y , por lo que<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.12)<br />Para determinar la última integral se utiliza<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.13)<br />con , de donde<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.14)<br />Ahora se utiliza<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.15)<br />con para obtener:<br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (2.16)<br />Para obtener la última integral en GOTOBUTTON ZEqnNum481093 * MERGEFORMAT (2.16) se ocupa nuevamente GOTOBUTTON ZEqnNum743945 * MERGEFORMAT (2.13) con :<br />,<br />de modo que en GOTOBUTTON ZEqnNum481093 * MERGEFORMAT (2.16):<br />,<br />y en GOTOBUTTON ZEqnNum400212 * MERGEFORMAT (2.14):<br />y finalmente<br /> <br />Ejercicios B<br />Evaluar las siguientes integrales<br />1. .3. .5. .7. .9. .11. 13. .15. 2. .4. .6. .8. .10. .12. 14. .<br />5. Otras técnicas de integración<br />Cuando se integran funciones racionales, nos podemos encontrar con expresiones del tipo con ; expresiones de este tipo se denominan irreducibles. En este caso, resulta útil completar el cuadrado perfecto y entonces aplicar alguna de las fórmulas que se encuentran en la tabla ya descrita previa una sustitución. <br />Para ver de una manera más detallada la aplicación de este proceso consultar el anexo 1.<br />Ejemplo 1. Encontrar .<br />Solución. La técnica es completar el cuadrado perfecto como sigue:<br />.<br />Por lo tanto:<br />.<br />Ocupamos la sustitución y así<br /> <br />Ejemplo 2. Calcular .<br />Solución. Completamos el cuadrado como<br />.<br />Así:<br />.<br />Hacemos la sustitución y así: <br /> <br />Ejemplo 3. Obtener .<br />Solución. Completamos el cuadrado perfecto como sigue:<br />.<br />Entonces:<br />.<br />Hacemos y así:<br /> <br />Ejemplo 4. Hallar <br />Solución. Se completa el cuadrado como sigue:<br />.<br />Por lo tanto,<br />.<br />Hacemos , por lo que<br /> <br />Ejemplo 5. Evaluar .<br />Solución. Hacemos primero y así:<br />.<br />Ahora bien<br />y<br />.<br />Hacemos y<br />.<br />Finalmente<br /> <br />Algunas ocasiones es necesario separar el integrando para aplicar algunas de las fórmulas, lo que se muestra en los siguientes ejemplos.<br />Ejemplo 6. Hallar .<br />Solución. Se procede a separar la integral como<br />.<br />La primera integral se resuelve por sustitución como sigue: <br /> y<br />.<br />La segunda integral es<br />,<br />por lo que<br /> <br />Ejemplo 7. Evaluar .<br />Solución. Se procede a separar la integral como<br />.<br />Puesto que<br />.<br />Por lo tanto<br /> <br />Ejemplo 8. Obtener.<br />Solución. Puesto que<br />,<br />Entonces<br />.<br />Como , entonces , por lo que<br />Algunas otras formas en las que se ocupan otros medios se encuentran en los siguientes ejemplos.<br />Ejemplo 9. Calcular .<br />Solución. Hacemos , de donde y así<br /> <br />Ejemplo 10. Evaluar .<br />Solución. Se hace , de donde , por lo que<br /> <br />Ejemplo 11. Hallar .<br />Solución. Como , entonces<br />,<br />por lo que<br /> <br />Ejemplo 12. Encontrar .<br />Solución. Como , entonces<br /> <br />Ejemplo 13. Determinar .<br />Solución. Primero completamos el cuadrado perfecto de esta manera:<br />.<br />Por lo tanto,<br />.<br />Hacemos ahora , de donde , por lo que la última integral se transforma en:<br />.<br />Puesto que<br />,<br />Y<br />Entonces<br /> <br />Ejemplo 14. Determinar .<br />Solución. Manipulamos el integrando como sigue<br />.<br />En consecuencia<br />.<br />Para la primera integral del lado derecho se hace por lo que<br />.<br />Para la segunda integral, hacemos y<br />En consecuencia<br /> <br />Ejercicios C<br />Evaluar las siguientes integrales<br />1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. <br />6. Aplicaciones<br />Para realizar las aplicaciones de la integral hay que entender correctamente el siguiente enunciado.<br />Teorema (Fundamental del Cálculo, segunda parte). Si f es continua en [a,b] y F es una antiderivada de f, i. e. para x en [a,b], entonces<br />.<br />Puesto que es una antiderivada de , entonces el teorema anterior nos dice que hay que encontrar la integral indefinida y luego evaluarla en los extremos según lo que afirma este enunciado.<br />Usualmente se ocupa la siguiente notación para el cálculo de integrales definidas:<br />.<br />Ejemplo 1 (Área). Calcular el área limitada por las curvas y .<br />Solución. Una gráfica (figura 1) nos determina que el área buscada es:<br />Figura SEQ Figura * ARABIC 1<br />Ejemplo 2 (Trabajo). Cuando una partícula se ubica a una distancia de x pies del origen, una fuerza dada por actúa sobre ella. Calcular el trabajo que se realza al mover la partícula desde hasta .<br />Solución. El trabajo está dado por , donde F representa la fuerza y los extremos representan las posiciones en las que se mueve la partícula. <br />Así que<br /> MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT <br />Ejemplo 3 (Integrales múltiples). Así como la integral definida representa el área de una función de una variable y que es no negativa, las integrales dobles representan volúmenes de superficies, esto es, la gráfica de una función f de dos variables usualmente x y y que toman valores entre intervalos cerrados, por ejemplo , . Este tipo de integral múltiple se escribe como <br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (3.1)<br />en la que se aprecia el orden en que se escriben los límites de integración, en la primera integral de izquierda a derecha se ponen los de la letra que dice el último diferencial que en este caso es dy.<br />De esta manera la integral GOTOBUTTON ZEqnNum558099 * MERGEFORMAT (3.1) es equivalente a <br /> MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (3.2)<br />La manera de encontrar su valor (o evaluarlas) es a través de lo que se llama las integrales iteradas. Por ejemplo para encontrar el valor de GOTOBUTTON ZEqnNum955896 * MERGEFORMAT (3.2), se resuelve primero la integral interna, esto es con respecto a y, considerando a x como constante. Una vez realizada se encuentra la integral exterior esto es con respecto a x. En esta última se tiene una integral que sólo depende de esa letra.<br />De manera análoga la integral en GOTOBUTTON ZEqnNum558099 * MERGEFORMAT (3.1) se calcula primero con respecto a x, considerando a y constante. Una vez realizada ésta se calcula con respecto a y.<br />A manera de ejemplo, se calculará .<br />Solución. Primero se encuentra .<br />El proceso es el siguiente:<br />Este último resultado se pone en la integral con respecto a y, esto es ahora se calcula . Finalmente:<br /> <br />Ejemplo 4 (Ecuaciones diferenciales separables). Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas de una función desconocida. El orden de una ecuación diferencial está determinada por el orden de la derivada de mayor grado. Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de una sola variable; es parcial si la función desconocida depende de dos o más variables y se consideran sus derivadas parciales.<br />Una solución de una ecuación diferencial es una función que al sustituirse en la ecuación dada, produce una identidad.<br />El tipo más simple de ecuaciones de primer orden son las separables, cuya forma es <br />,<br />Cuya solución se obtiene escribiéndola como<br />,<br />e integrando esta última relación, esto es la solución general es<br />.<br />Como ejemplo, resolveremos<br />.<br />Para resolverla, escribimos la ecuación como<br />que al integrar da<br />Ejemplo 5 (Ecuación separable). Resolver .<br />Solución. Puesto que , escribimos la ecuación como<br />que al integrar da<br /> <br />Ejemplo 6 (Ecuaciones lineales). Una ecuación lineal de primer orden puede escribirse en la forma<br /> , MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (3.3)<br />donde p y g son funciones dadas. Si g es idénticamente cero se dice que GOTOBUTTON ZEqnNum130016 * MERGEFORMAT (3.3) es homogénea. En otro caso se dice que es no homogénea.<br />En el caso de una ecuación no homogénea, la solución está dada por:<br />,<br />cuya construcción se realiza mediante los siguientes pasos:<br />Identificar <br />Calcular .<br />Escribir .<br />Identificar y hacer .<br />Calcular .<br />Escribir .<br />Escribir .<br />Escribir .<br />Solución general: .<br />A manera de ejemplo resolveremos<br />.<br />Aplicaremos los nueve pasos ya descritos, a saber:<br />I. .<br />II. .<br />III. <br />IV. , .<br />V. <br />VI. .<br />VII. .<br />VIII. .<br />IX. Solución: <br />Ejemplo 7 (Transformada de Laplace). Sea dada para . La transformada de Laplace de f, que se denotará por o se define por<br />,<br />donde la integral en el lado derecho se denomina integral impropia y se define por<br />,<br />esto es como un límite de integrales definidas.<br />Calculemos la transformada de Laplace de la función definida por . <br /> <br />Para ver que el límite a infinito de una exponencial negativa, la figura 2 muestra la gráfica de generada en Maple.<br />Figura SEQ Figura * ARABIC 2. Gráfica de una exponencial negativa<br />Ejemplo 7 (Transformada de Laplace). Determinar .<br />Solución. Tenemos que<br />Ejemplo 8. (Transformada de Laplace). Determinar .<br />Solución. Tenemos que:<br />Figura SEQ figura * ARABIC 3. Gráfica de la función <br />Ejemplo 9 (Coeficientes de Fourier). Supongamos que f está definida en el intervalo y que .<br />La serie de Fourier de f está dada por<br />,<br />donde<br />y<br />que se denominan coeficientes de Fourier.<br />Las siguientes consideraciones son útiles para calcular los coeficientes de Fourier.<br />1. Si f es par, esto es sobre , entonces<br />Figura SEQ Figura * ARABIC 4. Gráfica de una función par<br />2. Si f es impar, esto es sobre , entonces<br />Figura SEQ Figura * ARABIC 5. Gráfica de una función impar<br />Como ejemplo, calculemos los coeficientes de Fourier de con x en . Puesto que f es impar, entonces <br />.<br />Primero se calcula . Para obtenerla se hace , por lo que:<br />En consecuencia<br />.<br />Puesto que y , entonces<br />.<br />Así:<br /> <br />Ejemplo 10 (Coeficientes de Fourier). Hallar los coeficientes de Fourier de con x en .<br />Solución. Puesto que f es par, entonces<br />Como en el ejemplo anterior, calcularemos .<br />Hacemos y así:<br />.<br />Ahora bien<br />,<br />y como<br />,<br />entonces<br />.<br />Por lo tanto:<br />Así<br />En consecuencia<br /> <br />Anexo 1. Completar el cuadrado perfecto<br />Para completar el cuadrado perfecto de una expresión de la forma , se procede de la siguiente manera:<br />1. Se toma el valor (con todo y signo) del factor que contiene la potencia 1, es decir b.<br />2. Se divide este valor por 2, esto es se obtiene .<br />3. Se eleva esta cantidad al cuadrado para obtener .<br />4. Se suma y se resta este valor de la siguiente manera .<br />5. Se factoriza la primera parte de la suma anterior y se escribe finalmente .<br />Ejemplo. Aplicar el procedimiento a la expresión .<br />1. El valor que se toma es 6.<br />2. Se realiza la operación .<br />3. Se eleva al cuadrado el resultado del paso 2, esto es .<br />4. Se escribe .<br />5. Finalmente x2+6x-7=(x+3)2-16 .<br />Respuestas<br />A<br />1. <br />2. <br />3. <br />4. <br />5. <br />6. <br />7. <br />8. <br />9. <br />10. <br />11. <br />12. <br />13. <br />14. <br />15. <br />B<br />1. <br />2. <br />3. <br />4. <br />5. <br />6. <br />7. <br />8. <br />9. <br />10. <br />11. <br />12. <br />13. <br />14. <br />15. <br />C<br />1. 23tan-1x-33+C<br />2. -9-4xx-23ln9-4x-39-4x+3+C<br />3. sin-1p5+C<br />4. 7x+55245-57x+54196+C<br />5. -r24-r2+2sin-1r2+C<br />6. 23t-4-4tan-13t-42+C<br />7. 2x2-14cos-1x-x1-x24+C<br />8. 2sinp-pcosp+C<br />9. -x2x2+3+123tan-1x3-3x2+3+C<br />10. y+1tan-1y-y+C<br />11. 2ln2-x-22-x+2+22-x+C<br />12. lny2+4-12tan-1y2+C<br />13. secx-tanx+x+C<br />14. 2x-4+8lnx-4+C<br />15. 12tan-1y-22+C<br />16. tan-1t+2+C<br />17. sin-1x-2+C<br />18. x2+x+2ln2x-1+C<br />19. x-2tan-1x2+C<br />20. sinsin-1x+C<br />21. 13tan-1θ-13+C<br />22. -2cotx+cscx+lnsecx+tanx+C<br />23. tan-1sinx+C<br />24. x-122+3x-1+3lnx-1-1x-1+C<br />25. 4sec-17m2+C<br />Bibliografía<br />[1] Thomas - Finney, Cálculo una variable, Addison Wesley Longman<br />[2] Stewart James, Cálculo Diferencial e Integral, Thomson.<br />[3] Salas Etgen, Calculus uma variable, Editorial Reverté.<br />[4] Marsden – Weinstein, Calculus I, Springer Verlag.<br />[5] Marsden – Weinstein, Calculus II, Springer Verlag.<br />[6] Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Thomson Learning.<br />[7] Boyce Di Prima, Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Noriega.<br />[8] Medina David, Valera Fabián, Diplomado: Aplicación de Software para la Enseñanza de las Ciencias Básicas, Versiones 2009 y 2010, Dirección General de Educación Superior Tecnológica.<br />