Calculo de variaciones
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  • 1. Cálculo de variaciones Programa de Posgrado FISYMAT Antonio Cañada VillarDepartamento de Análisis Matemático Universidad de Granada
  • 2. ´ CALCULO DE VARIACIONES. PROGRAMA DE POSGRADO FISYMAT, UNIVERSIDAD DE GRANADA ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 En las notas que siguen se recogen de manera esquem´tica algunas de las aideas fundamentales que se explican en el curso “C´lculo de Variaciones y aOptimizaci´n”, del programa de posgrado Fisymat. Estas notas est´n en o aconstante proceso de elaboraci´n. Espero que cada alumno encuentre algo ode utilidad en ellas. ´ ´ ´ 1. Introduccion, motivacion y notas historicas: del problema de la braquistocrona a la teor´ de puntos cr´ ıa ıticos.1.1. Recomendaciones bibliogr´ficas. a Los problemas de m´ximos y m´ a ınimos constituyeron la motivaci´n funda- omental para la creaci´n del C´lculo Diferencial e Integral a finales del siglo o aXVII. El origen del C´lculo Diferencial e Integral se atribuye fundamental- amente a Newton y Leibniz. El significativo trabajo de Leibniz titulado “Nova methodus pro maximiset minimis itemque tangentibus” que puede considerarse como el nacimientoformal del C´lculo, se public´ en 1684 y las palabras con las que Leibniz a odescribe el t´ ıtulo de esta obra nos dan una idea muy precisa del contenido:nuevo m´todo para el estudio de m´ximos y m´ e a ınimos de funciones usando lanoci´n de tangente. En este tratado se proporciona un m´todo muy preciso o epara el c´lculo de m´ximos y m´ a a ınimos de funciones concretas que surgenen las aplicaciones m´s diversas. Dicho m´todo usa la noci´n de derivada, a e opunto cr´ıtico, derivadas de orden superior, etc. Un buen resumen de la evoluci´n hist´rica del c´lculo de variaciones se o o apuede ver en los siguientes art´ıculos: Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influenceson the Mathematics of the First Half of Our Century. Part I. AmericanMathematical Monthly, volumen 101, no. 7, 674-678, (1994). Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influenceson the Mathematics of the First Half of Our Century. Part II. AmericanMathematical Monthly, volumen 101, no. 9, 902-908, (1994). La introducci´n del libro de texto recomendado [3] ofrece informaci´n o ohist´rica de inter´s. o e 1
  • 3. 2 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 Por cierto, la revista mencionada, American Mathematical Monthly, esmuy recomendable para los alumnos de los ultimos cursos de la licencia- ´tura en Matem´ticas. Tiene secciones muy diversas: art´ a ıculos, problemas,rese˜as de libros, etc. El nivel es, en general, asequible. Os animo a que la nconsult´is habitualmente. e Como veremos a continuaci´n, los problemas que trata el c´lculo de va- o ariaciones se formularon inemdiatamente despu´s del nacimiento del C´lculo. e a1.2. Algunos problemas significativos del C´lculo de Variaciones. . a Seg´n M. Kline ([10]) el primer problema significativo del C´lculo de u aVariaciones fue propuesto y resuelto por Newton en el libro II de sus “Prin-cipia”. Estudiando la forma que deb´ tener una superficie de revoluci´n, ıa omovi´ndose en el agua (o cualquier otro fluido) a velocidad constante a lo elargo de su eje para ofrecer una resistencia m´ ınima al movimiento, se plante´ oel estudio de m´ ınimos de funcionales de la forma b y(x)(y (x))3(1.1) Φ(y) = a 1 + (y (x))2donde la funci´n y(x) pertenece a un espacio apropiado de funciones de clase oC 1 [a, b]. Por ejemplo, podemos pensar que y(·) ∈ Y, donde Y = {y : [a, b] → R : y ∈ C 1 [a, b], y(a) = y1 , y(b) = y2 }donde (a, y1 ), (b, y2 ) son dados. Ya apreciamos la primera diferencia fundamental respecto de los proble-mas de m´ximos y m´ a ınimos estudiados por el alumno en la licenciatura:en (1.1) la “variable independiente” y(x) pertenece a un conjunto adecuadode funciones y no a un subconjunto del espacio eucl´ ıdeo finito dimensional.Tengamos en cuenta que los espacios de funciones son, en general, espaciosvectoriales de dimensi´n infinita. Os recomiendo la lectura y consulta del oart´ ıculo: G. Buttazzo y B. Kawohl: On Newton’s problem of minimal re-sistance, Mathematical Intelligencer, volumen 15, 7-12, (1992). Por cierto,esta revista, Mathematical intelligencer, es tambi´n muy recomendable para elos alumnos. De todas formas, suele considerarse que lo que se entiende hoy en d´ ıapor C´lculo de Variaciones, naci´ con la proposici´n de Johann Bernou- a o olli,en 1.696, del problema de la braquistocrona (seg´n algunos autores, este uproblema fue formulado con anterioridad por Galileo en 1638). Puede des-cribirse as´ una masa puntual se desliza, por acci´n de la gravedad, desde un ı: opunto A del plano , hasta otro punto B, a trav´s de alguna curva. El tiempo eempleado para ir desde A hasta B depende de la curva elegida. ¿Para qu´ ecurva se tendr´ que el tiempo es m´ a ınimo? Puede verse ([17]) que esto exige
  • 4. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 3el estudio de funcionales de la forma b 1/2 1 + y (x)2(1.2) dx a y(x)donde, como en (1.1), la variable independiente y(·), pertenece a un conjuntoadecuado de funciones. Contrariamente a lo que puede sugerir nuestra intuici´n, la soluci´n de o oeste problema no es ni el segmento rectil´ ıneo que une A con B, ni ning´n arco ude circunferencia que pase por A y B. La soluci´n, un arco de cicloide, fue oencontrada por diferentes matem´ticos: Jakob Bernoulli, Newton, Leibniz, aL’Hopital, etc. En los ejemplos citados con anterioridad, la variable independiente es unafunci´n y(x). Hay otros problemas, donde de manera natural surge el estudio ode funcionales cuya variable independiente pueden ser varias funciones. In-cluso, se pueden plantear problemas que recuerdan a los m´ximos y m´ a ınimoscondicionados (multiplicadores de Lagrange). Por ejemplo, esto ocurre enel llamado problema isoperim´trico que describimos a continuaci´n. Dado e oun n´mero real positivo L, se trata de estudiar la cuesti´n siguiente: de u otodas las curvas cerradas del plano de longitud dada L > 0, ¿cu´l es la que aencierra mayor ´rea? a Si escribimos la curva mediante sus ecuaciones param´tricas e(1.3) x = x(s)(1.4) y = y(s)(donde s es, por ejemplo, el par´metro arco), entonces es conocido que el aa´rea encerrada por la misma viene dada por: L 1(1.5) A = Φ(x, y) = x(s)y (s) − x (s)y(s) ds 2 0 Por tanto, se trata de hacer m´xima una expresi´n donde la variable a oes un par de funciones x(s), y(s). M´s precisamente, el par de funciones ax(·), y(·) pertenecen al espacio de funciones de clase C 1 [0, L] y, adem´s, ax(0) = x(L), y(0) = y(L) (la curva es cerrada). Por otra parte, al ser s elpar´metro arco se ha de cumplir la restricci´n a o (x (s))2 + (y (s))2 = 1, ∀ s ∈ [0, L].Esto es pues un problema de m´ximos y m´ a ınimos condicionados. Puede probarse ([7]) la relaci´n o(1.6) L2 − 4πA ≥ 0
  • 5. 4 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10y que la igualdad se da s´lo para cualquier circunferencia de longitud L. Un om´todo elegante y sencillo para estudiar este problema usa algunos hechos eb´sicos de la teor´ de Series de Fourier ([5]). a ıa El problema puede plantearse tambi´n en dimensiones superiores n ≥ e3, prob´ndose que si B ⊂ Rn , es un conjunto con algunas restricciones aadicionales, entonces ([7])(1.7) [L(∂B)]n − nn ωn [M (B)]n−1 ≥ 0donde ωn es el volumen de la bola unidad n−dimensional, es decir, ωn = BRn (0;1) 1 y [M (B)] es la medida de Lebesgue n−dimensional de B. Porsu parte, L(∂B) es la medida de Lebesgue n − 1-dimensional de la fronterade B. Adem´s la igualdad se da en la expresi´n anterior si y s´lo si B es a o ouna bola. Un ejemplo de especial significaci´n, desde el punto de vista de la f´ o ısica,lo constituye el principio de Hamilton. Vamos a ver que proporciona unaformulaci´n variacional (en t´rminos de m´ximos y m´ o e a ınimos, o al menos,puntos estacionarios o cr´ ıticos), de la segunda ley de Newton. Supongamos que una part´ ıcula de masa 1 se desplaza en el espacio eucl´ ıdeotridimensional desde un punto dado p1 a otro p2 en el intervalo de tiempo[t1 , t2 ], bajo la acci´n de una fuerza F : R3 −→ R3 que depende s´lo de la o oposici´n de la part´ o ıcula. En este caso, F = F (x), x = (x1 , x2 , x3 ). Si x : [t1 , t2 ] −→ R3 , t → x(t), es la trayectoria de la part´ ıcula, entoncesla segunda ley de Newton (masa × aceleracion = f uerza) nos proporcionala relaci´n o(1.8) x (t) = F (x(t)), x(t1 ) = p1 , x(t2 ) = p2 (1.8) es una ecuaci´n diferencial ordinaria de segundo orden. o El C´lculo de Variaciones nos proporciona otra interpretaci´n de (1.8), a ocercana a problemas de m´ximos y m´ a ınimos cuando la fuerza F es con-servativa, esto es, deriva de un potencial U : R3 → R. Esto quiere decirque U (y) = F (y), ∀y ∈ R3 , donde U (y) = ∂U (y) , ∂U (y) , ∂U (y) = ∂y1 ∂y2 ∂y3(F1 (y), F2 (y), F3 (y)). Definamos el conjunto A de “trayectorias posibles entre los puntos p1 yp2 ” de la forma siguiente:(1.9) A = y : [t1 , t2 ] −→ R3 / y(t1 ) = p1 , y(t2 ) = p2 , y ∈ C 1 [t1 , t2 ] Dado un elemento y ∈ A, su energ´ cin´tica como funci´n del tiempo t ıa e oviene dada por 1(1.10) (M y)(t) = ˙ y1 (t)2 + y2 (t)2 + y3 (t)2 ˙ ˙ ˙ 2
  • 6. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 5y su energ´ potencial viene expresada por −U (y(t)) donde U es el potencial ıamencionado. La lagrangiana de la trayectoria y se define como(1.11) L(y(t)) = M (y(t)) + U (y(t)) ˙ El funcional, llamado acci´n integral de Hamilton, se define como o Φ : A −→ R(1.12) t2 Φ(y) = L(y(t)) dt t1que hace corresponder a cada trayectoria posible, y, un n´mero real,Φ(y). u ¿Qu´ relaci´n existe entre el funcional dado en (1.12) y la ecuaci´n dife- e o orencial (1.8)? Por una parte, el funcional dado hace corresponder, a cadatrayectoria posible y, un n´mero real Φ(y). Por otra, (1.8) es una ecuaci´n u odiferencial ordinaria. No parece sencillo, ni intuitivo, qu´ relaci´n puede e ohaber entre ambos conceptos. El principio de Hamilton afirma: ”la trayectoria x ∈ A que sigue lapart´ ıcula bajo la acci´n de la fuerza F para ir de p1 a p2 es aquella que hace oestacionaria la acci´n integral Φ”. o ¿Qu´ es eso de hacer estacionaria la acci´n integral?. Recordemos que e odada una funci´n H : Rn → R, un punto estacionario de la misma es cual- oquier punto x ∈ Rn para el que H (x) = 0 (equivalentemente, todas las deri-vadas parciales de H, en el punto x son cero; es decir ∂H(x) = 0, 1 ≤ i ≤ n.) ∂xiAhora quiz´s no tenga sentido, o quiz´s sea un concepto nada trivial, la a anoci´n de “derivada parcial de la acci´n integral de Hamilton”. Esto puede o oser subsanado con el concepto de derivada direccional, m´s amplio que el de aderivada parcial. Un elemento x ∈ A se dice estacionario cuando la primera variaci´n de oΦ en x es cero. La primera variaci´n del funcional Φ, en el punto x y en la odirecci´n h se define como o d(1.13) δΦ(x; h) = Φ(x + τ h)|τ =0 dτdonde(1.14) h ∈ g : [t1 , t2 ] −→ R3 / g(t1 ) = 0, g(t2 ) = 0, g ∈ C 1 [t1 , t2 ] = B Que la primera variaci´n sea cero significa que o
  • 7. 6 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10(1.15) δΦ(x; h) = 0 ∀h ∈ B. Veremos en el curso que (1.15) no es sino la la segunda ley de Newton (1.8)expresada en forma variacional. En realidad veremos que, para trayectoriasx ∈ C 2 [t1 , t2 ], tales que x(t1 ) = p1 , x(t2 ) = p2 , (1.8) es equivalente a (1.15). Otras muchas leyes de la F´ ısica se expresan tambi´n en forma variacional. eTodas ellas responden a la filosof´ marcada por las frases siguientes: ıa (1) “En la Naturaleza no se realiza ning´n proceso superfluo o innece- u sario (Olympiodorus, siglo VI )” (2) “En un medio no homog´neo, formado por dos homog´neos y sepa- e e rados por una recta, un rayo luminoso que va desde un punto del primer medio a otro del segundo, lo hace de tal forma que minimiza el tiempo empleado en su recorrido (Fermat, siglo XVII)” (3) “Puesto que el Universo es perfecto y fue creado por el Creador m´s a sabio, nada ocurre en ´l, sin que est´ presente alguna ley de m´ximo e e a o m´ ınimo (Euler, siglo XVIII)” (4) “Una part´ ıcula que se mueve en el espacio bajo la acci´n de una o fuerza conservativa, lo hace de tal forma que su trayectoria hace m´ ınima, o al menos estacionaria, la acci´n integral (Hamilton, siglo o XIX)” Deteng´monos en un ejemplo concreto, la ley de la refracci´n que afirma a olo siguiente:Supongamos un medio no homog´neo, formado por dos medios homog´neos e eI y II separados por una recta r. Sean A y B dos puntos dados de I y IIrespectivamente. Entonces un rayo luminoso que va de A hasta B lo hace atrav´s de una trayectoria que es rectil´ e ınea en cada medio considerado y talque si O es el punto de la recta r por el que pasa, se tiene que el cociente entreel seno del ´ngulo de incidencia ϕ1 y el seno del ´ngulo de refracci´n ϕ2 , es a a o v1igual a v2 , siendo v1 y v2 , respectivamente, las velocidades de propagaci´n ode la luz en I y II. Es decir senϕ1 v1(1.16) = senϕ2 v2 Una demostraci´n variacional de la ley anterior, puede obtenerse usando oel principio de Fermat (siglo XVII) que afirma:en la situaci´n anteriormente descrita, un rayo luminoso que va de A hasta oB, lo hace a trav´s de una trayectoria tal que el tiempo empleado en su erecorrido es m´ ınimo. Usando este principio y eligiendo convenientemente los ejes de coordena-das tal que A = (0, a), B = (d, −b), entonces si O = (x, 0), tenemos que eltiempo empleado en la trayectoria es (a2 + x2 )1/2 (b2 + (d − x)2 )1/2 t(x) = + v1 v2
  • 8. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 7Es trivial comprobar que existe un unico punto x0 ∈ [0, d] tal que t (x0 ) = 0. ´Adem´s, t (x) > 0, ∀ x ∈ [0, d]. Esto prueba que existe un unico punto a ´x0 ∈ [0, d] tal que t(x0 ) = min[0,d] t. Calculando t (x0 ), es trivial que larelaci´n t (x0 ) = 0 es equivalente a (1.16). o Terminamos la descripci´n de problemas concretos, con el denominado oPrincipio de Dirichlet, donde como variables independientes aparecen demanera natural, funciones de varias variables reales (hasta ahora s´lo han oaparecido funciones de una variable). Sea Ω un dominio (subconjunto abierto y conexo) acotado de Rn . Consi-deremos el problema de contorno ∆u(x) = 0 x∈Ω(1.17) u(x) = f (x) x ∈ ∂Ωdonde ∆ es el operador Laplaciano definido como ∂ 2 u(x) ∂ 2 u(x)(1.18) ∆u(x) = 2 + ... + ∂x2 ∂x1 n Problemas del tipo anterior (estudio de la existencia de funciones arm´nicas oen Ω que tomen valores prefijados, dados por la funci´n f , en la frontera de oΩ) surgen, por ejemplo, en electrost´tica. a Como en el caso de la segunda ley de Newton, la ecuaci´n que aparece oen (1.17) es una ecuaci´n diferencial de segundo orden, pero en este caso se otrata de una ecuaci´n en derivadas parciales. Al tratar de conectar (1.17) ocon problemas de m´ximos y m´ a ınimos, surge de manera natural el llamadofuncional de energ´ıa: 2 2 ∂u(x) ∂u(x)(1.19) Φ(u) = | u(x)|2 dx = + ... + dx Ω Ω ∂x1 ∂xnque est´ definido sobre el conjunto de funciones: a(1.20) ¯ A = u : Ω −→ R / u ∈ C 1 (Ω), u|∂Ω = fEn electrost´tica, u es el potencial el´ctrico y Φ(u) la energ´ Obs´rvese la a e ıa. eanalog´ entre este funcional y el funcional Φ dado por la acci´n integral de ıa oHamilton en (1.12) (ahora la fuerza F y por tanto, el potencial U son lasfunciones id´nticamente cero). e Los puntos estacionarios del funcional Φ son, en un sentido que se pre-cisar´ en el curso, soluciones del problema (1.17) Este es el principio de aDirichlet.
  • 9. 8 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/101.3. Las condiciones necesarias de Euler-Lagrange y Legendre. Como resumen de lo dicho hasta ahora, nos encontraremos con el pro-blema de minimizar (o maximizar), o al menos encontrar puntos estacio-narios (por cierto, un concepto que habr´ que definir rigurosamente), de afuncionales Φ de la forma b Φ(y) = L(t, y(t), ..., y n) (t)) dt adonde y : [a, b] → R de clase C n [a, b] (sistemas con un grado de libertad).Este es el caso del problema de Newton (1.1), descrito con anterioridad, oel problema de la braquistocrona (1.2). En estos dos ejemplos n = 1. De manera m´s general, y : [a, b] → Rm de clase C n [a, b] (sistemas con am grados de libertad). Por ejemplo, en el caso de problema isoperim´tricoe(1.5) tenemos n = 1, m = 2 y en el caso del principio de Hamilton para elfuncional Φ dado en (1.12) tenemos n = 1, m = 3. Adem´s, la funci´n y a oy sus derivadas hasta el orden n, satisfacen en general algunas condicionesadicionales en la frontera del intervalo [a, b]. Trataremos tambi´n el caso de funciones de varias variables (sistemas con einfinitos grados de libertad) como en el caso del funcional (1.19), relacionadocon el principio de Hamilton. Concretamente funcionales de la forma Φ(u) = L(x, u(x), ..., Dα u(x)) dx, Ωsiendo Ω un dominio acotado de Rn . Aqu´ α es un multi´ ı ındice α = (α1 , α2 , . . . , αn )tal que αi ∈ N ∪ {0}, 1 ≤ i ≤ n y ∂ α1 +...+αn u(x) Dα u(x) = ∂xα1 . . . ∂xαn 1 nPor ejemplo, en el caso del funcional (1.19) los multi´ ındices α vienen dadospor los vectores can´nicos de Rn . Adem´s, es usual que la funci´n u verifique o a oalgunas condiciones en la frontera de Ω. Por ejemplo, en el principio deHamilton u(x) = f (x), ∀ x ∈ ∂Ω. Como en la teor´ de m´ximos y m´ ıa a ınimos para funcionales Φ : D →R, y → Φ(y), donde D es un subconjunto del espacio eucl´ ıdeo Rk , lasprincipales cuestiones que hemos de resolver se centran fundamentalmente enel establecimiento de condiciones necesarias y condiciones suficientes que nospermitan reconocer un punto de m´ ınimo o al menos un punto estacionario(si es que tiene sentido) del funcional Φ. Sabemos que esto depende no s´loodel funcional Φ, sino en gran medida del subconjunto D. En el caso finito dimensional, donde D ⊂ Rk , si D es abierto, dichascondiciones se expresan en t´rminos de Φ (x) y de Φ (x) (o derivadas de eorden superior a dos). No obstante, en este caso el problema suele ser, confrecuencia, probar que Φ tiene m´ ınimo. Si D es compacto, no suele ser pro-blema probar que Φ tiene m´ ınimo. Si, adem´s, su frontera se expresa en at´rminos “buenos”, es util el teorema de los multiplicadores de Lagrange. e ´
  • 10. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 9Todas estas son las ideas que flotan en el ambiente del C´lculo de Variacio- anes. No obstante, la situaci´n ahora es bastante m´s complicada, puesto que o aen general tratamos con problemas donde la variable independiente perte-nece a espacios de dimensi´n infinita. ¿Tiene sentido ahora la definici´n de o oderivada parcial, o derivada direccional?, ¿c´mo podemos definir la noci´n o ode derivada, y la noci´n de derivadas de orden superior a uno?... o En lo que se refiere al establecimiento de condiciones necesarias, un avancefundamental fue dado por Euler (¿c´mo no?) en 1744, a˜o en que se public´ o n osu famoso libro sobre curvas geod´sicas. Para funcionales de la forma e b Φ(y) = f (t, y(t), y (t)) dt ala condici´n necesaria para que un elemento (en este caso una funci´n) y0 o osea un m´ ınimo es d(1.21) fy (t, y0 (t), y0 (t)) − fy (t, y0 (t), y0 (t)) = 0, ∀ t ∈ [a, b] dtque es una ecuaci´n diferencial ordinaria de segundo orden (como la de la osegunda ley de Newton). Esta es la condici´n similar a que la primera oderivada sea cero en el caso finito-dimensional. Dependiendo del tipo deproblema que se considere la anterior ecuaci´n ha de completarse con alguna ocondici´n sobre la funci´n y0 en la frontera t = a y t = b del intervalo o o[a, b]. Como veremos en el curso, esta condici´n en la frontera implica las ocantidades y0 (a), y0 (b), y0 (a), y0 (b), etc, dependiendo de que en el problemaoriginal considerado los extremos de la funci´n se consideren fijos, variables, oetc. Algunas ideas de Euler fueron posteriormente desarrolladas en profundi-dad por Lagrange. En particular, en su libro de 1760-61, sobre “un nuevom´todo para determinar los m´ximos y los m´ e a ınimos de f´rmulas integrales” olleg´ a la misma conclusi´n que Euler, sobre la ecuaci´n (1.21) usando un o o ocamino diferente: Lagrange consider´ las variaciones o(1.22) J(y0 , η, ε) = F (y0 + εη)para una funci´n η fija y ε variable. As´ lleg´ a la misma ecuaci´n (1.21), que o ı o opor este motivo es conocida con el nombre de ecuaci´n de Euler-Lagrange. oParece ser que el nombre “C´lculo de Variaciones” tambi´n viene de esta a eidea de Lagrange. La ecuaci´n de Euler-Lagrange es una condici´n necesaria de m´ o o ınimoque implica la derivada de orden uno. Partiendo de (1.22) y considerandola “segunda variaci´n” Jεε , introducida por Legendre en 1786 ([10], [11]), o´ste demostr´ que en un punto de m´e o ınimo y0 ha de cumplirse la condici´n onecesaria(1.23) f y y (t, y0 (t), y0 (t)) ≥ 0, ∀ t ∈ [a, b].
  • 11. 10 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Esta es una condici´n similar al hecho de que la derivada segunda ha de ser osemidefinida positiva en el caso finito-dimensional. Respecto de las posibles condiciones suficientes, hubo que esperar 50 a˜os nhasta que Jacobi introdujo la llamada hoy en d´ condici´n de Jacobi, que ıa ojunto con la ecuaci´n de Euler-Lagrange y (1.23) permiten demostrar que oel punto y0 es un m´ ınimo. No obstante, dicha condici´n no es f´cil de o acomprobar, como veremos m´s adelante. a1.4. Teor´ de puntos cr´ ıa ıticos. Como hemos tenido ocasi´n de comentar, la segunda ley de Newton (1.8), oque viene dada por una ecuaci´n diferencial ordinaria de segundo orden, opuede expresarse en t´rminos variacionales de la forma (1.15), que no re- efleja otra realidad sino que todas las derivadas direccionales del funcional Φ(definido en (1.12)) en el punto x son cero. En el caso finito dimensional,si hablamos de funcionales Φ : Rn → R que sean derivables, la manera m´s af´cil de conseguir que todas las derivadas direccionales de Φ en x sean cero aes que la derivada de Φ en x, Φ (x) sea cero. Ahora estamos hablando no defuncionales definidos en espacios normados de dimensi´n finita, Rn , sino de ofuncionales Φ definidos en espacios normados de dimensi´n infinita E. La oteor´ de puntos cr´ ıa ıticos trata sobre la ecuaci´n o Φ (u) = 0para funcionales derivables Φ : E → R, derivables (en un sentido que se hade precisar), donde E es cualquier espacios normado de dimensi´n infinita. o En este curso se proporcionar´ una introducci´n a la teor´ de puntos a o ıacr´ıticos, y se expondr´n algunos resultados importantes referentes tanto al allamado m´todo directo (en el que se trata de probar la existencia de m´ e ınimoglobal del funcional Φ dado), como a los m´todos min-max, de desarrollo erelativamente reciente. En particular, dedicaremos una atenci´n especial a odos teoremas relativamente modernos, pero ya cl´sicos: el Teorema del paso ade monta˜a de Ambrosetti y Rabinowitz (1971) y el Teorema del punto de nsilla de Rabinowitz (1978).Seg´n mi opini´n, los resultados seleccionados son ejemplos muy represen- u otativos de las diferentes posibilidades del m´todo variacional, pudi´ndose, e econ la ayuda de la bibliograf´ recomendada, estudiar otros de los muchos ıaque se conocen en la actualidad. Un comentario m´s. a En un curso de esta naturaleza, de car´cter introductorio sobre m´todos a evariacionales, pueden obtenerse los resultados fundamentales sin recurrir anociones de diferenciabilidad en espacios de dimensi´n infinita (v´ase, por o eejemplo [7], [18]). No obstante, en mi opini´n, es muy instructivo hacerlo odesde este punto de vista, puesto que el desarrollo del c´lculo diferencial en aespacios de dimensi´n infinita puede hacerse muy similarmente al caso de o
  • 12. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 11dimensi´n finita; eso s´ hay que hacer un hincapi´ especial en las diferen- o ı ecias b´sicas entre ambos casos, lo que es muy instructivo para el alumno. aAdem´s, este punto de vista hace necesaria la introducci´n de diversos con- a oceptos (espacios normado, de Hilbert, aplicaciones lineales, bases hilbertia-nas, etc.) que permite al alumno tener una formaci´n no s´lo en este tema o osino tambi´n en otras disciplinas relacionadas con Ecuaciones Diferenciales ey An´lisis Funcional. Es indudable que estos conocimientos pueden serle ade gran utilidad en otras disciplinas que curse, e incluso para su posibleiniciaci´n en la investigaci´n actual. o o
  • 13. 12 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 ´ 2. Calculo diferencial en espacios normados2.1. Derivabilidad en espacios normados de dimensi´n arbitraria. oA continuaci´n introducimos brevemente algunas nociones sobre derivabili- odad en espacios de dimensi´n arbitraria. Puede consultarse [3] y [8] para los odetalles y para profundizar en el tema. La idea b´sica para extender la noci´n de derivada a espacios de dimensi´n a o oinfinita est´ basada en las siguientes reflexiones escalonadas: a (1) Si f : (a, b) → R y x0 ∈ (a, b), entonces f es derivable en x0 si y solamente si existe el l´ımite f (x0 + h) − f (x0 )(2.1) lim = f (x0 ) h→0 h en cuyo caso, a tal l´ ımite se le llama derivada de f en x0 , f (x0 ) ∈ R. (2.1) es equivalente a f (x0 + h) − f (x0 )(2.2) lim − f (x0 ) = 0. h→0 h (2) Si f : (a, b) → Rm y x0 ∈ (a, b), entonces todo es lo mismo que en el caso anterior, salvo que, ahora, f (x0 ) ∈ Rm . M´s precisamente, f a es derivable en x0 si y solamente si existe el l´ ımite f (x0 + h) − f (x0 )(2.3) lim = f (x0 ) h→0 h ımite se le llama derivada de f en x0 , f (x0 ) ∈ Rm . en cuyo caso, a tal l´ (2.3) es equivalente a f (x0 + h) − f (x0 )(2.4) lim − f (x0 ) = 0. h→0 h donde · indica cualquier norma en el espacio normado finito di- mensional Rm (recordemos que al ser Rm de dimensi´n finita, todas o las normas son equivalentes). (3) Si f : Ω → R, donde Ω es un subconjunto abierto de Rn , y n > 1, la anterior definici´n no es v´lida, puesto que no podemos dividir o a por h ∈ Rn . La extensi´n adecuada de derivada no la constituye la o mera existencia de derivadas parciales, puesto que es conocido que una funci´n puede tener derivadas parciales y no ser continua. o Para proceder a la definici´n en este caso, es necesario obtener una o caracterizaci´n de las situaciones presentadas en los dos primeros o apartados, que pueda extenderse a situaciones generales. En este sentido, el l´ ımite (2.1) es un n´mero real o m´s generalmente, en u a el caso de (2.3), un vector de Rm . En ambos casos, el vector f (x0 ) define una aplicaci´n lineal (autom´ticamente continua) L : R → Rm o a
  • 14. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 13 dada por L(h) = f (x0 )h, ∀ h ∈ R y, en ambos casos, podemos decir que f es derivable en x0 si |f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h)|(2.5) lim =0 h→0 h Rn donde · Rm es cualquier norma en Rm . Estos reflexiones se ven avaladas porque, como puede comprobarse f´cilmente, s´lo puede a o existir una aplicaci´n lineal L : R → Rm que satisfaga (2.5). o De acuerdo con las anteriores ideas, si f : Ω → R, donde Ω es un subconjunto abierto de Rn , n > 1, y x0 ∈ Ω, diremos que f es derivable en x0 si y solamente si existe alguna aplicaci´n lineal o L : Rn → R (autom´ticamente continua) tal que a |f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h)|(2.6) lim =0 h→0 h Rn (4) En la situaci´n general finito dimensional, donde f : Ω → Rm , y Ω o es un abierto de Rn , diremos que f es derivable en x0 si y solamente si existe alguna aplicaci´n lineal L : Rn → Rm (autom´ticamente o a continua) tal que f (x0 + h) − f (x0 ) − L(h) Rm(2.7) lim =0 h→0 h RnCuando intentemos dar el salto a dimensi´n infinita, la unica novedad es o ´que, ahora, una aplicaci´n lineal no es necesariamente continua y por tanto, ohemos de exigirlo en la definici´n (v´ase [4]). o eDefinici´n 2.1. (Derivada de Fr´chet). o e Sean (X, · X ), (Y, · Y ) espacios normados reales, Φ : Ω −→ Y dondeΩ es un abierto de X y x0 ∈ Ω. Se dice que Φ es derivable (seg´n Fr´chet) en el punto x0 ∈ Ω, si existe u ealguna aplicaci´n lineal y continua L : X −→ Y tal que o Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h) Y(2.8) lim =0 h→0 h X Como primeras propiedades de esta definici´n, podemos indicar las si- oguientes:Proposici´n 2.2. o (1) L, si existe, es unica. Usaremos la notaci´n L = ´ o Φ (x0 ). (2) La derivabilidad es un concepto que no cambia, si se toman otras normas equivalente. M´s precisamente, si Φ es derivable en x0 y a tomamos normas equivalentes en X e Y respectivamente, la derivada es la misma.
  • 15. 14 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 (3) Si ∃ Φ (x0 ), entonces Φ es continua en x0 . (4) Sea Φ : X −→ Y lineal y continua (recordemos que si Φ es lineal, esto es equivalente a que exista alguna constante k ≥ 0 tal que Φ(x) Y ≤ k x X , ∀ x ∈ X). Entonces se tiene Φ (x0 ) = Φ, ∀x0 ∈ X. (5) Sea Φ : X × Z → Y bilineal y continua (recordemos que si Φ es bilineal, esto es equivalente a que exista alguna constante k ≥ 0 tal que Φ(x, z)) Y ≤ k x X z Z , ∀ (x, z) ∈ X × Z). Entonces existe Φ (x0 , z0 ), ∀(x0 , z0 ) ∈ X × Z y Φ (x0 , z0 )(h1 , h2 ) = Φ(x0 , h2 ) + Φ(h1 , z0 ). En particular, el producto escalar en cualquier espacio de Hilbert es un ejemplo de ello. (6) Si H es un espacio de Hilbert real con producto escalar · , A : H −→ H es lineal y continua y Φ : H −→ R, viene definida por Φ(x) = Ax, x , entonces existe Φ (x0 ), ∀x0 ∈ H y Φ (x0 )(h) = Ax0 , h + x0 , Ah . En particular, si A = I, entonces Φ(x) = x 2 y Φ (x0 )(h) = 2 x0 , h , ∀ x0 , h ∈ H. (7) Si Φ : Ω → R, donde Ω es un subconjunto abierto de alg´n espacio u de Hilbert H, y Φ es derivable en x0 ∈ Ω, entonces el teorema de representaci´n de Riesz garantiza la existencia de un unico elemento o ´ Φ(x0 ) ∈ H, tal que Φ (x0 )(h) =< Φ(x0 ), h >, ∀ h ∈ H. A Φ(x0 ) se le denomina gradiente de Φ en x0 . Un operador Ψ : Ω → H se dice que es un operador gradiente si existe alg´n operador Φ : Ω → R tal que Ψ(x) = Φ(x), ∀ x ∈ Ω. u En este caso, a Φ se le llama potencial de Ψ. Como en el caso finito dimensional (las demostraciones son id´nticas), epuede comprobarse inmediatamente que la derivada es un operador linealen el siguiente sentido: la derivada de la suma es la suma de derivadas, laderivada del producto de un escalar por una funci´n es el escalar por la oderivada de la funci´n, etc. y que es v´lida la regla de la cadena ([3]). o a Si Φ : Ω −→ Y es tal que existe su derivada de Fr´chet en todos los puntos ede Ω, entonces se puede considerar la aplicaci´n derivada o Φ : Ω −→ L(X, Y )(2.9) x −→ Φ (x) Aqu´ L(X, Y ) indica el espacio normado real formado por las aplica- ı,ciones lineales y continuas de X en Y, dotado de la norma usual. Re-cordemos que si L ∈ L(X, Y ), entonces existe alguna constante k ≥ 0tal que L(x) Y ≤ k x X , ∀ x ∈ X. En este caso, L L es el ´ ınfimo(m´ınimo) de los n´meros k que verifican la relaci´n anterior. Tambi´n u o e L L(X,Y ) = supx∈X, x X ≤1 L(x) Y .
  • 16. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 15 Tiene as´ sentido hablar de la derivabilidad de Φ . Si existe (Φ ) (x0 ) se ıdir´ que Φ posee derivada segunda en el punto x0 : Φ (x0 ) ∈ L(X, L(X, Y ). aPor ejemplo, es f´cil comprobar que si L ∈ L(X, Y ), entonces L = 0 en todo apunto. Si X = C([0, 1], R), y Φ : X → X est´ definida como Φ(x)(t) = x2 (t), aentonces (Φ (x))(h)(k) = 2hk, ∀ h, k ∈ X. Para poder trabajar c´modamente con derivadas de orden superior, con- oviene hacer las identificaciones que siguen. Comencemos por un lema, dedemostraci´n sencilla, que identifica el espacio L(X, L(X, Y )) con L2 (X, Y ), odonde L2 (X, Y ) es el espacio de las aplicaciones bilineales y continuas deX × X en Y . Recordemos que si L ∈ L2 (X, Y ), ∃m ≥ 0, / L(h, k) Y ≤m h X k X , ∀(h, k) ∈ X × X. Entonces L es el ´ ınfimo (m´ ınimo) de losn´meros m que verifican la desigualdad anterior. Tambi´n, L L2 (X,Y ) = u esup h ≤1, k ≤1 L(h, k) Y .Lema 2.3. Sea Γ : L(X, L(X, Y )) −→ L2 (X, Y ) A −→ ΓAdonde ΓA : X × X −→ Y, ΓA (h, k) = (A(h))(k), ∀(h, k) ∈ X × X. Entonces Γ es lineal, biyectiva y ΓA L2 (X,Y ) = A L(X,L(X,Y )) , ∀A ∈L(X, L(X, Y )). Una propiedad destacable es que la derivada segunda de una funci´n, sioexiste, es siempre una aplicaci´n bilineal sim´trica (v´anse [2], [8]). o e e En general, si Ln (X, Y ) denota el conjunto de aplicaciones multilinealesy continuas L de X × . . .n) × X en Y, con la norma usual, es decir, L = sup L(x1 , · · · , xn ) Y, x1 ≤1,··· , xn ≤1entonces la derivada n−´sima puede definirse por inducci´n, sin m´s que e o ausar la identificaci´n o(2.10) L(X, Ln (X, Y )) Ln+1 (X, Y )Como en el caso de dimensi´n dos, una propiedad destacable es que la deri- ovada n−´sima de una funci´n, si existe, es siempre una aplicaci´n multilineal e o osim´trica (v´anse [2], [8]). e e La siguiente f´rmula, conocida como f´rmula de Taylor, es semejante al o ocaso de dimensi´n finita, y de gran utilidad en el estudio de m´ximos y o am´ınimos de funcionales. Para la demostraci´n v´anse [2], [3] o bien [8]. o eComo hasta ahora, Ω denota cualquier abierto de un espacio normado realX, e Y denota tambi´n cualquier espacio normado real. eTeorema 2.4. Sea Φ : Ω → Y, de clase C n (Ω) (es decir, tanto Φ como susderivadas hasta el orden n son continuas en Ω), y dos puntos u, u + h ∈ Ω
  • 17. 16 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10tales que el segmento [u, u + h] ⊂ Ω. Entonces 1 n)(2.11) Φ(u + h) = Φ(u) + Φ (u)(h) + . . . + Φ (u)(h)n + ω(u, h)(h)n , (n)!donde ω(u, h) es un aplicaci´n multilineal de X × . . .n) × X en Y tal que o nlimh→0 ω(u, h) = 0. En particular limh→0 ω(u,h)(h) = 0. h n X Aqu´ la notaci´n ı, o Φk) (u)(h)k significa la aplicaci´n multilineal Φk) (u) apli- ocada al elemento (h, . . . , h) ∈ X k. Los resultados anteriores permiten demostrar los teoremas siguientes, so-bre condiciones necesarias y condiciones suficientes de m´ximos y m´ a ınimos.Teorema 2.5. Sea Φ : Ω −→ R, Ω ⊂ X abierto, y x0 ∈ Ω un m´ ınimo local de Φ. • Si Φ es derivable en x0 , entonces Φ (x0 ) = 0. • Si existe la derivada segunda de Φ en x0 , entonces Φ (x0 )(h, h) ≥ 0, ∀h ∈ XTeorema 2.6. Sea Φ : Ω −→ R, Ω ⊂ X abierto, Φ ∈ C 2 (Ω, R) y x0 ∈ Ω tal que: (1) Φ (x0 ) = 0 (2) ∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K h 2 , ∀h ∈ X Entonces Φ tiene un m´ ınimo local estricto en x0 .Nota 1. Notemos que la condici´n o 2 ∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K h , ∀h ∈ Xes equivalente a ∃K > 0 / Φ (x0 )(h, h) ≥ K, ∀h ∈ X tal que h = 1.Si el espacio X tiene dimensi´n finita, esto ultimo es claramente equivalente o ´a que Φ (x0 )(h, h) > 0, ∀h ∈ X tal que h = 1.En dimensi´n infinita no es necesariamente as´ debido a la no compacidad o ı,de la bola unidad del espacio X. Veamos un ejemplo de lo anterior, de especial significaci´n por las apli- ocaciones al c´lculo de variaciones. Sea f : [a, b] × R −→ R, (t, x) → f (t, x), a ∂fcontinua tal que ∃ : [a, b] × R −→ R y es continua. ∂x Definimos
  • 18. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 17 Φ : C([a, b], R) −→ R(2.12) b Φ(x) = f (t, x(t))dt a • C([a, b], R) lo consideramos como espacio normado real, con la norma x 0 = maxt∈[a,b] |x(t)| .Proposici´n 2.7. o ∀x0 ∈ C([a, b], R), ∃ Φ (x0 ) y Φ (x0 ) : C([a, b], R) −→ R viene definida por b(2.13) ∂f (t, x0 (t)) Φ (x0 )(h) = h(t)dt, ∀ h ∈ C([a, b]. ∂x a Principales ideas de la demostraci´n. o Tendremos que comprobar en primer lugar que L(h) ≡ Φ (x0 )(h) tal ycomo se ha definido anteriormente, es lineal y continua respecto de h. L : (C([a, b]), R) −→ R b(2.14) ∂f (t, x0 (t)) h −→ h(t)dt ∂x aes lineal de forma trivial. Para ver que es continua hemos de demostrar queexiste M ∈ R+ tal que |L(h)| ≤ M h 0 , ∀h ∈ C([a, b], R). Ahora bien,como M puede tomarse M1 (b − a), donde M1 es el m´ximo de la aplicaci´n a ode [a, b] en R definida como ∂f (t, x0 (t))(2.15) t −→ ∂x El siguiente paso es comprobar que se verifica la condici´n (2.8). Ahora obien, Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h) =(2.16) b ∂f (t,x0 (t)) f (t, x0 (t) + h(t)) − f (t, x0 (t)) − ∂x h(t) dt = (∗) a Ahora podemos usar el Teorema del Valor Medio, en versi´n integral. oEste Teorema, muy util y sencillo de usar, afirma lo siguiente: ´
  • 19. 18 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 1 1(2.17) g ∈ C ([x, y], R) ⇒ g(y) − g(x) = g (ty + (1 − t)x)(y − x)dt 0Pensemos que la demostraci´n es trivial, puesto que o d g (ty + (1 − t)x)(y − x) = g(ty + (1 − t)x) dt Usando este Teorema, la expresi´n (2.16), se transforma en o(2.18)   b 1  ∂f (t, rx0 (t) + rh(t) + (1 − r)x0 (t)) ∂f (t, x0 (t))(∗) = h(t)dr − h(t) dt = ∂x ∂x a 0 b  1   ∂f (t, x0 (t) + rh(t)) ∂f (t, x0 (t))(2.19) = − dr h(t)dt = ∂x ∂x a 0 Tomamos valores absolutos, y obtenemos la expresi´n o |Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h)| ≤(2.20) b 1 ∂f (t,x0 (t)+rh(t)) ∂f (t,x0 (t)) h 0 ∂x − ∂x drdt a 0 Para concluir la demostraci´n, bastar´ comprobar que o ıa b 1 ∂f (t, x0 (t) + rh(t)) ∂f (t, x0 (t))(2.21) lim − drdt = 0 h 0 →0 ∂x ∂x a 0 Ahora bien, tenemos que x0 (t) + rh(t) converge (uniformemente respecto ∂fde r) a la funci´n x0 (t) con la norma · 0 . Adem´s, como o a es continua, ∂xesta funci´n es uniformemente continua en compactos, y por ello se tiene oque ∂f (t,x0 (t)+rh(t)) ∂f (t,x0 (t)) ∂x −→ ∂x(2.22) con la norma · 0, uniformemente respecto de r ∈ [0, 1]. Ideas an´logas pueden usarse para el estudio del siguiente funcional: Sea aX = C 1 ([a, b], R), con la norma dada por x = x 0 + x 0 . Sea f : [a, b] × R × R −→ R(2.23) (t, x, y) −→ f (t, x, y)
  • 20. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 19continua tal que para cualquier t ∈ [a, b] fijo, la aplicaci´n f (t, x, y) es C 1 ocon respecto a (x, y) ∈ R2 . Si definimos el funcional Φ : X −→ R b(2.24) Φ(x) = f (t, x(t), x(t))dt ˙ a Entonces Φ es derivable y(2.25) b ∂f (t, x0 (t), x0 (t)) ˙ ∂f (t, x0 (t), x0 (t)) ˙ ˙Φ (x0 )(h) = h(t) + h(t) dt, ∀ h ∈ X. ∂x ∂x˙ a Otros ejemplos son los siguientes. Sea X = C k ([a, b], R) con la norma k x k = xp) 0 y f : [a, b]×Rk+1 → R, (t, x0 , x1 , ..., xk ) → f (t, x0 , x1 , ..., xk ) p=0continua y tal que para cada t ∈ [a, b] fijo, la aplicaci´n f (t, x0 , x1 , ..., xk ) es oC 1 con respecto a (x , x , ..., x ) ∈ Rk+1 . Si Φ : X → R se define como 0 1 k b Φ(x) = f (t, x(t), ..., xp) (t), ..., xk) (t)) dt, aentonces k b k) ∂f (t, x0 (t), ..., x0 (t)) p) Φ (x0 )(h) = h (t) dt a ∂xp p=0 Respecto de las derivadas de orden superior, las mismas ideas puedenusarse para probar el resultado siguiente: Sea f : [a, b] × R −→ R, (t, x) → f (t, x) continua tal que para cadat ∈ [a, b] fijo, la aplicaci´n f (t, x) es C 2 respecto de x ∈ R. Si Φ es el ofuncional definido en (2.12) entonces b ∂ 2 f (t, x0 (t)) Φ (x0 )(h, k) = h(t)k(t)dt. ∂x2 aPara el funcional definido en (2.24) se tendr´ ıa(2.26) b 2 f (t,x ∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t)) Φ (x0 )(h, k) = [ ∂ 0 (t),x0 (t)) ∂x2 ˙ h(t)k(t) + ∂x∂y ˙ ˙ h(t)k(t)+ a ∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t)) ˙ ˙ ∂ 2 f (t,x0 (t),x0 (t)) ˙ ˙ ˙ ∂y∂x h(t)k(t) + ∂y 2 h(t)k(t)]dt A veces es necesario trabajar con conceptos m´s d´biles que la derivabi- a elidad seg´n Fr´chet. Vamos a hablar brevemente de esto para funcionales u e
  • 21. 20 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10que est´n definidos en alg´n abierto de un espacio normado y con valores a ureales.Definici´n 2.8. Sea (E, · ) un espacio normado real, Ω un subconjunto oabierto de E, Φ : Ω −→ R y x0 ∈ E. • Recordemos que Φ es derivable seg´n Fr´chet en x0 si ∃ L : E −→ R u e lineal y continua tal que |Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) − L(h)|(2.27) lim =0 h→0 h X • Se dice que Φ es derivable seg´n Gateaux en x0 si u Φ(x0 + τ h) − Φ(x0 )(2.28) ∀h ∈ E ∃ lim ≡ ΦG (x0 )(h) τ →0 τ y la aplicaci´n ΦG (x0 ) : E −→ R, h → ΦG (x0 )(h), es lineal y o continua en h ∈ E. En este caso, a ΦG (x0 ) se le llama derivada de Gateaux de Φ en x0 . • Se define la primera variaci´n de Φ en x0 , en la direcci´n h ∈ E o o como Φ(x0 + τ h) − Φ(x0 )(2.29) δΦ(x0 , h) = lim τ →0 τ • En general, se define la n-´sima variaci´n de la funci´n Φ en x0 y en e o o la direcci´n h ∈ E como o dn Φ(x0 + th)(2.30) δ n Φ(x0 , h) = dtn t=0 La derivabilidad seg´n Fr´chet implica la derivabilidad seg´n Gateaux, u e uy no se verifica la implicaci´n contraria. La derivabilidad seg´n Gateaux o uimplica la existencia de la primera variaci´n en todas las direcciones, pero no oal contrario. Tambi´n, las reglas algebraicas usuales, regla de la cadena, etc. eson v´lidas para estos conceptos relacionados con la derivabilidad. V´ase a e[17] para la relaci´n entre estos conceptos. o Algunos ejemplos de inter´s son los siguientes: eEjemplo 1. Sea f : R2 −→ R.   x6 si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = (y − x2 )2 + x8  0 si (x, y) = (0, 0)
  • 22. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 21 Esta funci´n es derivable seg´n Gateaux en el punto (0, 0) (de hecho, o usu derivada es la funci´n nula), pero f no es continua en este punto. En oparticular f es derivable seg´n Gateaux en (0, 0) pero no es Fr´chet derivable u een (0, 0).Ejemplo 2. Sea f : R2 −→ R.   x2 y x2 + y 2 f (x, y) = si (x, y) = (0, 0)  x4 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0) Esta funci´n es derivable seg´n Gateaux en el punto (0, 0) (de hecho, su o uderivada es la funci´n nula), es continua en este punto, pero no es derivable oen el sentido de Fr´chet. e ¡An´ ımese el alumno a comprobar las afirmaciones anteriores! El Teorema del valor medio es cierto, usando la noci´n de derivada de oGateaux. De hecho, tenemos el Teorema siguiente:Teorema 2.9. Sean X, Y espacios normados, Ω un abierto de X y Φ :Ω → Y derivable Gateaux en Ω. Si x1 , x2 ∈ Ω son tales que el segmento[x1 , x2 ] ⊂ Ω, entonces Φ(x1 ) − Φ(x2 ) Y ≤ sup ΦG (tx1 + (1 − t)x2 ) L(X,Y ) x1 − x2 X 0≤t≤1 Usando este Teorema, puede probarse el siguiente, de inter´s en las apli- ecaciones, para determinar la derivada de Fr´chet de los funcionales que este- emos tratando. De hecho, la funci´n dada Φ puede usarse de manera directa opara intentar calcular la derivada de Gateaux, pero no as´ para calcular la ıderivada de Fr´chet. eTeorema 2.10. Sea Φ : Ω → Y, derivable seg´n Gateaux en Ω (es decir, en utodos los puntos de Ω) y tal que la aplicaci´n ΦG : Ω → L(X, Y ) es continua oen x0 ∈ Ω. Entonces existe la derivada de Fr´chet Φ (x0 ) y Φ (x0 ) = ΦG (x0 ). e La versi´n tradicional del Teorema del valor medio es v´lida tambi´n. o a eEsto exige introducir el concepto de integral definida, b(2.31) f (t) dt apara funciones f : [a, b] → E, continuas, donde E es un espacio normadocualquiera. No es dif´ ıcil: en primer lugar se introduce el concepto anteriorpara funciones escalonadas. En segundo lugar, usando el hecho de que sif : [a, b] → E, es continua, entonces es uniformemente continua, puedeusarse un m´todo l´ e ımite para definir (2.31). V´ase, por ejemplo ([12]). e Se obtiene as´ el Teorema fundamental del C´lculo que se enuncia a con- ı atinuaci´n. o
  • 23. 22 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Teorema 2.11. Sea E un espacio normado cualquiera y f : [a, b] → E tcontinua. Si F : [a, b] → E se define como F (t) = a f (s) ds, entoncesF (t) = f (t), ∀ t ∈ [a, b]. Lo que sigue es el Teorema del valor medio para derivada de Fr´chet. eTeorema 2.12. Sea f : Ω → Y de clase C 1 (Ω). Entonces, para todo par depuntos x1 , x2 ∈ Ω tales que [x1 , x2 ] ⊂ Ω, se tiene: 1 f (x1 ) − f (x2 ) = f (x2 + t(x1 − x2 ))(x1 − x2 ) dt 0 ¡Puede ser muy instructivo comparar los Teoremas 2.9 y 2.12!2.2. Convexidad de un operador y monoton´ de su derivada. Vea- ıamos a continuaci´n algunas de las relaciones existentes entre la convexidad ode una funci´n y la monoton´ de su derivada. Para ello, sea (E, · ) un o ıaespacio normado, Ω un abierto de E y f : Ω −→ R derivable. De acuerdocon la definici´n de derivada, se tiene o f : Ω −→ L(E, R) x0 −→ f (x0 )donde L(E, R) es el espacio de Banach de las aplicaciones lineales y continuasde E en R, con la norma usual, es decir: ∀ L ∈ L(E, R) L = sup |L(x)| x ≤1, x∈EDefinici´n 2.13. o • f se dice que es mon´tona si (f (x) − f (y))(x − y) ≥ 0 ∀x, y ∈ Ω. o • f se dice que es estrictamente mon´tona si (f (x) − f (y))(x − y) > o 0, ∀x, y ∈ Ω con x = y.Teorema 2.14. Sea Ω ⊂ E, abierto y convexo y f : Ω −→ R f ∈ C 1 (Ω). Son equivalentes: (1) f es convexa en Ω; es decir, ∀ x, y ∈ Ω se tiene f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ [0, 1]. (2) f : Ω −→ L(E, R) es mon´tona. o Tambi´n son equivalentes: e (1) f es estrictamente convexa en Ω; es decir, ∀ x, y ∈ Ω x = y, se tiene f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ (0, 1). (2) f : Ω −→ L(E, R) es estrictamente mon´tona. o
  • 24. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 23 Demostremos la primera parte. ¡Int´ntelo el alumno con la segunda. Es eposible que se lleve alguna sorpresa! 1. ⇒ 2. Si x, y ∈ Ω entonces f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀ λ ∈ [0, 1].De aqu´ obtenemos que f (y + λ(x − y)) − f (y) ≤ λ(f (x) − f (y)), ∀λ ∈ (0, 1). ıAs´ı, f (y + λ(x − y)) − f (y)(2.32) ≤ f (x) − f (y) λ Si λ −→ 0+ obtenemos(2.33) f (y)(x − y) ≡ δf (y; x − y) ≤ f (x) − f (y) An´logamente, cambiando x por y, se obtiene la expresi´n f (x)(y − x) ≤ a of (y)−f (x). Sumando ambas expresiones, obtenemos finalmente que (f (y)−f (x))(x − y) ≤ 0, por lo que (f (y) − f (x))(y − x) ≥ 0. 2. ⇒ 1. Veamos que ∀x, y ∈ Ω y ∀λ ∈ [0, 1] se tiene que f (λx + (1 − λ)y) ≤λf (x) + (1 − λ)f (y). En efecto, para ello definimos la funci´n o p : [0, 1] −→ R(2.34) p(λ) = f (λx + (1 − λ)y) − λf (x) − (1 − λ)f (y) Hemos de comprobar que p(λ) ≤ 0 ∀λ ∈ [0, 1]. En principio p(0) = p(1) = 0. Supongamos que ∃λ0 ∈ (0, 1) tal quep(λ0 ) > 0. Entonces max[0,1] p > 0. Sea λ1 un punto donde se alcance estem´ximo. Entonces p (λ1 ) = 0. Adem´s, usando que f es mon´tona, se a a otiene p (λ) − p (λ1 ) = f (λx + (1 − λ)y)(x − y) − f (x) + f (y) −f (λ1 x + (1 − λ1 )y)(x − y) + f (x) − f (y) = [f (λx + (1 − λ)y) − f (λ1 x + (1 − λ1 y)] (x − y). Si u = λx + (1 − λ)y, v = λ1 x + (1 − λ1 )y, la expresi´n anterior queda o u−v(f (u) − f (v))( λ−λ1 ), que es una expresi´n no negativa para λ > λ1 , por la omonoton´ de f . Esto implica que p (λ) ≥ 0 ∀λ > λ1 , lo que no es posible ıasi tenemos en cuenta los valores de p en λ = λ1 y λ = 1. Observando detenidamente la demostraci´n anterior, obtenemos el si- oguiente resultado que ser´ muy util en la pr´ctica. a ´ aCorolario 2.15. Sea Ω convexo y f : Ω −→ R convexa. Supongamos que para alg´n x0 ∈ Ω use cumple(2.35) δf (x0 ; x − x0 ) = 0, ∀x ∈ Ω. Entonces x0 es un punto de m´ ınimo global de f en Ω. Adem´s, si f es aestrictamente convexa, el punto donde se alcanza el m´ ınimo es unico. ´
  • 25. 24 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 Un ejemplo de lo anterior es el siguiente. Sea C = y ∈ C 1 [0, 1] : y(0) = 0, y(1) = 1 , y f : C −→ R definida por 1 2 f (y) = (y (x) + 4y(x))dx 0. Puede probarse que: • Existe m´ınimo de f en C. • Este m´ınimo se alcanza en la funci´n y0 (x) = x2 . o • El punto donde se alcanza el m´ ınimo es unico. ´ De hecho, para este ejemplo se tiene 1 (f (x) − f (y), x − y) = 2 (x − y )2 0lo que prueba que el funcional f es estrictamente convexo. Adem´s, una acondici´n suficiente para que se cumpla (2.35) es que x0 ∈ C 2 [0, 1], x0 = o2, x0 (0) = 0, x0 (1) = 1 (¿por qu´?) Esto lo satisface la funci´n x0 (x) = x2 . e o Otro ejemplo puede ser el siguiente. Sea C = y ∈ C 1 [0, 1] : y(0) = 0, y(1) = 0 , y f : C −→ R definida por 1 2 f (y) = (y (x) − y 2 (x) + 2xy(x))dx 0. Entonces puede probarse: • Existe m´ınimo de f en C. senx • Este m´ınimo se alcanza en la funci´n y0 (x) = x − o . sen1 • El punto donde se alcanza el m´ ınimo es unico. ´ De hecho, para este ejemplo se tiene 1 1 (f (y) − f (z), y − z) = 2 (y − z )2 − 2 (y − z)2 0 0Usando series de Fourier ([5]) puede probarse f´cilmente que a 1 (f (y) − f (z), y − z) ≥ 2(π 2 − 1) (y − z)2 0lo que prueba que f es estrictamente convexo. Adem´s, una condici´n su- a oficiente para que se cumpla (2.35) es que y0 ∈ C 2 [0, 1], −y0 − y0 + x =0, y0 (0) = 0, y0 (1) = 1 (¿por qu´?) Esto lo satisface la funci´n y0 (x) = e o sen xx− . sen 1
  • 26. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 252.3. Condiciones necesarias (Euler-Lagrange y Legendre) en pro-blemas cl´sicos del c´lculo de variaciones. a a Comenzamos estudiando problemas cl´sicos del c´lculo de variaciones a adonde ambos extremos de la funci´n est´n fijos. o aTeorema 2.16. Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R) / q(a) = q1 , q(b) = q2 con(a, q1 ) y (b, q2 ) dados. Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y Φ : X −→ R b(2.36) Φ(q) = L(t, q(t), q(t))dt ˙ aEn X se considera la norma · 1, esto es, q 1 = maxt∈[a,b] |q(t)| +maxt∈[a,b] |q (t)|. Entonces: (1) (Condici´n necesaria de Euler-Lagrange) Si q0 ∈ X es tal que q0 es o un m´ınimo local de Φ en X (por tanto, m´ ınimo local con la norma · 1 ), entonces la funci´n Lq (t, q0 (t), q0 (t)) es C 1 [a, b] y o ˙ ˙ d(2.37) (Lq (t, q0 (t), q0 (t)) = Lq (t, q0 (t), q0 (t)) ˙ ˙ ˙ dt (Ecuaci´n de Euler-Lagrange). En particular, la ecuaci´n de Euler- o o Lagrange (2.37) se cumple si q0 ∈ X es un m´ ınimo global de Φ en X. (2) (Condici´n necesaria de Legendre) Si q0 ∈ X es tal que q0 es un o m´ınimo local de Φ en X, entonces(2.38) Lqq (t, q0 (t), q0 (t)) ≥ 0, ˙˙ ˙ ∀t ∈ [a, b]. En particular, la condici´n necesaria de Legendre (2.38) se cumple o si q0 ∈ X es un m´ ınimo global de Φ en X. (3) Si q0 ∈ X satisface la condici´n necesaria de Euler-Lagrange y para o cada t ∈ [a, b] fijo, la aplicaci´n R2 → R, (q, q) → L(t, q, q) es o ˙ ˙ convexa, entonces q0 es m´ınimo global de Φ en X. (4) Si q0 ∈ X satisface la condici´n necesaria de Euler-Lagrange y para o cada t ∈ [a, b] fijo la aplicaci´n R2 → R, (q, q) → L(t, q, q) es estric- o ˙ ˙ tamente convexa, entonces q0 es el unico m´ ´ ınimo global de Φ en X. Adem´s, q0 es m´ a ınimo global estricto de Φ en X. En lo que sigue,(2.39) X0 = h ∈ C 1 ([a, b], R) / h(a) = 0, h(b) = 0
  • 27. 26 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 En la demostraci´n de este teorema se usan, adem´s de las nociones de o aconvexidad del apartado anterior, los siguientes lemas (v´anse [3], [17] y e[18]). ¡Animamos a los alumnos a que proporcionen una demostraci´n de los olemas que siguen, demostraci´n que est´ perfectamente a su alcance! o aLema 2.17. (Lema fundamental del c´lculo de variaciones) a b Sea q ∈ C([a, b], R) tal que q(t)h(t)dt = 0 ∀h ∈ X0 . Entonces q ≡ 0. aLema 2.18. (Lema de Du Bois Reymond) b Sea q ∈ C([a, b], R) tal que ˙ q(t)h(t)dt = 0 ∀h ∈ X0 . Entonces q es aconstante.Lema 2.19. Sea la forma cuadr´tica a Q : C 1 ([a, b], R) −→ R b(2.40) ˙ ˙ Q(h) = F1 (t)(h(t))2 + F2 (t)h(t)h(t) + F3 (t)(h(t))2 dt adonde F1 , F2 , F3 ∈ C([a, b], R) son dados y tal que Q(h) ≥ 0 ∀h ∈ X0 . Entonces F3 (t) ≥ 0 ∀t ∈ [a, b]. Una vez que los anteriores lemas se dan por v´lidos, la demostraci´n del a oteorema sigue las l´ ıneas siguientes: 1. Si q0 es un punto de m´ ınimo local de Φ entonces podemos definir W : X0 −→ R b(2.41) ˙ W (h) = L(t, q0 (t) + h(t), q0 (t) + h(t))dt ˙ adonde en X0 consideramos la norma · 1 . Es claro que W tiene un m´ınimolocal en 0. Luego W (0) = 0 de donde obtenemos (t´ngase en cuenta (2.24) ey (2.25)) b(2.42) ˙ ˙ ˙ ˙ (Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) + Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t))dt = 0, ∀ h ∈ X0 . aIntegramos por partes el primer miembro de esta ecuaci´n y obtenemos: o
  • 28. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 27 t b h(t) (Lq (s, q0 (s), q0 (s))ds ˙ a a(2.43) b t b − ˙ ˙ Lq (s, q0 (s), q0 (s))dsh(t) + ˙ Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) dt = 0 ˙ ˙ a a acon h anul´ndose en los extremos. Concluimos por el lema de Du Bois aReymond que la funci´n o t(2.44) − Lq (s, q0 (s), q0 (s))ds + Lq (t, q0 (t), q0 (t)) ˙ ˙ ˙ aes una constante. Por tanto, Lq (t, q0 (t), q0 (t)) es de clase C 1 en [a, b]. ˙ ˙ Ahora hacemos de nuevo una integraci´n por partes en (2.42) pero usando oel segundo sumando. As´ obtenemos ı(2.45) b d (Lq (t, q0 (t), q0 (t))h(t) − ˙ [Lq (t, q0 (t), q0 (t))]h(t))dt = 0, ∀ h ∈ X0 . ˙ ˙ dt aUsando el lema fundamental del c´lculo de variaciones obtenemos la ecuaci´n a ode Euler-Lagrange. 2. Si q0 es un punto de m´ ınimo local de Φ, entonces(2.46) W (0)(h, h) ≥ 0, ∀ h ∈ X0Como(2.47) W (0)(h, h) = b 2 ˙ ˙ a Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h (t) ˙ + 2Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h(t)h(t) + Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h2 (t) ˙ ˙ ˙˙ ˙usando el tercer lema tendr´ ıamos la condici´n necesaria de Legendre o(2.48) Lqq (t, q0 (t), q0 (t)) ≥ 0 ∀t ∈ [a, b] ˙˙ ˙ Las dos ultimas partes del teorema son sencillas usando las ideas de con- ´vexidad del apartado anterior; en particular el Corolario 2.15. Tengamos encuenta que, bajo las hip´tesis del apartado (3) del Teorema, Φ es convexa oy que si q0 ∈ X satisface la ecuaci´n de Euler-Lagrange (2.37), entonces, oδΦ(q0 ; q − q0 ) = 0, ∀ q ∈ X.
  • 29. 28 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Nota 2. La condici´n de Euler-Lagrange (2.37) es una condici´n necesaria o ode m´ ınimo local. En general no es suficiente. Para poder garantizar laexistencia de m´ ınimo global, necesitamos probar que la funci´n L satisface, opor ejemplo, propiedades adicionales de convexidad. Esto no es sencillo,pero algunas nociones de c´lculo elemental pueden ayudarnos. a Pensemos que, en realidad, tenemos que probar que una funci´n dada of : R2 → R es convexa. La propia definici´n de convexidad no suele ser util o ´en estos casos, puesto que es complicada de comprobar. Si f ∈ C 1 (Rn ), el Teorema 2.14 puede ayudarnos, pero tampoco suele serf´cil su aplicaci´n. Si f ∈ C 2 (Rn ), entonces tenemos criterios m´s utiles a o a ´usando la matriz Hessiana H(f )(x). Si H(f )(x) es semidefinida positiva,∀ x ∈ Rn , entonces f es convexa en Rn . Si H(f )(x) es definida positiva,∀ x ∈ Rn , entonces f es estrictamente convexa en Rn . L´gicamente puede osustituirse Rn por cualquier subconjunto C ⊂ Rn que sea abierto y convexo.Por ultimo, para probar que H(f )(x) es semidefinida positiva ∀ x ∈ Rn ´puede usarse el criterio de los menores principales: Si los n − 1 primeros me-nores principales son positivos y el ultimo es no negativo, entonces H(f )(x) ´es semidefinida positiva. Si todos los menores principales son positivos en-tonces H(f )(x) es definida positiva. Tambi´n pueden ayudar mucho las epropiedades siguientes: (1) La suma finita de funciones convexas es una funci´n convexa. o (2) El producto de un n´mero real positivo por una funci´n convexa es u o una funci´n convexa. o (3) Si f es convexa y g creciente y convexa, entonces la composici´n o g(f (x)) es convexa.Un libro muy claro y util para familiarizarse con los anteriores criterios es ´[14]. Muchos ejemplos concretos, de aplicaci´n del Teorema 2.16, se pueden over en [17]. Discutamos a continuaci´n, de manera detallada, el problema de la bra- oquistocrona, comentado en la introducci´n hist´rica. Este problema tiene o osus peculiaridades. Por ejemplo, el funcional (1.2) no es del tipo contem-plado en el Teorema 2.16, ya que el denominador se anula cuando y(x) = 0.Para solucionar ´ste y otros problemas relacionados con la convexidad, toma- emos como eje de abscisas el eje vertical (con direcci´n positiva hacia abajo), ocomo eje de ordenadas el eje horizontal. Entonces, si A = (0, 0), B = (b, b ),con b y b positivos, el funcional a minimizar adopta la forma (v´ase [17]) e b 1/2 1 + y (x)2(2.49) Φ(y) = dx 0 2gxdonde y ∈ X = {y ∈ C 1 ([0, b], R) : y(0) = 0, y(b) = b }. A pesar de lapresencia del t´rmino (2gx)−1/2 , x ∈ [0, b] en la expresi´n anterior, se puede e ocomprobar ¿f´cilmente? que Φ(y) ∈ R, ∀ y ∈ X. En realidad, esto es tan a bsencillo como probar que 0 (x)−1/2 dx existe. As´ pues, podemos hablar ı
  • 30. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 29de posibles m´ ınimos de Φ en X, sin usar necesariamente el Teorema 2.16.Adem´s, a 2 1/2 (1) Para cada x ∈ (0, b] fijo, la aplicaci´n R → R, y → 1+y o 2gx es estrictamente convexa. De hecho, la derivada segunda de esta funci´n, respecto de y , es estrictamente positiva. o 2 1/2 (2) Si L : (0, b] × R × R → R, est´ definida como L(x, y, y ) = 1+y a 2gx y una funci´n y0 ∈ X satisface la ecuaci´n de Euler-Lagrange, en o o este caso, d(2.50) Ly (x, y0 (x), y0 (x)) = 0, ∀ x ∈ (0, b], dx entonces la primera variaci´n δΦ(y0 ; h) = 0, ∀ h ∈ C 1 ([0, b], R) : o y(0) = y(b) = 0.De las anteriores consideraciones se deduce trivialmente que X es convexo,que Φ es estrictamente convexo en X y que si y0 ∈ X satisface la ecuaci´n ode Euler Lagrange (2.50), entonces δΦ(y0 ; y − y0 ) = 0, ∀ y ∈ X. El Corolario2.15 prueba que y0 es m´ ınimo global de Φ en X y, adem´s, que el m´ a ınimoglobal se alcanza en un unico elemento de X. ´ La ecuaci´n de Euler-Lagrange (2.50) se cumple si y solamente si o y0 (x)(2.51) = k, (2gx(1 + y0 (x)2 ))1/2para alguna constante k ∈ R. Adem´s, si c ∈ R+ satisface a(2.52) cb < 1,entonces cualquier funci´n y0 ∈ X tal que o 1/2 cx(2.53) y0 (x) = , ∀ x ∈ [0, b], 1 − cxsatisface (2.51) con c = 2gk 2 . Un cambio de variable adecuado (¿cu´l?) apermite integrar la ecuaci´n anterior, obteni´ndose o e arcsin(cx)1/2 − (cx)1/2 (1 − cx)1/2(2.54) y0 (x) = cObservemos que y0 (0) = 0. S´lo queda comprobar que se puede elegir c osatisfaciendo (2.52) y tal que y0 (b) = b . T´cnicas elementales prueban que eesto es posible si b π(2.55) < . b 2Finalmente, la funci´n y0 definida en (2.54) se puede escribir en forma pa- oram´trica como e 1 x(t) = 2c (1 − cos t),(2.56) 1 y0 (t) = 2c (t − sent), t ∈ [0, π],
  • 31. 30 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10que es una cicloide.2.4. Condiciones suficientes en problemas cl´sicos del c´lculo de a avariaciones. Hasta ahora hemos establecido condiciones necesarias que han de satis-facer los m´ınimos locales. Vamos a ocuparnos a continuaci´n del estableci- omiento de condiciones suficientes para tener la existencia de m´ ınimos locales.Esto es bastante m´s complicado, y pueden consultarse [3] y [18] para los adetalles. Si L ∈ C 3 ([a, b] × R2 , R) y q0 ∈ X C 2 [a, b], notemos d A(q0 ) (t) ≡ Lqq (t, q0 (t), q˙0 (t)) − dt Lq q (t, q0 (t), q˙0 (t)) ˙(2.57) B (q0 ) (t) ≡ Lqq (t, q0 (t), q˙0 (t)) ˙˙Teorema 2.20. (Principio de m´ ınima acci´n) o Sea q0 ∈ X tal que: (1) q0 verifica la ecuaci´n de Euler-Lagrange, es decir, o d Lq (t, q0 (t), q0 (t)) = Lq (t, q0 (t), q0 (t)), ∀t ∈ [a, b] ˙ ˙ ˙ dt . (2) A(q0 ) ∈ C([a, b], R), B (q0 ) ∈ C 1 ([a, b], R). (3) B (q0 ) (t) > 0, ∀ t ∈ [a, b]. (4) A(q0 ) y B (q0 ) satisfacen la condici´n de Jacobi en [a, b], esto es: la o ecuaci´n diferencial ordinaria lineal de segundo orden o d (q0 )(2.58) (B (t)u(t)) = A(q0 ) (t)u(t), t ∈ [a, b] ˙ dt tiene alguna soluci´n u ∈ C 2 [a, b] que no se anula en [a, b] (por o lo tanto, la ecuaci´n anterior tiene alguna soluci´n estrictamente o o positiva en [a, b]). Entonces q0 es un m´ ınimo local estricto de Φ en X. Para la demostraci´n detallada de este resultado pueden consultarse [3] oy [18]. No obstante, comentamos las ideas principales, que tienen inter´s een s´ mismas, por lo que suponen sobre el estudio de formas cuadr´ticas en ı adimensi´n infinita. o Las etapas fundamentales de la demostraci´n son las siguientes: o (1) Regularidad de los puntos estacionarios. Si q0 ∈ X es un punto estacionario (es decir, satisface la ecuaci´n de Euler-Lagrange), y tal o que B (q0 ) (t) > 0, ∀ t ∈ [a, b], entonces q0 ∈ C 2 [a, b]. En realidad, para tener este hecho, s´lo necesitamos que la funci´n Lq (t, q0 (t), q0 (t)) sea o o ˙ ˙ de clase C 1 [a, b] ([3]).
  • 32. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 31 (2) Expresi´n conveniente de la derivada segunda W (0)(h, h). o Por el paso previo, las hip´tesis de nuestro teorema garantizan que o la funci´n Lq q(t, q0 (t), q0 (t)) es C 1 [a, b]. Realizando una integraci´n o ˙ ˙ o por partes en la expresi´n de la derivada segunda (v´ase (2.47)), o e obtenemos b ˙ 2Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h(t)h(t) = ˙ a ˙ b d 2 b d 2 a Lq q (t, q0 (t), q0 (t)) dt h (t) ˙ ˙ =− a dt Lq q (t, q0 (t), q0 (t))h (t) ˙ ˙ de donde se deduce(2.59) W (0)(h, h) = b d 2 ˙ a [Lqq (t, q0 (t), q0 (t)) ˙ − dt Lq q (t, q0 (t), q0 (t))]h (t) ˙ ˙ + Lqq (t, q0 (t), q0 (t))h2 (t) = ˙˙ ˙ b (q0 ) ˙ a A (t)h2 (t) + B (q0 ) (t)h2 (t) (3) Uso de la condici´n de Jacobi en la forma cuadr´tica ante- o a rior. Sea u una soluci´n positiva de (2.58). Entonces, cualquier funci´n o o h ∈ X0 (X0 se ha definido en 2.39) puede escribirse de la forma h = uξ, con ξ ∈ X0 . De esta manera b (q0 ) ˙ W (0, 0)(h, h) = a A (t)h2 (t) + B (q0 ) (t)h2 (t) = b (q0 ) a A (t)u2 (t)ξ 2 (t) + B (q0 ) (t)u2 (t)ξ 2 (t)+ ˙ b (q0 ) ˙ ˙ a B (t)u2 (t)ξ 2 (t) + 2B (q0 ) (t)(u(t)ξ(t) + u(t)ξ(t)) ˙ Realizando una integraci´n por partes con el segundo miembro de la o expresi´n anterior, tenemos o b b B (q0 ) (t)u2 (t)ξ 2 (t) = − ˙ ˙ B (q0 ) (t)u(t)(u (t)ξ 2 (t) + 2uξ(t)ξ(t)) ˙ a a As´ ı,(2.60) W (0)(h, h) = b 2 d (q0 ) (t)u(t)) b (q0 ) ˙ a ξ (t)u(t)[− dt (B ˙ + A(q0 ) (t)u(t)] + a B (t)u2 (t)ξ 2 (t) = b (q0 ) ˙ a B (t)u2 (t)ξ 2 (t). Teniendo en cuenta la hip´tesis sobre B (q0 ) y el hecho de que u es o estrictamente positiva, tenemos(2.61) W (0)(h, h) > 0, ∀ h ∈ X0 {0}.
  • 33. 32 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 (4) Puede probarse a´n m´s. Para ello, si ε es cualquier constante posi- u a tiva suficientemente peque˜a, la condici´n de Jacobi se sigue verifi- n o cando para funcionales de la forma b ˙ ˙ A(q0 ) (t)h2 (t) + B (q0 ) (t)h2 (t) − εh2 (t). a Para ver esto, pensemos que las soluciones de la ecuaci´n diferencial o d (q0 ) (B (t)u(t) − εu(t)) = A(q0 ) (t)u(t), t ∈ [a, b] ˙ ˙ dt dependen continuamente de las condiciones iniciales y del par´metro a ε. As´ la ecuaci´n diferencial anterior tiene alguna soluci´n v ∈ ı, o o C 2 [a, b] que no se anula en [a, b]. Por tanto, por el paso anterior, debe existir alguna constante k0 > 0 verificando b(2.62) W (0)(h, h) ≥ k0 ˙ h2 , ∀ h ∈ X0 a (5) Uso del desarrollo de Taylor. Teniendo en cuenta que W (0) = 0, tenemos que 1(2.63) Φ(q0 + h) − Φ(q0 ) = W (h) − W (0) = 2! W (0)(h, h) + R(h), donde 1 R(h) = 0 [(1 − ψ)(W (ψh) − W (0))(h, h)] dψ =(2.64) b (q0 +ψh) ˙ a [A (t) − A(q0 ) (t)]h2 (t) + [B (q0 +ψh) (t) − B (q0 ) (t)]h2 (t) (6) Uso de la desigualdad de Poincar´. Como para cualquier funci´n e o h ∈ X0 se tiene b b (b − a)2 ˙ h2 ≤ h2 , a 2 a usando la regularidad de L y (2.64), obtenemos que para δ positivo y suficientemente peque˜o y h ∈ X0 satisfaciendo h 1 ≤ δ, entonces n b k0 ˙(2.65) |R(h)| ≤ h2 (t) 2 a (7) Por ultimo, las relaciones (2.62) y (2.65) demuestran ´(2.66) Φ(q0 + h) − Φ(q0 ) > 0, ∀ h ∈ X0 {0} : h 1 ≤δNota 3. Puede verse en [3] y [18] que la condici´n de Jacobi es “casi nece- osaria” para que la forma cuadr´tica W (0)(h, h) sea definida positiva. No aobstante, la condici´n de Jacobi no es sencilla de comprobar. Esto hace que olas condiciones suficientes mostradas con anterioridad sean muy dif´ ıciles deaplicar en casos concretos.
  • 34. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 332.5. Otros problemas cl´sicos del c´lculo de variaciones. En un curso a ade estas caracter´ ısticas, debemos proporcionar al alumno los conocimientossuficientes para que resuelva por s´ s´lo situaciones similares. Las ideas ex- ı opuestas con anterioridad deben ser suficientes para resolver algunas otras si-tuaciones del c´lculo de variaciones, como aquellas donde q(t) es una funci´n a ovectorial o L depende de derivadas de orden superior a uno. Comentamosalgunas a continuaci´n ([7]). o Funcionales que dependen de varias funciones. Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], Rn ) / q(a) = q1 , q(b) = q2 con (a, q1 ) y (b, q2 )dados. Notemos q = (q1 , . . . , qn ), q = (q˙1 , . . . , q˙n ). ˙ Sea L ∈ C 2 ([a, b] × Rn × Rn , R) y Φ : X −→ R b(2.67) Φ(q) = L(t, q(t), q(t))dt ˙ a La condici´n necesaria de Euler-Lagrange se expresar´ ahora como un o ıasistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma d(2.68) (Lq˙i (t, q0 (t), q0 (t)) = Lqi (t, q0 (t), q0 (t)), 1 ≤ i ≤ n ˙ ˙ dt Funcionales que dependen de derivadas de orden superior. j j Sea X = q ∈ C k ([a, b], R) / q j) (a) = q1 , q j) (b) = q2 , 0 ≤ j ≤ k − 1con (a, q1 ) ∈ Rk+1 y (b, q2 ) ∈ Rk+1 dados. Sea L ∈ C 2 ([a, b] × Rk+1 , R) y Φ : X −→ R b(2.69) Φ(q) = L(t, q(t), q 1) (t) . . . , q k) (t))dt a La condici´n necesaria de Euler-Lagrange se expresar´ ahora como una o ıaecuaci´n diferencial de orden 2k dada por o(2.70) k di 1) k) 1) k) (−1)i+1 i (Lqi) (t, q0 (t), q0 (t), . . . , q0 (t)) = Lq (t, q0 (t), q0 (t), . . . , q0 (t)). dti=1 La condici´n en un extremo es libre. o Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R) / q(a) = q1 con (a, q1 ) dado.
  • 35. 34 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y Φ : X −→ R b(2.71) Φ(q) = L(t, q(t), q(t))dt ˙ a La condici´n necesaria de Euler se expresar´ ahora como o ıa d dt (Lq (t, q0 (t), q0 (t)) ˙ ˙ = Lq (t, q0 (t), q0 (t)), ˙(2.72) Lq (b, q0 (b), q0 (b)) = 0. ˙ ˙Observemos que, al haber tomado ahora un conjunto X que incluye estric-tamente al del Teorema 2.16, aparece una condici´n adicional para t = b, a ola que se le suele llamar “condici´n natural de frontera.” o No hay condiciones en los extremos: ambos son libres. Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R) . Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y Φ : X −→ R b(2.73) Φ(q) = L(t, q(t), q(t))dt ˙ a La condici´n necesaria de Euler se expresar´ ahora como o ıa d dt (Lq (t, q0 (t), q0 (t)) ˙ ˙ = Lq (t, q0 (t), q0 (t)), ˙(2.74) Lq (b, q0 (b), q0 (b)) = 0, ˙ ˙ Lq (a, q0 (a), q0 (a)) = 0. ˙ ˙Observemos que, al haber tomado ahora un conjunto X que incluye estric-tamente al del Teorema 2.16 y al del caso anterior, aparece una condici´noadicional para t = b y otra para t = a, a las que se le suele llamar “condi-ciones naturales de frontera.” Hay restricciones adicionales (multiplicadores de Lagrange). b Sea X = q ∈ C 1 ([a, b], R), q(a) = q1 , q(b) = q2 , a g(t, q(t), q(t)) dt = 0 ˙con (a, q1 ), (b, q2 ) y la funci´n g ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) dados. o Sea L ∈ C 2 ([a, b] × R × R, R) y Φ : X −→ R b(2.75) Φ(q) = L(t, q(t), q(t))dt ˙ a
  • 36. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 35 La condici´n necesaria de Euler se expresar´ ahora diciendo que existe o ıaalguna constante real λ (multiplicador de Lagrange) tal que(2.76) d d (Lq (t, q0 (t), q0 (t))−Lq (t, q0 (t), q0 (t)) = λ[ (gq (t, q0 (t), q0 (t))−gq (t, q0 (t), q0 (t))]. ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙dt dt
  • 37. 36 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 3. Teor´ de puntos cr´ ıa ıticos En este cap´ ıtulo, considerado como de introducci´n a la teor´ de puntos o ıacr´ıticos, se van a exponer algunos resultados importantes referentes tanto alllamado m´todo directo (en el que se trata de probar la existencia de m´ e ınimoglobal del funcional dado), como a los m´todos min-max, de desarrollo rela- etivamente reciente. Los funcionales que estudiaremos en la parte dedicadaal m´todo directo, satisfacen b´sicamente o una condici´n de coercividad o e a ouna condici´n de compacidad (tipo Palais-Smale). En lo que respecta a los om´todos min-max, centramos nuestra atenci´n en dos teoremas modernos, e opero ya cl´sicos: el Teorema del paso de monta˜ a de Ambrosetti y Ra- a nbinowitz (1971) y el Teorema del punto de silla de Rabinowitz (1978).Seg´n mi opini´n, los resultados seleccionados son ejemplos muy represen- u otativos de las diferentes posibilidades del m´todo variacional, pudi´ndose, e econ la ayuda de la bibliograf´ recomendada, estudiar otros de los muchos ıaque se conocen en la actualidad. En una primera etapa se debe aprender a aplicar tales m´todos a proble- emas relacionados con e.d.o., donde las dificultades t´cnicas son m´s f´cilmente e a asuperables, para pasar despu´s al caso de e.d.p. Se necesita conocer los es- epacios de Sobolev para entender adecuadamente el desarrollo que hacemosseguidamente, as´ como tener unas nociones m´ ı ınimas de c´lculo diferencial ae integral en espacios de Banach. En este sentido, incluimos un ap´ndice esobre los espacios de Sobolev. Las nociones requeridas de c´lculo diferencial ase han tratado con anterioridad. Se recomienda la bibliograf´ [13], [15] y [16]. ıa El problema de contorno que vamos a tener de referencia en este cap´ ıtuloes el siguiente: −u (x) = g(x, u(x)), x ∈ [0, π],(3.1) u(0) = u(π) = 0,donde g : [0, π] × R → R, es continua. o o o e 1Definici´n 3.1. Una funci´n u es soluci´n d´bil de (3.1) si u ∈ H0 (0, π) y π π 1 u (x)v (x) dx = g(x, u(x))v(x) dx, ∀ v ∈ H0 (0, π), 0 0 1donde H0 (0, π) es el espacio de Sobolev usual, con la norma π 1/2 |v| = |v (x)|2 dx 1 , ∀ v ∈ H0 (0, π), 0proveniente del producto escalar π 1 < u, v > = u (x)v (x) dx, ∀ u, v ∈ H0 (0, π). 2
  • 38. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 37 Uno de los resultados m´s importantes de este cap´ a ıtulo es el siguiente,donde se relaciona el concepto de soluci´n d´bil de (3.1) con el de la exis- o etencia de puntos cr´ 1 ıticos de un funcional adecuado, definido de H0 (0, π) enR.Teorema 3.2. Sea u(3.2) G(x, u) = g(x, s) ds, ∀ (x, u) ∈ [0, π] × R 0 1y Φ : H0 (0, π) → R, el funcional definido como π π 1(3.3) Φ(u) = |u (x)|2 dx − 1 G(x, u(x)) dx, ∀ u ∈ H0 (0, π). 2 0 0Entonces Φ ∈ C 6 (H 1 (0, π), R) y 0 π Φ (u)(v) = u (x)v (x) dx − 0(3.4) π 1 − g(x, u(x))v(x) dx, ∀ u, v ∈ H0 (0, π). 0 1Como consecuencia, se tiene que u ∈ H0 (0, π) es soluci´n d´bil de (3.1) si o ey solamente si(3.5) Φ (u) = 0. Demostraci´n: Para demostrar que Φ ∈ C 1 (H0 (0, π), R), observemos en o 1 1 1primer lugar que, para cada u ∈ H0 (0, π), la aplicaci´n H0 (0, π) → R, v → o π πF (u)(v) ≡ u (x)v (x) dx − g(x, u(x))v(x) dx, es lineal y continua (la 8 0continuidad es consecuencia de la desigualdad de Poincar´). Adem´s, e a π 1 Φ(u + h) − Φ(u) − F (u)(h) = (x (x))8 dx + 2 0 π + [G(x, u(x)) − G(x, u(x) + h(x)) + g(x, u(x))h(x)] dx. 0Usando el Teorema del valor medio (en forma integral), de la expresi´n oanterior se deduce 1 2 |Φ(u + h) − Φ(u) − F (u)(h)| ≤ |h| + 2 1 π 1/2 + (g(x, u(x)) − g(h, u(x) + (1 − t)h(x))2 dx dt |h|, 0 0lo que implica, usando la continuidad de g, (3.4). 1 1Veamos que la funci´n Φ : H0 (0, π) → L(H0 (0, π), R), es continua, donde oL(H01 (0, π), R) es el espacio vectorial normado de las aplicaciones lineales y
  • 39. 38 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 1continuas de H0 (0, π) en R, con la norma usual. Para ello, notemos que si 1 (0, π), entonces:u1 , u2 ∈ H0 |Φ (u1 ) − Φ (u2 )| = sup |v|≤1 |(Φ (u2 ) − Φ (u2 ))(v)| ≤ π 1/2 ≤ |u5 − u2 | + (g(x, u1 (x)) − g(x, u2 (x))2 dx 0De esta expresi´n y de la continuidad de g se deduce la de Φ . o El Teorema anterior pone de manifiesto el inter´s por el estudio de la eecuaci´n abstracta (3.5) donde Φ : H → R, es un funcional de clase C 1 , osiendo H un espacio de Hilbert real.Existen numerosos resultados que prueban la existencia de soluci´n de ecua- ociones como (3.5). Sin embargo, nosotros estaremos interesados s´lo en aque- ollos que, al aplicarlos al funcional Φ dado en (3.3), proporcionen condicionessuficientes utiles y razonables para la existencia de soluciones de (3.1). As´ ´ ıque, a la hora de estudiar (3.5), tendremos siempre presente (3.1), de talmanera que cualquier resultado abstracto que obtengamos sobre (3.5) lo con-cretaremos para (3.1). De hecho, es este ultimo problema el que motiva en la ´mayor´ de las ocasiones, el tipo de resultados abstractos que obtendremos. ıa Una manera f´cil de conseguir la existencia de soluciones de (3.5) es de- amostrando que Φ tiene m´ ınimo (global) (el caso de m´ximo global se reduce aal de m´ınimo, estudiando −Φ en lugar de Φ). Establecer condiciones su-ficientes para que esto ocurra es el objetivo de lo que sigue, que se puedeconsiderar parte del llamado m´todo directo en el c´lculo de variacio- e anes. En lo que queda de cap´ ıtulo, salvo que expl´ ıcitamente se suponga otracosa, H es un espacio de Hilbert real y Φ : H → R, es un funcional de claseC 1 . Recordemos que Φ se dice d´bilmente semicontinuo inferiormente esi para cualquier sucesi´n {un } ⊂ H, cumpliendo {un } o u ∈ H, se tieneΦ(u) ≤ lim inf Φ(un ).Teorema 3.3. Sea Φ : H → R, d´bilmente semicontinuo inferiormente, etal que existe una sucesi´n minimizante acotada. Entonces Φ tiene m´ o ınimoglobal. Demostraci´n: Sea {un } una sucesi´n minimizante acotada. Entonces, o oexiste una subsucesi´n, a la que notamos nuevamente por {un } y u ∈ H, tal oque {un } u. As´ ı, Φ(u) ≤ lim inf Φ(un ) = inf H Φ,lo que prueba que Φ(u) = inf H Φ.
  • 40. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 39 Condiciones adicionales sobre el funcional Φ garantizan la existencia desucesiones minimizantes acotadas. Por ejemplo, si Φ es coercivo.Corolario 3.4. Sea Φ : H → R, d´bilmente semicontinuo inferiormente y ecoercivo, es decir, lim Φ(u) = +∞. |u|→+∞Entonces Φ tiene m´ ınimo global. Como se puede ver en ejemplos triviales (funciones de R en R), no todoslos funcionales que tienen sucesiones minimizantes acotadas son coercivos.Si queremos un ejemplo relacionado con (3.1), basta tomar el funcional Φdado por (3.3) con g(x, u) ≡ u. Una aplicaci´n del corolario anterior al problema (3.1) da lugar al si- oguiente resultado.Teorema 3.5. Si existen constantes a ∈ [0, 1), b ∈ R, tales que(3.6) |g(x, u)| ≤ a|u| + b, ∀ (x, u) ∈ [0, π] × R,entonces el funcional Φ definido en (3.3) tiene m´ ınimo global. Como conse- 1cuencia, (3.1) tiene al menos una soluci´n u ∈ H0 (0, π). o Demostraci´n: Consiste en comprobar las condiciones del corolario an- oterior. Para ello, observemos que π 1 Φ(u) = |u|1 − G(x, u(x)) dx. 2 0 o 1De esta forma, la inclusi´n compacta de H0 (0, π) en C[0, π], as´ como el ıcar´cter dx semicontinuidad inferior d´bil de la funci´n |.|, implican que Φ a e oes d´bilmente semicontinuo inferiormente. eRespecto de la coercividad, tenemos lo siguiente: 1De (3.6) se deduce la existencia de λ ∈ [0, ) y b ∈ R, tales que 2 2(3.7) |G(x, u)| ≤ λ|u| + b , ∀ (x, u) ∈ [0, π] × R.Tambi´n, la desigualdad de Wirtinger (que se puede probar f´cilmente usando e aseries de Fourier), afirma π π(3.8) |u(x)|2 dx ≤ |u (x)|2 dx, ∀ u ∈ H0 (0, π). 1 0 0Usando (3.7) y (3.8), se obtiene 1(3.9) Φ(u) ≥ − λ |u|2 − b π, ∀ u ∈ H0 (0, π), 1 2
  • 41. 40 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10que prueba que Φ es coercivo. Notas.1) La conclusi´n del Teorema anterior no es necesariamente verdadera si oa = 1. Pi´nsese por ejemplo en el caso en que g(x, u) = u + h(x), con h una efunci´n continua satisfaciendo la condici´n o o π h(x) sen x dx = 0. 0No se verifica pues, el Teorema de la alternativa de Fredholm.Por lo tanto, una cuesti´n puede ser la siguiente: si a = 1, ¿qu´ condiciones o eadicionales sobre g garantizan la existencia de soluci´n de (3.1)?. Esto es oobjeto de investigaci´n hoy en d´ o ıa. 2) 1, el coeficiente de |u| en (3.6), no es sino el valor propio principal delproblema de valores propios −u (x) = λu(x), x ∈ [0, π],(3.10) u(0) = u(π) = 9,con lo que se pone de manifiesto la clara influencia que, sobre el problemano lineal considerado (3.1), puede tener su parte lineal. De hecho, estoes una constante en el An´lisis no lineal: en primer lugar se realiza un aestudio profundo y exhaustivo de la parte lineal correspondiente (en este caso(3.10)), en orden a poder intuir qu´ tipo de resultados cabe esperar para el eproblema no lineal. M´s concretamente, refiri´ndonos al problema (3.1), la a eforma en que se comporta la no linealidad g, respecto de los valores propiosdel problema (3.10), es muy importante para tener condiciones suficientesque garanticen la existencia de soluciones de (3.1). Aunque se han realizadomuchos estudios en este sentido, existen muchas situaciones donde no sesabe exactamente lo que ocurre, siendo por tanto un tema de investigaci´n oactual. En el siguiente resultado, el papel de la coercividad es reemplazado por elde una cierta condici´n de compacidad, llamada condici´n de compacidad o ode Palais-Smale, que ser´ muy importante tanto aqu´ como en los m´todos a ı emin-max. Esta condici´n proporciona una herramienta tremendamente util o ´para probar resultados sobre la existencia de soluciones de (3.5): el Lema dedeformaci´n, que veremos a continuaci´n. Previamente a ello, necesitamos o oalgunas definiciones. Sea Φ : H → R y c ∈ R. Notaremos Ac = { u ∈ H : Φ(u) ≤ c }, Kc = { u ∈ H : Φ(u) = c, Φ (u) = 4 }.Si Kc = ∅, diremos que c es un nivel cr´ ıtico del funcional Φ.
  • 42. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 41 Dado c ∈ R, Φ satisface la condici´n de Palais-Smale (P −S)c , si cualquier osucesi´n {un } ⊂ H, cumpliendo las dos hip´tesis: o oi) {Φ(un )} → c,ii) {Φ (un )} → 0,tiene alguna subsucesi´n convergente. oComo puede observarse, la condici´n anterior es de compacidad relativa de ociertos subconjuntos de H.Lema 3.6. Sean Φ : H → R y c ∈ R, tales que Kc = ∅ y Φ satisface(P − S)c . Entonces ∀ > 7, ∃ ∈ (0, ), η ∈ C([0, 1] × H, H),tales que1) η(0, u) = u, ∀ u ∈ M.2) η(1, u) = u, ∀ u ∈ H : Φ(u) ∈ [c − , c + ]. /4) η(1, Ac+ ) ⊂ Ac− . Notas. En realidad, para cada t ∈ [0, 3] fijo, la aplicaci´n η(t, .) es un ohomeomorfismo de H en H, de tal manera que podemos ver esto como unafamilia de aplicaciones, η(t, .), que, partiendo de la identidad, deforman elespacio H en s´ mismo. La propiedad 2) nos dice que permanecen invariantes ıpor la deformaci´n los puntos con nivel “lejano”a c. La propiedad 3) expresa oel hecho de que η(1, .) deforma Ac+ en un conjunto contenido en Ac−(de menor nivel). Esta propiedad ser´ clave cuando queramos probar la aexistencia de niveles cr´ ıticos de funcionales, tanto para el caso del m´ınimoglobal como para los obtenidos por procedimientos min-max. Comentario sobre la demostraci´n del Lema 3.6: Una manera usual ode obtener la deformaci´n η(t, .), consiste en tomarla como la soluci´n del o op.v.i. ∂η(t, u)(3.11) = − Φ(η(t, u)), ∂t η(0, u) = u,donde Φ indica el gradiente de Φ. Sin embargo, para poder tener garant´ ıade la existencia, unicidad y prolongabilidad de las soluciones de (3.11), nece-sitar´ıamos m´s regularidad que la impuesta (Φ ∈ C 9 (H)), sobre el funcional aΦ, as´ como alguna limitaci´n de su crecimiento. Esta dificultad puede sal- ı ovarse usando la noci´n de vector pseudogradiente: Un elemento v ∈ H ose dice que es un vector pseudogradiente de Φ en u ∈ H, si verifica las doscondiciones siguientes:i) |v| ≤ 2|Φ (u)|.ii) < v, Φ (u) > ≥ |Φ (u)|2 .
  • 43. 42 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 El concepto anterior permite construir en un subconjunto apropiado deH, (aqu´l en el que se puede tener alguna libertad para elegir el pseudo- egradiente, a saber, el subconjunto formado por los elementos de H dondeel gradiente de Φ no es nulo), un campo de vectores pseudogradientes, queadem´s es localmente lipschitziano (a pesar de que Φ sea s´lo de clase C 1 ). a oEsto permite la formulaci´n de un p.v.i. similar a (3.11), de donde se obtiene ola deformaci´n. oLos detalles son muy t´cnicos, as´ que a no ser que se tengan alumnos real- e ımente interesados en conocer los pormenores del Lema de deformaci´n (por- oque por ejemplo, se vayan a dedicar a la investigaci´n en este campo en el ofuturo), no conviene insistir demasiado en ellos. Una primera consecuencia de Lema anterior es el siguiente Teorema, sobrela existencia de m´ ınimo global de un funcional dado.Teorema 3.7. Sea Φ : H → R, acotado inferiormente, tal que Φ satisface(P − S)m , m = inf H Φ. Entonces m es m´ ınimo global de Φ. Demostraci´n: Si Km fuese vac´ una aplicaci´n del Lema (3.6), con o ıo, o ∈R + cualquiera, proporciona inmediatamente una contradicci´n, usando ola propiedad 3) de la deformaci´n. o El Teorema 3.7 puede aplicarse al estudio de (3.1), obteni´ndose un resul- etado id´ntico al proporcionado por el Teorema 3.5. No obstante, conviene ehacerles a los alumnos la demostraci´n de este ultimo, bas´ndose en el Teo- o ´ arema anterior, para que vayan familiariz´ndose con la comprobaci´n de la a ocondici´n de Palais-Smale. o Demostraci´n del Teorema 3.5 a partir del Teorema 3.7: s´lo o oes necesario verificar la condici´n (P − S)m . Para ello, sea {un } cualquier o 1sucesi´n de elementos de H0 (0, π), tal que: oi) {Φ(un )} → m,ii) {Φ (un )} → 0.Entonces, de i) y (3.9) se deduce la acotaci´n de {un }. Por tanto, debe o o e 1existir una subsucesi´n, a la que notamos tambi´n por {un } y u ∈ H0 (0, π),satisfaciendo {un } u. Adem´s, a Φ (un ) = J(un ) − N (un ),donde J : H0 (0, π) → (H0 (0, π))∗ , J(u)(v) =< u, v >, 1 1 π N : H0 (0, π) → (H0 (0, π))∗ , N (u)(v) = 1 1 g(x, u(x))v(x) dx, 0 1 ∀ u, v ∈ H0 (0, π).
  • 44. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 43 1 Usando de nuevo el hecho de que la inclusi´n de H0 (0, π) en C[0, π], es ocompacta, se obtiene {N (un )} → N (u); luego {J(un )} es convergente, dedonde se deduce inmediatamente la convergencia de {un }. Los Teoremas 3.3 y 3.7 proporcionan condiciones suficientes para que elfuncional Φ tenga m´ ınimo global. No obstante, en numerosos problemas noson utiles, debido a que el funcional Φ no es acotado ni inferior ni superior- ´mente; un ejemplo elemental lo constituye el problema de contorno −u (x) = u3 (x), x ∈ [0, π],(3.12) u(0) = u(π) = 0, 1cuyo funcional asociado es Φ : H0 (0, π) → R, definido por 3 π 3 π 4 Φ(u) = |u (x)|2 dx − u (x) dx. 2 0 4 0No obstante, estamos interesados en el estudio de este tipo de problemas,lo que nos conduce a la cuesti´n de c´mo podemos probar existencia de o osoluciones de (3.5) cuando Φ no es acotado inferiormente. Aqu´ entran en ıescena los m´todos min-max. ePara motivarlos, volvamos al Teorema (3.7). Una demostraci´n alternativa opuede ser la siguiente: Sea A el conjunto cuyos elementos son los subcon-juntos unitarios de H. Entonces(3.13) m = inf F ∈A sup u∈F Φ(u).Si m es valor cr´ıtico de Φ, es decir, Km = ∅, se tiene la conclusi´n del oTeorema. Si Km = ∅, se puede razonar del modo siguiente para tener unacontradicci´n: oSea ∈ R+ cualquiera y ∈ R+ , el dado por el Lema 3.6. De (3.13) sededuce la existencia de F ∈ A, tal que sup u∈F Φ(u) ≤ m + .Luego F ⊂ Wm+ . Por la propiedad 3) de dicho Lema, η(1, F ) ⊂ Am− . Peroesto es una contradicci´n con (3.13), puesto que η(1, F ) ∈ A. o La demostraci´n que acabamos de hacer contiene las ideas b´sicas de los o am´todos min-max: e0) Se trata, en primer lugar, de demostrar la existencia de nivelescr´ ıticos, en lugar de puntos cr´ ıticos (esto ultimo es una consecuencia de lo ´primero, evidentemente).2) Los niveles cr´ ıticos se construyen de la forma (3.13), eligiendo el conjuntoA adecuadamente. Dicho conjunto ha de ser invariante por la aplicaci´n oη(1, .). En general, la elecci´n del conjunto A viene determinada por la “geo- ometr´ del funcional Φ. Esto vamos a tener la oportunidad de comprobarlo ıa”en los dos teoremas abstractos que siguen: el Teorema del paso de monta˜a n
  • 45. 44 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10de Ambrosetti y Rabinowitz (Teorema 3.8) y el Teorema del punto de si-lla de Rabinowitz (Teorema 3.10), ejemplos relativamente recientes pero yacl´sicos, de los Teoremas min-max. aTeorema 3.8. Sea Φ : H → R, satisfaciendo:1) Φ(0) = 0 y existen constantes positivas ρ y α tales que Φ(u) ≥ α, ∀ u ∈ H : |u| = ρ.0) ∃ e ∈ H : |e| > ρ, cumpliendo Φ(e) ≤ 0.3) Φ verifica (P − S)d , ∀ d ∈ R.Entonces, si Γ = { g : [0, 1] → H, g continua , g(0) = 0, g(1) = e }y c = inf g ∈ Γ sup w ∈ g[0,1] Φ(w),se tiene que c es un valor cr´ ıtico de Φ, mayor o igual que α. Demostraci´n: Sea o A = {g[0, 1] : g ∈ Γ}.Entonces(3.14) c = inf F ∈ A sup u ∈ F Φ(u).Claramente Γ = ∅ (t´mese g(t) = te), lo que implica A = ∅. Como los oelementos de A son subconjuntos compactos de H, para cada F ∈ A, existesup u ∈ F Φ(u). Adem´s, para cada F ∈ A, existe al menos un elemento au ∈ F : |u| = ρ. Esto prueba que c ≥ α. αFinalmente, si Kc = ∅, tomemos = , en el Lema de deformaci´n 3.6, de o 2donde se obtienen los correspondientes y η. Por (3.14), debe existir F ∈ A,tal que sup u ∈ F Φ(u) ≤ c + .Ahora bien, η(1, F ) ∈ A y sup u ∈ η(1,F ) Φ(u) ≤ c − ,lo que contradice (3.14). Notas.a) El nombre de Teorema del paso de monta˜a se justifica en base a la nsiguiente interpretaci´n geom´trica: supongamos que la Tierra viene mode- o elada por R2 y que Φ : R2 → R, u → Φ(u), expresa, en cada panto u ∈ R2 ,la altura sobre el nivel del mar. Entonces las hip´tesis 1) y 4) se cumplen osi el origen se encuentra en un valle rodeado de monta˜as, tal que lejos del nvalle y las monta˜as, existe otro punto d con altitud no positiva. n
  • 46. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 45La interpretaci´n del conjunto A y de c es asimismo clara: A representa el oconjunto de todos los caminos que van desde 3 hasta e. Por tanto, si existieseuno de estos caminos con altitud m´ınima, tal altitud ser´ el valor de c. ıa b) Como veremos en las aplicaciones, en general, la hip´tesis 1) se co- orresponde con el hecho de que el origen es un m´ ınimo local estricto delfuncional Φ. Esto se conseguir´, para aquellos funcionales Φ que provienen ade problemas de contorno como (3.1), imponiendo restricciones adecuadas ala funci´n g(x, u), cerca de u = 6. En esta situaciones, usualmente se tiene ola soluci´n trivial (como en (3.12)) y se trata de probar la existencia de otra ono trivial.Por su parte, la hip´tesis 2) suele comprobarse estudiando el comporta- omiento del funcional a trav´s de rayos que emanan del origen; es decir, dado eu ∈ H {0}, se estudia Φ(λu), λ ≥ 0.En definitiva, hip´tesis apropiadas sobre la funci´n g, cerca de u = 0 y o o“en infinito”, son las que determinan la aplicaci´n del Teorema previo a oproblemas como (3.1). c) En el Teorema se afirma no s´lo que c es un nivel cr´ o ıtico de Φ sinoque adem´s c ≥ α. Esto es importante cuando se desea probar resultados de amultiplicidad de soluciones. Apliquemos el Teorema anterior al estudio de (3.1). Vamos a ver que si ges de tipo sublineal cerca del origen y de tipo superlineal en el ∞, entonces(3.1) tiene al menos una soluci´n no trivial. oTeorema 3.9. Consideremos (3.1) y G dada en (3.2). Supongamos laship´tesis: o1) g(x, u) = o(|u|), cuando u → 0, uniformemente en [0, π]; es decir g(x, u)(3.15) lim = 0, u→0 uuniformemente en x ∈ [0, π].2) ∃µ > 9, r > 0, tales que(3.16) 0 < µG(x, ξ) ≤ ξg(x, ξ), ∀(x, ξ) ∈ [0, π] × R : |ξ| ≥ r.Entonces (3.1) tiene al menos una soluci´n no trivial. o Demostraci´n: Como g(x, 0) = 6, ∀ x ∈ [7, π], la funci´n id´nticamente o o ecero es soluci´n de (3.1). Se trata de ver que existe al menos una soluci´n o ono trivial, lo que su conseguir´ aplicando el Teorema anterior; ´ste propor- a ecionar´ un nivel cr´ a ıtico positivo, de donde se tiene la existencia de soluci´n ono trivial.En primer lugar, de (3.16) se obtiene la existencia de constantes positivas a
  • 47. 46 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10y b tales que(3.17) G(x, ξ) ≥ a|ξ|µ − b, ∀ (x, ξ) ∈ [0, π] × R.Tambi´n, por (3.15), se tiene que ∀ e ∈ R+ , ∃ δ ∈ R+ : |u| ≤ δ, implica |G(x, u)| ≤ |u|2 , ∀ x ∈ [0, π]. 2Tomemos < 1 y el δ correspondiente. Como la inclusi´n de H0 (0, π) o 1en C[0, π], es continua, ∃ δ ∈ R+ , tal que |u| ≤ δ , en H0 (0, π), implica 1|u(x)| ≤ δ, ∀ x ∈ [0, π].Una vez hechas las consideraciones anteriores, basta tomar ρ = δ y α = 1 − d 2 , en la hip´tesis 1) del Teorema 3.8. o 2 2 1Sea ahora u ∈ H0 (0, π) {0}. De (3.17) se obtiene f´cilmente a lim Φ(tu) = −∞, t→+∞lo que implica la existencia de e satisfaciendo la hip´tesis 2). o Comprobemos por ultimo la propiedad (P − S)d . Sea {un } cualquier su- ´ 1cesi´n de elementos de H0 (0, π), tal que: oi) {Φ(un )} → d,ii) {Φ (un )} → 0.Es suficiente comprobar que la sucesi´n {un } es acotada, pues si esto es as´ o ı,se seguir´ de forma an´loga a lo realizado en la demostraci´n que, a partir ıa a odel Teorema 3.7, hicimos del Teorema 3.5.La acotaci´n de {un }, puede probarse como se indica: o πSi φ(un ) = G(x, un (x)) dx, entonces, usando (3.16), se tiene la existencia 0de alguna constante a1 > 0, tal que 1 φ(un ) ≤ a1 + φ (un )(un ), ∀ n ∈ N. µLuego 1 8 Φ(un ) ≥ |un |2 − a1 − φ (un )(un ), ∀ n ∈ N. 9 µComo {Φ(un )} es acotada, existe alguna constante b1 > 0, tal que 1 1(3.18) |un |2 − a1 − φ (un )(un ) ≤ b1 , ∀ n ∈ N. 2 µTambi´n, de ii) obtenemos que para cualquier ∈ R+ , existe n0 ∈ N, tal que esi n ≥ n4 , entonces |Φ (un )(un )| =(3.19) = | |un |2 − φ (un )(un )| ≤ |un |.
  • 48. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 47De (3.18) y (3.19), deducimos: µ |un |2 − µa1 − µb1 ≤ |un |0 + |un |, 2para n ≥ n0 . Como µ > 2, la sucesi´n {un } debe estar acotada. o El Teorema del paso de monta˜a visto con anterioridad es muy util n ´cuando, conocida la existencia de una soluci´n de la ecuaci´n (3.5) (por o oejemplo, la soluci´n trivial), que se corresponde con un m´ o ınimo local estrictodel correspondiente funcional Φ, se quiere probar la existencia de otra. Sinembargo, hay muchos problemas donde no es posible conocer de antemanola existencia dt una soluci´n; en estos casos, es muy util el siguiente Teorema o ´conocido con el nombre de Teorema del punto de silla, por la geometr´ del ıafuncional Φ.Teorema 3.10. Supongamos que es posible descomponer H de la formaH = V ⊕ X, suma topol´gico-directa, tal que V es un subespacio no trivial ode H, de dimensi´n finita, verific´ndose las siguientes hip´tesis: o a o0)(3.20) ∃ inf u ∈ X Φ(u) ≡ β ∈ R.2) Existe un entorno de 0 en V, D, abierto (relativo) y acotado, tal que sup u ∈ ∂D Φ(u) ≤ α < β.3) Φ satisface (P − S)d , ∀ d ∈ R.Entonces, si Γ = { h ∈ C(D, H) : h(u) = u, ∀ u ∈ ∂D }y c = inf h ∈ Γ sup u ∈ D Φ(h(u)),se tiene que c es un valor cr´ ıtico de Φ, mayor o igual que β. Demostraci´n: Sea o(3.21) A = {h(D) : h ∈ Γ}.Entonces c = inf F ∈ A sup u ∈ F Φ(u).Claramente Γ = ∅ (la aplicaci´n identidad, restringida a D, pertenece a Γ), olo que implica A = ∅. Como los elementos de A son subconjuntos compactosde H, para cada F ∈ A, existe sup u ∈ F Φ(u). Adem´s, para cama F ∈ A, aexiste al menos un elemento u ∈ F : u ∈ X. En efecto, esto puede probarsecoo ayuda del grado topol´gico de Brouwer. Para ello, sea h ∈ Γ y oP : H → V, la correspondiente proyecci´n proveniente de la descomposici´n o oanterior. La aplicaci´n P h : D → V es continua y no se anula sobre la ofrontera de D, puesto que, P h(u) = u, ∀ u ∈ ∂D. As´ dB (P h, D, 0) = 1, ı,
  • 49. 48 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10por lo que existe al menos un elemento u ∈ D con P h(u) = 0; es decir,h(u) ∈ X.Lo anterior muestra que c ≥ β. β−αFinalmente, si Kc = ∅, tomemos = , en el Lema de deformaci´n o 2(3.6), de donde se obtienen los correspondientes y η. Por (3.21), debeexistir F ∈ A, tal que sup u ∈ F Φ(u) ≤ c + .Ahora bien, η(1, F ) ∈ A y sup u ∈ η(1,F ) Φ(u) ≤ c − ,lo que contradice (3.21). Notas.1) En las aplicaciones del Teorema anterior, suele darse la situaci´n si- oguiente: el funcional Φ, restringido a X, est´ acotado inferiormente, mien- atras que Φ(u) → −∞, cuando u ∈ V y |u| → +∞. En estos casos, se tomaD = BV (0; r), con r suficientemente grande.2) El tipo general de funcionales a los que se puede aplicar el Teorema an-terior responden a la geometr´ siguiente: Φ es c´ncavo en V, convexo en X ıa oy satisface una adecuada condici´n de coercividad en el infinito. De ah´ el o ınombre de Teorema del punto de silla.3) Si se repasan detalladamente las demostraciones de los Teoremas (3.8)y (3.10), se puede observar f´cilmente la enorme analog´ que hay entre a ıaellas. Esta es la filosof´ general de los m´todos min-max. De hecho, pueden ıa eprobarse teoremas abstractos que generalizan a ambos (en la bibliograf´ ıarecomendada se encuentran algunos de ellos) y que son utiles en las apli- ´caciones. Conviene pues insistir al alumno en el m´todo de demostraci´n e oempleado, que es el mismo en la mayor´ de los casos. ıa4) Es t´ıpico aplicar el Teorema anterior a problema resonantes, donde laelecci´n de los espacios V y X viene autom´ticamente sugerida, como vamos o aa ver en el ejemplo siguiente. Consideremos el problema de contorno −u (x) − u(x) = g(x, u(x)), x ∈ [0, π],(3.22) u(0) = u(π) = 0,donde g : [0, π] × R → R, es una funci´n continua. oObservemos que el “problema lineal asociado” −u (x) − u(x) = 0, x ∈ [0, π], u(0) = u(π) = 0,tiene como conjunto de soluciones al espacio vectorial real, de dimensi´n ouno, engendrado por la funci´n sen x, as´ que (3.22) no tiene necesaria- o ımente soluci´n, aunque g sea acotada (pi´nsese en el caso g(x, u) = f (x) o e
  • 50. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 49y el Teorema de la alternativa de Fredholm). Veamos que a˜adiendo una ncondici´n sobre la primitiva de g, G, se tiene la existencia de soluciones de o(3.22).Teorema 3.11. Supongamos:i) g es acotada.ii) Si G es cualquier primitiva de g, respecto de u, se cumple que(3.23) lim |ξ|→+∞ G(x, ξ) = +∞.Entonces, (3.22) tiene al menos una soluci´n. o Demostraci´n: Veamos que se verifican todas las hip´tesis del Teorema o o 1 (0, π) y los subespacios V y X como3.10. Para ello, tomemos H = H0 V = { asenx, a ∈ R }, π X= 1 u ∈ H0 (0, π) : u(x)senx dx = 0 . 0 1De esta forma, cada u ∈ H0 (0, π), puede escribirse (de manera unica) como ´u = u1 + u2 , donde u1 ∈ V y u2 ∈ X, vienen dados por 2 π u1 (x) = u(x)senx dx senx, π 0 u2 = u − u1 .Comprobemos que Φ : 1 H0 (0, π) → R, definido como π 1 1 π π Φ(u) = (u (x))2 dx − (u(x))2 dx − G(x, u(x)) dx, 2 0 2 0 0satisface (3.20).Usando la acotaci´n de g, el Teorema del valor medio y realizando algunas ooperaciones elementales se prueba que para cualquier u2 ∈ X, 1 π 1 π(3.24) Φ(u2 ) ≥ (u2 (x))2 dx − (u2 (x))2 dx − a|u2 |, 2 0 2 0para alguna constante a > 0.Por otra parte, teniendo en cuenta el desarrollo en serie de Fourier de lasfunciones de X, se tiene la existencia de una constante positiva λ < 1, talque π π(3.25) (u2 (x))2 dx ≤ λ (u2 (x))2 dx, ∀ u2 ∈ X. 0 0As´ de (3.24) y (3.25), se deduce ı, 1 λ Φ(u2 ) ≥ − |u2 |2 − a|u2 |, 2 2 ∀ u2 ∈ X.
  • 51. 50 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Luego Φ, restringido a X, tiene ´ ınfimo, al que llamamos β.De (3.23) se obtiene π lim − G(x, asenx) dx = −∞, |a|→+∞ 0lo que prueba la hip´tesis 2) del Teorema (3.10). oComprobemos por ultimo la condici´n (P − S)d : sea {un } una sucesi´n de ´ o oelementos de H01 (0, π), cumpliendo las dos condiciones: i){Φ(un )} → d, ii){Φ (un )} → 0.Como en los casos anteriores, es suficiente con verificar que {un } es acotada,lo que se har´ viendo que tanto {(un )1 } como {(un )2 } lo son. aDe ii) se obtiene la existencia de r1 > 0, tal que π π | un (x)v (x) dx − un (x)v(x) dx| ≤ r1 , 0 0 1 ∀ v ∈ H0 (0, π) : |v| = 1,que realizando operaciones elementales proporciona π π | (un )2 (x)v (x) dx − (un )2 (x)v(x) dx| ≤ r1 , 0 0 1 ∀ v ∈ H0 (0, π) : |v| = 1, (un )2Tomando v = , para aquellos n ∈ N, tales que (un )2 = 0, de la |(un )2 |desigualdad (3.25) se deduce r1(3.26) |(un )2 | ≤ , ∀ n ∈ N. 1−λPor otra parte, por i), la sucesi´n {Φ(un )} es acotada y como o π 1 Φ(un ) = (un )2 (x) dx− 2 2 0 π π 1 − (un )2 (x) 2 dx − G(x, un (x)) dx, 2 0 0(3.26) implica que la sucesi´n o π G(x, un (x)) dx , 0es acotada. Finalmente, por (3.23), la sucesi´n {(un )1 } debe estar acotada. o Notas complementarias
  • 52. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 51 - Uno de los objetivos de este cap´ ıtulo debe ser que el alumno se familiaricecon los operadores que usualmente aparecen en el tratamiento variacionalde problemas de contorno, tanto para e.d.o. como para e.d.p. El estudiode las propiedades de regularidad de ellos, debe ser profundo y detallado.Quiz´s, el m´s importante sea el operador de Nemytskii, asociado a una a afunci´n f : Ω × R → R, donde Ω es un subconjunto abierto y acotado de R. oDicho operador est´ definido de la forma siguiente: a cualquier funci´n a ou : Ω → R, se le hace corresponder la funci´n Nf u, donde (Nf u)(x) = of (x, u(x)), ∀x ∈ Ω.As´ Nf : F → F, donde F es el conjunto de funciones reales definidas en Ω. Si ı,A y B son subconjuntos de F, se tratar´ de encontrar condiciones suficientes ıasobre f que garanticen Nf (A) ⊂ B, as´ como propiedades de regularidad de ıNf . Especialmente, como A o B, pueden tomarse el subconjunto de lasfunciones medibles, funciones continuas en Ω, espacios Lp (Ω), etc.En particular, los alumnos suelen mostrar extra˜eza y admiraci´n al estudiar n olas condiciones para que Nf (Lp (Ω)) ⊂ Lq (Ω),con p, q ≥ 1, pues basta que se cumpla la inclusi´n anterior, para que el ooperador Nf : Lp (Ω) → Lq (Ω), sea continuo. - Aquellos que piensen dedicarse a la investigaci´n en e.d.p., deber´ o ıanextender a este tipo de ecuaciones, los resultados que aqu´ hemos presentado ıpara e.d.o. En este sentido es conveniente la consulta de la bibliograf´ ıarecomendada.La relaci´n general existente entre el estudio de las soluciones d´biles de o eproblemas de contorno para e.d.p y la ecuaci´n (3.5) puede establecerse con oel siguiente ejemplo concreto: sea Ω ⊂ Rn , un dominio acotado con fronteraregular y p : Ω × R → R una funci´n dada. Consideremos el problema de ocontorno −∆u(x) = p(x, u(x)), x ∈ Ω(3.27) u(x) = 0, x ∈ ∂Ω. 1 1Una soluci´n d´bil de (3.27) es una funci´n u ∈ H0 (Ω) (donde H0 (Ω) es el o e oespacio de Sobolev usual) tal que 1 < u(x), v(x) > dx = p(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ H0 (Ω), Ω Ω(< ., . > indica el producto escalar usual en Rn y u el gradiente de lafunci´n u). o Como hemos mencionado con anterioridad, el planteamiento del problemade contorno (3.27) en “forma d´bil” es necesario cuando p no es lo suficiente- emente regular como para poder estudiar soluciones cl´sicas del mismo, pero aincluso en muchos casos en que p es lo suficientemente regular como para
  • 53. 52 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10poder estudiar (3.27) desde el punto de vista cl´sico, el planteamiento d´bil a edel problema puede facilitar enormemente su estudio. Si se satisfacen las hip´tesis: oi) p ∈ C(Ω × R, R).ii) ∃ a1 , a2 ≥ 0 / |p(x, u)| ≤ a1 + a2 |u|s , ∀(x, u) ∈ Ω × R, 0 ≤ s <n+2 , para n > 2n−2(cuando n = 1, la hip´tesis ii) no es necesaria y si n = 2, esta hip´tesis o o ϕ(u)puede sustituirse por la acotaci´n |p(x, u)| ≤ a1 eϕ(u) / lim o = 0 ), u→∞ u2 1y Φ : H0 (Ω) → R, se define como 1(3.28) Φ(u) = | u(x)|2 dx − P (x, u(x))dx 2 Ω Ω u(donde P (x, u) = p(x, s)ds), entonces Φ ∈ C 1 (H0 (Ω), R) y u ∈ H0 (Ω) 1 1 0es soluci´n d´bil de (3.27) si y solamente si o e Φ (u) = 0De hecho Φ (u)(v) = < u(x), v(x) > dx − p(x, u(x))v(x)dx Ω Ω 1∀u, v ∈ H0 (Ω) .A la ecuaci´n anterior se le llama ecuaci´n de Euler del funcional Φ y en o o 1particular dicha ecuaci´n se cumple para los puntos u de H0 (Ω) donde Φ otiene un extremo global (caso de que lo tenga). Los teoremas que se han probado en el cap´ ıtulo para el problema decontorno (3.1), tienen su correspondiente versi´n en e.d.p., pr´cticamente o asin cambios. A t´ıtulo de ejemplo, el Teorema 3.5 quedar´ as´ ıa ı:Teorema 3.12. Si existen constantes a ∈ [0, λ1 ), b ∈ R, tales que |p(x, u)| ≤ a|u| + b, ∀ (x, u) ∈ Ω × R,entonces el funcional Φ definido en (3.28) tiene m´ınimo global. Como con- 1secuencia, (3.27) tiene al menos una soluci´n u ∈ H0 (0, π). o Obviamente, λ1 indica el valor propio principal del problema de valorespropios −∆u(x) = λu(x), x ∈ Ω, u(x) = 0, x ∈ ∂Ω.
  • 54. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 53 - Una herramienta b´sica usada en el cap´ a ıtulo, para demostrar, tantoteoremas que prueban la existencia de m´ ınimo global del funcional Φ, comoteoremas min-max, ha sido el Lema de deformaci´n 3.6. Una alternativa a oesto lo constituye el principio variacional de Ekeland, cuyo enunciado(no ciertamente el m´s general) es el siguiente: aTeorema 3.13. Sea (X, d) un espacio m´trico completo y Φ : X → R ∪ e{+∞}, un funcional semicontinuo inferiormente. Entonces, si existe inf X Φ ≡m ∈ R, se tiene que para cualquier ∈ R+ , existe al menos un elementou ∈ X, tal que Φ(u ) ≤ m + , Φ(u ) < Φ(u) + d(u, u ), ∀ u ∈ X, u = u . Para funcionales Φ que son adem´s derivables (seg´n Gateaux), se tiene a ula siguiente consecuencia:Corolario 3.14. Si adem´s de las hip´tesis del Teorema 3.13, con X un a oespacio de Banach, Φ es derivable Gateaux en X, entonces para cualquier ∈ R+ , existe al menos un elemento u ∈ X, tal que Φ(u ) ≤ m + , |Φ (u )| ≤ . El anterior corolario permite tomar sucesiones minimizantes que verificanlas hip´tesis de la condici´n de Palais-Smale, (P − S)d , pudi´ndose por o o etanto dar otras demostraciones de las aqu´ expuestas, sobre los teoremas ıdel m´todo directo del c´lculo de variaciones. Tambi´n puede usarse el e a eprincipio variacional de Ekeland para demostrar teoremas min-max comoel Teorema 3.8. La utilidad de tal principio rebasa las fronteras de lasecuaciones diferenciales y se puede usar, por ejemplo, en el estudio de algunosproblemas de geometr´ de los espacios de Banach. ıa - En lo que respecta a la multiplicidad de puntos cr´ ıticos, dos de las teor´ıascl´sicas m´s potentes son la teor´ de Lusternik-Schnirelman y la teor´ a a ıa ıade Morse. En la primera, la noci´n de categor´ de un subconjunto de o ıaun espacio topol´gico, puede usarse para encontrar distintos niveles cr´ o ıticosde tipo min-max. En cuanto a la segunda, los puntos cr´ ıticos se distinguenatendiendo a su ´ ındice de Morse.Realmente, profundizar en ambas es una apasionante y agradable tarea,para aquellos alumnos que se quieran especializar en este campo de la in-vestigaci´n. Cons´ltese para ello la bibliograf´ recomendada. o u ıa - Otros temas complementarios de gran inter´s en el c´lculo de variacio- e anes y la teor´ de puntos cr´ ıa ıticos, lo constituyen el An´lisis convexo y el a
  • 55. 54 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10m´todo de los multiplicadores de Lagrange en dimensi´n infinita. e oParticularmente, el estudio de problemas de minimizaci´n de funcionales oconvexos, as´ como el papel desempe˜ado por los funcionales conjugados, ı nproporciona numerosos ejemplos elementales (l´ıneas geod´sicas sobre un ecilindro, el problema de la braquistocrona, problemas de Eco-nom´ el cable colgante, etc.), donde el alumno puede ver claramente la ıa,utilidad de los m´todos variacionales. En cuanto a lo segundo, es evidente- emente m´s especializado y muestra su utilidad cuando se est´ interesado en a asoluciones del problema de contorno planteado, que verifican algunas restric-ciones adicionales (por ejemplo, soluciones de sistemas Hamiltonianos conenerg´ determinada de antemano). ıa
  • 56. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 55 ´ 4. Metodos de compacidad y semicontinuidad inferior para la existencia de m´ ınimo global Recordemos que el problema general que estamos tratando considera unafunci´n o(4.1) f : M −→ R Se trata de establecer condiciones sobre M y f para garantizar la existen-cia de m´ınimo (global). En este sentido, recordemos el resultado siguiente:si M = (X, τ ), es un espacio topol´gico compacto y f es continua, ten- odremos garantizada la existencia de m´ ınimo (los espacios topol´gicos que oconsideremos siempre ser´n separados). Este resultado es muy util cuando a ´M es un subconjunto cerrado y acotado de un espacio eucl´ ıdeo n− dimen-sional, por ejemplo cualquier bola cerrada, de radio arbitrario. Sin embargo,es de dif´ aplicabilidad en el caso de espacios normados de dimensi´n in- ıcil ofinita. En efecto, es conocido que si (X, · ) es un espacio normado realde dimensi´n infinita, la bola cerrada unidad no es compacta, por lo que ocualquier subconjunto de X con interior no vac´ no puede ser compacto. A ıoeste respecto, en [8] puede verse un ejemplo (ejercicio 6.2.23) significativo,donde para cada espacio de Hilbert separable H, de dimensi´n infinita, se oconstruye expl´ıcitamente una funci´n continua de la bola cerrada unidad en oR, que no tiene m´ximo. a Otra observaci´n que podemos hacer es que la longitud de una curva no oes continua respecto de la distancia uniforme, hecho que se puede intuir siuno lo piensa un poco. En efecto, consid´rense e sen nx fn (x) = 0≤x≤π n Cn = {(x, fn (x)) / x ∈ [0, π]}Entonces se puede probar f´cilmente que: a (1) fn −→ 0 uniformemente en [0, π]. (2) la longitud de la curva Cn no converge a π. Las anteriores reflexiones motivan las definiciones siguientes, donde segeneraliza el concepto de aplicaci´n continua: o Sea (X, τ ) un espacio topol´gico, f : X −→ R ∪ {+∞} y x0 ∈ X t.q. of (x0 ) ∈ R. • f es continua en x0 si ∀ε ∈ R+ ∃ U entorno de x0 en X / f (U) ⊂ (f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε) = (f (x0 ) − ε, +∞) ∩ (−∞, f (x0 ) + ε). • f es semicontinua inferiormente (sci) en x0 si ∀ε ∈ R+ ∃ U entorno de x0 en X / f (U) ⊂ (f (x0 ) − ε, +∞). • f es semicontinua superiormente en x0 si ∀ε ∈ R+ ∃ U entorno de x0 en X / f (U) ⊂ (−∞, f (x0 ) + ε).
  • 57. 56 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10El Teorema siguiente caracteriza la semicontinuidad inferior.Teorema 4.1. ([3]) Sea f : (X, τ ) −→ R ∪ {+∞}. • Si f es sci en x0 , entonces ∀ {xn } −→ x0 se tiene que f (x0 ) ≤ lim inf n→∞ f (xn ). • Si (X, τ ) satisface en x0 el primer axioma de numerabilidad ( existe una base numerable de entornos de x0 ) y ∀ {xn } −→ x0 se tiene que f (x0 ) ≤ lim inf n→∞ f (xn ), entonces f es sci en x0 . Recordemos que los espacios m´tricos verifican el primer axioma de numerabilidad. e • f es sci en X (es decir, en todo punto de X) si y s´lo si ∀λ ∈ R, el o conjunto {x ∈ X : f (x) ≤ λ} es cerrado en X.Puede aplicarse el teorema anterior a la funci´n o f : [0, 1] −→ R definida como 1 (1 + x2 )sen x=0 f (x) = x a x=0Entonces f es sci si y s´lo si a ≤ −1. En este caso f alcanza su m´ o ınimo en[0, 1]. Otra cuesti´n distinta es calcular el valor de este m´ o ınimo para a = −1(se atrever´ el alumno con esto?). ıa Una propiedad muy util, cuando trabajamos con familias de funciones ´que son sci, es la siguiente:Proposici´n 4.2. o Sea (X, τ ) un espacio topol´gico y fi : (X, τ ) −→ R ∪ {+∞} una familia oarbitraria de aplicaciones, con i ∈ I, tal que cada fi , i ∈ I es semicontinuasinferiormente. Entonces la aplicaci´no f : (X, τ ) −→ R ∪ {+∞} f (x) = supi∈I fi (x)es semicontinua inferiormente.Uno de los principales resultados de esta parte del curso viene dado por elteorema siguiente:Teorema 4.3. Sea (X, τ ) un espacio topol´gico compacto y f : (X, τ ) −→ R ∪ {+∞}, osemicontinua inferiormente y no id´nticamente +∞. Entonces ∃ minX f e Las principales ideas de la demostraci´n son las siguientes: o Sea λ = inf {f (x), x ∈ X} y {λn } −→ λ, estrictamente decreciente. Definimos, para cada n ∈ N, el conjunto(4.2) Xλn = {x ∈ X : f (x) ≤ λn }
  • 58. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 57Cada uno de estos conjuntos es: • Distinto del conjunto vac´ ıo. • Cerrado en X. Tenemos as´ una sucesi´n Xλ1 ⊃ Xλ2 ⊃ . . . ⊃ Xλn . . . sucesi´n ı o odecreciente de cerrados no vac´ ıos. Como X es compacto se tiene que laintersecci´n de todos ellos es no vac´ Ahora bien, si x0 ∈ n∈N Xλn ⇒ o ıa.f (x0 ) ≤ λn ∀n ∈ N ⇒ f (x0 ) ≤ λ ⇒ f (x0 ) = λ El Teorema anterior tienen un enunciado sencillo, y su demostraci´n es oelemental. No obstante, mostramos su potencia y aplicabilidad en un teo-rema muy general de existencia de geod´sicas. e Sea (E, d) un espacio m´trico. Una curva continua en E, denotada por eCf , viene dada por cualquier funci´n f : [a, b] −→ E continua, de tal forma oque Cf = {f (x) : x ∈ [a, b]}. Si P : a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b esuna partici´n cualquiera de [a, b], podemos definir o n(4.3) VP Cf = d(f (ti ), f (ti−1 )) i=1 Definimos la longitud de la curva Cf como(4.4) L Cf = sup VP Cf P ∈P[a,b]N´tese que LCf puede ser +∞ (pi´nsese por ejemplo en la curva de Peano, o eque se puede ver en http://mathworld.wolfram.com/Plane-FillingFunction.html). Si la curva Cf viene dada por una funci´n lipschitziana f (∃K ≥ 0 : od(f (x), f (y)) ≤ Kd(x, y)), entonces claramente Cf tiene longitud finita. Engeneral, el c´lculo de la longitud de una curva no es una tarea sencilla, aaunque la funci´n f sea lipschitziana. Ahora bien, para el caso en que E oes un espacio normado y f es de clase C 1 , entonces tenemos el resultadosiguiente: Si f : [a, b] −→ X, X espacio vectorial real normado y f ∈ C 1 ([a, b], X),entonces b(4.5) L(Cf ) = f (t) dt a Mencionar finalmente, antes de enunciar el teorema, que una curva recti-ficable es la que tiene longitud finita.Teorema 4.4. ([6]) Sea (E, d) un espacio m´trico compacto y A, B dos esubconjuntos de E cerrados, disjuntos y no vac´ ıos. Supongamos que existealguna curva rectificable contenida en E, y que conecta A con B (es decir,existe alguna aplicaci´n continua f : [0, 1] → E, tal que f (0) ∈ A, f (1) ∈ oB y tal que Cf tiene longitud finita. Entonces, de entre todas las curvas
  • 59. 58 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10rectificables contenidas en E y que conectan A con B, hay alguna (llamadageod´sica) con longitud m´ e ınima. El Teorema anterior es de una gran generalidad. Por ejemplo, podemosobservar que este teorema sirve para el caso particular en el que A y Bsean conjuntos formados por un s´lo punto cada uno. En segundo lugar, opensemos que podemos tomar como espacio m´trico v´lido para el teorema e acualquier subconjunto compacto de R3 . Se asegurar´ as´ la existencia de ıa ıgeod´sicas en este tipo de subconjuntos del espacio eucl´ e ıdeo que incluyencomo casos particulares a subconjuntos de cilindros, conos, esferas, etc. Elgran inconveniente que presenta el teorema es que no es constructivo: nonos informa de c´mo calcular la geod´sica mencionada. Una segunda obser- o evaci´n es que si sustituimos la condici´n de compacidad por la de comple- o otitud, el teorema no es cierto. Por ejemplo, en R2 se puede tomar como Auna rama de hip´rbola, y como B cualquiera de los ejes cartesianos. ePrincipales ideas de la demostraci´n. oSea L la funci´n longitud: o L : C([0, 1], E) −→ R ∪ {+∞}(4.6) f −→ L(f ) Dadas f, g ∈ C([0, 1], E), definimos su distancia como(4.7) d(f, g) = max dE (f (t), g(t)) t∈[0,1] Entonces tenemos que: • En general, L no es continua (este hecho fue observado ya por Le- besgue). Para ver esto, se sugiere la sucesi´n de curvas Cn definidas o por Cn = {(x, n−1 sen(nx)), 0 ≤ x ≤ π } Puede probarse que la longitud de Cn es independiente de n. Obs´rvese e adem´s que Cn converge uniformemente a la curva a C = {(x, 0), 0 ≤ x ≤ π } • L es semicontinua inferiormente. Veamos m´s detalladamente esta ultima propiedad. Fijemos P ∈ P([0, 1]) a ´una partici´n de [0, 1] y consideremos la aplicaci´n. o o LP : C([0, 1], E) −→ R n(4.8) f −→ LP (f ) = d(f (ti ), f (ti−1 )) i=1 Esta aplicaci´n es continua. En particular, es semicontinua inferiormente. oAhora L es semicontinua inferiormente por la proposici´n 4.2. o Consideremos ahora el subconjunto
  • 60. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 59(4.9) Z = {f ∈ X = C([0, 1], E) : f (0) ∈ A, f (1) ∈ B, L(f ) < +∞} Lo que pretendemos es demostrar que L tiene m´ ınimo global en el conjuntoZ. En primer lugar, por hip´tesis, Z es no vac´ Si Z fuese compacto (con o ıo.la distancia uniforme), en virtud del teorema 4.3 ya se tendr´ la existencia ıadel m´ınimo. Ahora bien, Z no es compacto, en general. Hemos de encontrar un subconjunto Z de Z, que sea compacto y detal forma que los ´ınfimos de L en Z y Z coincidan. Para ello haremosuso del teorema de Ascoli-Arzela, que nos caracteriza los compactos deX = C([0, 1], E): Dado M ⊂ X , M es compacto ⇐⇒ M es equicontinuo(pensemos que [0, 1] y E son espacios compactos). Por otra parte, recorde-mos que M es equicontinuo si ∀ε > 0 ∃ δ(ε) ∈ R+ / ∀x, y ∈ [0, 1] con|x − y| ≤ δ ⇒ d(f (x), f (y)) ≤ ε, ∀f ∈ M Sea K0 = inf Z L, y tomemos K > K0 . Definimos(4.10) f (0) ∈ A, f (1) ∈ BZ = f : [0, 1] −→ E, continua f lipschitziana con constante de Lipschitz ≤ K Tambi´n haremos uso del siguiente lema fundamental (v´ase [6]): e e Sea f ∈ X : L(f ) < +∞. Entonces ∀K > L(f ) existe un homeomorfismocreciente α : [0, 1] −→ [0, 1] tal que • La aplicaci´n f ◦ α : [0, 1] −→ E es lipschitziana o con constante de Lipschitz K. • L(f ◦ α) = L(f ) Haciendo uso de este lema, tenemos que el conjunto Z que hemos definido,es distinto del vac´ y adem´s inf Z L = inf Z L = K0 . Por ultimo, como Z ıo, a ´es cerrado y equicontinuo, se tiene que Z es compacto, con lo que finalizar´ ıala demostraci´n. oHemos visto en el teorema 4.3 que las condiciones de compacidad y de se-micontinuidad inferior implican la existencia de m´ınimo. La pregunta quenos planteamos a continuaci´n es sobre la (posible) unicidad de los puntos odonde el m´ınimo se alcanza, y sobre la aproximaci´n de dicho m´ o ınimo. Recordemos previamente dos definiciones:Definici´n 4.5. o • Un subconjunto X de un espacio vectorial se dice convexo si ∀x1 , x2 ∈ X se verifica que [x1 , x2 ] = {tx1 + (1 − t)x2 : t ∈ [0, 1]} ⊂ X.
  • 61. 60 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 • Una aplicaci´n f : X −→ R, donde X es un subconjunto convexo o de un espacio vectorial, se dice estrictamente convexa si verifica que f (tx1 +(1−t)x2 ) < tf (x1 )+(1−t)f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X, ∀t ∈ (0, 1).Teorema 4.6. Sea X un subconjunto convexo de un espacio normado (E, · )y sea f : X −→ R estrictamente convexa. Entonces existe a lo sumo unpunto de X donde f alcanza su ´ ınfimo.Teorema 4.7. Sea f : H −→ R con H espacio de Hilbert real separable (admite unconjunto denso numerable) verificando: • f continua • f coerciva ( lim u →+∞ f (u) = +∞ ) • f es d´bilmente inferiormente semicontinua. e ( si un u ⇒ f (u) ≤ lim inf n→∞ f (un ) ) Entonces existe minH f . Adem´s, si {e1 , . . . en , . . .} es una base ortonormal de H, y llamamos aHn = e1 , . . . , en se verifica: • ∃ minHn f • Si xn ∈ Hn : f (xn ) = minHn f, entonces f (xn ) −→ minH f
  • 62. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 61 ´ 5. Apendice: funciones generalizadas y espacios de Sobolev La teor´ de funciones generalizadas (o distribuciones), vino motivada ıapor los trabajos de diversos investigadores, entre ellos Dirac y Heaviside, enMec´nica Cu´ntica y Electromagnetismo, que manejaron con profusi´n las a a ollamadas hoy en d´ funci´n δ de Dirac y funci´n de Heaviside. Al estudiar ıa o odiversas leyes de la f´ ısica, expresadas por ecuaciones en derivadas parciales,trabajaron con funciones que no eran derivables, pero que s´ eran soluciones, ıen un cierto sentido, de las ecuaciones consideradas. Por ejemplo, se dabapor cierto que, de alguna forma, la “funci´n” δ era la derivada de la funci´n o ode Heaviside θ(x), que es igual a 1 para x ≥ 0 y 0 para x < 0. Tales investigaciones crearon la necesidad de rigorizar los desarrollos for-males que en ellas aparec´ ıan. Surge as´ una doble posibilidad: o bien se ıexpresan las leyes de la f´ ısica de una manera m´s general donde aparezcan aidentidades integrales en lugar de diferenciales, o bien se generaliza el con-cepto de derivada, ampli´ndolo para que se pueda aplicar a funciones que ano son derivables en el sentido cl´sico. Como los cient´ a ıficos prefieren, engeneral, conservar la expresi´n diferencial en lugar de la integral, se impuso oel segundo punto de vista, motivando as´ la generalizaci´n de la noci´n de ı o oderivada cl´sica. a La fundamentaci´n matem´tica de la teor´ de funciones generalizadas fue o a ıahecha, de manera independiente, por Sobolev y Schwartz. Esto proporcion´ ono s´lo rigor matem´tico para una serie de m´todos que llevaban tiempo o a eus´ndose en f´ a ısica, sino tambi´n una herramienta util y potente para la teor´ e ´ ıade ecuaciones diferenciales y de transformada de Fourier. Posteriormente,ha habido un gran desarrollo de este tema, debido fundamentalmente a losproblemas planteados en f´ ısica matem´tica y ecuaciones diferenciales, siendo amuchos los matem´ticos de prestigio que tienen importantes contribuciones aen este campo. En la actualidad, la teor´ de funciones generalizadas ha llegado a ser una ıaherramienta esencial para los matem´ticos, f´ a ısicos e ingenieros, aplic´ndose ano s´lo a ecuaciones diferenciales sino tambi´n a numerosas disciplinas, como o eteor´ de representaci´n de grupos localmente compactos, teor´ de la pro- ıa o ıababilidad, homolog´ en variedades, etc. ıa Este ap´ndice comienza con la exposici´n de algunos de los principales e ohechos de la teor´ de funciones generalizadas, en orden a su aplicaci´n a ıa oproblemas de contorno planteados para ecuaciones en derivadas parciales. La segunda parte la dedicamos a los espacios de Sobolev. Los espaciosde funciones regulares cl´sicos, esto es, los espacios C m (Ω), C m (Ω), etc., a
  • 63. 62 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10donde Ω es un dominio de Rn , no son adecuados para el estudio de mu-chos problemas de contorno. En este sentido, los espacios de Sobolev,introducidos por ´ste en los a˜os treinta, proporcionan un marco adecuado e npara el tratamiento de tales problemas, por dos motivos fundamentales: enprimer lugar, porque en su definici´n entra en juego la noci´n de deri- o ovada d´bil, concepto m´s restringido que el de derivada distribucional, e adefinida con anterioridad, pero suficientemente amplio como para permi-tir el estudio de numerosos e interesantes problemas; en segundo lugar, laspropiedades anal´ ıtico-topol´gicas satisfechas por los espacios de Sobolev, opermiten el uso de muchas t´cnicas de An´lisis Funcional, que facilitan e aenormemente el estudio de los problemas planteados y arrojan luz sobremuchos aspectos que, aunque important´ ısimos, son un caso particular deresultados establecidos en un marco general. La introducci´n de los espacios de Sobolev puede hacerse desde diferentes opuntos de vista: usando la noci´n de derivada distribucional; como la com- opletaci´n, con normas adecuadas, de algunos espacios cl´sicos de funciones; o amediante la transformada de Fourier, etc. Yo he preferido el primer puntode vista. Numerosas generalizaciones existen en la actualidad de los espacios deSobolev, muy utiles para el estudio de diferentes problemas en e.d.o. y ´en e.d.p.: los espacios de Orlicz-Sobolev, los espacios de Sobolev con peso,etc. No obstante, un alumno que entienda los hechos fundamentales que aqu´ ıexponemos, estar´ en buena disposici´n para, en caso necesario, profundizar a oen el conocimiento y uso de los espacios de funciones mencionados. Labibliograf´ recomendada es: [1], [4] y [19]. ıa En lo que sigue, D = D(Rn ), denotar´ al conjunto de las funciones atest: funciones complejas, definidas en Rn , de clase C ∞ (Rn ) y con soportecompacto. Si K ⊂ Rn , es compacto, D(K) denotar´ al subconjunto de funciones de aD, cuyo soporte est´ incluido en K. aEn D(K) se puede considerar la sucesi´n de seminormas o pm (φ) = sup x ∈ K, |α| ≤ m |Dα φ(x)|, m ∈ N,donde usamos la notaci´n de multi´ o ındices.D(K), con la topolog´ derivada de la anterior sucesi´n de seminormas, es ıa oun espacio localmente convexo metrizable. Sea ahora {Kj } una sucesi´n de compactos tal que o Kj ⊂ Kj+1 , ∀ j ∈ N,(5.1) Rn = ∪j∈N Kj .
  • 64. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 63Es claro que la aplicaci´n inclusi´n ij : D(Kj ) → D(Kj+1 ), es continua y o oque D = ∪j∈N D(Kj ),con lo que se puede considerar en D la topolog´ l´ıa ımite inductivo de losespacios D(Kj ). Esta topolog´ no depende de la sucesi´n particular de ıa ocompactos tomada satisfaciendo (5.1). La convergencia en D, derivada de la anterior topolog´ se expresa de la ıa,forma siguiente: si {φk } es una sucesi´n de elementos de D y φ ∈ D, se tiene oφk → φ si y solamente si, existe alg´n compacto K tal que se cumplen las udos condiciones siguientes:i) sop φk ⊂ K, ∀ k ∈ N,ii) Para cualquier multi´ındice α, se tiene Dα φk → Dα φ, uniformemente enK.Definici´n 5.1. Una funci´n generalizada (o distribuci´n) (en el sen- o o otido de Sobolev-Schwartz), es un funcional lineal y continuo de D en C. Al espacio vectorial complejo de funciones generalizadas, lo notaremospor D . Si f ∈ D y φ ∈ D, escribiremos (f, φ) en lugar de f (φ). En D consideraremos la topolog´ σ(D , D), que es la topolog´ local- ıa ıamente convexa generada por la familia de seminormas {pφ , φ ∈ D}, donde pφ : D → R, pφ (f ) = |(f, φ)|, ∀ f ∈ D .De esta topolog´ deriva la siguiente convergencia: si {fk } es una sucesi´n de ıa oelementos de D y f ∈ D , entonces fk → f, si y solamente si, para cualquierφ ∈ D se tiene (fk , φ) → (f, φ). Ejemplos de funciones generalizadas.1) El ejemplo m´s simple de funci´n generalizada lo constituye la generada a opor una funci´n localmente integrable, de la manera siguiente: si f : Rn → C oes una funci´n localmente integrable, definimos la distribuci´n (a la que o onotamos tambi´n por f ) e(5.2) (f, φ) = f (x)φ(x) dx, ∀ φ ∈ D.Las funciones generalizadas que se definen de la manera anterior, a partirde funciones localmente integrables, se llamar´n regulares. En otro caso, adiremos que son singulares.Cada funci´n localmente integrable, define, de acuerdo con (5.2), una funci´n o ogeneralizada. Se sigue del lema de Du Bois Reymond que cada funci´n ge- oneralizada regular est´ definida a partir de una unica funci´n localmente a ´ ointegrable. As´ pues, existe una correspondencia biyectiva entre las funcio- ınes generalizadas regulares y las funciones localmente integrables, lo que
  • 65. 64 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10lleva a identificarlas, habl´ndose de propiedades de tal funci´n localmente a ointegrable (como por ejemplo la diferenciabilidad), cuando en realidad loson de la funci´n generalizada regular asociada. o Las funciones localmente integrables suelen describir las distribuciones(o densidades) de masas, cargas, fuerzas, etc. De ah´ que a las funciones ıgeneralizadas (Sobolev) se les llame tambi´n distribuciones (Schwarz). e 2) El ejemplo m´s simple de funci´n generalizada singular lo constituye a ola funci´n δ de Dirac: o (δ, φ) = φ(0), ∀ φ ∈ D. A pesar de que las funciones generalizadas son funcionales lineales y conti-nuos de D en C, y que no tiene sentido, rigurosamente hablando, la expresi´n of (x), para f ∈ D y x ∈ R n , es posible definir una noci´n sumamente util, o ´la de soporte de una distribuci´n. Esto lo hacemos a continuaci´n. o o Si Ω es un dominio de Rn , D(Ω) es el subconjunto de D formado poraquellas funciones test cuyo soporte est´ contenido en Ω. aSi f ∈ D y Ω es un dominio de Rn , se dice que f es cero en Ω si (f, φ) =0, ∀ φ ∈ D(Ω). En este caso escribiremos f (x) = 0, ∀x ∈ Ω. Como unaconsecuencia l´gica, si f1 , f2 ∈ D , diremos que f1 = f2 en Ω si f1 − f2 = 0 oen Ω.- Si f ∈ D , f ∈ C p (Ω) significa que existe alguna funci´n f0 ∈ C p (Ω) tal oque (f, φ) = f0 (x)φ(x) dx, ∀ φ ∈ D(Ω).Definici´n 5.2. Si f ∈ D , el conjunto de todos aquellos puntos de Rn tales oque f no es nula en ning´n entorno de tales puntos, es el soporte de f, que use denotar´ por sop f. a Se deduce de la definici´n anterior que o (f, φ) = 0, ∀ f ∈ D , ∀ φ ∈ D, t.q. sop f ∩ sop φ = ∅. Hablemos a continuaci´n de la derivaci´n de funciones generalizadas. Para o oello, pensemos que si f ∈ C p (Rn ) y φ ∈ D, entonces para cada multi´ ındiceα, con |α| ≤ p, la f´rmula de integraci´n por partes proporciona o o (Dα f, φ) = (Dα f (x))φ(x) dx = = (−1)|α| f (x)(Dα φ(x)) dx = (−1)|α| (f, Dα φ).La anterior relaci´n puede aprovecharse para definir la derivada, de cualquier oorden, de cualquier funci´n generalizada. o
  • 66. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 65Definici´n 5.3. Si f ∈ D y α es un multi´ o ındice cualquiera, se defineDα f ∈ D , como (Dα f, φ) = (−1)|α| (f, Dα φ), ∀ φ ∈ D. Si notamos por {Dα f (x)} a la derivada cl´sica de la funci´n f, cuando a oexista, entonces si f ∈ D , satisface f ∈ C p (Ω), se cumple que Dα f (x) = {Dα f (x)}, ∀ x ∈ Ω, |α| ≤ p. Las principales propiedades de la derivaci´n de funciones generalizadas oest´n en el siguiente teorema. aTeorema 5.4. Se cumplen:1) Cualquier funci´n generalizada admite derivadas de cualquier orden. En oparticular, la funci´n generalizada definida a trav´s de una funci´n local- o e omente integrable, admite derivadas de todos los ´rdenes (de ah´ que se diga o ıque, en el sentido de las distribuciones, cualquier funci´n localmente inte- ograble puede derivarse indefinidamente).Adem´s, para cualquier f ∈ D y cualquier par de multi´ a ındices α, β, se tiene Dα+β f = Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ).2) Si f ∈ D y a ∈ C ∞ (Rn ), entonces la funci´n generalizada af se define ocomo (af, φ) = (f, aφ), ∀ φ ∈ D.Pues bien, la f´rmula de Leibniz para la derivaci´n del producto af es v´lida. o o aAs´ por ejemplo ı, ∂(af ) ∂a ∂f = f +a . ∂x1 ∂x1 ∂x13) Para cada f ∈ D y cada multi´ ındice α, se tiene sop Dα f ⊂ sop f.4) Si fk → f, en D , entonces Dα fk → Dα f, en D , para cualquier multi´ındiceα. Usando las anteriores propiedades, se tienen los siguientes ejemplos sig-nificativos, relacionados con la derivaci´n de funciones generalizadas. o 1) Si f ∈ D (R) es tal que f ∈ C 1 (−∞, x0 ] y f ∈ C 1 [x0 , +∞), entonces f = {f (x)} + [f ]x0 δ(x − x0 ),donde [f ]x0 = f (x0 +) − f (x0 −)y (δ(x − x0 ), φ) = (δ, φ(x + x0 )), ∀ φ ∈ D.
  • 67. 66 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Como caso particular, obtenemos θ (x) = δ(x),donde θ es la funci´n de Heaviside: o 1, x ≥ 0, θ(x) = 0, x < 0.M´s generalmente, si f : R → R, es tal que f y f son continuas, excepto en aun conjunto finito de puntos x1 < x2 < ... < xk , donde f tiene una discon-tinuidad de salto hj , 1 ≤ j ≤ k, y f es localmente integrable, entonces, enel sentido de las funciones generalizadas, se obtiene k f = {f (x)} + hj δ(x − xj ), j=1 2) Si ∞ 1 f (x) = cos nx, n2 n=1entonces, en el sentido de las funciones generalizadas, se tiene ∞ 1 f (x) = − sen nx, n n=1 ∞ f (x) = − cos nx, n=1 ....... 3) La soluci´n general de la ecuaci´n o o xm u = 0en D (R), est´ dada por la f´rmula a o m−1 u= ck δ (k) (x) k=0donde ck , 0 ≤ k ≤ m − 1, son constantes arbitrarias. 4) La soluci´n general de la ecuaci´n diferencial ordinaria o o u(m) = 0en D (R), es un polinomio arbitrario de grado m − 1. d 1 5) ln |x| = P ( ), donde dx x − +∞ 1 φ(x) (P ( ), φ) = lim + dx, ∀ φ ∈ D. x →0+ −∞ x
  • 68. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 67 6) Para n = 2, ∆ ln |x| = 2πδ(x). 7) Si n ≥ 3, entonces 1 ∆ = −(n − 2)σn δ(x), |x|n−2donde σn es el ´rea de la superficie dada por la esfera unidad en Rn . a 8) Cuando n = 3, las funciones eik|x| e−ik|x| E(x) = − , E(x) = − , 4π|x| 4π|x|satisfacen la ecuaci´n o ∆E + k 2 E = δ(x). 9) Si θ(t) |x|2 E1 (x, t) = exp − 2 , (2a(πt)1/2 )n 4a tentonces ∂E1 − a2 ∆E1 = δ(x, t). ∂t 10) Si 1 E2 (x, t) = θ(at − |x|), 2aentonces La E1 = δ(x, t), ∂2donde La es el operador de ondas, La = 2 − a2 ∆. ∂t Nos ocupamos a continuaci´n de la noci´n de producto directo de fun- o ociones generalizadas. Si f (x) y g(y) son funciones localmente integrables en Rn y Rm , respecti-vamente, la funci´n f (x)g(y) es tambi´n localmente integrable en Rn+m . Por o etanto, define una funci´n generalizada regular perteneciente a D (Rn+m ), omediante la f´rmula o (f (x)g(y), φ) = f (x)g(y)φ(x, y) dy dx = = (f (x), (g(y), φ(x, y))).para cualquier φ ∈ D(Rn+m ).La f´rmula anterior puede aprovecharse para odefinir el producto directo de dos funciones generalizadas de la forma si-guiente:
  • 69. 68 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Definici´n 5.5. Si f (x) ∈ D (Rn ) y g(y) ∈ D (Rm ), se define el producto odirecto de f y g, f (x).g(y) ∈ D (Rn+m ), como (f (x).g(y), φ) = (f (x), (g(y), φ(x, y))), ∀ φ ∈ D(Rn+m ). Las propiedades del producto directo quedan reflejadas en el siguienteteorema.Teorema 5.6. 1) Conmutatividad: Si f (x) ∈ D (Rn ) y g(y) ∈ D (Rm ),entonces f (x).g(y) = g(y).f (x)2) Continuidad: Si fk → f, en D (Rn ), entonces fk (x).g(y) → f (x).g(y),en D (Rn+m ).3) Asociatividad: Si f ∈ D (Rn ), g ∈ D (Rm ), h ∈ D (Rk ), entonces f (x).(g(y).h(z)) = (f (x).g(y)).h(z)4) Derivaci´n del producto directo: o Dx (f (x).g(y)) = Dα f (x).g(y) α5) Multiplicaci´n por funciones regulares: Si a ∈ C ∞ (Rn ), entonces o a(x)(f (x).g(y)) = (a(x)f (x)).g(y).6) Traslaci´n de la variable independiente: o (f.g)(x + h, y) = f (x + h).g(y) Tratamos seguidamente la noci´n y principales propiedades de la convo- oluci´n de funciones generalizadas. Como hemos hecho previamente en om´s de una ocasi´n, partimos del caso de funciones generalizadas regulares, a opara posteriormente considerar la situaci´n general. o Sean f y g funciones localmente integrables definidas en Rn , tal que lafunci´n o h(x) = |g(y)f (x − y)| dy,es tambi´n localmente integrable en Rn . En este caso, a la funci´n e o (f ∗ g)(x) = f (y)g(x − y) dy =(5.3) = g(y)f (x − y) dy = (g ∗ f )(x),se le llama convoluci´n de f por g. o Algunas condiciones suficientes para que la funci´n h anterior, sea local- omente integrable en Rn , son:
  • 70. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 691) Una de las funciones f o g tiene soporte compacto.2) Si n = 1, las funciones f y g son nulas cuando x < 0.3) Las funciones f y g son integrables en Rn . Adem´s, en este caso, la aconvoluci´n de f por g, es tambi´n integrable en Rn . o e Como la funci´n (5.3) es localmente integrable en Rn , define una funci´n o ogeneralizada regular, de la forma usual. Utilizando el Teorema de Fubini,puede probarse:(5.4) (f ∗ g, φ) = f (x)g(y)φ(x + y) dx dy, ∀ φ ∈ D. Usando sucesiones que en D converjan a 1, noci´n que vamos a definir oinmediatamente, se puede expresar la convoluci´n de una forma m´s conve- o aniente. En efecto, diremos que la sucesi´n {ηk }, de elementos de D, converge oa 1 en Rn , si para cualquier compacto K ⊂ Rn , existe un natural n0 , tal queηk (x) = 1, ∀ k ≥ n0 , ∀ x ∈ K, y para cualquier multi´ ındice α, existe una α η (x)| < c , ∀ x ∈ Rn , ∀ k ∈ N.constante cα , tal que |D k αEs f´cil probar que siempre existen sucesiones del tipo anterior. Adem´s, a asi {ηk }, es cualquier sucesi´n convergente a 1 en R2n , entonces la expresi´n o o(5.4) se puede escribir de la forma (f ∗ g, φ) = lim (f (x)g(y), ηk (x; y)φ(x + y)),(5.5) k→∞ ∀ φ ∈ D. Ahora, pueden aprovecharse las expresiones (5.4) y (5.5), para dar la si-guiente definici´n, as´ como para el teorema que enunciamos a continuaci´n: o ı oDefinici´n 5.7. Sean f, g ∈ D , teniendo g soporte compacto. Se define la oconvoluci´n de f por g, f ∗ g ∈ D , como o (f ∗ g, φ) = (f (x).g(y), φ(x + y)), ∀ φ ∈ D.Teorema 5.8. En las condiciones de la definici´n anterior, se tiene o (f ∗ g, φ) = (f (x).g(y), η(y)φ(x + y)), ∀ φ ∈ D,donde η es cualquier elemento de D, que sea igual a 1, en un entorno delsoporte de g. Nota. La convoluci´n puede definirse en situaciones m´s generales que o alas contempladas en la definici´n (5.7). Por ejemplo, sean f, g ∈ D , tales oque cumplen lo siguiente: para cualquier sucesi´n {ηk }, de elementos de oD(R2n ), convergente a 1 en R2n , se tiene la existencia del l´ ımite lim (f (x).g(y), ηk (x; y)φ(x + y)) k→∞
  • 71. 70 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10y este l´ ımite es independiente de la sucesi´n {ηk } considerada. En este caso, oal funcional (lineal) (f ∗ g, φ) = (f (x).g(y), φ(x + y)) = = lim (f (x).g(y), ηk (x; y)φ(x + y)), k→∞ ∀ φ ∈ D,se le llama convoluci´n de f por g, si dicho funcional es continuo en D. oEs f´cil probar que si la convoluci´n f ∗g existe, tambi´n existe la convoluci´n a o e og∗f y f ∗ g = g ∗ f.Adem´s, de la continuidad del producto directo, respecto de f y g, se sigue ala continuidad de la convoluci´n f ∗ g, respecto de f y g. o En particular, se tiene la siguiente f´rmula, de gran inter´s en la resoluci´n o e ode problemas no homog´neos: e f ∗ δ = δ ∗ f = f, ∀ f ∈ D . La relaci´n entre la convoluci´n y diferenciaci´n de funciones generaliza- o o odas, es la siguiente:Teorema 5.9. Si la convoluci´n f ∗g existe, entonces, para cualquier multi´ o ındiceα, existen las convoluciones Dα f ∗ g, f ∗ Dα g y Dα f ∗ g = Dα (f ∗ g) = f ∗ Dα g. Una de las utilidades del producto de convoluci´n es la “regularizaci´n de o ofunciones generalizadas”, que precisamos a continuaci´n. o Sea f ∈ D y φ ∈ D. Como φ tiene soporte compacto, la convoluci´n f ∗ φ oexiste y adem´s, a f ∗ φ = (f (y), φ(x − y)) ∈ C ∞ (Rn ).Tomemos ahora las funciones test siguientes: para cada ∈ R+ , def´ ınase  2  c exp − 2 , |x| < , ω (x) = − |x|2  0, |x| ≥ ,donde la constante c se elige para que ω (x) dx = 1.A las funciones(5.6) f (x) = f ∗ ω
  • 72. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 71se les llama “regularizantes” de la funci´n generalizada f. El nombre se ojustifica en base a que son funciones pertenecientes a C ∞ (Rn ) y al siguienteresultado:Teorema 5.10. Sea f ∈ D y para cada ∈ R+ , f , definida en (5.6).Entonces lim f (x) = f (x), en D . →0+ Usando el resultado anterior, puede probarse que D es denso en D , en elsentido de que cada funci´n generalizada f ∈ D , es l´ o ımite d´bil de funciones etest. En efecto, sea f ∈ D y f los regularizantes de f. Si tomamos, para ∈ R+ , η (x), una funci´n test que sea igual a 1 en la esfera de centro 0 y o 1radio , entonces se puede demostrar que lim (η f , φ) = (f, φ), ∀ φ ∈ D. →0+ Uno de los m´todos m´s efectivos que existen para demostrar la existencia e ade soluciones de problemas muy diversos que se plantean en ecuaciones en ´derivadas parciales, es el m´todo de las transformadas. Estas, al relacionar ede manera directa la derivaci´n y la multiplicaci´n (v´anse las propiedades o o e2) y 3) de los Teoremas 5.14 y 5.16, reducen muchos problemas de e.d.p.lineales con coeficientes constantes, a problemas algebraicos o bien a proble-mas de e.d.o. con par´metros. aSeguidamente describimos la noci´n de transformada de Fourier de fun- ociones generalizadas de crecimiento lento, especialmente apropiadaspara el uso de dicha transformada, por las propiedades que se ver´n poste- ariormente.Definici´n 5.11. Una funci´n φ ∈ C ∞ (Rn ), se dice r´pidamente decre- o o aciente en infinito, si lim |xα Dβ φ(x)| = 0, |x|→+∞para cualquier par de multi´ ındices α, β. El subconjunto de C ∞ (Rn ), formado por aquellas funciones r´pidamente adecrecientes en infinito, es un espacio vectorial complejo al que denotamospor S(Rn ) o simplemente por S. Si α, β, son multi´ ındices cualesquiera, podemos considerar, en S, las se-minormas pα,β φ = sup x∈Rn |xα Dβ φ(x)|.
  • 73. 72 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10Tenemos as´ una familia numerable de seminormas en S, que define una ıtopolog´ localmente convexa metrizable. ıaLa convergencia en S, derivada de la topolog´ anterior, puede expresarse ıade la forma siguiente: si {φk } es una sucesi´n de elementos de S y φ ∈ S, oentonces φk → φ, si y solamente si, para cualquier par de multi´ ındices α, β,se tiene xα Dβ φk (x) → xα Dβ φ(x),de manera uniforme en Rn . Es claro que D ⊂ S, de manera continua. Adem´s, puede mostrarse af´cilmente que la anterior inclusi´n es estricta (la funci´n exp (−|x|2 ) per- a o otenece a S pero no a D). No obstante, D es denso en S.Definici´n 5.12. Una funci´n generalizada de crecimiento lento es o oun funcional lineal y continuo de S en C. Al espacio vectorial complejo de funciones generalizadas de crecimientolento lo notamos por S . En S , consideraremos la topolog´ d´bil σ(S , S), de ıa ela que deriva la convergencia siguiente: si {fk } es una sucesi´n de elementos ode S y f ∈ S , entonces fk → f si y solamente si(fk , φ) → (f, φ), ∀ φ ∈ S.De lo anterior se sigue que S ⊂ D , de manera continua. Ejemplos de funciones generalizadas de crecimiento lento.a) Si f es una funci´n localmente integrable en Rn , tal que, para alg´n o um ≥ 0, se tiene que(5.7) |f (x)|(1 + |x|)−m dx < +∞entonces f define un elemento de S , de la manera usual, es decir,(5.8) (f, φ) = f (x)φ(x) dx, ∀ φ ∈ S.A tales elementos de S , se les llama funciones generalizadas regula-res de crecimiento lento. Sin embargo, conviene recalcar que no todafunci´n localmente integrable define, a trav´s de (5.8), un elemento de S o e(por ejemplo f (x) = ex , en R). Tambi´n, no toda funci´n localmente inte- e ograble perteneciente a S , satisface (5.7).Es posible (pero no elemental), probar que cualquier elemento de S es unaderivada (distribucional) de una funci´n continua satisfaciendo (5.7). Esta oes la raz´n por la que a los elementos de S se les llama funciones generali- ozadas de crecimiento lento. b) Si f ∈ S , entonces Dα f ∈ S , para cada multi´ ındice α.
  • 74. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 73 c) Cada funci´n f ∈ Lp (Rn ), 1 ≤ p ≤ +∞, define una funci´n generali- o ozada de crecimiento lento a trav´s de la f´rmula usual e o (f, φ) = f (x)φ(x) dx, ∀ φ ∈ S.Tambi´n, de la misma manera, cualquier polinomio con coeficientes cons- etantes, define un elemento de S . El producto directo y el producto de convoluci´n de los elementos de S , se odefine de manera an´loga al caso de D . De hecho, si f ∈ S (Rn ), g ∈ S (Rm ), aentonces, puesto que S ⊂ D , se tiene que f (x).g(y) ∈ D (Rn+m ), y puededemostrarse que f (x).g(y) ∈ S (Rn+m ).El producto directo de funciones generalizadas de crecimiento lento es con-mutativo, asociativo y continuo en S (Rn+m ), con respecto de f o g. Porejemplo, esto significa que si fk → f en S (Rn ), entonces fk (x).g(y) →f (x).g(y), en S (Rn+m ). Si f ∈ S y g ∈ D , con soporte compacto, entonces f ∗ g ∈ S y se puedeescribir de la forma (f ∗ g, φ) = (f (x).g(y), η(y)φ(x + y)), ∀ φ ∈ S,donde η es cualquier elemento de D, que sea igual a 1, en un entorno delsoporte de g. Dedicamos la parte que sigue de este ap´ndice al tema de la transformada ede Fourier. Comenzamos con dicho concepto en el espacio S.Definici´n 5.13. Si φ ∈ S, se define su transformada de Fourier, F (φ), ocomo la funci´n o F (φ)(ξ) = φ(x)ei<ξ,x> dx,donde < ξ, x > es el producto escalar usual en Rn . Las principales propiedades se ponen de manifiesto en el Teorema si-guiente:Teorema 5.14. Se cumplen:1) Para cada φ ∈ S, su transformada de Fourier, F (φ), es una funci´n oacotada y continua.2) Dα F (φ)(ξ) = F ((ix)α φ)(ξ), para cada multi´ ındice α y cada φ ∈ S.3) F (Dα φ)(ξ) = (−iξ)α F (φ)(ξ), para cada multi´ındice α y cada φ ∈ S.4) F (φ) ∈ S, ∀ φ ∈ S.5) F : S → S, es biyectiva y continua. Adem´s, para cada φ ∈ S, se cumple a φ = F −1 (F (φ)) = F (F −1 (φ)),
  • 75. 74 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10donde, para cada ψ ∈ S, 1 1 F −1 (ψ)(x) = ψ(ξ)e−i<ξ,x> dξ = F (ψ)(−x). (2π)n (2π)n Sea ahora f ∈ L1 (Rn ). Su transformada de Fourier, F (f ), es una funci´n oacotada y continua en Rn y por tanto define un elemento de S , a trav´s de ela f´rmula o (F (f ), φ) = F (f )(ξ)φ(ξ) dξ, ∀ φ ∈ S.Mediante el Teorema de Fubini, se prueba que (F (f ), φ) = (f, F (φ)),que puede usarse para dar la definici´n de transformada de Fourier de un oelemento de S .Definici´n 5.15. Si f ∈ S , se define F (f ) ∈ S , como o (F (f ), φ) = (f, F (φ)), ∀ φ ∈ S. Enunciamos el Teorema siguiente, sobre las propiedades m´s importantes ade F.Teorema 5.16. 1) F : S → S es biyectiva y continua. Adem´s, a 1 F −1 (f ) = F (f (−x)), ∀ f ∈ S . (2π)n2) Si f ∈ S , entonces Dα F (f ) = F ((ix)α f ),para cada multi´ ındice α.3) F (Dα f ) = (−iξ)α F (f ),para cada f ∈ S y cada multi´ ındice α.4) F (f (x − x0 )) = exp (i < ξ, x0 >)F (f ),para cada f ∈ S y x0 ∈ Rn .5) Si f ∈ S y ξ0 ∈ Rn , entonces F (f )(ξ + ξ0 ) = F (ei<ξ0 ,x> f )(ξ).6) Si f ∈ S (Rn ) y g ∈ S (Rm ), entonces F (f (x).g(y)) = F (f )(ξ).F (g)(η).7) Si f ∈ D tiene soporte compacto, entonces su transformada de Fourierse puede expresar de la forma F (f )(ξ) = (f (x), η(x)ei<ξ,x> ),
  • 76. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 75donde η es cualquier elemento de D, que sea igual a 1, en un entorno delsoporte de f.8) Si f ∈ S y g ∈ D tiene soporte compacto, entonces F (f ∗ g) = F (f )F (g). Seguidamente, consideramos los espacios de Sobolev. En lo que sigue,Ω denotar´ un subconjunto abierto de Rn y las funciones que aparezcan se aconsiderar´n con valores reales. a Comenzamos con la definici´n del espacio de Sobolev W m,p (Ω), que es el oconjunto de funciones de L p (Ω) tales que todas las derivadas, en el sentidodistribucional, hasta el orden m, pertenecen tambi´n a Lp (Ω). eDefinici´n 5.17. Sean m ∈ N ∪ {0} y p tal que 1 ≤ p ≤ ∞. El espacio de oSobolev W m,p (Ω) se define como W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), ∀ α / |α| ≤ m},donde Dα u se entiende en el sentido distribucional, es decir, u(Dα φ) = (−1)|α| (Dα u)φ, ∀ φ ∈ C0 (Ω), ∞ Ω Ω ∞(C0 (Ω) denota al subconjunto de funciones de C ∞ (Ω) con soporte com-pacto). Claramente W m,p (Ω) es un subespacio vectorial de Lp (Ω).En W m,p (Ω) consideraremos la norma(5.9) u m,p,Ω = Dα u Lp (Ω) , |α|≤mo, cuando 1 ≤ p < ∞, la norma equivalente (a la que notamos igual)  1/p p(5.10) u m,p,Ω = Dα u Lp (Ω)  . |α|≤mA veces se usar´ la seminorma a |u|m,p,Ω = Dα u Lp (Ω) . |α|=m Un caso especialmente significativo es cuando p = 2. Denotaremos porH m (Ω) al espacio W m,2 (Ω) y por . m,Ω la correspondiente norma . m,2,Ω .
  • 77. 76 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10´Esta deriva del producto escalar(5.11) (u, v)m,Ω = Dα uDα v, ∀ u, v ∈ H m (Ω). |α|≤m Ω Las propiedades algebraico-topol´gicas de los espacios definidos, las enun- ociamos en el siguiente Teorema.Teorema 5.18. El espacio W m,p (Ω) es un espacio de Banach real, con lanorma (5.9) (o (5.10)). Si 1 < p < ∞, es adem´s reflexivo y si 1 ≤ p < ∞, aseparable. Tambi´n, H m (Ω), con el producto escalar (5.11), es un espacio ede Hilbert separable. Introducimos a continuaci´n un subespacio importante de W m,p (Ω). o m,pDefinici´n 5.19. W0 (Ω) denotar´ la clausura de C0 (Ω) en W m,p (Ω). o a ∞ m,p En general, W0 (Ω) es un subespacio (cerrado) estricto de W m,p (Ω),salvo cuando Ω = Rn , en cuyo caso, ambos espacios coinciden. Adem´s, a m,psi 1 ≤ p < ∞, W0 (Ω) es un espacio de Banach separable, con la norma m,2(5.9) (o (5.10)), reflexivo si 1 < p < ∞. Tambi´n, W0 (Ω), con el pro- educto escalar (5.11) es un espacio de Hilbert separable, al que notaremos mpor H0 (Ω). Cuando n = 1 y Ω = (a, b), un intervalo acotado, se tienen caracteri-zaciones muy utiles de los espacios anteriormente definidos, que ayudan a ´entender la naturaleza de sus elementos. Por ejemplo, para los espacios deHilbert H m (a, b), se tendr´ ıa: H m (a, b) est´ formado por aquellas funciones tales que ellas y sus deriva- adas (en el sentido cl´sico), hasta el orden m−1, son absolutamente continuas, aperteneciendo adem´s la derivada de orden m al espacio L2 (a, b). Son este atipo de caracterizaciones las que facilitan el estudio de los problemas decontorno en dimensi´n uno. o Muchas veces, cuando se quiera probar un resultado determinado, seprueba ´ste para funciones suficientemente regulares y despu´s se trata de ex- e etender el mismo para funciones del espacio de Sobolev correspondiente. Paraello es muy importante conocer las posibles propiedades de aproximaci´n de o´stas, por funciones regulares. En este sentido, el siguiente Teorema es deegran utilidad:Teorema 5.20. Si 1 ≤ p < ∞, C ∞ (Ω) ∩ W m,p (Ω) es denso en W m,p (Ω).
  • 78. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 77 Se ha de destacar que la conclusi´n del Teorema anterior es falsa si p = ∞. o Resultados como el anterior permiten demostrar otros muy interesantestales como los siguientes:a) Sea 1 ≤ p < ∞ y u ∈ W m,p (Ω) tal que u es nula en Ω K, con K ⊂ Ω, m,pcompacto. Entonces u ∈ W0 (Ω).b) Sea G : R → R una funci´n Lipschitziana tal que G(0) = 0. Entonces, o 1,p 1,psi Ω es acotado, 1 < p < ∞ y u ∈ W0 (Ω), se tiene que G o u ∈ W0 (Ω). 1Como consecuencia, si Ω es acotado y u ∈ H0 (Ω), se tiene que las funciones|u|, u + y u− pertenecen a H 1 (Ω), donde 0 u+ (x) = max {u(x), 0}, u− (x) = max {−u(x), 0}.c) Sea 1 ≤ p < ∞ y u ∈ W 1,p (Ω) ∩ C(Ω), tal que u = 0 en ∂Ω. Entonces 1,pu ∈ W0 (Ω). Otro resultado b´sico en el estudio de problemas de contorno de tipo ael´ ıptico es la siguiente desigualdad, conocida con el nombre de desigualdadde Poincar´. Hay otras muchas desigualdades importantes, como las de ePoincar´-Wirtinger, de Hardy, o las de Gagliardo-Nirenberg. Son muy utiles e ´en el estudio de problemas no lineales.Teorema 5.21. Sea Ω acotado y 1 ≤ p < ∞. Entonces existe una constantepositiva C(Ω, p), tal que 1,p(5.12) |u|0,p,Ω ≤ C(Ω, p) |u|1,p,Ω , ∀ u ∈ W0 (Ω). Como consecuencia, la aplicaci´n u → |u|1,p,Ω , define una norma sobre o 1,p 1W0 (Ω) equivalente a u 1,p,Ω . Por tanto, sobre H0 (Ω), la forma bilineal n ∂u ∂v (u, v) = Ω i=1 ∂xi ∂xidefine un producto escalar que da lugar a la norma |.|1,Ω , equivalente a . 1,Ω . m,p ∂u m−1,p Si u ∈ W0 (Ω), entonces ∈ W0 (Ω). Usando este hecho, puede ∂xiprobarse una desigualdad de Poincar´, m´s general que (5.12), obteni´ndose e a e m,pque, en W0 (Ω), |.|m,p,Ω es una norma equivalente a . m,p,Ω . En la definici´n que se da de espacio de Sobolev no se pone de mani- ofiesto, de manera expl´ıcita, si sus elementos han de satisfacer condicionesde regularidad. Sin embargo, ya hemos comentado que en dimensi´n uno, o
  • 79. 78 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10existen caracterizaciones muy utiles de ellos, donde se ve que las funciones ´pertenecientes a dichos espacios han de satisfacer condiciones de regulari-dad apropiadas. No existen resultados tan claros en dimensiones superiores,pero s´ que se puede probar la existencia de inclusiones continuas de los ıespacios de Sobolev en espacios del tipo Lq (Ω), e incluso a veces en espaciosde funciones regulares, lo que es muy importante a la hora de establecerresultados de regularidad de las soluciones d´biles. Tales inclusiones ser´n e aa veces compactas, facilitando enormemente el uso de t´cnicas del An´lisis e aFuncional. Dados espacios normados X e Y, diremos que X est´ inmerso en Y, si aexiste una aplicaci´n I : X → Y, lineal, inyectiva y continua. En este caso, oescribiremos X → Y.Si, adem´s, I es compacta, es decir, I aplica subconjuntos acotados de X aen subconjuntos relativamente compactos de Y, se dice que X est´ inmerso ade manera compacta en Y y se notar´ a X → → Y.En los teoremas que siguen aparecen los siguientes espacios: j- CB (Ω). Es el espacios de funciones de clase C j (Ω), tales que todas susderivadas parciales, hasta el orden j, est´n acotadas en Ω. Es un espacio de aBanach con la norma u j CB (Ω) = max |α| ≤ j sup x ∈ Ω |Dα u(x)|. - C j (Ω). Es el espacio de funciones de clase C j (Ω), tales que todas susderivadas parciales, hasta el orden j, est´n acotadas y son uniformemente acontinuas en Ω. Es un espacio de Banach con la norma u C j (Ω) = max |α|≤j sup x ∈ Ω |Dα φ(x)| - Si 0 < λ ≤ 1, C j,λ (Ω) es el espacio de funciones de clase C j (Ω), talesque todas sus derivadas parciales, hasta el orden j, son H¨lder-continuas, ocon exponente λ. Es decir, para cada α, |α| ≤ j, la cantidad |Dα u(x) − Dα u(y)| sup x,y ∈ Ω, x=y |x − y|λes finita. Es un espacio de Banach con la norma u C j,λ (Ω) = u C j (Ω) + |Dα u(x) − Dα u(y)| + max |α|≤j sup x,y ∈Ω, x=y |x − y|λ Los teoremas de inmersi´n necesitan adem´s una condici´n de tipo geom´trico o a o esobre el dominio Ω. Esta condici´n puede ser muy variada; por ejemplo, se o
  • 80. ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10. 79puede suponer que la frontera de Ω es Lipschitziana, o que se verifica lapropiedad del cono. Aqu´ asumiremos en adelante, salvo que expl´ ı ıcitamentese diga otra cosa, que Ω es acotado y con frontera de clase C 1 ; equivalente-mente, diremos que Ω es un dominio regular.Teorema 5.22. Sea Ω un abierto acotado y regular de Rn , k ∈ N ∪ {0} y1 ≤ p < ∞. Entonces se tienen las siguientes inmersiones: n np1) W m+k,p (Ω) → W m,q (Ω), si k < , q ∈ [p, ]. p n − kp n2) Si k = , entonces W m+k,p (Ω) → W m,q (Ω), para cualquier q ∈ [p, +∞). p jAdem´s, si p = 1, entonces W m+n,1 → CB (Ω). a j n3) W m+k,p (Ω) → CB (Ω), si k > . p n n n4) Si < k < 1 + , entonces W m+k,p (Ω) → C m,λ (Ω), para λ ∈ (0, k − ]. p p p5) W m+k,p (Ω) → C m,λ (Ω), si k = 1 + n y λ ∈ (0, 1). pTeorema 5.23. Sea Ω un abierto acotado y regular de Rn , k ∈ N y 1 ≤ p <∞. Entonces se tienen las siguientes inmersiones compactas: n np1) W m+k,p (Ω) → → W m,q (Ω), si k < y q ∈ [1, ). p n − kp n2) W m+k,p (Ω) → → W m,q (Ω), si k = y q ∈ [1, +∞). p3) W m+k,p (Ω) → → C m (Ω), si k > n . p nSi adem´s, a > k − 1, entonces W m+k,p → → C m,λ (Ω), para cualquier p nλ ∈ (0, k − ). p m,p Respecto de las inmersiones satisfechas por los espacios W0 (Ω), se tieneque son v´lidas todas las de los dos teoremas anteriores, reemplazando los a m+k,pcorrespondientes espacios W m+k,p (Ω) por W0 (Ω), sin necesidad de su-poner regularidad del abierto y acotado Ω. Adem´s, la acotaci´n de Ω no es a onecesaria para las inmersiones continuas (Teorema (5.22)); en cambio, es im-prescindible para las inmersiones compactas, como se puede comprobar conejemplos f´ciles en dimensi´n uno. Para el caso de dominios no acotados, son a onecesarias condiciones adicionales a las de tipo geom´trico aqu´ impuestas, e ıpara tener inmersiones compactas; por ejemplo, la llamada “casiacotaci´n” odel dominio Ω. References [1] R. Adams, Sobolev spaces, Academic press, 1975.
  • 81. 80 ´ ˜ CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10 [2] A. Ambrosetti y G. Prodi, A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, 1993. [3] P. Blanchard y E. Br¨ning, Variational methods in Mathematical Physics, Springer- u Verlag, Berl´ 1.992. ın, [4] H. Brezis, An´lisis Funcional, Alianza Editorial, 1984. a [5] A. Ca˜ ada, Series de Fourier y aplicaciones, Pir´mide, Madrid, 2002. n a [6] G. Choquet, Topology,Academic Press, New York and London, 1966. [7] B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, 2004. [8] P. Dr´bek y J. Milota, Lectures on Nonlinear Analysis, Pavel Dr´bek y Jaroslav a a Milota, editores, Plzen, Czech Republic, 2004. [9] S. Hildebrandt y A. Tromba, Matem´ticas y formas ´ptimas,Prensa Cient´ a o ıfica, Bar- celona, 1990.[10] M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, New York, 1972. Traducci´n al castellano en Alianza Editorial, Madrid, 1992. o[11] E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and Its Major Influences on the Mathe- matics of the first Half of Our Century. Part I, Amer. Math. Monthly, 101, (1994), 674-678.[12] S. Lang, Real Analysis, ¿?[13] J. Mawhin y M. Willem, Critical point theory and Hamiltonian systems, Springer- Verlag, 1989.[14] A.L. Peressini, F.E. Sullivan y J.J. Uhl, The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer-Verlag, 1988.[15] P. Rabinowitz, Minimax methods in critial point theory with applications to diffe- rential equations, AMS, American Mathematical Society, 1986.[16] M. Struwe, Variational methods, Springer-Verlag, 1990.[17] J.L. Troutman, Variational calculus and optimal control, Springer-Verlag, New York, 1996.[18] B. Van Brunt, The Calculus of Variations, Springer, New york, 2006.[19] V.S. Vladimirov, Equations of Mathematical physics, Marcel Dekker, Inc., 1971. Las siguientes direcciones de internet pueden ser utiles: ´ (1) http://www.ugr.es/∼acanada/ Aqu´ se puede encontrar informaci´n sobre el programa del curso, ı o m´todo de evaluaci´n, resumen de los contenidos fundamentales, etc. e o (2) http://mathworld.wolfram.com/ Muy util para consultar temas de Matem´ticas. ´ a (3) http://scienceworld.wolfram.com/physics/ Como la anterior pero para temas de f´ ısica. (4) http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/index.html Para consultar temas sobre historia de las Matem´ticas. a ´ ´ Departamento de Analisis Matematico, Universidad de Granada, 18071 Gra-nada, Spain. E-mail address: acanada@ugr.es