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  1. 1. Cálculo de variaciones Programa de Posgrado FISYMAT Antonio Cañada VillarDepartamento de Análisis Matemático Universidad de Granada
  2. 2. ´ CALCULO DE VARIACIONES. PROGRAMA DE POSGRADO FISYMAT, UNIVERSIDAD DE GRANADA ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 En las notas que siguen se recogen de manera esquem´tica algunas de las aideas fundamentales que se explican en el curso “C´lculo de Variaciones y aOptimizaci´n”, del programa de posgrado Fisymat. Estas notas est´n en o aconstante proceso de elaboraci´n. Espero que cada alumno encuentre algo ode utilidad en ellas. ´ ´ ´ 1. Introduccion, motivacion y notas historicas: del problema de la braquistocrona a la teor´ de puntos cr´ ıa ıticos.1.1. Recomendaciones bibliogr´ficas. a Los problemas de m´ximos y m´ a ınimos constituyeron la motivaci´n funda- omental para la creaci´n del C´lculo Diferencial e Integral a finales del siglo o aXVII. El origen del C´lculo Diferencial e Integral se atribuye fundamental- amente a Newton y Leibniz. El significativo trabajo de Leibniz titulado “Nova methodus pro maximiset minimis itemque tangentibus” que puede considerarse como el nacimientoformal del C´lculo, se public´ en 1684 y las palabras con las que Leibniz a odescribe el t´ ıtulo de esta obra nos dan una idea muy precisa del contenido:nuevo m´todo para el estudio de m´ximos y m´ e a ınimos de funciones usando lanoci´n de tangente. En este tratado se proporciona un m´todo muy preciso o epara el c´lculo de m´ximos y m´ a a ınimos de funciones concretas que surgenen las aplicaciones m´s diversas. Dicho m´todo usa la noci´n de derivada, a e opunto cr´ıtico, derivadas de orden superior, etc. Un buen resumen de la evoluci´n hist´rica del c´lculo de variaciones se o o apuede ver en los siguientes art´ıculos: Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influenceson the Mathematics of the First Half of Our Century. Part I. AmericanMathematical Monthly, volumen 101, no. 7, 674-678, (1994). Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influenceson the Mathematics of the First Half of Our Century. Part II. AmericanMathematical Monthly, volumen 101, no. 9, 902-908, (1994). La introducci´n del libro de texto recomendado [3] ofrece informaci´n o ohist´rica de inter´s. o e 1
  3. 3. 2 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 Por cierto, la revista mencionada, American Mathematical Monthly, esmuy recomendable para los alumnos de los ultimos cursos de la licencia- ´tura en Matem´ticas. Tiene secciones muy diversas: art´ a ıculos, problemas,rese˜as de libros, etc. El nivel es, en general, asequible. Os animo a que la nconsult´is habitualmente. e Como veremos a continuaci´n, los problemas que trata el c´lculo de va- o ariaciones se formularon inemdiatamente despu´s del nacimiento del C´lculo. e a1.2. Algunos problemas significativos del C´lculo de Variaciones. . a Seg´n M. Kline ([10]) el primer problema significativo del C´lculo de u aVariaciones fue propuesto y resuelto por Newton en el libro II de sus “Prin-cipia”. Estudiando la forma que deb´ tener una superficie de revoluci´n, ıa omovi´ndose en el agua (o cualquier otro fluido) a velocidad constante a lo elargo de su eje para ofrecer una resistencia m´ ınima al movimiento, se plante´ oel estudio de m´ ınimos de funcionales de la forma b y(x)(y (x))3(1.1) Φ(y) = a 1 + (y (x))2donde la funci´n y(x) pertenece a un espacio apropiado de funciones de clase oC 1 [a, b]. Por ejemplo, podemos pensar que y(·) ∈ Y, donde Y = {y : [a, b] → R : y ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 }donde (a, y1 ), (b, y2 ) son dados. Ya apreciamos la primera diferencia fundamental respecto de los proble-mas de m´ximos y m´ a ınimos estudiados por el alumno en la licenciatura:en (1.1) la “variable independiente” y(x) pertenece a un conjunto adecuadode funciones y no a un subconjunto del espacio eucl´ ıdeo finito dimensional.Tengamos en cuenta que los espacios de funciones son, en general, espaciosvectoriales de dimensi´n infinita. Os recomiendo la lectura y consulta del oart´ ıculo: G. Buttazzo y B. Kawohl: On Newton’s problem of minimal re-sistance, Mathematical Intelligencer, volumen 15, 7-12, (1992). Por cierto,esta revista, Mathematical intelligencer, es tambi´n muy recomendable para elos alumnos. De todas formas, suele considerarse que lo que se entiende hoy en d´ ıapor C´lculo de Variaciones, naci´ con la proposici´n de Johann Bernou- a o olli,en 1.696, del problema de la braquistocrona (seg´n algunos autores, este uproblema fue formulado con anterioridad por Galileo en 1638). Puede des-cribirse as´ una masa puntual se desliza, por acci´n de la gravedad, desde un ı: opunto A del plano , hasta otro punto B, a trav´s de alguna curva. El tiempo eempleado para ir desde A hasta B depende de la curva elegida. ¿Para qu´ ecurva se tendr´ que el tiempo es m´ a ınimo? Puede verse ([17]) que esto exige
  4. 4. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 3el estudio de funcionales de la forma b 1/2 1 + y (x)2(1.2) dx a y(x)donde, como en (1.1), la variable independiente y(·), pertenece a un conjuntoadecuado de funciones. Contrariamente a lo que puede sugerir nuestra intuici´n, la soluci´n de o oeste problema no es ni el segmento rectil´ ıneo que une A con B, ni ning´n arco ude circunferencia que pase por A y B. La soluci´n, un arco de cicloide, fue oencontrada por diferentes matem´ticos: Jakob Bernoulli, Newton, Leibniz, aL’Hopital, etc. En los ejemplos citados con anterioridad, la variable independiente es unafunci´n y(x). Hay otros problemas, donde de manera natural surge el estudio ode funcionales cuya variable independiente pueden ser varias funciones. In-cluso, se pueden plantear problemas que recuerdan a los m´ximos y m´ a ınimoscondicionados (multiplicadores de Lagrange). Por ejemplo, esto ocurre enel llamado problema isoperim´trico que describimos a continuaci´n. Dado e oun n´mero real positivo L, se trata de estudiar la cuesti´n siguiente: de u otodas las curvas cerradas del plano de longitud dada L > 0, ¿cu´l es la que aencierra mayor ´rea? a Si escribimos la curva mediante sus ecuaciones param´tricas e(1.3) x = x(s)(1.4) y = y(s)(donde s es, por ejemplo, el par´metro arco), entonces es conocido que el aa´rea encerrada por la misma viene dada por: L 1(1.5) A = Φ(x, y) = x(s)y (s) − x (s)y(s) ds 2 0 Por tanto, se trata de hacer m´xima una expresi´n donde la variable a oes un par de funciones x(s), y(s). M´s precisamente, el par de funciones ax(·), y(·) pertenecen al espacio de funciones de clase C 1 [0, L] y, adem´s, ax(0) = x(L), y(0) = y(L) (la curva es cerrada). Por otra parte, al ser s elpar´metro arco se ha de cumplir la restricci´n a o (x (s))2 + (y (s))2 = 1, ∀ s ∈ [0, L].Esto es pues un problema de m´ximos y m´ a ınimos condicionados. Puede probarse ([7]) la relaci´n o(1.6) L2 − 4πA ≥ 0
  5. 5. 4 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10y que la igualdad se da s´lo para cualquier circunferencia de longitud L. Un om´todo elegante y sencillo para estudiar este problema usa algunos hechos eb´sicos de la teor´ de Series de Fourier ([5]). a ıa El problema puede plantearse tambi´n en dimensiones superiores n ≥ e3, prob´ndose que si B ⊂ Rn , es un conjunto con algunas restricciones aadicionales, entonces ([7])(1.7) [L(∂B)]n − nn ωn [M (B)]n−1 ≥ 0donde ωn es el volumen de la bola unidad n−dimensional, es decir, ωn = BRn (0;1) 1 y [M (B)] es la medida de Lebesgue n−dimensional de B. Porsu parte, L(∂B) es la medida de Lebesgue n − 1-dimensional de la fronterade B. Adem´s la igualdad se da en la expresi´n anterior si y s´lo si B es a o ouna bola. Un ejemplo de especial significaci´n, desde el punto de vista de la f´ o ısica,lo constituye el principio de Hamilton. Vamos a ver que proporciona unaformulaci´n variacional (en t´rminos de m´ximos y m´ o e a ınimos, o al menos,puntos estacionarios o cr´ ıticos), de la segunda ley de Newton. Supongamos que una part´ ıcula de masa 1 se desplaza en el espacio eucl´ ıdeotridimensional desde un punto dado p1 a otro p2 en el intervalo de tiempo[t1 , t2 ], bajo la acci´n de una fuerza F : R3 −→ R3 que depende s´lo de la o oposici´n de la part´ o ıcula. En este caso, F = F (x), x = (x1 , x2 , x3 ). Si x : [t1 , t2 ] −→ R3 , t → x(t), es la trayectoria de la part´ ıcula, entoncesla segunda ley de Newton (masa × aceleracion = f uerza) nos proporcionala relaci´n o(1.8) x (t) = F (x(t)), x(t1 ) = p1 , x(t2 ) = p2 (1.8) es una ecuaci´n diferencial ordinaria de segundo orden. o El C´lculo de Variaciones nos proporciona otra interpretaci´n de (1.8), a ocercana a problemas de m´ximos y m´ a ınimos cuando la fuerza F es con-servativa, esto es, deriva de un potencial U : R3 → R. Esto quiere decirque U (y) = F (y), ∀y ∈ R3 , donde U (y) = ∂U (y) , ∂U (y) , ∂U (y) = ∂y1 ∂y2 ∂y3(F1 (y), F2 (y), F3 (y)). Definamos el conjunto A de “trayectorias posibles entre los puntos p1 yp2 ” de la forma siguiente:(1.9) A = y : [t1 , t2 ] −→ R3 / y(t1 ) = p1 , y(t2 ) = p2 , y ∈ C 1 [t1 , t2 ] Dado un elemento y ∈ A, su energ´ cin´tica como funci´n del tiempo t ıa e oviene dada por 1(1.10) (M y)(t) = ˙ y1 (t)2 + y2 (t)2 + y3 (t)2 ˙ ˙ ˙ 2
  6. 6. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 5y su energ´ potencial viene expresada por −U (y(t)) donde U es el potencial ıamencionado. La lagrangiana de la trayectoria y se define como(1.11) L(y(t)) = M (y(t)) + U (y(t)) ˙ El funcional, llamado acci´n integral de Hamilton, se define como o Φ : A −→ R(1.12) t2 Φ(y) = L(y(t)) dt t1que hace corresponder a cada trayectoria posible, y, un n´mero real,Φ(y). u ¿Qu´ relaci´n existe entre el funcional dado en (1.12) y la ecuaci´n dife- e o orencial (1.8)? Por una parte, el funcional dado hace corresponder, a cadatrayectoria posible y, un n´mero real Φ(y). Por otra, (1.8) es una ecuaci´n u odiferencial ordinaria. No parece sencillo, ni intuitivo, qu´ relaci´n puede e ohaber entre ambos conceptos. El principio de Hamilton afirma: ”la trayectoria x ∈ A que sigue lapart´ ıcula bajo la acci´n de la fuerza F para ir de p1 a p2 es aquella que hace oestacionaria la acci´n integral Φ”. o ¿Qu´ es eso de hacer estacionaria la acci´n integral?. Recordemos que e odada una funci´n H : Rn → R, un punto estacionario de la misma es cual- oquier punto x ∈ Rn para el que H (x) = 0 (equivalentemente, todas las deri-vadas parciales de H, en el punto x son cero; es decir ∂H(x) = 0, 1 ≤ i ≤ n.) ∂xiAhora quiz´s no tenga sentido, o quiz´s sea un concepto nada trivial, la a anoci´n de “derivada parcial de la acci´n integral de Hamilton”. Esto puede o oser subsanado con el concepto de derivada direccional, m´s amplio que el de aderivada parcial. Un elemento x ∈ A se dice estacionario cuando la primera variaci´n de oΦ en x es cero. La primera variaci´n del funcional Φ, en el punto x y en la odirecci´n h se define como o d(1.13) δΦ(x; h) = Φ(x + τ h)|τ =0 dτdonde(1.14) h ∈ g : [t1 , t2 ] −→ R3 / g(t1 ) = 0, g(t2 ) = 0, g ∈ C 1 [t1 , t2 ] = B Que la primera variaci´n sea cero significa que o
  7. 7. 6 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10(1.15) δΦ(x; h) = 0 ∀h ∈ B. Veremos en el curso que (1.15) no es sino la la segunda ley de Newton (1.8)expresada en forma variacional. En realidad veremos que, para trayectoriasx ∈ C 2 [t1 , t2 ], tales que x(t1 ) = p1 , x(t2 ) = p2 , (1.8) es equivalente a (1.15). Otras muchas leyes de la F´ ısica se expresan tambi´n en forma variacional. eTodas ellas responden a la filosof´ marcada por las frases siguientes: ıa (1) “En la Naturaleza no se realiza ning´n proceso superfluo o innece- u sario (Olympiodorus, siglo VI )” (2) “En un medio no homog´neo, formado por dos homog´neos y sepa- e e rados por una recta, un rayo luminoso que va desde un punto del primer medio a otro del segundo, lo hace de tal forma que minimiza el tiempo empleado en su recorrido (Fermat, siglo XVII)” (3) “Puesto que el Universo es perfecto y fue creado por el Creador m´s a sabio, nada ocurre en ´l, sin que est´ presente alguna ley de m´ximo e e a o m´ ınimo (Euler, siglo XVIII)” (4) “Una part´ ıcula que se mueve en el espacio bajo la acci´n de una o fuerza conservativa, lo hace de tal forma que su trayectoria hace m´ ınima, o al menos estacionaria, la acci´n integral (Hamilton, siglo o XIX)” Deteng´monos en un ejemplo concreto, la ley de la refracci´n que afirma a olo siguiente:Supongamos un medio no homog´neo, formado por dos medios homog´neos e eI y II separados por una recta r. Sean A y B dos puntos dados de I y IIrespectivamente. Entonces un rayo luminoso que va de A hasta B lo hace atrav´s de una trayectoria que es rectil´ e ınea en cada medio considerado y talque si O es el punto de la recta r por el que pasa, se tiene que el cociente entreel seno del ´ngulo de incidencia ϕ1 y el seno del ´ngulo de refracci´n ϕ2 , es a a o v1igual a v2 , siendo v1 y v2 , respectivamente, las velocidades de propagaci´n ode la luz en I y II. Es decir senϕ1 v1(1.16) = senϕ2 v2 Una demostraci´n variacional de la ley anterior, puede obtenerse usando oel principio de Fermat (siglo XVII) que afirma:en la situaci´n anteriormente descrita, un rayo luminoso que va de A hasta oB, lo hace a trav´s de una trayectoria tal que el tiempo empleado en su erecorrido es m´ ınimo. Usando este principio y eligiendo convenientemente los ejes de coordena-das tal que A = (0, a), B = (d, −b), entonces si O = (x, 0), tenemos que eltiempo empleado en la trayectoria es (a2 + x2 )1/2 (b2 + (d − x)2 )1/2 t(x) = + v1 v2
  8. 8. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 7Es trivial comprobar que existe un unico punto x0 ∈ [0, d] tal que t (x0 ) = 0. ´Adem´s, t (x) > 0, ∀ x ∈ [0, d]. Esto prueba que existe un unico punto a ´x0 ∈ [0, d] tal que t(x0 ) = min[0,d] t. Calculando t (x0 ), es trivial que larelaci´n t (x0 ) = 0 es equivalente a (1.16). o Terminamos la descripci´n de problemas concretos, con el denominado oPrincipio de Dirichlet, donde como variables independientes aparecen demanera natural, funciones de varias variables reales (hasta ahora s´lo han oaparecido funciones de una variable). Sea Ω un dominio (subconjunto abierto y conexo) acotado de Rn . Consi-deremos el problema de contorno ∆u(x) = 0 x∈Ω(1.17) u(x) = f (x) x ∈ ∂Ωdonde ∆ es el operador Laplaciano definido como ∂ 2 u(x) ∂ 2 u(x)(1.18) ∆u(x) = 2 + ... + ∂x2 ∂x1 n Problemas del tipo anterior (estudio de la existencia de funciones arm´nicas oen Ω que tomen valores prefijados, dados por la funci´n f , en la frontera de oΩ) surgen, por ejemplo, en electrost´tica. a Como en el caso de la segunda ley de Newton, la ecuaci´n que aparece oen (1.17) es una ecuaci´n diferencial de segundo orden, pero en este caso se otrata de una ecuaci´n en derivadas parciales. Al tratar de conectar (1.17) ocon problemas de m´ximos y m´ a ınimos, surge de manera natural el llamadofuncional de energ´ıa: 2 2 ∂u(x) ∂u(x)(1.19) Φ(u) = | u(x)|2 dx = + ... + dx Ω Ω ∂x1 ∂xnque est´ definido sobre el conjunto de funciones: a(1.20) ¯ A = u : Ω −→ R / u ∈ C 1 (Ω), u|∂Ω = fEn electrost´tica, u es el potencial el´ctrico y Φ(u) la energ´ Obs´rvese la a e ıa. eanalog´ entre este funcional y el funcional Φ dado por la acci´n integral de ıa oHamilton en (1.12) (ahora la fuerza F y por tanto, el potencial U son lasfunciones id´nticamente cero). e Los puntos estacionarios del funcional Φ son, en un sentido que se pre-cisar´ en el curso, soluciones del problema (1.17) Este es el principio de aDirichlet.
  9. 9. 8 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/101.3. Las condiciones necesarias de Euler-Lagrange y Legendre. Como resumen de lo dicho hasta ahora, nos encontraremos con el pro-blema de minimizar (o maximizar), o al menos encontrar puntos estacio-narios (por cierto, un concepto que habr´ que definir rigurosamente), de afuncionales Φ de la forma b Φ(y) = L(t, y(t), ..., y n) (t)) dt adonde y : [a, b] → R de clase C n [a, b] (sistemas con un grado de libertad).Este es el caso del problema de Newton (1.1), descrito con anterioridad, oel problema de la braquistocrona (1.2). En estos dos ejemplos n = 1. De manera m´s general, y : [a, b] → Rm de clase C n [a, b] (sistemas con am grados de libertad). Por ejemplo, en el caso de problema isoperim´tricoe(1.5) tenemos n = 1, m = 2 y en el caso del principio de Hamilton para elfuncional Φ dado en (1.12) tenemos n = 1, m = 3. Adem´s, la funci´n y a oy sus derivadas hasta el orden n, satisfacen en general algunas condicionesadicionales en la frontera del intervalo [a, b]. Trataremos tambi´n el caso de funciones de varias variables (sistemas con einfinitos grados de libertad) como en el caso del funcional (1.19), relacionadocon el principio de Hamilton. Concretamente funcionales de la forma Φ(u) = L(x, u(x), ..., Dα u(x)) dx, Ωsiendo Ω un dominio acotado de Rn . Aqu´ α es un multi´ ı ındice α = (α1 , α2 , . . . , αn )tal que αi ∈ N ∪ {0}, 1 ≤ i ≤ n y ∂ α1 +...+αn u(x) Dα u(x) = ∂xα1 . . . ∂xαn 1 nPor ejemplo, en el caso del funcional (1.19) los multi´ ındices α vienen dadospor los vectores can´nicos de Rn . Adem´s, es usual que la funci´n u verifique o a oalgunas condiciones en la frontera de Ω. Por ejemplo, en el principio deHamilton u(x) = f (x), ∀ x ∈ ∂Ω. Como en la teor´ de m´ximos y m´ ıa a ınimos para funcionales Φ : D →R, y → Φ(y), donde D es un subconjunto del espacio eucl´ ıdeo Rk , lasprincipales cuestiones que hemos de resolver se centran fundamentalmente enel establecimiento de condiciones necesarias y condiciones suficientes que nospermitan reconocer un punto de m´ ınimo o al menos un punto estacionario(si es que tiene sentido) del funcional Φ. Sabemos que esto depende no s´loodel funcional Φ, sino en gran medida del subconjunto D. En el caso finito dimensional, donde D ⊂ Rk , si D es abierto, dichascondiciones se expresan en t´rminos de Φ (x) y de Φ (x) (o derivadas de eorden superior a dos). No obstante, en este caso el problema suele ser, confrecuencia, probar que Φ tiene m´ ınimo. Si D es compacto, no suele ser pro-blema probar que Φ tiene m´ ınimo. Si, adem´s, su frontera se expresa en at´rminos “buenos”, es util el teorema de los multiplicadores de Lagrange. e ´
  10. 10. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 9Todas estas son las ideas que flotan en el ambiente del C´lculo de Variacio- anes. No obstante, la situaci´n ahora es bastante m´s complicada, puesto que o aen general tratamos con problemas donde la variable independiente perte-nece a espacios de dimensi´n infinita. ¿Tiene sentido ahora la definici´n de o oderivada parcial, o derivada direccional?, ¿c´mo podemos definir la noci´n o ode derivada, y la noci´n de derivadas de orden superior a uno?... o En lo que se refiere al establecimiento de condiciones necesarias, un avancefundamental fue dado por Euler (¿c´mo no?) en 1744, a˜o en que se public´ o n osu famoso libro sobre curvas geod´sicas. Para funcionales de la forma e b Φ(y) = f (t, y(t), y (t)) dt ala condici´n necesaria para que un elemento (en este caso una funci´n) y0 o osea un m´ ınimo es d(1.21) fy (t, y0 (t), y0 (t)) − fy (t, y0 (t), y0 (t)) = 0, ∀ t ∈ [a, b] dtque es una ecuaci´n diferencial ordinaria de segundo orden (como la de la osegunda ley de Newton). Esta es la condici´n similar a que la primera oderivada sea cero en el caso finito-dimensional. Dependiendo del tipo deproblema que se considere la anterior ecuaci´n ha de completarse con alguna ocondici´n sobre la funci´n y0 en la frontera t = a y t = b del intervalo o o[a, b]. Como veremos en el curso, esta condici´n en la frontera implica las ocantidades y0 (a), y0 (b), y0 (a), y0 (b), etc, dependiendo de que en el problemaoriginal considerado los extremos de la funci´n se consideren fijos, variables, oetc. Algunas ideas de Euler fueron posteriormente desarrolladas en profundi-dad por Lagrange. En particular, en su libro de 1760-61, sobre “un nuevom´todo para determinar los m´ximos y los m´ e a ınimos de f´rmulas integrales” olleg´ a la misma conclusi´n que Euler, sobre la ecuaci´n (1.21) usando un o o ocamino diferente: Lagrange consider´ las variaciones o(1.22) J(y0 , η, ε) = F (y0 + εη)para una funci´n η fija y ε variable. As´ lleg´ a la misma ecuaci´n (1.21), que o ı o opor este motivo es conocida con el nombre de ecuaci´n de Euler-Lagrange. oParece ser que el nombre “C´lculo de Variaciones” tambi´n viene de esta a eidea de Lagrange. La ecuaci´n de Euler-Lagrange es una condici´n necesaria de m´ o o ınimoque implica la derivada de orden uno. Partiendo de (1.22) y considerandola “segunda variaci´n” Jεε , introducida por Legendre en 1786 ([10], [11]), o´ste demostr´ que en un punto de m´e o ınimo y0 ha de cumplirse la condici´n onecesaria(1.23) f y y (t, y0 (t), y0 (t)) ≥ 0, ∀ t ∈ [a, b].
  11. 11. 10 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Esta es una condici´n similar al hecho de que la derivada segunda ha de ser osemidefinida positiva en el caso finito-dimensional. Respecto de las posibles condiciones suficientes, hubo que esperar 50 a˜os nhasta que Jacobi introdujo la llamada hoy en d´ condici´n de Jacobi, que ıa ojunto con la ecuaci´n de Euler-Lagrange y (1.23) permiten demostrar que oel punto y0 es un m´ ınimo. No obstante, dicha condici´n no es f´cil de o acomprobar, como veremos m´s adelante. a1.4. Teor´ de puntos cr´ ıa ıticos. Como hemos tenido ocasi´n de comentar, la segunda ley de Newton (1.8), oque viene dada por una ecuaci´n diferencial ordinaria de segundo orden, opuede expresarse en t´rminos variacionales de la forma (1.15), que no re- efleja otra realidad sino que todas las derivadas direccionales del funcional Φ(definido en (1.12)) en el punto x son cero. En el caso finito dimensional,si hablamos de funcionales Φ : Rn → R que sean derivables, la manera m´s af´cil de conseguir que todas las derivadas direccionales de Φ en x sean cero aes que la derivada de Φ en x, Φ (x) sea cero. Ahora estamos hablando no defuncionales definidos en espacios normados de dimensi´n finita, Rn , sino de ofuncionales Φ definidos en espacios normados de dimensi´n infinita E. La oteor´ de puntos cr´ ıa ıticos trata sobre la ecuaci´n o Φ (u) = 0para funcionales derivables Φ : E → R, derivables (en un sentido que se hade precisar), donde E es cualquier espacios normado de dimensi´n infinita. o En este curso se proporcionar´ una introducci´n a la teor´ de puntos a o ıacr´ıticos, y se expondr´n algunos resultados importantes referentes tanto al allamado m´todo directo (en el que se trata de probar la existencia de m´ e ınimoglobal del funcional Φ dado), como a los m´todos min-max, de desarrollo erelativamente reciente. En particular, dedicaremos una atenci´n especial a odos teoremas relativamente modernos, pero ya cl´sicos: el Teorema del paso ade monta˜a de Ambrosetti y Rabinowitz (1971) y el Teorema del punto de nsilla de Rabinowitz (1978).Seg´n mi opini´n, los resultados seleccionados son ejemplos muy represen- u otativos de las diferentes posibilidades del m´todo variacional, pudi´ndose, e econ la ayuda de la bibliograf´ recomendada, estudiar otros de los muchos ıaque se conocen en la actualidad. Un comentario m´s. a En un curso de esta naturaleza, de car´cter introductorio sobre m´todos a evariacionales, pueden obtenerse los resultados fundamentales sin recurrir anociones de diferenciabilidad en espacios de dimensi´n infinita (v´ase, por o eejemplo [7], [18]). No obstante, en mi opini´n, es muy instructivo hacerlo odesde este punto de vista, puesto que el desarrollo del c´lculo diferencial en aespacios de dimensi´n infinita puede hacerse muy similarmente al caso de o
  12. 12. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 11dimensi´n finita; eso s´ hay que hacer un hincapi´ especial en las diferen- o ı ecias b´sicas entre ambos casos, lo que es muy instructivo para el alumno. aAdem´s, este punto de vista hace necesaria la introducci´n de diversos con- a oceptos (espacios normado, de Hilbert, aplicaciones lineales, bases hilbertia-nas, etc.) que permite al alumno tener una formaci´n no s´lo en este tema o osino tambi´n en otras disciplinas relacionadas con Ecuaciones Diferenciales ey An´lisis Funcional. Es indudable que estos conocimientos pueden serle ade gran utilidad en otras disciplinas que curse, e incluso para su posibleiniciaci´n en la investigaci´n actual. o o
  13. 13. 12 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 ´ 2. Calculo diferencial en espacios normados2.1. Derivabilidad en espacios normados de dimensi´n arbitraria. oA continuaci´n introducimos brevemente algunas nociones sobre derivabili- odad en espacios de dimensi´n arbitraria. Puede consultarse [3] y [8] para los odetalles y para profundizar en el tema. La idea b´sica para extender la noci´n de derivada a espacios de dimensi´n a o oinfinita est´ basada en las siguientes reflexiones escalonadas: a (1) Si f : (a, b) → R y x0 ∈ (a, b), entonces f es derivable en x0 si y solamente si existe el l´ımite f (x0 + h) − f (x0 )(2.1) lim = f (x0 ) h→0 h en cuyo caso, a tal l´ ımite se le llama derivada de f en x0 , f (x0 ) ∈ R. (2.1) es equivalente a f (x0 + h) − f (x0 )(2.2) lim − f (x0 ) = 0. h→0 h (2) Si f : (a, b) → Rm y x0 ∈ (a, b), entonces todo es lo mismo que en el caso anterior, salvo que, ahora, f (x0 ) ∈ Rm . M´s precisamente, f a es derivable en x0 si y solamente si existe el l´ ımite f (x0 + h) − f (x0 )(2.3) lim = f (x0 ) h→0 h ımite se le llama derivada de f en x0 , f (x0 ) ∈ Rm . en cuyo caso, a tal l´ (2.3) es equivalente a f (x0 + h) − f (x0 )(2.4) lim − f (x0 ) = 0. h→0 h donde · indica cualquier norma en el espacio normado finito di- mensional Rm (recordemos que al ser Rm de dimensi´n finita, todas o las normas son equivalentes). (3) Si f : Ω → R, donde Ω es un subconjunto abierto de Rn , y n > 1, la anterior definici´n no es v´lida, puesto que no podemos dividir o a por h ∈ Rn . La extensi´n adecuada de derivada no la constituye la o mera existencia de derivadas parciales, puesto que es conocido que una funci´n puede tener derivadas parciales y no ser continua. o Para proceder a la definici´n en este caso, es necesario obtener una o caracterizaci´n de las situaciones presentadas en los dos primeros o apartados, que pueda extenderse a situaciones generales. En este sentido, el l´ ımite (2.1) es un n´mero real o m´s generalmente, en u a el caso de (2.3), un vector de Rm . En ambos casos, el vector f (x0 ) define una aplicaci´n lineal (autom´ticamente continua) L : R → Rm o a
  14. 14. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 13 dada por L(h) = f (x0 )h, ∀ h ∈ R y, en ambos casos, podemos decir que f es derivable en x0 si |f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h)|(2.5) lim =0 h→0 h Rn donde · Rm es cualquier norma en Rm . Estos reflexiones se ven avaladas porque, como puede comprobarse f´cilmente, s´lo puede a o existir una aplicaci´n lineal L : R → Rm que satisfaga (2.5). o De acuerdo con las anteriores ideas, si f : Ω → R, donde Ω es un subconjunto abierto de Rn , n > 1, y x0 ∈ Ω, diremos que f es derivable en x0 si y solamente si existe alguna aplicaci´n lineal o L : Rn → R (autom´ticamente continua) tal que a |f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h)|(2.6) lim =0 h→0 h Rn (4) En la situaci´n general finito dimensional, donde f : Ω → Rm , y Ω o es un abierto de Rn , diremos que f es derivable en x0 si y solamente si existe alguna aplicaci´n lineal L : Rn → Rm (autom´ticamente o a continua) tal que f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h) Rm(2.7) lim =0 h→0 h RnCuando intentemos dar el salto a dimensi´n infinita, la unica novedad es o ´que, ahora, una aplicaci´n lineal no es necesariamente continua y por tanto, ohemos de exigirlo en la definici´n (v´ase [4]). o eDefinici´n 2.1. (Derivada de Fr´chet). o e Sean (X, · X ), (Y, · Y ) espacios normados reales, Φ : Ω −→ Y dondeΩ es un abierto de X y x0 ∈ Ω. Se dice que Φ es derivable (seg´n Fr´chet) en el punto x0 ∈ Ω, si existe u ealguna aplicaci´n lineal y continua L : X −→ Y tal que o Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h) Y(2.8) lim =0 h→0 h X Como primeras propiedades de esta definici´n, podemos indicar las si- oguientes:Proposici´n 2.2. o (1) L, si existe, es unica. Usaremos la notaci´n L = ´ o Φ (x0 ). (2) La derivabilidad es un concepto que no cambia, si se toman otras normas equivalente. M´s precisamente, si Φ es derivable en x0 y a tomamos normas equivalentes en X e Y respectivamente, la derivada es la misma.
  15. 15. 14 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 (3) Si ∃ Φ (x0 ), entonces Φ es continua en x0 . (4) Sea Φ : X −→ Y lineal y continua (recordemos que si Φ es lineal, esto es equivalente a que exista alguna constante k ≥ 0 tal que Φ(x) Y ≤ k x X , ∀ x ∈ X). Entonces se tiene Φ (x0 ) = Φ, ∀x0 ∈ X. (5) Sea Φ : X × Z → Y bilineal y continua (recordemos que si Φ es bilineal, esto es equivalente a que exista alguna constante k ≥ 0 tal que Φ(x, z)) Y ≤ k x X z Z , ∀ (x, z) ∈ X × Z). Entonces existe Φ (x0 , z0 ), ∀(x0 , z0 ) ∈ X × Z y Φ (x0 , z0 )(h1 , h2 ) = Φ(x0 , h2 ) + Φ(h1 , z0 ). En particular, el producto escalar en cualquier espacio de Hilbert es un ejemplo de ello. (6) Si H es un espacio de Hilbert real con producto escalar · , A : H −→ H es lineal y continua y Φ : H −→ R, viene definida por Φ(x) = Ax, x , entonces existe Φ (x0 ), ∀x0 ∈ H y Φ (x0 )(h) = Ax0 , h + x0 , Ah . En particular, si A = I, entonces Φ(x) = x 2 y Φ (x0 )(h) = 2 x0 , h , ∀ x0 , h ∈ H. (7) Si Φ : Ω → R, donde Ω es un subconjunto abierto de alg´n espacio u de Hilbert H, y Φ es derivable en x0 ∈ Ω, entonces el teorema de representaci´n de Riesz garantiza la existencia de un unico elemento o ´ Φ(x0 ) ∈ H, tal que Φ (x0 )(h) =< Φ(x0 ), h >, ∀ h ∈ H. A Φ(x0 ) se le denomina gradiente de Φ en x0 . Un operador Ψ : Ω → H se dice que es un operador gradiente si existe alg´n operador Φ : Ω → R tal que Ψ(x) = Φ(x), ∀ x ∈ Ω. u En este caso, a Φ se le llama potencial de Ψ. Como en el caso finito dimensional (las demostraciones son id´nticas), epuede comprobarse inmediatamente que la derivada es un operador linealen el siguiente sentido: la derivada de la suma es la suma de derivadas, laderivada del producto de un escalar por una funci´n es el escalar por la oderivada de la funci´n, etc. y que es v´lida la regla de la cadena ([3]). o a Si Φ : Ω −→ Y es tal que existe su derivada de Fr´chet en todos los puntos ede Ω, entonces se puede considerar la aplicaci´n derivada o Φ : Ω −→ L(X, Y )(2.9) x −→ Φ (x) Aqu´ L(X, Y ) indica el espacio normado real formado por las aplica- ı,ciones lineales y continuas de X en Y, dotado de la norma usual. Re-cordemos que si L ∈ L(X, Y ), entonces existe alguna constante k ≥ 0tal que L(x) Y ≤ k x X , ∀ x ∈ X. En este caso, L L es el ´ ınfimo(m´ınimo) de los n´meros k que verifican la relaci´n anterior. Tambi´n u o e L L(X,Y ) = supx∈X, x X ≤1 L(x) Y .
  16. 16. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 15 Tiene as´ sentido hablar de la derivabilidad de Φ . Si existe (Φ ) (x0 ) se ıdir´ que Φ posee derivada segunda en el punto x0 : Φ (x0 ) ∈ L(X, L(X, Y ). aPor ejemplo, es f´cil comprobar que si L ∈ L(X, Y ), entonces L = 0 en todo apunto. Si X = C([0, 1], R), y Φ : X → X est´ definida como Φ(x)(t) = x2 (t), aentonces (Φ (x))(h)(k) = 2hk, ∀ h, k ∈ X. Para poder trabajar c´modamente con derivadas de orden superior, con- oviene hacer las identificaciones que siguen. Comencemos por un lema, dedemostraci´n sencilla, que identifica el espacio L(X, L(X, Y )) con L2 (X, Y ), odonde L2 (X, Y ) es el espacio de las aplicaciones bilineales y continuas deX × X en Y . Recordemos que si L ∈ L2 (X, Y ), ∃m ≥ 0, / L(h, k) Y ≤m h X k X , ∀(h, k) ∈ X × X. Entonces L es el ´ ınfimo (m´ ınimo) de losn´meros m que verifican la desigualdad anterior. Tambi´n, L L2 (X,Y ) = u esup h ≤1, k ≤1 L(h, k) Y .Lema 2.3. Sea Γ : L(X, L(X, Y )) −→ L2 (X, Y ) A −→ ΓAdonde ΓA : X × X −→ Y, ΓA (h, k) = (A(h))(k), ∀(h, k) ∈ X × X. Entonces Γ es lineal, biyectiva y ΓA L2 (X,Y ) = A L(X,L(X,Y )) , ∀A ∈L(X, L(X, Y )). Una propiedad destacable es que la derivada segunda de una funci´n, sioexiste, es siempre una aplicaci´n bilineal sim´trica (v´anse [2], [8]). o e e En general, si Ln (X, Y ) denota el conjunto de aplicaciones multilinealesy continuas L de X × . . .n) × X en Y, con la norma usual, es decir, L = sup L(x1 , · · · , xn ) Y, x1 ≤1,··· , xn ≤1entonces la derivada n−´sima puede definirse por inducci´n, sin m´s que e o ausar la identificaci´n o(2.10) L(X, Ln (X, Y )) Ln+1 (X, Y )Como en el caso de dimensi´n dos, una propiedad destacable es que la deri- ovada n−´sima de una funci´n, si existe, es siempre una aplicaci´n multilineal e o osim´trica (v´anse [2], [8]). e e La siguiente f´rmula, conocida como f´rmula de Taylor, es semejante al o ocaso de dimensi´n finita, y de gran utilidad en el estudio de m´ximos y o am´ınimos de funcionales. Para la demostraci´n v´anse [2], [3] o bien [8]. o eComo hasta ahora, Ω denota cualquier abierto de un espacio normado realX, e Y denota tambi´n cualquier espacio normado real. eTeorema 2.4. Sea Φ : Ω → Y, de clase C n (Ω) (es decir, tanto Φ como susderivadas hasta el orden n son continuas en Ω), y dos puntos u, u + h ∈ Ω
  17. 17. 16 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10tales que el segmento [u, u + h] ⊂ Ω. Entonces 1 n)(2.11) Φ(u + h) = Φ(u) + Φ (u)(h) + . . . + Φ (u)(h)n + ω(u, h)(h)n , (n)!donde ω(u, h) es un aplicaci´n multilineal de X × . . .n) × X en Y tal que o nlimh→0 ω(u, h) = 0. En particular limh→0 ω(u,h)(h) = 0. h n X Aqu´ la notaci´n ı, o Φk) (u)(h)k significa la aplicaci´n multilineal Φk) (u) apli- ocada al elemento (h, . . . , h) ∈ X k. Los resultados anteriores permiten demostrar los teoremas siguientes, so-bre condiciones necesarias y condiciones suficientes de m´ximos y m´ a ınimos.Teorema 2.5. Sea Φ : Ω −→ R, Ω ⊂ X abierto, y x0 ∈ Ω un m´ ınimo local de Φ. • Si Φ es derivable en x0 , entonces Φ (x0 ) = 0. • Si existe la derivada segunda de Φ en x0 , entonces Φ (x0 )(h, h) ≥ 0, ∀h ∈ XTeorema 2.6. Sea Φ : Ω −→ R, Ω ⊂ X abierto, Φ ∈ C 2 (Ω, R) y x0 ∈ Ω tal que: (1) Φ (x0 ) = 0 (2) ∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K h 2 , ∀h ∈ X Entonces Φ tiene un m´ ınimo local estricto en x0 .Nota 1. Notemos que la condici´n o 2 ∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K h , ∀h ∈ Xes equivalente a ∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K, ∀h ∈ X tal que h = 1.Si el espacio X tiene dimensi´n finita, esto ultimo es claramente equivalente o ´a que Φ (x0 )(h, h) > 0, ∀h ∈ X tal que h = 1.En dimensi´n infinita no es necesariamente as´ debido a la no compacidad o ı,de la bola unidad del espacio X. Veamos un ejemplo de lo anterior, de especial significaci´n por las apli- ocaciones al c´lculo de variaciones. Sea f : [a, b] × R −→ R, (t, x) → f (t, x), a ∂fcontinua tal que ∃ : [a, b] × R −→ R y es continua. ∂x Definimos
  18. 18. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 17 Φ : C([a, b], R) −→ R(2.12) b Φ(x) = f (t, x(t))dt a • C([a, b], R) lo consideramos como espacio normado real, con la norma x 0 = maxt∈[a,b] |x(t)| .Proposici´n 2.7. o ∀x0 ∈ C([a, b], R), ∃ Φ (x0 ) y Φ (x0 ) : C([a, b], R) −→ R viene definida por b(2.13) ∂f (t, x0 (t)) Φ (x0 )(h) = h(t)dt, ∀ h ∈ C([a, b]. ∂x a Principales ideas de la demostraci´n. o Tendremos que comprobar en primer lugar que L(h) ≡ Φ (x0 )(h) tal ycomo se ha definido anteriormente, es lineal y continua respecto de h. L : (C([a, b]), R) −→ R b(2.14) ∂f (t, x0 (t)) h −→ h(t)dt ∂x aes lineal de forma trivial. Para ver que es continua hemos de demostrar queexiste M ∈ R+ tal que |L(h)| ≤ M h 0 , ∀h ∈ C([a, b], R). Ahora bien,como M puede tomarse M1 (b − a), donde M1 es el m´ximo de la aplicaci´n a ode [a, b] en R definida como ∂f (t, x0 (t))(2.15) t −→ ∂x El siguiente paso es comprobar que se verifica la condici´n (2.8). Ahora obien, Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h) =(2.16) b ∂f (t,x0 (t)) f (t, x0 (t) + h(t)) − f (t, x0 (t)) − ∂x h(t) dt = (∗) a Ahora podemos usar el Teorema del Valor Medio, en versi´n integral. oEste Teorema, muy util y sencillo de usar, afirma lo siguiente: ´
  19. 19. 18 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 1 1(2.17) g ∈ C ([x, y], R) ⇒ g(y) − g(x) = g (ty + (1 − t)x)(y − x)dt 0Pensemos que la demostraci´n es trivial, puesto que o d g (ty + (1 − t)x)(y − x) = g(ty + (1 − t)x) dt Usando este Teorema, la expresi´n (2.16), se transforma en o(2.18)   b 1  ∂f (t, rx0 (t) + rh(t) + (1 − r)x0 (t)) ∂f (t, x0 (t))(∗) = h(t)dr − h(t) dt = ∂x ∂x a 0 b  1   ∂f (t, x0 (t) + rh(t)) ∂f (t, x0 (t))(2.19) = − dr h(t)dt = ∂x ∂x a 0 Tomamos valores absolutos, y obtenemos la expresi´n o |Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h)| ≤(2.20) b 1 ∂f (t,x0 (t)+rh(t)) ∂f (t,x0 (t)) h 0 ∂x − ∂x drdt a 0 Para concluir la demostraci´n, bastar´ comprobar que o ıa b 1 ∂f (t, x0 (t) + rh(t)) ∂f (t, x0 (t))(2.21) lim − drdt = 0 h 0 →0 ∂x ∂x a 0 Ahora bien, tenemos que x0 (t) + rh(t) converge (uniformemente respecto ∂fde r) a la funci´n x0 (t) con la norma · 0 . Adem´s, como o a es continua, ∂xesta funci´n es uniformemente continua en compactos, y por ello se tiene oque ∂f (t,x0 (t)+rh(t)) ∂f (t,x0 (t)) ∂x −→ ∂x(2.22) con la norma · 0, uniformemente respecto de r ∈ [0, 1]. Ideas an´logas pueden usarse para el estudio del siguiente funcional: Sea aX = C 1 ([a, b], R), con la norma dada por x = x 0 + x 0 . Sea f : [a, b] × R × R −→ R(2.23) (t, x, y) −→ f (t, x, y)
  20. 20. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 19continua tal que para cualquier t ∈ [a, b] fijo, la aplicaci´n f (t, x, y) es C 1 ocon respecto a (x, y) ∈ R2 . Si definimos el funcional Φ : X −→ R b(2.24) Φ(x) = f (t, x(t), x(t))dt ˙ a Entonces Φ es derivable y(2.25) b ∂f (t, x0 (t), x0 (t)) ˙ ∂f (t, x0 (t), x0 (t)) ˙ ˙Φ (x0 )(h) = h(t) + h(t) dt, ∀ h ∈ X. ∂x ∂x˙ a Otros ejemplos son los siguientes. Sea X = C k ([a, b], R) con la norma k x k = xp) 0 y f : [a, b]×Rk+1 → R, (t, x0 , x1 , ..., xk ) → f (t, x0 , x1 , ..., xk ) p=0continua y tal que para cada t ∈ [a, b] fijo, la aplicaci´n f (t, x0 , x1 , ..., xk ) es oC 1 con respecto a (x , x , ..., x ) ∈ Rk+1 . Si Φ : X → R se define como 0 1 k b Φ(x) = f (t, x(t), ..., xp) (t), ..., xk) (t)) dt, aentonces k b k) ∂f (t, x0 (t), ..., x0 (t)) p) Φ (x0 )(h) = h (t) dt a ∂xp p=0 Respecto de las derivadas de orden superior, las mismas ideas puedenusarse para probar el resultado siguiente: Sea f : [a, b] × R −→ R, (t, x) → f (t, x) continua tal que para cadat ∈ [a, b] fijo, la aplicaci´n f (t, x) es C 2 respecto de x ∈ R. Si Φ es el ofuncional definido en (2.12) entonces b ∂ 2 f (t, x0 (t)) Φ (x0 )(h, k) = h(t)k(t)dt. ∂x2 aPara el funcional definido en (2.24) se tendr´ ıa(2.26) b 2 f (t,x ∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t)) Φ (x0 )(h, k) = [ ∂ 0 (t),x0 (t)) ∂x2 ˙ h(t)k(t) + ∂x∂y ˙ ˙ h(t)k(t)+ a ∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t)) ˙ ˙ ∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t)) ˙ ˙ ˙ ∂y∂x h(t)k(t) + ∂y 2 h(t)k(t)]dt A veces es necesario trabajar con conceptos m´s d´biles que la derivabi- a elidad seg´n Fr´chet. Vamos a hablar brevemente de esto para funcionales u e
  21. 21. 20 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10que est´n definidos en alg´n abierto de un espacio normado y con valores a ureales.Definici´n 2.8. Sea (E, · ) un espacio normado real, Ω un subconjunto oabierto de E, Φ : Ω −→ R y x0 ∈ E. • Recordemos que Φ es derivable seg´n Fr´chet en x0 si ∃ L : E −→ R u e lineal y continua tal que |Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h)|(2.27) lim =0 h→0 h X • Se dice que Φ es derivable seg´n Gateaux en x0 si u Φ(x0 + τ h) − Φ(x0 )(2.28) ∀h ∈ E ∃ lim ≡ ΦG (x0 )(h) τ →0 τ y la aplicaci´n ΦG (x0 ) : E −→ R, h → ΦG (x0 )(h), es lineal y o continua en h ∈ E. En este caso, a ΦG (x0 ) se le llama derivada de Gateaux de Φ en x0 . • Se define la primera variaci´n de Φ en x0 , en la direcci´n h ∈ E o o como Φ(x0 + τ h) − Φ(x0 )(2.29) δΦ(x0 , h) = lim τ →0 τ • En general, se define la n-´sima variaci´n de la funci´n Φ en x0 y en e o o la direcci´n h ∈ E como o dn Φ(x0 + th)(2.30) δ n Φ(x0 , h) = dtn t=0 La derivabilidad seg´n Fr´chet implica la derivabilidad seg´n Gateaux, u e uy no se verifica la implicaci´n contraria. La derivabilidad seg´n Gateaux o uimplica la existencia de la primera variaci´n en todas las direcciones, pero no oal contrario. Tambi´n, las reglas algebraicas usuales, regla de la cadena, etc. eson v´lidas para estos conceptos relacionados con la derivabilidad. V´ase a e[17] para la relaci´n entre estos conceptos. o Algunos ejemplos de inter´s son los siguientes: eEjemplo 1. Sea f : R2 −→ R.   x6 si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = (y − x2 )2 + x8  0 si (x, y) = (0, 0)
  22. 22. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 21 Esta funci´n es derivable seg´n Gateaux en el punto (0, 0) (de hecho, o usu derivada es la funci´n nula), pero f no es continua en este punto. En oparticular f es derivable seg´n Gateaux en (0, 0) pero no es Fr´chet derivable u een (0, 0).Ejemplo 2. Sea f : R2 −→ R.   x2 y x2 + y 2 f (x, y) = si (x, y) = (0, 0)  x4 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0) Esta funci´n es derivable seg´n Gateaux en el punto (0, 0) (de hecho, su o uderivada es la funci´n nula), es continua en este punto, pero no es derivable oen el sentido de Fr´chet. e ¡An´ ımese el alumno a comprobar las afirmaciones anteriores! El Teorema del valor medio es cierto, usando la noci´n de derivada de oGateaux. De hecho, tenemos el Teorema siguiente:Teorema 2.9. Sean X, Y espacios normados, Ω un abierto de X y Φ :Ω → Y derivable Gateaux en Ω. Si x1 , x2 ∈ Ω son tales que el segmento[x1 , x2 ] ⊂ Ω, entonces Φ(x1 ) − Φ(x2 ) Y ≤ sup ΦG (tx1 + (1 − t)x2 ) L(X,Y ) x1 − x2 X 0≤t≤1 Usando este Teorema, puede probarse el siguiente, de inter´s en las apli- ecaciones, para determinar la derivada de Fr´chet de los funcionales que este- emos tratando. De hecho, la funci´n dada Φ puede usarse de manera directa opara intentar calcular la derivada de Gateaux, pero no as´ para calcular la ıderivada de Fr´chet. eTeorema 2.10. Sea Φ : Ω → Y, derivable seg´n Gateaux en Ω (es decir, en utodos los puntos de Ω) y tal que la aplicaci´n ΦG : Ω → L(X, Y ) es continua oen x0 ∈ Ω. Entonces existe la derivada de Fr´chet Φ (x0 ) y Φ (x0 ) = ΦG (x0 ). e La versi´n tradicional del Teorema del valor medio es v´lida tambi´n. o a eEsto exige introducir el concepto de integral definida, b(2.31) f (t) dt apara funciones f : [a, b] → E, continuas, donde E es un espacio normadocualquiera. No es dif´ ıcil: en primer lugar se introduce el concepto anteriorpara funciones escalonadas. En segundo lugar, usando el hecho de que sif : [a, b] → E, es continua, entonces es uniformemente continua, puedeusarse un m´todo l´ e ımite para definir (2.31). V´ase, por ejemplo ([12]). e Se obtiene as´ el Teorema fundamental del C´lculo que se enuncia a con- ı atinuaci´n. o
  23. 23. 22 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Teorema 2.11. Sea E un espacio normado cualquiera y f : [a, b] → E tcontinua. Si F : [a, b] → E se define como F (t) = a f (s) ds, entoncesF (t) = f (t), ∀ t ∈ [a, b]. Lo que sigue es el Teorema del valor medio para derivada de Fr´chet. eTeorema 2.12. Sea f : Ω → Y de clase C 1 (Ω). Entonces, para todo par depuntos x1 , x2 ∈ Ω tales que [x1 , x2 ] ⊂ Ω, se tiene: 1 f (x1 ) − f (x2 ) = f (x2 + t(x1 − x2 ))(x1 − x2 ) dt 0 ¡Puede ser muy instructivo comparar los Teoremas 2.9 y 2.12!2.2. Convexidad de un operador y monoton´ de su derivada. Vea- ıamos a continuaci´n algunas de las relaciones existentes entre la convexidad ode una funci´n y la monoton´ de su derivada. Para ello, sea (E, · ) un o ıaespacio normado, Ω un abierto de E y f : Ω −→ R derivable. De acuerdocon la definici´n de derivada, se tiene o f : Ω −→ L(E, R) x0 −→ f (x0 )donde L(E, R) es el espacio de Banach de las aplicaciones lineales y continuasde E en R, con la norma usual, es decir: ∀ L ∈ L(E, R) L = sup |L(x)| x ≤1, x∈EDefinici´n 2.13. o • f se dice que es mon´tona si (f (x) − f (y))(x − y) ≥ 0 ∀x, y ∈ Ω. o • f se dice que es estrictamente mon´tona si (f (x) − f (y))(x − y) > o 0, ∀x, y ∈ Ω con x = y.Teorema 2.14. Sea Ω ⊂ E, abierto y convexo y f : Ω −→ R f ∈ C 1 (Ω). Son equivalentes: (1) f es convexa en Ω; es decir, ∀ x, y ∈ Ω se tiene f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ [0, 1]. (2) f : Ω −→ L(E, R) es mon´tona. o Tambi´n son equivalentes: e (1) f es estrictamente convexa en Ω; es decir, ∀ x, y ∈ Ω x = y, se tiene f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ (0, 1). (2) f : Ω −→ L(E, R) es estrictamente mon´tona. o
  24. 24. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 23 Demostremos la primera parte. ¡Int´ntelo el alumno con la segunda. Es eposible que se lleve alguna sorpresa! 1. ⇒ 2. Si x, y ∈ Ω entonces f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ [0, 1].De aqu´ obtenemos que f (y + λ(x − y)) − f (y) ≤ λ(f (x) − f (y)), ∀λ ∈ (0, 1). ıAs´ı, f (y + λ(x − y)) − f (y)(2.32) ≤ f (x) − f (y) λ Si λ −→ 0+ obtenemos(2.33) f (y)(x − y) ≡ δf (y; x − y) ≤ f (x) − f (y) An´logamente, cambiando x por y, se obtiene la expresi´n f (x)(y − x) ≤ a of (y)−f (x). Sumando ambas expresiones, obtenemos finalmente que (f (y)−f (x))(x − y) ≤ 0, por lo que (f (y) − f (x))(y − x) ≥ 0. 2. ⇒ 1. Veamos que ∀x, y ∈ Ω y ∀λ ∈ [0, 1] se tiene que f (λx + (1 − λ)y) ≤λf (x) + (1 − λ)f (y). En efecto, para ello definimos la funci´n o p : [0, 1] −→ R(2.34) p(λ) = f (λx + (1 − λ)y) − λf (x) − (1 − λ)f (y) Hemos de comprobar que p(λ) ≤ 0 ∀λ ∈ [0, 1]. En principio p(0) = p(1) = 0. Supongamos que ∃λ0 ∈ (0, 1) tal quep(λ0 ) > 0. Entonces max[0,1] p > 0. Sea λ1 un punto donde se alcance estem´ximo. Entonces p (λ1 ) = 0. Adem´s, usando que f es mon´tona, se a a otiene p (λ) − p (λ1 ) = f (λx + (1 − λ)y)(x − y) − f (x) + f (y) −f (λ1 x + (1 − λ1 )y)(x − y) + f (x) − f (y) = [f (λx + (1 − λ)y) − f (λ1 x + (1 − λ1 y)] (x − y). Si u = λx + (1 − λ)y, v = λ1 x + (1 − λ1 )y, la expresi´n anterior queda o u−v(f (u) − f (v))( λ−λ1 ), que es una expresi´n no negativa para λ > λ1 , por la omonoton´ de f . Esto implica que p (λ) ≥ 0 ∀λ > λ1 , lo que no es posible ıasi tenemos en cuenta los valores de p en λ = λ1 y λ = 1. Observando detenidamente la demostraci´n anterior, obtenemos el si- oguiente resultado que ser´ muy util en la pr´ctica. a ´ aCorolario 2.15. Sea Ω convexo y f : Ω −→ R convexa. Supongamos que para alg´n x0 ∈ Ω use cumple(2.35) δf (x0 ; x − x0 ) = 0, ∀x ∈ Ω. Entonces x0 es un punto de m´ ınimo global de f en Ω. Adem´s, si f es aestrictamente convexa, el punto donde se alcanza el m´ ınimo es unico. ´
  25. 25. 24 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 Un ejemplo de lo anterior es el siguiente. Sea C = y ∈ C 1 [0, 1] : y(0) = 0, y(1) = 1 , y f : C −→ R definida por 1 2 f (y) = (y (x) + 4y(x))dx 0. Puede probarse que: • Existe m´ınimo de f en C. • Este m´ınimo se alcanza en la funci´n y0 (x) = x2 . o • El punto donde se alcanza el m´ ınimo es unico. ´ De hecho, para este ejemplo se tiene 1 (f (x) − f (y), x − y) = 2 (x − y )2 0lo que prueba que el funcional f es estrictamente convexo. Adem´s, una acondici´n suficiente para que se cumpla (2.35) es que x0 ∈ C 2 [0, 1], x0 = o2, x0 (0) = 0, x0 (1) = 1 (¿por qu´?) Esto lo satisface la funci´n x0 (x) = x2 . e o Otro ejemplo puede ser el siguiente. Sea C = y ∈ C 1 [0, 1] : y(0) = 0, y(1) = 0 , y f : C −→ R definida por 1 2 f (y) = (y (x) − y 2 (x) + 2xy(x))dx 0. Entonces puede probarse: • Existe m´ınimo de f en C. senx • Este m´ınimo se alcanza en la funci´n y0 (x) = x − o . sen1 • El punto donde se alcanza el m´ ınimo es unico. ´ De hecho, para este ejemplo se tiene 1 1 (f (y) − f (z), y − z) = 2 (y − z )2 − 2 (y − z)2 0 0Usando series de Fourier ([5]) puede probarse f´cilmente que a 1 (f (y) − f (z), y − z) ≥ 2(π 2 − 1) (y − z)2 0lo que prueba que f es estrictamente convexo. Adem´s, una condici´n su- a oficiente para que se cumpla (2.35) es que y0 ∈ C 2 [0, 1], −y0 − y0 + x =0, y0 (0) = 0, y0 (1) = 1 (¿por qu´?) Esto lo satisface la funci´n y0 (x) = e o sen xx− . sen 1
  26. 26. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 252.3. Condiciones necesarias (Euler-Lagrange y Legendre) en pro-blemas cl´sicos del c´lculo de variaciones. a a Comenzamos estudiando problemas cl´sicos del c´lculo de variaciones a adonde ambos extremos de la funci´n est´n fijos. o aTeorema 2.16. Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R) / q(a) = q1 , q(b) = q2 con(a, q1 ) y (b, q2 ) dados. Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y Φ : X −→ R b(2.36) Φ(q) = L(t, q(t), q(t))dt ˙ aEn X se considera la norma · 1, esto es, q 1 = maxt∈[a,b] |q(t)| +maxt∈[a,b] |q (t)|. Entonces: (1) (Condici´n necesaria de Euler-Lagrange) Si q0 ∈ X es tal que q0 es o un m´ınimo local de Φ en X (por tanto, m´ ınimo local con la norma · 1 ), entonces la funci´n Lq (t, q0 (t), q0 (t)) es C 1 [a, b] y o ˙ ˙ d(2.37) (Lq (t, q0 (t), q0 (t)) = Lq (t, q0 (t), q0 (t)) ˙ ˙ ˙ dt (Ecuaci´n de Euler-Lagrange). En particular, la ecuaci´n de Euler- o o Lagrange (2.37) se cumple si q0 ∈ X es un m´ ınimo global de Φ en X. (2) (Condici´n necesaria de Legendre) Si q0 ∈ X es tal que q0 es un o m´ınimo local de Φ en X, entonces(2.38) Lqq (t, q0 (t), q0 (t)) ≥ 0, ˙˙ ˙ ∀t ∈ [a, b]. En particular, la condici´n necesaria de Legendre (2.38) se cumple o si q0 ∈ X es un m´ ınimo global de Φ en X. (3) Si q0 ∈ X satisface la condici´n necesaria de Euler-Lagrange y para o cada t ∈ [a, b] fijo, la aplicaci´n R2 → R, (q, q) → L(t, q, q) es o ˙ ˙ convexa, entonces q0 es m´ınimo global de Φ en X. (4) Si q0 ∈ X satisface la condici´n necesaria de Euler-Lagrange y para o cada t ∈ [a, b] fijo la aplicaci´n R2 → R, (q, q) → L(t, q, q) es estric- o ˙ ˙ tamente convexa, entonces q0 es el unico m´ ´ ınimo global de Φ en X. Adem´s, q0 es m´ a ınimo global estricto de Φ en X. En lo que sigue,(2.39) X0 = h ∈ C 1 ([a, b], R) / h(a) = 0, h(b) = 0
  27. 27. 26 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 En la demostraci´n de este teorema se usan, adem´s de las nociones de o aconvexidad del apartado anterior, los siguientes lemas (v´anse [3], [17] y e[18]). ¡Animamos a los alumnos a que proporcionen una demostraci´n de los olemas que siguen, demostraci´n que est´ perfectamente a su alcance! o aLema 2.17. (Lema fundamental del c´lculo de variaciones) a b Sea q ∈ C([a, b], R) tal que q(t)h(t)dt = 0 ∀h ∈ X0 . Entonces q ≡ 0. aLema 2.18. (Lema de Du Bois Reymond) b Sea q ∈ C([a, b], R) tal que ˙ q(t)h(t)dt = 0 ∀h ∈ X0 . Entonces q es aconstante.Lema 2.19. Sea la forma cuadr´tica a Q : C 1 ([a, b], R) −→ R b(2.40) ˙ ˙ Q(h) = F1 (t)(h(t))2 + F2 (t)h(t)h(t) + F3 (t)(h(t))2 dt adonde F1 , F2 , F3 ∈ C([a, b], R) son dados y tal que Q(h) ≥ 0 ∀h ∈ X0 . Entonces F3 (t) ≥ 0 ∀t ∈ [a, b]. Una vez que los anteriores lemas se dan por v´lidos, la demostraci´n del a oteorema sigue las l´ ıneas siguientes: 1. Si q0 es un punto de m´ ınimo local de Φ entonces podemos definir W : X0 −→ R b(2.41) ˙ W (h) = L(t, q0 (t) + h(t), q0 (t) + h(t))dt ˙ adonde en X0 consideramos la norma · 1 . Es claro que W tiene un m´ınimolocal en 0. Luego W (0) = 0 de donde obtenemos (t´ngase en cuenta (2.24) ey (2.25)) b(2.42) ˙ ˙ ˙ ˙ (Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) + Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t))dt = 0, ∀ h ∈ X0 . aIntegramos por partes el primer miembro de esta ecuaci´n y obtenemos: o
  28. 28. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 27 t b h(t) (Lq (s, q0 (s), q0 (s))ds ˙ a a(2.43) b t b − ˙ ˙ Lq (s, q0 (s), q0 (s))dsh(t) + ˙ Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) dt = 0 ˙ ˙ a a acon h anul´ndose en los extremos. Concluimos por el lema de Du Bois aReymond que la funci´n o t(2.44) − Lq (s, q0 (s), q0 (s))ds + Lq (t, q0 (t), q0 (t)) ˙ ˙ ˙ aes una constante. Por tanto, Lq (t, q0 (t), q0 (t)) es de clase C 1 en [a, b]. ˙ ˙ Ahora hacemos de nuevo una integraci´n por partes en (2.42) pero usando oel segundo sumando. As´ obtenemos ı(2.45) b d (Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) − ˙ [Lq (t, q0 (t), q0 (t))]h(t))dt = 0, ∀ h ∈ X0 . ˙ ˙ dt aUsando el lema fundamental del c´lculo de variaciones obtenemos la ecuaci´n a ode Euler-Lagrange. 2. Si q0 es un punto de m´ ınimo local de Φ, entonces(2.46) W (0)(h, h) ≥ 0, ∀ h ∈ X0Como(2.47) W (0)(h, h) = b 2 ˙ ˙ a Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h (t) ˙ + 2Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h(t)h(t) + Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h2 (t) ˙ ˙ ˙˙ ˙usando el tercer lema tendr´ ıamos la condici´n necesaria de Legendre o(2.48) Lqq (t, q0 (t), q0 (t)) ≥ 0 ∀t ∈ [a, b] ˙˙ ˙ Las dos ultimas partes del teorema son sencillas usando las ideas de con- ´vexidad del apartado anterior; en particular el Corolario 2.15. Tengamos encuenta que, bajo las hip´tesis del apartado (3) del Teorema, Φ es convexa oy que si q0 ∈ X satisface la ecuaci´n de Euler-Lagrange (2.37), entonces, oδΦ(q0 ; q − q0 ) = 0, ∀ q ∈ X.
  29. 29. 28 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Nota 2. La condici´n de Euler-Lagrange (2.37) es una condici´n necesaria o ode m´ ınimo local. En general no es suficiente. Para poder garantizar laexistencia de m´ ınimo global, necesitamos probar que la funci´n L satisface, opor ejemplo, propiedades adicionales de convexidad. Esto no es sencillo,pero algunas nociones de c´lculo elemental pueden ayudarnos. a Pensemos que, en realidad, tenemos que probar que una funci´n dada of : R2 → R es convexa. La propia definici´n de convexidad no suele ser util o ´en estos casos, puesto que es complicada de comprobar. Si f ∈ C 1 (Rn ), el Teorema 2.14 puede ayudarnos, pero tampoco suele serf´cil su aplicaci´n. Si f ∈ C 2 (Rn ), entonces tenemos criterios m´s utiles a o a ´usando la matriz Hessiana H(f )(x). Si H(f )(x) es semidefinida positiva,∀ x ∈ Rn , entonces f es convexa en Rn . Si H(f )(x) es definida positiva,∀ x ∈ Rn , entonces f es estrictamente convexa en Rn . L´gicamente puede osustituirse Rn por cualquier subconjunto C ⊂ Rn que sea abierto y convexo.Por ultimo, para probar que H(f )(x) es semidefinida positiva ∀ x ∈ Rn ´puede usarse el criterio de los menores principales: Si los n − 1 primeros me-nores principales son positivos y el ultimo es no negativo, entonces H(f )(x) ´es semidefinida positiva. Si todos los menores principales son positivos en-tonces H(f )(x) es definida positiva. Tambi´n pueden ayudar mucho las epropiedades siguientes: (1) La suma finita de funciones convexas es una funci´n convexa. o (2) El producto de un n´mero real positivo por una funci´n convexa es u o una funci´n convexa. o (3) Si f es convexa y g creciente y convexa, entonces la composici´n o g(f (x)) es convexa.Un libro muy claro y util para familiarizarse con los anteriores criterios es ´[14]. Muchos ejemplos concretos, de aplicaci´n del Teorema 2.16, se pueden over en [17]. Discutamos a continuaci´n, de manera detallada, el problema de la bra- oquistocrona, comentado en la introducci´n hist´rica. Este problema tiene o osus peculiaridades. Por ejemplo, el funcional (1.2) no es del tipo contem-plado en el Teorema 2.16, ya que el denominador se anula cuando y(x) = 0.Para solucionar ´ste y otros problemas relacionados con la convexidad, toma- emos como eje de abscisas el eje vertical (con direcci´n positiva hacia abajo), ocomo eje de ordenadas el eje horizontal. Entonces, si A = (0, 0), B = (b, b ),con b y b positivos, el funcional a minimizar adopta la forma (v´ase [17]) e b 1/2 1 + y (x)2(2.49) Φ(y) = dx 0 2gxdonde y ∈ X = {y ∈ C 1 ([0, b], R) : y(0) = 0, y(b) = b }. A pesar de lapresencia del t´rmino (2gx)−1/2 , x ∈ [0, b] en la expresi´n anterior, se puede e ocomprobar ¿f´cilmente? que Φ(y) ∈ R, ∀ y ∈ X. En realidad, esto es tan a bsencillo como probar que 0 (x)−1/2 dx existe. As´ pues, podemos hablar ı
  30. 30. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 29de posibles m´ ınimos de Φ en X, sin usar necesariamente el Teorema 2.16.Adem´s, a 2 1/2 (1) Para cada x ∈ (0, b] fijo, la aplicaci´n R → R, y → 1+y o 2gx es estrictamente convexa. De hecho, la derivada segunda de esta funci´n, respecto de y , es estrictamente positiva. o 2 1/2 (2) Si L : (0, b] × R × R → R, est´ definida como L(x, y, y ) = 1+y a 2gx y una funci´n y0 ∈ X satisface la ecuaci´n de Euler-Lagrange, en o o este caso, d(2.50) Ly (x, y0 (x), y0 (x)) = 0, ∀ x ∈ (0, b], dx entonces la primera variaci´n δΦ(y0 ; h) = 0, ∀ h ∈ C 1 ([0, b], R) : o y(0) = y(b) = 0.De las anteriores consideraciones se deduce trivialmente que X es convexo,que Φ es estrictamente convexo en X y que si y0 ∈ X satisface la ecuaci´n ode Euler Lagrange (2.50), entonces δΦ(y0 ; y − y0 ) = 0, ∀ y ∈ X. El Corolario2.15 prueba que y0 es m´ ınimo global de Φ en X y, adem´s, que el m´ a ınimoglobal se alcanza en un unico elemento de X. ´ La ecuaci´n de Euler-Lagrange (2.50) se cumple si y solamente si o y0 (x)(2.51) = k, (2gx(1 + y0 (x)2 ))1/2para alguna constante k ∈ R. Adem´s, si c ∈ R+ satisface a(2.52) cb < 1,entonces cualquier funci´n y0 ∈ X tal que o 1/2 cx(2.53) y0 (x) = , ∀ x ∈ [0, b], 1 − cxsatisface (2.51) con c = 2gk 2 . Un cambio de variable adecuado (¿cu´l?) apermite integrar la ecuaci´n anterior, obteni´ndose o e arcsin(cx)1/2 − (cx)1/2 (1 − cx)1/2(2.54) y0 (x) = cObservemos que y0 (0) = 0. S´lo queda comprobar que se puede elegir c osatisfaciendo (2.52) y tal que y0 (b) = b . T´cnicas elementales prueban que eesto es posible si b π(2.55) < . b 2Finalmente, la funci´n y0 definida en (2.54) se puede escribir en forma pa- oram´trica como e 1 x(t) = 2c (1 − cos t),(2.56) 1 y0 (t) = 2c (t − sent), t ∈ [0, π],

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