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    1 algebra lineal y vectores aleatorios 1 algebra lineal y vectores aleatorios Presentation Transcript

    • INTRODUCCIÓN         1 . Álgebra lineal y vectores aleatorios         2 . Distribución normal multivariante   ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS         3 . Componentes principales         4 . Análisis factorial         5 . Correlaciones canónicas   CLASIFICACIÓN         6 . Análisis discriminante         7 . Análisis de conglomerados ANÁLISIS MULTIVARIANTE
      • ÁLGEBRA LINEAL
      • Y VECTORES ALEATORIOS
            • Vectores
            • Ortogonalización de Gram-Schmidt
            • Matrices ortogonales
            • Autovalores y autovectores
            • Formas cuadráticas
            • Vectores y matrices aleatorias
            • Matriz de datos
      •       
    • EJEMPLOS
    • ALGEBRA LINEAL Vectores Matriz de datos: p variables observadas en n objetos
    • ALGEBRA LINEAL Vectores Dados se define: 1. Suma
    • ALGEBRA LINEAL Vectores 2. Producto de un escalar por un vector 3. Producto escalar de dos vectores
    • ALGEBRA LINEAL Vectores 4. Norma de un vector Propiedades
    • ALGEBRA LINEAL Vectores 5. Distancia entre dos vectores 6. Ángulo entre dos vectores
    • ALGEBRA LINEAL Vectores Desigualdad de Cauchy-Schwarz Consecuencia:
    • ALGEBRA LINEAL Vectores 7. Ortogonalidad 8. Ortonormalidad es ortonormal si es ortogonal y todos los vectores tienen norma 1, es decir, es ortogonal si   n e e e , , , 2 1  i e i   1
    • ALGEBRA LINEAL Vectores Ejemplo
    • ALGEBRA LINEAL Vectores Un conjunto de vectores es linealmente independiente si (la única manera de construir una combinación lineal igual a 0 es que todos los coeficientes sean 0) =0
    • ALGEBRA LINEAL Vectores Proposición. Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. ortogonal l.i. Demostración
    • ALGEBRA LINEAL Vectores Proyección de x sobre y y y y x y y y y x x pr y 2 , , , ) (  
    • ALGEBRA LINEAL Vectores Ejemplo
    • ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt V subespacio vectorial de si V es espacio vectorial, es decir, si
      • Dado A =
      Propiedades   p V
    • ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Proposición Demostración
    • ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Sean Dado un conjunto de vectores l.i., se puede construir otro conjunto ortogonal que genere el mismo espacio. linealmente independientes
    • ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Entonces:
    • ALGEBRA LINEAL Matrices ortogonales
      • Matrices ortogonales
      • A nxn ; inversa A -1 : A A -1 = A -1 A = I.
      • A’ transpuesta de A.
      • Q nxn es ortogonal si Q’Q = QQ’ = I.
      • (las columnas de una matriz ortogonal son vectores ortonormales)
    • ALGEBRA LINEAL Matrices ortogonales Propiedades Qy Qx y x
    • ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores A nxn ; x autovalor de A x es autovector asociado a Polinomio característico Ecuación característica
    • ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Ejemplo Autovalores y autovectores de
    • ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Propiedades Diagonalización de matrices
    • ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: diagonalización Si A simétrica entonces existen autovalores reales con autovectores asociados ortonormales tales que P P’ D A=PDP’, siendo D diagonal y P ortogonal (Toda matriz simétrica es diagonalizable)
    • ALGEBRA LINEAL Ejemplo Diagonalizar Autovalores y autovectores: diagonalización
    • ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: representación espectral Sea con autovectores ortonormales tales que Si A es simétrica entonces existen autovalores reales
    • ALGEBRA LINEAL Ejemplo Descomposición espectral de Autovalores y autovectores: representación espectral
    • ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas A nxn simétrica; , f(x)=x’ A x es una forma cuadrática
    • ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Ejemplo Expresar matricialmente la forma cuadrática Escribir en forma cuadrática
    • ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Como A nxn es simétrica, es diagonalizable, se puede escribir A = PDP’ y, por tanto, queda: f(x) = x’PDP’x. Haciendo y = P’x: se tiene
    • Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL x 2 x 1 y 2 y 1 e 2 e 1 y los autovectores x’Ax=c 2 representa geométricamente una elipse en ; los autovalores son normalizados son e 1 y e 2.
    • Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL Ejemplo Representar, hallar los ejes y obtener la expresión reducida de
    • Formas cuadráticas Clasificación de formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL
      • Sea f(x) = x’ A x
      • f es definida positiva si
      • f es semidefinida positiva si
      • f es semidefinida negativa si
      • f es definida negativa si
      • f es indefinida si
    • Formas cuadráticas
      • Sean los autovalores de A
      • f es definida positiva
      • f es semidefinida positiva
      • f es semidefinida negativa
      • f es definida negativa
      • f es indefinida
      ALGEBRA LINEAL
    • Raíz cuadrada de una matriz B es raíz de A si A=BB; ALGEBRA LINEAL Raíz cuadrada de una matriz: A semidefinida positiva ; B=A 1/2 ; A=A 1/2 A 1/2 Si A es simétrica y A=PDP’ con descomposición espectral entonces:
    • Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL Raíz cuadrada de una matriz: Nota:
    • Descomposición singular de una matriz ALGEBRA LINEAL Dada la matriz A mxn , AA’ es cuadrada y simétrica; por tanto, diagonalizable. es un valor singular de A, si es autovalor de AA’. Descomposición singular Sea A una matriz mxn ; valores singulares de A. Entonces existen matrices ortogonales U y V tales que:
    • Vectores y matrices aleatorias Vector aleatorio Matriz aleatoria 31
    • Vectores y matrices aleatorias Se llama vector de medias a: y covarianza entre dos variables a Se define la matriz de covarianzas de X como:
    • Vectores y matrices aleatorias
    • Vectores y matrices aleatorias ALGEBRA LINEAL Ejemplo
    • Vectores y matrices aleatorias Propiedades Sea X mxn y sean A kxm y B nxr matrices de constantes. Entonces:
    • Vectores y matrices aleatorias Matriz de correlaciones en forma matricial: donde V es la matriz de varianzas : donde
    • Vectores y matrices aleatorias Partición de un vector aleatorio
      • Vector de medias:
      Sea
      • Matriz de covarianzas:
      , donde
    • Matriz de datos
    • Matriz de datos
      • Vector de medias:
      • Matriz de varianzas y covarianzas:
      • donde
      • Matriz de correlaciones:
      , donde
    • Matriz de datos Proposición Dado
    • Matriz de datos La matriz de datos se puede representar como:
      • Diagrama de dispersión, n puntos en el espacio
      p=2 p=3 Como para p>3 no es posible representarlo, se utilizan diagramas de dispersión múltiple con pares de variables. x 1 x 2 x 1 x 2 x 3
    • Matriz de datos
      • Considerando las columnas en vez de la filas de la
      • matriz de datos, es decir, p puntos en
      Para cuatro variables: Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 1 Y 2 Y 3 Y p Y 1 Y 4 Y 3 Y 2
    • Matriz de datos
      • y forma el mismo ángulo con todos
      • los ejes.
      Vector de unos : n unos Propiedades
      • es el vector unitario que forma el mismo
      • ángulo en todas las direcciones.
    • Matriz de datos
      • Proyección de un vector sobre el vector
      y i 1
    • Matriz de datos Vector de desviaciones a la media:
    • Matriz de datos Entonces:
    • Matriz de datos Varianza generalizada y varianza total:
    • Matriz de datos
      • Varianza generalizada de X :
      • Varianza total de X :
      • Varianza generalizada muestral:
      • Varianza total muestral:
    • Matriz de datos Interpretación geométrica
      • Área =
      • Varianza generalizada en
    • EJEMPLOS
    • EJEMPLOS
    • EJEMPLOS
    • Matriz de datos Combinaciones lineales de las componentes de una variable y las combinaciones lineales:
      • Media muestral de c’X :
      • Varianza muestral de c’X :
      • Covarianza muestral de c’X y b’X :
    • Matriz de datos ALGEBRA LINEAL Ejemplo
    • EJEMPLOS
    • EJEMPLOS
    • EJEMPLOS
    • EJEMPLOS
    • EJEMPLOS
    • EJEMPLOS
    • EJEMPLOS