DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA
Nombre: Daniel Felipe Arcila Valencia
Matrícula: 706372
Tutor: Sono Daniel David

El Conjunto...
Subconjuntos Importantes de los Reales
Los números naturales o de conteo
Los enteros no negativos
Los enteros
Racionales

...
R = Reales
Q = Racionales
Q´ = Irracionales
Z = Enteros
F = Fraccionarios
N = Naturales

Diferencia en la forma decimal de...
Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es
periódico.
Un número irracional en cambio la forma deci...
Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales.

-∞

-3

-2

-1

0

1

2

3

+∞

Recta numérica real
In...
Guía N°1
(-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3
-1 < x ≤ 3

-∞

+∞

(-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o ig...
Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación.
Ejemplos:

Términos:
Definición.- Son cantidades separada...
Suma: u+o=u
4.- Propiedad del Inverso:
Suma: u+(-u)
Multiplicación: u. = 1, u ≠ 0
5.- Propiedad Distributiva
Multiplicació...
– (u+v) = (-u) + (-v)

(-6) * (-8) = 6 * 8 = -10
-1* (10) = -10
-(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16

Exponentes Enteros:
Si a es ...
Ejemplos:

Exponente Negativo
Definición: Si a es un número real y n un número entero.

Ejemplos:

Principales Teoremas de...
Guía N°2
Identifique la base. No calcule el valor

Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominado...
Gúgol dúplex =

Exponente Fraccionario

Ejemplos:

Radicación
Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente:

Ejemplos...
Cantidad Subradical

Simplificación de Radicales
Fundamento 1

Ejemplo.

Factorización Numérica
18

2

9

3
3

1

1

Funda...
Guía N°3
Evaluar las siguientes raíces.

-

=
=
=
Guía N°4

Racionalización de denominadores
En matemáticas no se acostumb...
Guía N°5

=
=
=

Polinomios
Expresiones Algebraicas
Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados
mediante las relaciones algebraicas; suma, resta,...
Forma general de un polinomio en la variable.
Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma.

Grado: n
Variable:...
Guía N°6

Grado: 9
Coeficiente Líder: -8

Grado: 4
Coeficiente Líder: 7
Término Independiente: -14
Variable: x

Grado: 5
C...
y

Multiplicación de Polinomios

3.
4.
5. –
6.
Ejemplo:
Guía N°6

Regla
Se multiplica cada término de un polinomio por cad...
Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se
puede hacer directamente sin realizar la multi...
b

y

3y

20

14.
15.
16.
17.

FACTORIAZACIÓN DE POLIGONOS
Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transforma...
Factor común:
Proceso:
Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”.
Se abre un paréntesis y den...
18.

TRINMIO DE LA FORMA
Procedimiento:

Se escriben dos paréntesis [(.
Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la ...
TRINOMIO DE LA FORMA
Procedimiento:
Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.
Aplicar el procedimiento ...
Solución:
El polinomio es primo no existen factores.
48.

DIFERENCIA DE CUADRADOS
Fundamento:

Ejemplo:
52.
57.
59.
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Ejemplo Guía N°9

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE
CORRESPONDE ...
EXPRESIONES RACIONALES
Son expresiones de la forma

.

Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir.

Eje...
En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2”

En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales ex...
5

2x

Guía 8:

Guía 9:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Fundamento:

Ejemplo Guía N 10:

OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES
Multipli...
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:

Proceso:
Para sumar y restar
Se factoran los denominadores.
Se halla u...
NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son operaciones de la forma: a+bi; con a, b (Números
Reales) y la expresión “i” qu...
5) 4
Igualdad de números complejos
a+bi= c+di ≡a=c; b=d
Ejemplos guía numero 13:
Ejercicio 18
2+3i=x+yi ≡2=x; 3=y
x=2; y=3...
=5-i+6=11-(1+

Multiplicación de números complejos: Se multiplica como el binomio
de dos productos de cual es quiera.
1) 4...
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables); y números
(constantes); relacionados mediante operaciones a...
Ejercicios guía 14
Determine si el valor dado es solución de la ecuación. Responda SI o NO
1)

2)
Despejar de la formula d...
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Ejemplos:
1) 3
2)
3)
4)

Resolución de Inecuaciones de 1er Grado con 1 variable.
1) Se realiza las opera...
Solución = ( ;+∞)

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Solución = [-1; 4]

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Guía 16
Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.
3)
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X1= -8

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S= {2,-2}
Resolver las ecuaciones cuadráticas completando el trinomio cuadrado
perfecto.
17)

=

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S= {

X2=

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...
X1=

X2=

S= {

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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA EN 2 VARIABLES
Fundamento:
1) Forma de la ecuación:

- La grafica sie...
3) sí “a” es “-“ la parábola se abre hacia abajo
- La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente formula

Ejercicios Guía 17
1)

“a” es “+” la parábola se abre hacia arriba.

A=1
B=6
C=8
=3

Interceptos con el eje “x”

0
Ejercicios Guía 17
“a” es “-” la parábola se abre hacia abajo.

A=1
B=6
C=8
= -1

Interceptos con el eje “x”

0

VALOR ABS...
Definición:
El valor absoluto de un número real “a” se representa
siguiente forma

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Ejemplo:

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S=

NOTA: El valor absoluto se debe comprobar necesariamente.

SOLUCION DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

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Comprobación...
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ECUACIONES RACIONALES
Se debe excluir los valores divisores para “x” que dan cero en el ejercicio.

INECUACIONES POLINOMIALES: Son ecuaciones de...
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DIGITALIZACIÒN DE MATEMÁTICAS

  1. 1. DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA Nombre: Daniel Felipe Arcila Valencia Matrícula: 706372 Tutor: Sono Daniel David El Conjunto de los números Reales Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en forma decimal. Ejemplos:
  2. 2. Subconjuntos Importantes de los Reales Los números naturales o de conteo Los enteros no negativos Los enteros Racionales a y b son enteros y b 0 División para cero 3 casos Respuesta Infinita
  3. 3. R = Reales Q = Racionales Q´ = Irracionales Z = Enteros F = Fraccionarios N = Naturales Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional. Ejemplos:
  4. 4. Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es periódico. Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica. Ejemplos: =1,4142… = 1,73205… π = 1,14159… e = 2,718… Observación y notación de intervalos El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar dos números reales cualesquiera. Símbolo Definición Se Lee a>b a-b es positivo a es mayor que b a<b a-b es negativo a es menor que b a≥b a-b es positivo o es 0 a es mayor o igual que b a≤b a-b es negativo o cero A es menor o igual que b Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades. Recta numérica
  5. 5. Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales. -∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞ Recta numérica real Intervalos acotados de números reales Notación de Intervalo Tipo de Intervalo Notación de Desigualdad [a,b] Cerrado a≤x≤b (a,b) Abierto a<x<b [a,b) Semi abierto a≤x<b (a,b] Semi abierto a<x≤b Gráfico a a Los números a,b son extremos de cada intervalo. Intervalos no acotados de números reales Notación de Intervalo Notación de Desigualdad [a, -∞) x≥a (a,+∞) x>a (-∞, +b] x≤b (-∞, +b) X<b b Gráfico b
  6. 6. Guía N°1 (-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3 -1 < x ≤ 3 -∞ +∞ (-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8 -3 8 X ≤ -7 x es menor o igual a -7 (-∞;-7] -∞ +∞ Expresiones Algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionadas mediante operaciones algebraicas.
  7. 7. Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación. Ejemplos: Términos: Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-) Jerarquía de Operaciones de mayor a menor Potenciación y radicación Multiplicación y división Suma y resta Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación. Propiedades de los números reales Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas. 1.- Propiedad Conmutativa Suma: u+v = v+u Multiplicación: uv=vu 2.- Propiedad Asociativa Suma: (v+v)+w= u+(v+w) 3- Propiedad de la Identidad
  8. 8. Suma: u+o=u 4.- Propiedad del Inverso: Suma: u+(-u) Multiplicación: u. = 1, u ≠ 0 5.- Propiedad Distributiva Multiplicación sobre la suma: U(v+w)=uv+uw (u+v)w=uw+vw Multiplicaciones sobre la resta u(v-w)=uv-uw (u-v)=uw-vw Propiedad del inverso activo Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas. Propiedad: Propiedad Ejemplo –u(-u) = u (-u) * v = u * (-v) = -(u*v) (-u) * (-v) = u* v (-1) * (u) = -u -(-2) = 2 (-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12
  9. 9. – (u+v) = (-u) + (-v) (-6) * (-8) = 6 * 8 = -10 -1* (10) = -10 -(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16 Exponentes Enteros: Si a es un número real y n es un número entero o positivo. Exponente ( N veces a Potencia n de a base Ejemplos: Exponente 0 Definición: Si a es un número real diferente de 0. )
  10. 10. Ejemplos: Exponente Negativo Definición: Si a es un número real y n un número entero. Ejemplos: Principales Teoremas de Exponentes Teoremas
  11. 11. Guía N°2 Identifique la base. No calcule el valor Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no son cero. Notación Científica Se dice que un número x está escrito en notación científica si donde Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños. Ejemplos: Gúgol = Gúgolplex =
  12. 12. Gúgol dúplex = Exponente Fraccionario Ejemplos: Radicación Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente: Ejemplos: Definición de elementos de un radical Raíz n-sima de a
  13. 13. Cantidad Subradical Simplificación de Radicales Fundamento 1 Ejemplo. Factorización Numérica 18 2 9 3 3 1 1 Fundamento 2: Ejemplo:
  14. 14. Guía N°3 Evaluar las siguientes raíces. - = = = Guía N°4 Racionalización de denominadores En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador. Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el valor de la función. Fundamento:
  15. 15. Guía N°5 = = = Polinomios Expresiones Algebraicas
  16. 16. Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación. Ejemplos: Polinomios: Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente operaciones suma, resta o multiplicación. Ejemplos:
  17. 17. Forma general de un polinomio en la variable. Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma. Grado: n Variable: x Término Independiente: Coeficiente Líder: Tipos de Polinimios Monomios: Los polinomios que tienen un termino igual. Binomios: Los polígonos que tienen dos términos igual. Trinomios: Los polinomios que tienen 3 términos o igual. Polinomios: Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.
  18. 18. Guía N°6 Grado: 9 Coeficiente Líder: -8 Grado: 4 Coeficiente Líder: 7 Término Independiente: -14 Variable: x Grado: 5 Coeficiente Líder: 1 Término Independiente: 3 Variable: q Operaciones con Polinomios Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos semejantes (términos que tienen igual su parte literal) Guía n°6 Sume colocando un polinomio debajo del otro:
  19. 19. y Multiplicación de Polinomios 3. 4. 5. – 6. Ejemplo: Guía N°6 Regla Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio. Productos Notables
  20. 20. Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede hacer directamente sin realizar la multiplicación. Algunos Productos Notables Demostración Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una variable. Ejercicios Guía N°7 Escriba el polinomio a a b
  21. 21. b y 3y 20 14. 15. 16. 17. FACTORIAZACIÓN DE POLIGONOS Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y restas en productos. Ejemplo: Factorizar:
  22. 22. Factor común: Proceso: Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”. Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada término para el factor común. GUÍA N°8 FACTOR A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general. En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego si es posible un factor común general con lo que el polinomio que da factorado. Nota: La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es necesario agrupar de otra manera e intentar factorar nuevamente al polinomio. Determine el factor común por agrupación 15. Forma a Forma b
  23. 23. 18. TRINMIO DE LA FORMA Procedimiento: Se escriben dos paréntesis [(. Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es “x”. En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y en el segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio. Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del trinomio. Ejercicios: El polinomio es primo por que no existen factores.
  24. 24. TRINOMIO DE LA FORMA Procedimiento: Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente. Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma Simplificar la respuesta Ejemplos: 42. Demostración: 41.
  25. 25. Solución: El polinomio es primo no existen factores. 48. DIFERENCIA DE CUADRADOS Fundamento: Ejemplo: 52. 57.
  26. 26. 59. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS Ejemplo Guía N°9 PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE CORRESPONDE UN EJERCICIO Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado. Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de términos (cantidades separadas con signos + o -)Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de potencia al cuadrado. , suma o diferencia de Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación. Guía N°9
  27. 27. EXPRESIONES RACIONALES Son expresiones de la forma . Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir. Ejemplos: VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable que hagan 0 a 1 o más denominaciones. Ejemplos:
  28. 28. En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2” En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto “3”. En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos Ejercicios propuestos por los estudiantes: Guía 6: Guía 7: 10x 25
  29. 29. 5 2x Guía 8: Guía 9:
  30. 30. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS Fundamento: Ejemplo Guía N 10: OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES Multiplicación: Fundamento: DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES Fundamento:
  31. 31. SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES Fundamento: Proceso: Para sumar y restar Se factoran los denominadores. Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o el producto de ellos. Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada resultado se multiplica por cada uno de los numeradores. Sumar y Restar SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador. Pasos simplificados: Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que quede una fracción en cada uno de ellos. Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes. Ejemplo:
  32. 32. NUMEROS COMPLEJOS Los números complejos son operaciones de la forma: a+bi; con a, b (Números Reales) y la expresión “i” que cumple lo siguiente: i= Ejemplos: 1) α= 2+3i 2) β= -1+5i 3) ε= -3+ i 4) 7i ;
  33. 33. 5) 4 Igualdad de números complejos a+bi= c+di ≡a=c; b=d Ejemplos guía numero 13: Ejercicio 18 2+3i=x+yi ≡2=x; 3=y x=2; y=3 Ejercicio 19 6+yi=x-6i ≡6=x; y=-6 x=6; y=-6 Ejercicio 20 (-2-7i)-3= x-(-1+yi) ⇔ -5=x+1; -7=-y -5-7i=x+1-yi x=6; y=7 Operaciones con números complejos Suma y Resta de números complejos: Para sumar o restar números complejos se simplifica términos semejantes. 1) (9-5i)+(8+9i) =9+5i+8+9i =17+4i 2) (-7+5i)-9 =-7+5i-9 =-16+5i 3) (5-i)+(6- )
  34. 34. =5-i+6=11-(1+ Multiplicación de números complejos: Se multiplica como el binomio de dos productos de cual es quiera. 1) 4i(3-8i)= 12i - 32 =12i -32(-1) =32+12i 2) (3+6i)(4+9i)= 12 +27i+24i+54 =12+51i+54(-1) =-42+51i División de números complejos: Se debe multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del denominador. Conjugado ≡α= a+bi;ἆ= a-bi Ejemplo: 29) = = = Expresiones Algebraicas
  35. 35. Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables); y números (constantes); relacionados mediante operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación,división,potenciación,radicación). Ejemplos: 1) 2) 3) Términos: Los términos son cantidades separadas por signos (+ o -). Ecuaciones y Desigualdades Ecuaciones Lineales: Son ecuaciones de la forma ax+b=0, donde a y b son números reales y a≠0. ax + b = 0 → 2do. Termino ↓ 1er. Termino Ejemplo: 1) 2) 3) Resolución de un Ecuación de 1er. Grados: Fundamento: 1) 2) 3) 4) - Se realizan las operaciones que tenga la expresión hasta expresarla en la forma ax+b=0
  36. 36. Ejercicios guía 14 Determine si el valor dado es solución de la ecuación. Responda SI o NO 1) 2) Despejar de la formula dada la incógnita indicada. 17) ; Despejar Inecuaciones de 1er Grado en una variable Son desigualdades de la forma ax+b<0; ax+b≥0 ax + b > 0 → ↓ 1er. Miembro Fundamentos: 1) 2do. Miembro
  37. 37. 2) 3) 4) 5) 6) 7) Ejemplos: 1) 3 2) 3) 4) Resolución de Inecuaciones de 1er Grado con 1 variable. 1) Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación hasta dejarla en la forma ax+b . 2) Se despeja x Ejemplos: 1) 3 3x X
  38. 38. Solución = ( ;+∞) S= -∞ 2) -2 -2x X 2/3 +∞ Solución = (-∞; 2] S= -∞ 2 +∞ Inecuaciones con valor Absoluto Fundamento 1) 2) Ejemplo: Resolver: = 1era. Inecuacion 2da. Inecuacion
  39. 39. Solución = [-1; 4] S= -∞ -1 4 +∞ Solución = (-∞,2) S= -∞ -2 12 +∞
  40. 40. Guía 16 Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo. 3) = = (x+8) (x-2) = 0 X1= -8 X2=2 S= {-8,2} Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de raíz cuadrada. 9) = = X1= 2 X2=-2
  41. 41. S= {2,-2} Resolver las ecuaciones cuadráticas completando el trinomio cuadrado perfecto. 17) = = X1= S= { X2= , } Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando la formula general 21) A= 1 B= 3 C= -10
  42. 42. X1= X2= S= { } GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA EN 2 VARIABLES Fundamento: 1) Forma de la ecuación: - La grafica siempre es una parábola. 2) sí “a” es “+” entonces la parábola se abre hacia arriba.
  43. 43. 3) sí “a” es “-“ la parábola se abre hacia abajo
  44. 44. - La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente formula Ejercicios Guía 17
  45. 45. 1) “a” es “+” la parábola se abre hacia arriba. A=1 B=6 C=8 =3 Interceptos con el eje “x” 0
  46. 46. Ejercicios Guía 17 “a” es “-” la parábola se abre hacia abajo. A=1 B=6 C=8 = -1 Interceptos con el eje “x” 0 VALOR ABSOLUTO
  47. 47. Definición: El valor absoluto de un número real “a” se representa siguiente forma ” y se obtiene de la Ejemplo: - Resuelta la ecuación determine si no tiene soluciones Ejercicios Guía 17 S= Comprobación -
  48. 48. S= NOTA: El valor absoluto se debe comprobar necesariamente. SOLUCION DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO S= Comprobación - SOLUCION GRAFICA “IGUALAMOS A “Y” “
  49. 49. x y -2 0 2 4 5 6 x y 2 3 3 3 3 3 3 4 1 3 0 2 1 1 2 0 3 1 4 2 5 3 6 4
  50. 50. ECUACIONES RACIONALES
  51. 51. Se debe excluir los valores divisores para “x” que dan cero en el ejercicio. INECUACIONES POLINOMIALES: Son ecuaciones de la forma ; donde P(x) es un polinomio. Ejemplo: 1. (X+5) (X+3) 2. (2X-3) (X+2)(X+1)(X-4) 3. SOLUCION DE UNA ECUACION POLINOMIAL: Método Abreviado: El método se aplica a inecuaciones polinomiales comparados con cero, en las que todas las variables tienen coeficientes positivos. PROCEDIMIENTO: 1. Se ubica en la recta numérica dados los valores que hacen cero a cada factor de 1er grado, con lo que la recta numérica queda dividida en intervalos. 2. Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda iniciando por el “+”, “-“. 3. Se escribe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según la inecuación sea cuando es se incluyen los extremos de los intervalos. NOTA: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares, no influyen en la respuesta y pueden ser omitidos. http://blogestudiantesdemat110-31.blogspot.com/

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