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Diviseurs et factorisation
 

Diviseurs et factorisation

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    Diviseurs et factorisation Diviseurs et factorisation Presentation Transcript

    • Diviseurs et factorisation
    • Multiples et Diviseurs
      • Soit a un nombre non nul, chaque nombre divisible par a est un multiple de a ; chaque nombre qui divise a est un diviseur de a . Autrement dit, b est un diviseur de a si, dans la division de a par b , le reste est nul.
      • Si a et b sont deux entiers naturels, b n'étant pas nul, on dit que b divise a ou que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b s'il existe un entier q tel que a = bq .
      • Les multiples d’un nombre se déterminent en multipliant le nombre de départ par chaque terme de la succession des nombres naturels, sauf le zéro, ou en ajoutant ce nombre à la somme précédente pour former une série.
      • M(4) = {4x 1 ; 4x 2 ; 4x 3 ; 4x 4 ; ...; 4x n }
      • M(4) = {4; 8; 12; 16; ...}
      • Les multiples d’un nombre sont donc infinis.
      • M(n)≥ n
      • #M(n)=∞ (où #M(n) cardinalité des multiples de n )
      • Les diviseurs d’un nombre coïncident avec ses sous-multiples.
      • D(24) = {1;2;3;4;5;8;12;24}
      • Il est évident que les diviseurs d’un nombre sont finis et ils sont compris entre 1 et le nombre de départ.
      • Un nombre quelconque admet comme diviseur le nombre 1 et soi-même.
    • Nombres premiers et composés
      • Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de 1 est dit composé. Par exemple 12 = 2 × 6 est composé, tout comme 21 = 3 × 7 ou 7 × 3, mais 11 est premier car 1 et 11 sont les seuls diviseurs de 11. Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés. Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :
      • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
      • Il existe, en outre, des nombres premiers en quantité infinie (Euclide a formulé la première démonstration “pour absurde”). Selon le théorème de l’infinité des nombres premiers, quoiqu’on choisisse un nombre naturel n énorme, il existera toujours un nombre premier plus grand que n .
      • Leur importance en mathématiques est démesurée et dérive du théorème fondamental de l'arithmétique, qui affirme que tout nombre naturel n non nul (plus grand que 1) est un nombre premier ou il peut s'écrire de manière unique comme le produit fini de nombres premiers à une puissance adéquate.
    • Crible d’Ératosthène
      • Ératosthène était un astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec du IIIe siècle av. J.-C. (275-195 a.C.). Directeur de la bibliothèque d’Alessandria, il élabora une procédure de recherche des nombres premiers. Le crible d'Ératosthène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné N.L'algorithme procède par élimination : il s'agit de supprimer d'une table tous les multiples des entiers de 2 à N.
        • On commence par les multiples de 2, puis à chaque fois on raye les multiples du plus petit entier restant jusqu'à ce que le carré de celui-ci soit supérieur au plus grand entier de la liste.
        • On peut s'arrêter lorsque le carré du plus petit entier est inférieur au plus grand entier, car dans ce cas, s'il existait des non-premiers, ils auraient déjà été rayés précédemment.
        • À la fin du processus, tous les entiers qui n'ont pas été rayés sont les nombres premiers inférieurs à N.
    •  
    • Critères de divisibilité
      • *par 2
      • Un entier est divisible par 2 si son dernier chiffre décimal est pair, c’est-à-dire s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Cette condition est nécessaire et suffisante.
      • *par 3
      • Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3 ou par un de ses multiples. Cette condition est nécessaire et suffisante.
      • Exemples:
        • 132 est divisible par 3 parce que 1+2+3=6, qui est divisible par 3, par conséquent aussi 132
        • 12 est divisible par 3 parce que 1+ 2= 3, qui est divisible par 3, par conséquent aussi12
        • 24 est divisible par 3 parce que 2+ 4= 6, qui est divisible par 3, par conséquent aussi 24
        • 16 n’est pas divisible par 3 parce que 1+6= 7, qui n’est pas multiple de 3
      • *par 4
      • Un entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres sont 00 ou si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4, ou si son avant-dernier chiffre est impair et le dernier est 2 ou 6, ou si son avant-dernier chiffre est pair et le dernier est 0, 4, 8.
      • Exemples:
        • 144 se termine avec les chiffres 44 par conséquent il est divisible par 4
        • 500 est divisible par 4
      • *par 5
      • Un entier est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5
      • Exemples:
        • 55 est divisible par 5 parce qu'il se termine par 5
        • 60 est divisible par 5 parce qu'il se termine par 0
        • 37 n’est pas divisible par 5, parce qu'il ne se termine ni par 5 ni par 0
      • *par 9
      • Un entier est divisible par 9 si  la somme de ses chiffres est divisible par 9.
      • Exemples:
        • 18 est divisible par 9 parce que 1+ 8= 9, qui est divisible par 9, par conséquent aussi 18
        • 369 est divisible par 9 parce que 3+ 6+ 9= 18, qui est divisible par 9, par conséquent aussi 369
        • 457 n’est pas divisible par 9 parce que 4+5+7= 16, qui n’est pas multiple de 9
        • 16 n’est pas divisible par 9 parce que 1+6= 7, qui n’est pas multiple de 9
      • *par 11
      • Un entier est divisible par 11 si  la somme alternée de ses chiffres à partir de la droite est divisible par 11 (par alternée, on entend ajouter/soustraire successivement) ou elle est nulle.
      • Exemples:
        • 4257; la différence entre la somme des chiffres de rang pair (2 et 7) et la somme des chiffres de rang impair (4 et 5) doit être un multiple de 11 ou être nulle: 9-9=0.
        • 919 380 (9+9+8 = 26; 1+3+0 = 4; 26 - 4 = 22 = 2x11)
    • Décomposition en facteurs premiers ou factorisation
      • Le procédé qui permet de rechercher les nombres premiers diviseur d’un nombre donné est appelé décomposition en facteurs premiers ou factorisation. Ce procédé est valide pour les nombres composés et non pas pour les nombres premiers. En accord avec le théorème fondamental de l'arithmétique tout nombre naturel n non nul (plus grand que 1) est un nombre premier ou il peut s'écrire de manière unique (si on ne considère pas l’ordre des facteurs) comme le produit fini de nombres premiers à une puissance adéquate. En d’autres mots : chaque entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs.
      • (où p1, p2,…, pm sont les nombres premiers ordonnés de façon à ce que p1 < p2 < p3 <…< pm et où a1, a2, a3,…, am sont les exposants entiers positifs).
      • Règle pratique  : on utilise les critères de divisibilité et à travers une série de divisions, en partant des nombres premiers les plus petits (2;3;5; ..), on établit les facteurs qui multipliés entre eux donnent le nombre de départ.
      • La décomposition d'un nombre non premier en facteurs premiers s'effectue comme suit :
        • 1) on établit si le nombre est divisible par 2 et en cas affirmatif, on calcule le quotient
        • 2) on continue en divisant par deux jusqu'à ce que l'on trouve un quotient qui n'est plus divisible par deux
        • 3) si le premier nombre ou le dernier quotient n'est pas divisible par deux, on continue de la même façon avec les nombres premiers suivants (3, 5, 7...) jusqu'à ce que l'on obtienne un quotient qui est un nombre premier
      • La méthode de décomposition en facteurs premiers est évidente dans les exemples suivants
      • Remarque : si, lors de la recherche d'un diviseur possible pour le nombre x on dépasse la valeur √x +1 c'est que x est un nombre premier...
      728 = 2 x 2 x 2 x 7 x 13 = 23 x 13 1 2 | 13 2 | 91 2 | 182 2 | 364 2 | 728