Advanced	  Network	  Analysis	  Methods:	         Community	  Detec:on	                                                   ...
Defini:on	  –	  Simple	  Version	  —  Broadly:	   a	  group	  of	  nodes	  that	  are	  rela&vely	  densely	     connected...
Example	  –	  Social	  Networks	                          Imagine	  this	  Graph	  ….	                                    ...
Example	  –	  Social	  Networks	                       VerJces:	  People	                       Edges:	  Friendship	      ...
Example	  –	  Social	  Networks	                                   VerJces:	  People	                                   Ed...
Example	  –	  Vo:ng	  Coali:ons	                        VerJces:	  People	                        Edges:	  Co-­‐voted	  	 ...
Example	  –	  Vo:ng	  Coali:ons	   Republicans	                                              VerJces:	  People	           ...
Context!	  Note	  that	  we	  have	  assigned	  community	  membership	  differently	  	  	  	  despite	  observing	  the	 ...
Directedness	  Undirected	                          Directed	                                      Michael	  J.	  Bommarit...
Directedness	  Many	  methods	  do	  not	  incorporate	  direcJon!	  	  	  Many	  methods	  that	  do	  incorporate	  dire...
Weights	         Unweighted	                                     Weighted	  • 	  Binary	  rela:onships	                   ...
Weights	                                       Note	  edge	                                       thickness.	         Unwe...
Weights	  Many	  methods	  do	  not	  incorporate	  edge	  weights!	  	  Methods	  that	  do	  incorporate	  edge	  weight...
Resolu:on	  Resolu:on	  is	  a	  concept	  inherited	  from	  op:cs.	  	  According	  to	  Wiki,	  	  	  Op,cal	  resolu,o...
Resolu:on	                                                 Same	  graphs!	  High	  resoluJon	  (microscopic)	             ...
Resolu:on	  Different	  hypotheses	  or	  quesJons	  correspond	  to	  different	  	  	  resoluJons.	  	  Different	  methods...
Overlapping	  Communi:es	                                                Palla,	  Derenyi,	  Farkas	  ,Vicsek.	          U...
Computa:onal	  Complexity	  Refresher	                                  ComputaJonal	  complexity	  is	  a	  serious	  iss...
Computa:onal	  Complexity	  Refresher	  Computa:onal	  complexity	  in	  the	  context	  of	  modern	  compu:ng	  is	  	  ...
Computa:onal	  Complexity	  Refresher	  In	  computa:onal	  complexity,	   Big-­‐O	  nota:on 	  conveys	  informa:on	  	  ...
Taxonomy	  of	  Methods	  This	  taxonomy	  of	  methods	  follows	  the	  history	  of	  their	  development.	  	  • Divi...
Edge	  Betweenness	  PublicaJon(s):	  	  Girvan,	  Newman.	  	  Community	  structure	  in	  social	  and	  biological	  n...
Edge	  Betweenness	  From	  the	  paper:	                                                        Michael	  J.	  Bommarito	...
Quick	  Aside	  –	  Zach s	  Karate	  Club	  Zacharys	  Karate	  Club:	  Social	  network	  of	  friendships	  between	  3...
Edge	  Betweenness	                              Only	  misclassifica:on	                            Michael	  J.	  Bommari...
Edge	  Betweenness	             Betweenness	  tends	  to	  get	  the	  big	  picture	             right.	  	  	           ...
Modularity	  	  • 	  e	  is	  the	  number	  of	  edges	  in	  module	  i	  	  • 	  d	  is	  total	  degree	  of	  ver:ces...
Modularity	       Remember	  our	  previous	  discussion	  on	  computa:onal	  complexity?	                               ...
Modularity	  Benjamin	  H.	  Good,	  Yves-­‐Alexandre	  de	  Montjoye	  &	  Aaron	  Clauset,	  	  The	  Performance	  of	 ...
Fast	  Greedy	  PublicaJon(s):	  	  • 	  Newman.	  	  Fast	  algorithm	  for	  detec&ng	  community	  structure	  in	  net...
Fast	  Greedy	           Fast-­‐Greedy	  also	  tends	  to	  aggressively	  create	           larger	  communi:es	  to	  t...
Leading	  Eigenvector	  PublicaJon(s):	  	  • 	  Newman.	  Finding	  community	  structure	  in	  networks	  using	  the	 ...
Leading	  Eigenvector	                 Note	   that	   eigenvector s	   results	                 seem	   to	   split	   th...
Walktrap	  PublicaJon(s):	  Pons,	  Latapy.	  Compu&ng	  communi&es	  in	  large	  networks	  using	  random	  walks.	  JG...
Walktrap	                 Michael	  J.	  Bommarito	  II,	  Daniel	  Mar:n	  Katz	  
Walktrap	        Walktrap	  assigns	  ver:ces	  to	  different	        communi:es	  than	  previous	  algorithms.	        	...
Method	  Comparison	     Edge-­‐Betweenness	                                                               Fast-­‐Greedy	 ...
Recommended	  Sofware	  -­‐	  igraph	  • 	  Core	  Library:	  C	  • 	  Interfaces:	  Python,	  R,	  Ruby	  	  • 	  Feature...
Example	  Python	  Source	  Code	                                    Michael	  J.	  Bommarito	  II,	  Daniel	  Mar:n	  Kat...
Fron:ers	  of	  Community	  Detec:on:	             Temporal	  Network	  Dynamics	  Gergely Palla, Albert-Laszlo Barabasi &...
      Fron:ers	  of	  Community	  Detec:on:	  Community	  Structure	  Over	  Scales,	  Time	  Period,	  etc.	  	          ...
Community	  Detec:on	  Review	  Ar:cles	  Some	  Useful	  Review	  ArJcles:	  	  	  Mason A. Porter, Jukka-Pekka Onnela an...
A	  Transi:on	  to	  Our	  Sink	  Method	  Paper	  	  	  —  Now	  we	  are	  going	  to	  transi:on	  to	  a	  specific	  ...
Our	  Sink	  Paper	  –Physica	  A	  	  	                                             Michael	  J.	  Bommarito	  II,	  Dani...
Dynamic	  Acyclic	  Digraphs	  —  We	  are	  interested	  in	  conduc:ng	  community	  detec:on	  in	  the	         speci...
Dynamic	  Acyclic	  Digraphs	  Case	  to	  Case	  Judicial	  Cita:on	  Networks	  are	  Dynamic	  Acyclic	  Digraphs	     ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Advanced Methods in Network Science: Community Detection Algorithms

3,222

Published on

Published in: Technology, Spiritual
1 Comment
6 Likes
Statistics
Notes
  • blessing_11111@yahoo.com

    My name is Blessing
    i am a young lady with a kind and open heart,
    I enjoy my life,but life can't be complete if you don't have a person to share it
    with. blessing_11111@yahoo.com

    Hoping To Hear From You
    Yours Blessing
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total Views
3,222
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
129
Comments
1
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Advanced Methods in Network Science: Community Detection Algorithms

  1. 1. Advanced  Network  Analysis  Methods:   Community  Detec:on            MICHAEL  J  BOMMARITO  II                                                                DANIEL  MARTIN  KATZ    
  2. 2. Defini:on  –  Simple  Version  —  Broadly:   a  group  of  nodes  that  are  rela&vely  densely   connected  to  each  other  but  sparsely  connected  to  other   dense  groups  in  the  network   ¡  Porter,  Onnela,  Mucha.    Communi&es  in  Networks.  No:ces  to  the  AMS,  2009.  —  Examples:   ¡  Cliques  in  a  high  school  social  network   ¡  Vo:ng  coali:ons  in  Congress   ¡  Consumer  types  in  a  network  of  co-­‐purchases   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  3. 3. Example  –  Social  Networks   Imagine  this  Graph  ….   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  4. 4. Example  –  Social  Networks   VerJces:  People   Edges:  Friendship   What   factors   might   affect   the   formaJon   of   friendships  in  a  high  school  social  network?     Ideas:    Age,    Gender,  Class,  Race,  Interests     How   might   we   assign   communiJes   to   this   network?           Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz      
  5. 5. Example  –  Social  Networks   VerJces:  People   Edges:  Friendship  Girls   What   factors   might   affect   the   formaJon   of   friendships  in  a  high  school  social  network?     Ideas:    Age,    Gender,  Class,  Race,  Interests     Boys   How   might   we   assign   communiJes   to   this   network?           Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz      
  6. 6. Example  –  Vo:ng  Coali:ons   VerJces:  People   Edges:  Co-­‐voted                at  least  once   Now  let s  look  at  the  same  network  as  if  it   represented  co-­‐voJng  in  the  Senate.     Ideas:  Issue  posi:on,  geography,  ethnicity,  gender     How  might  we  assign  communiJes  to  this   network?             Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  7. 7. Example  –  Vo:ng  Coali:ons   Republicans   VerJces:  People   Democrats   Edges:  Co-­‐voted                at  least  once   Now  let s  look  at  the  same  network  as  if  it   represented  co-­‐voJng  in  the  Senate.     Ideas:  Issue  posi:on,  geography,  ethnicity,  gender     How  might  we  assign  communiJes  to  this   network?    Independents           Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  8. 8. Context!  Note  that  we  have  assigned  community  membership  differently        despite  observing  the  same  graph!    Community  detecJon  is  not  a  concept  that  can  be  divorced  from  context.       Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  9. 9. Directedness  Undirected   Directed   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  10. 10. Directedness  Many  methods  do  not  incorporate  direcJon!      Many  methods  that  do  incorporate  direcJon  do  not  allow  for  bidirected  edges.      Different  soVware  packages  may  implement  the  same   method  with  or  without  support  for  directed  edges.   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  11. 11. Weights   Unweighted   Weighted  •   Binary  rela:onships   •   Rela:onship  strength  •   Data  limita:ons   •   Frequency  of  rela:onship   •   Flow   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  12. 12. Weights   Note  edge   thickness.   Unweighted   Weighted  •   Binary  rela:onships   •   Rela:onship  strength  •   Data  limita:ons   •   Frequency  of  rela:onship   •   Flow   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  13. 13. Weights  Many  methods  do  not  incorporate  edge  weights!    Methods  that  do  incorporate  edge  weights  may  differ  in  acceptable  values!  •   Integers  or  real  weights  •   Strictly  posi:ve  weights    Different  soVware  packages  may  implement  the  same   method  with  or  without  support  for  weighted  edges.   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  14. 14. Resolu:on  Resolu:on  is  a  concept  inherited  from  op:cs.    According  to  Wiki,      Op,cal  resolu,on  describes  the  ability  of  an  imaging  system        to  resolve  detail  in  the  object  that  is  being  imaged.       High  resoluJon)   Low  resoluJon   •   Can  make  out  many  details!  (15.1MP)   •   Can t  read  a  word!   •   But…   •   But…   •   Details  may  be  noise   •   Can  focus  on  broad  regions   •   Some:mes  they  don t  ma]er!     •   Noise  is  out  of  focus   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  15. 15. Resolu:on   Same  graphs!  High  resoluJon  (microscopic)   Low  resoluJon  (macroscopic)   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  16. 16. Resolu:on  Different  hypotheses  or  quesJons  correspond  to  different      resoluJons.    Different  methods  are  more  or  less  effecJve  at  detecJng        community  structure  at  different  resoluJons.    Modularity-­‐based  methods  cannot  detect  structure  below      a  known  resoluJon  limit.   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  17. 17. Overlapping  Communi:es   Palla,  Derenyi,  Farkas  ,Vicsek.   Uncovering  the  overlapping  community  structure  of  complex  networks  in  nature  and  society   Nature    435,  2005.   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  18. 18. Computa:onal  Complexity  Refresher   ComputaJonal  complexity  is  a  serious  issue!  Data   is   becoming   more   abundant   and   more  detailed.    Many   quan:ta:ve   research   projects   hinge       on  the  feasibility  of  calcula:ons.    Understanding   computa:onal   complexity   can  allow  you  to  communicate  with  department  IT  personnel  or  computer  scien:sts  to  solve  your  problem.    Make   sure   your   project   is   feasible   before  commi[ng  the  Jme!       Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  19. 19. Computa:onal  Complexity  Refresher  Computa:onal  complexity  in  the  context  of  modern  compu:ng  is        primarily  focused  on  two  resources:    1.   Time:  How  long  does  it  take  to  perform  a  sequence  of  opera:ons?   •  CPU/GPU   •  Exact  vs.  approximate  solu:ons    2.   Storage:  How  much  space  does  it  take  to  store  our  problem?   •  Memory  and   persistent  storage  (to  a  lesser  degree)   •  Data  representa:ons  We  tend  to  communicate  :me  and  storage  complexity  through   Big-­‐O  nota:on.   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  20. 20. Computa:onal  Complexity  Refresher  In  computa:onal  complexity,   Big-­‐O  nota:on  conveys  informa:on        about  how  :me  and  storage  costs  scale  with  inputs.    •   O(1):  constant  -­‐  independent  of  input  •   O(n):  scales  linearly  with  the  size  of  input  •   O(n^2):  scales  quadra:cally  with  the  size  of  input      •   O(n^3):  scales  cubically  with  the  size  of  input  These  terms  ofen  occur  with  log  n  terms      and  are  then  given  the  prefix   quasi-­‐.  For  graph  algorithms,  the  input  n  is  typically    • |V|,  the  number  of  ver:ces  • |E|,  the  number  of  edges   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  21. 21. Taxonomy  of  Methods  This  taxonomy  of  methods  follows  the  history  of  their  development.    • Divisive  Methods   •  Edge-­‐betweenness  (2002)    • Modularity  Methods   •  Fast-­‐greedy  (2004)   •  Leading  Eigenvector  (2006)  • Dynamic  Methods   •  Clique  percola:on  (2005)   •  Walktrap  (2005)   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  22. 22. Edge  Betweenness  PublicaJon(s):    Girvan,  Newman.    Community  structure  in  social  and  biological  networks.    PNAS,  2002.    Basic  Idea:    Divide  the  network  into  subsequently  smaller  pieces  by  finding  edges  that   bridge  communi:es.    Constraints:      •   Can  be  adapted  to  directed  networks  (igraph).  •   Can  be  adapted  to  weights  (no  public  sofware).    Time  Complexity:  O(|V|^3)  in  general,  O(|V|^2  log  |V|)  for  special  cases   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  23. 23. Edge  Betweenness  From  the  paper:   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  24. 24. Quick  Aside  –  Zach s  Karate  Club  Zacharys  Karate  Club:  Social  network  of  friendships  between  34  members  of  a  karate   club  at  a  US  university  in  the  1970s  Event:  During  the  observa:on  period,  the  club  broke  into  2  smaller  clubs.    This  split   occurred  along  a  pre-­‐exis:ng  social  division  between  the  two   communi:es  in  the   network.    Drawn  from  the  Paper:  Zachary.  An  informa&on  flow  model  for  conflict  and  fission  in   small  groups.  Journal  of  Anthropological  Research  33,  1977.  Download  the  Data:  h]p://www-­‐personal.umich.edu/~mejn/netdata/           Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  25. 25. Edge  Betweenness   Only  misclassifica:on   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  26. 26. Edge  Betweenness   Betweenness  tends  to  get  the  big  picture   right.         However,  resolu:on  can  be  a  problem!         Do  not  draw  conclusions  about  small   communi:es  from  this  algorithm  alone.   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  27. 27. Modularity    •   e  is  the  number  of  edges  in  module  i    •   d  is  total  degree  of  ver:ces  in  module  i    •   m  is  the  total  number  of  edges  in  network    Q  is  difference  between  observed  connecJvity  within  modules  and  EV  for  the  configuraJon  model  (degree-­‐distribuJon  fixed)     Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  28. 28. Modularity   Remember  our  previous  discussion  on  computa:onal  complexity?     Modularity  maximiza:on  is  an  NP-­‐hard  problem.    This  means  that  there  is  no  polynomial  representa:on  of  :me  complexity!     All  methods  therefore  try  to  solve  for  approximate  solu&ons.       Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  29. 29. Modularity  Benjamin  H.  Good,  Yves-­‐Alexandre  de  Montjoye  &  Aaron  Clauset,    The  Performance  of     Modularity  Maximiza:on  in  Prac:cal  Contexts,  Phys.  Rev.  E  81,  046106  (2010)     Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  30. 30. Fast  Greedy  PublicaJon(s):    •   Newman.    Fast  algorithm  for  detec&ng  community  structure  in  networks.  Phys.  Rev.  E,  2004.  •   Clauset,  Newman,  Moore.    Finding  community  structure  in  very  large  networks.  Phys.  Rev.    E,  2004.  •   Wakita,  Tsurumi.  Finding  Community  Structure  in  Mega-­‐scale  Social  Networks.  2007.      Basic  Idea:        Try  to  randomly  assemble  a  larger  and  larger  communi:es  from  the  ground  up.    Start  by  placing  each  vertex  in  its  own  community  and  then  combine  communi:es  that  produce  the  best  modularity  at  that  step.    Constraints:  •   Can  be  adapted  to  directed  edges  (no  public).  •   Can  be  adapted  to  weights  (igraph).    Time  Complexity:  O(|E||V|  log  |V|)  worst  case   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  31. 31. Fast  Greedy   Fast-­‐Greedy  also  tends  to  aggressively  create   larger  communi:es  to  the  detriment  of   smaller  communi:es.   Why  is  this  node  red  instead  of  blue?   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  32. 32. Leading  Eigenvector  PublicaJon(s):    •   Newman.  Finding  community  structure  in  networks  using  the  eigenvectors  of  matrices.  Phys.  Rev.  E,  2006.  •   Leicht,  Newman.  Community  structure  in  directed  networks.  Phys.  Rev.  Le].,  2008.    Basic  Idea:  Use  the  sign  on  the  components  of  the  leading  eigenvector  of  the  Laplacian  to  sequen:ally  divide  the  network.    Constraints:  •   Can  be  adapted  to  directed  edges  (no  public).  •   Can  be  adapted  to  weights  (igraph).    Time  Complexity:  O(|V|^2)   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  33. 33. Leading  Eigenvector   Note   that   eigenvector s   results   seem   to   split   the   difference   between   edge   betweenness   and   fast-­‐greedy  in  this  case.   Why  are  these  nodes  not  a   part  of  the  larger  modules?   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  34. 34. Walktrap  PublicaJon(s):  Pons,  Latapy.  Compu&ng  communi&es  in  large  networks  using  random  walks.  JGAA,  2006.    Basic  Idea:    Simulate  many  short  random  walks  on  the  network  and  compute  pairwise  similarity  measures  based  on  these  walks.    Use  these  similarity  values  to  aggregate  ver:ces  into  communi:es.    Constraints:  •   Can  be  adapted  to  directed  edges  (igraph).  •   Can  be  adapted  to  weights  (igraph).  •   Can  alter  resolu:on  by  walk  length  (igraph).    Time  Complexity:  depends  on  walk  length,  O(|V|^2  log  |V|)  typically   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  35. 35. Walktrap   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  36. 36. Walktrap   Walktrap  assigns  ver:ces  to  different   communi:es  than  previous  algorithms.     Note  that  the  simulated  walk  length  can  be   changed  to  alter  resolu:on.     Furthermore,  simulaJon  is  stochasJc  and   thus  results  may  change  even  aVer  fixing   the  walk  length  and  input  graph!       Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  37. 37. Method  Comparison   Edge-­‐Betweenness   Fast-­‐Greedy   Walktrap  Leading  Eigenvector   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  38. 38. Recommended  Sofware  -­‐  igraph  •   Core  Library:  C  •   Interfaces:  Python,  R,  Ruby    •   Features:  Graph  opera:ons  &  algorithms,  random  graph  genera:on,  graph  sta:s:cs,  community  detec:on,  visualiza:on  layout,  ploqng  •   URL:  h]p://igraph.sourceforge.net/  •   Documenta:on:  h]p://igraph.sourceforge.net/documenta:on.html     Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  39. 39. Example  Python  Source  Code   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  40. 40. Fron:ers  of  Community  Detec:on:   Temporal  Network  Dynamics  Gergely Palla, Albert-Laszlo Barabasi & Tamas Vicsek, Quantifying Social Group Evolution, Nature 446:7136, 664-667 (2007) Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  41. 41.   Fron:ers  of  Community  Detec:on:  Community  Structure  Over  Scales,  Time  Period,  etc.     Science 14 May 2010, Vol. 328. no. 5980, pp. 876 - 878 Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  42. 42. Community  Detec:on  Review  Ar:cles  Some  Useful  Review  ArJcles:      Mason A. Porter, Jukka-Pekka Onnela and Peter J. Mucha. 2009. Communities in Networks. Notices of the American Mathematical Society56: 1082-1166.    Santo Forunato. 2010. Community detection in graphs. Physics Reports.486: 75-174.   Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  43. 43. A  Transi:on  to  Our  Sink  Method  Paper      —  Now  we  are  going  to  transi:on  to  a  specific  project  -­‐-­‐-­‐         where  we  apply  some  of  the  ideas  contained  herein       —  Provide  a  very  brief  introduc:on  to  the            Exponen:al  Random  Graph  Models  (p*)           Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  44. 44. Our  Sink  Paper  –Physica  A       Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  45. 45. Dynamic  Acyclic  Digraphs  —  We  are  interested  in  conduc:ng  community  detec:on  in  the   special  case  of  dynamic  acyclic  digraphs  …      —  Before  we  transi:on  to  the  full  presenta:on  –  some   background      —  Dynamic  =  Changing  both  Locally  and  Globally    —  Digraph  =  Directed  Graph  —  Acyclic  =  No  cycles  because  current  documents  generally   cannot  cite  documents  in  the  future     Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  46. 46. Dynamic  Acyclic  Digraphs  Case  to  Case  Judicial  Cita:on  Networks  are  Dynamic  Acyclic  Digraphs     So  are  Academic  Cita:on  Networks,  Patents,  etc.       Michael  J.  Bommarito  II,  Daniel  Mar:n  Katz  
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×