Conceptos en que se basan Los Métodos Numéricos, Importancia de utilizar Métodos Numéricos Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas lentas. Un especialista en análisis numéricos se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su valoración (es decir, decidir cuál método es superior para una tarea dada). Aunque hay muchos métodos numéricos, comparten una característica común: No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería haya aumentado en forma considerable en los últimos años. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas lentas.

3. "Consiste en procedimientos que resuelven
problemas y realizan cálculos puramente
aritméticos
tomando en
cuenta las
características
especiales de
los
instrumentos
de cálculo
que nos ayudan en la ejecución de las
instrucciones del algoritmo con el fin de
calcular o aproximar alguna cantidad o
función, para el estudio de errores en los
cálculos"
Los métodos Numéricos han
jugado un papel fundamental en
el desarrollo tecnológico actual.
Su aplicación va desde la
economía a la industria
aeroespacial. En esta materia
vamos a introducirlos al estudio
y aplicación de las técnicas de
esta interesante disciplina. Hoy
en día, las computadoras y los
métodos numéricos
proporcionan una alternativa
para cálculos complicados.

4. "Es un sistema
numérico que consta
de dos dígitos: Ceros
(0) y unos (1) de base 2"
El término "representación
máquina" o "representación
binaria" significa que es de base
2, la más pequeña posible; este
tipo de representación requiere
de menos dígitos, pero en lugar
de un número decimal exige de
más lugares. Esto se relaciona
con el hecho de que la unidad
lógica primaria de las
computadoras digitales usan
componentes de
apagado/prendido, o para una
conexión eléctrica
abierta/cerrada. Esto se
comprenderá mejor en
ejemplos prácticos.
Número Máquina Decimal
"Son aquellos números cuya
representación viene dada
de la siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k"

5. Hoy en día, las computadoras y los métodos
numéricos proporcionan una alternativa
para cálculos complicados. Al usar la
computadora para obtener soluciones
directamente, se pueden aproximar los
cálculos sin tener que recurrir a suposiciones
de simplificación o a técnicas lentas.
Una característica
importante del
estudio de los
métodos es su
valoración (es decir,
decidir cuál método
es superior para una
tarea dada).
No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales
eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la
solución de problemas de ingeniería haya aumentado en forma
considerable en los últimos años. Al usar la computadora para
obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los
cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o
a técnicas lentas.

6. "El Error Absoluto es la diferencia entre el
valor exacto (un número determinado, por
ejemplo) y su valor calculado o
redondeado, o sea el valor exacto menos el
valor calculado"
Error Absoluto Error Relativo
Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.
Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento
de error. Al igual que el error absoluto puede ser
positivo o negativo porque puede ser por exceso o por
defecto. no tiene unidades.
Cota de Errores Absolutos y Relativos
Normalmente no se conoce p y, por tanto,
tampoco se conocerá el error absoluto (ni el
relativo) de tomar p* como una aproximación
de p. Se pretende encontrar cotas superiores
de esos errores. Cuanta más pequeña sean
esas cotas superiores, mejor. Sea f una función
derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de
la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P.
Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde
Pn, P Î [a, b].
Entonces
Esto nos da una cota del
error al tomar una
aproximación de la
solución exacta,
conociendo una cota
inferior del valor absoluto
de la derivada

7. Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo.
Se debe a la naturaleza discreta del sistema
numérico de máquina de punto flotante, el
cual a su vez se debe a su longitud de
palabra finita. Cada número (real) se
reemplaza por el número de máquina más
cercano. Esto significa que todos los
números en un intervalo local están
representados por un solo número en el
sistema numérico de punto flotante.
Error De Redondeo
Este tipo de error ocurre cuando un proceso
que requiere un número infinito de pasos se
detiene en un número finito de pasos.
Generalmente se refiere al error involucrado
al usar sumas finitas o truncadas para
aproximar la suma de una serie infinita. El
error de truncamiento, a diferencia del error
de redondeo no depende directamente del
sistema numérico que se emplee.
Error De Truncamiento
Error De Suma Y Resta
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales
que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección
y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar
situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la
división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como
consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.

8. La condición de un problema
matemático relaciona a su
sensibilidad los cambios en los
datos de entrada. Puede decirse que
un cálculo es numéricamente
inestable si la incertidumbre de los
valores de entrada aumentan
considerablemente por el método
numérico. Un proceso numérico es
inestable cuando los pequeños
errores que se producen en alguna
de sus etapas, se agrandan en etapas
posteriores y degradan seriamente
la exactitud del cálculo en su
conjunto.
El que un proceso sea
numéricamente estable o
inestable debería decidirse con
base en los errores relativos, es
decir investigar la inestabilidad o
mal condicionamiento , lo cual
significa que un cambio
relativamente pequeño en la
entrada, digamos del 0,01%,
produce un cambio relativamente
grande en la salida, digamos del
1% o más. Una fórmula puede ser
inestable sin importar con qué
precisión se realicen los cálculos

9. Las palabras condición y condicionamiento se
usan de manera informal para indicar cuan
sensible es la solución de un problema
respecto de pequeños cambios relativos en los
datos de entrada.
Para ciertos tipos de problemas se
puede definir un número de condición:
"Un número condicionado puede
definirse como la razón de los errores
relativos".
Si el número de condición es grande
significa que se tiene un problema mal
condicionado;
Se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece
un número de condición, es decir para la evaluación de
una función se asocia un número condicionado, para la
solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece
otro tipo de número de condición; el número
condicionado proporciona una medida de hasta qué
punto la incertidumbre aumenta.