XVII SAMET -2ª feira - Mini-curso [Dra. Simone Ferraz]

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Mini-curso apresentado pela Prof. Dra. Simone Ferraz, no dia 29/11/2010, durante a XVII edição da Semana Acadêmica do curso de Meteorologia da Universidade Federal de Pelotas, com o tema: "Técnicas Estatísticas aplicadas em climatologia"

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XVII SAMET -2ª feira - Mini-curso [Dra. Simone Ferraz]

  1. 1. TÉCNICAS ESTATÍSTICAS APLICADAS EM CLIMATOLOGIA<br />Simone E. Teleginski Ferraz<br />Departamento de Física - UFSM<br />
  2. 2. INTRODUÇÃO<br />Os métodos e técnicas estatísticas são utilizados em Climatologia basicamente para analisar o tempo passado com o objetivo de inferir sobre o provável comportamento futuro de alguma variável.<br />A aplicação de técnicas estatísticas tem a vantagem de compactar o enorme volume de dados, medidos, por exemplo, em uma estação, em uma simples tabela ou uma equação, capaz de resumir todas as informações de modo a facilitar as inferências sobre os dados.<br />
  3. 3. UM POUCO DE HISTÓRIA<br />Surgiu na Antigüidade e se desenvolveu paralelamente à própria civilização humana. Há mais de 3.000 anos AC, os antigos egípcios deixaram dados estatísticos sobre seus povos gravados em monumentos históricos daquela época, principalmente nas famosas pirâmides.<br />Os chineses realizaram um censo demográfico no ano 2.275 AC e, bem mais tarde, os romanos no ano 556 AC, também realizaram trabalho bastante semelhante.<br />
  4. 4. Nessas épocas, os censos concentravam-se basicamente no levantamento do número de habitantes, nascimentos, óbitos e forças guerreiras, pois seus objetivos eram voltados a fornecer dados confiáveis aos então governantes.<br />Na era Cristã, principalmente no primeiro milênio, houve também diversos censos demográficos, notadamente em Israel e alguns países do ocidente.<br />
  5. 5. Entretanto, a partir do século XVI, a estatística começou a ganhar importância, passando a ser estudada por matemáticos e filósofos e, conseqüentemente, foi introduzida nos currículos das universidades. <br />DEFINIÇÃO<br />É uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e organizá-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões. <br />
  6. 6. CONCEITOS IMPORTANTES <br />População: é uma coleção completa de todos os elementos a serem estudados. Ex: conhecer a altura de todos os habitantes do Brasil.<br />Amostra: é uma sub-coleção de elementos extraídos de uma população. Ex: conhecer a altura de um conjunto de habitantes do Brasil.<br />Quando o estudo trata de dados meteorológicos, temos em mãos uma amostra, pois não conhecemos a população, pois não há o registro contínuo dos dados desde a origem do planeta. <br />
  7. 7. Quando trabalhamos com amostras, os resultados obtidos nos cálculos estatísticos são utilizados para fazer inferências (generalizações) sobre a população. <br />Exemplo:<br />Cera e Ferraz, 2007<br />
  8. 8. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS<br />
  9. 9. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS<br /> Precisamos manipular grande quantidade de dados.<br />Estes devem ser organizados de tal forma a facilitar o trabalho do investigador do fenômeno. <br />Devemos dispô-los de forma que consigamos extrair de maneira fácil informações como: maior e menor temperatura, quantos dias tiveram temperaturas acima ou abaixo de um determinado valor, etc. Para tanto, é elaborado uma distribuição de freqüências. <br />
  10. 10. A distribuição de frequências é uma tabela que relaciona categorias ou classes de valores, juntamente com contagens ou frequências do número de valores que se enquadram em cada categoria. <br />A distribuição de frequências pode ser representada através de um histograma, que é um gráfico cujas bases são os limites das classes e as alturas são as frequências.<br />
  11. 11.
  12. 12. ELABORAÇÃO DE UMA DF<br />
  13. 13. Passo 1: Ordenar os elementos dos dados brutos em ordem crescente, indicando a freqüência absoluta de cada elemento.<br /> Dados brutos:São as observações.<br /> Freqüência absoluta:número de vezes que um valor aparece num conjunto de dados.<br />Passo 2: Determinar o número de intervalos de classe (K) – Usar regra de Sturges:<br />K = 1+3,3 (log10 n)<br />K = 1+3,3 (log10 31)<br />K = 1+3,3 (1,49)<br />K = 5,9  6<br />Portanto, a distribuição de freqüências será constituída de 6 intervalos de classe.<br />
  14. 14. Passo 3: Determinar a amplitude dos intervalos de classe (h):<br />Sendo K o número de intervalos de classe e xmáxe xmínsão respectivamente o maior e o menor valor do conjunto de dados.<br />h  1,7<br />
  15. 15. MEDIDAS DE POSIÇAO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL<br />
  16. 16. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL<br />É impossível manipularmos todos os elementos da seqüência de dados, a não ser que sejam poucos. <br />É importante sabermos onde os valores da seqüência se concentram, facilitando assim a análise. <br />As medidas de posição ou de tendência central possibilitam determinar o valor localizado no centro ou no meio de um conjunto de dados.<br />Há diferentes maneiras de definir o centro de um conjunto de dados, assim, há diferentes definições de medidas de tendência central como: média, mediana, moda e ponto médio.<br />
  17. 17. MÉDIA ARITMÉTICA<br />Valor obtido somando-se todos os elementos do conjunto e dividindo-se a soma pelo número total de elementos. <br />sendo a média aritmética, xi os dados do conjunto amostral e n o número de valores.<br />A média aritmética depende de todos os valores da série e qualquer alteração de um deles altera seu valor. Esta medida é influenciada por valores extremos, podendo, em alguns casos, não representar a série.<br />
  18. 18. MÉDIA HARMÔNICA<br />Usada como medida de tendência central para conjuntos de dados que consistem em taxas de variação, como por exemplo velocidades. <br />Obtém-se a média harmônica dividindo-se o número n de valores pela soma dos inversos de todos os valores. <br />
  19. 19. MÉDIA GEOMÉTRICA<br /> Mais usada na administração e na economia para achar taxas médias de variação, de crescimento, ou razões médias. <br />Dados n valores (todos positivos), a média aritmética é a raiz nmado seu produto.<br />Por exemplo, determina-se a média geométrica de 2, 4, 10 multiplicando-se os três valores – o que dá 80, e tomando-se a raiz cúbica do resultado (porque há três valores). O resultado é 4,3. <br />
  20. 20. MÉDIA QUADRÁTICA<br />É utilizada em geral em experimentos físicos. Em sistemas de distribuição de energia, por exemplo, as tensões e correntes são em geral dadas em termos de sua média quadrática. <br />Eleva-se cada valor ao quadrado, soma-se os resultados, divide-se o total pelo número n de valores e toma-se a raiz quadrada do resultado.<br />Por exemplo, a média quadrática de 2, 4, 10 é 6,3. <br />
  21. 21. MEDIANA<br />É o elemento que ocupa a posição central de uma série de dados. Para encontrá-la os dados devem estar dispostos em ordem crescente ou decrescente. <br />Se a série tiver um número ímpar de dados o valor que estiver ocupando o meio da série será a mediana.<br />Se tiver um número par de dados deve-se extrair a média aritmética dos dois valores centrais, uma vez que, o valor correspondente a mediana acha-se entre eles.<br />A mediana dos dados fornecidos na tabela 1 corresponde a 20,9ºC.<br />
  22. 22. MODA<br />Valor que ocorre com maior freqüência.<br />Identificada apenas observando-se a série nos casos de dados não agrupados. <br />Quando a série possuir dois valores com a mesma freqüência máxima, cada um deles é uma moda, e o conjunto diz-se bimodal. <br />Se mais de dois valores ocorrerem com a mesma freqüência máxima, o conjunto é multimodal. <br />A tabela 1 é multimodal, pois cinco valores (18,3; 18,9; 21,2; 22,4 e 23,2) aparecem com a mesma freqüência máxima. <br />
  23. 23. PONTO MÉDIO<br />O ponto médio é o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor da série de dados. <br />Para obtê-lo, somamos esses valores extremos e dividimos o resultado por 2, como na expressão a seguir :<br />O ponto médio dos dados da tabela 1 é:<br />
  24. 24. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE<br />
  25. 25. MEDIDAS DE DISPERSÃO<br />Vimos que um conjunto de valores pode ser sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores representativos. <br />Tais valores podem servir de comparação para dar a posição de qualquer elemento do conjunto.<br />Mas não é o bastante dar uma das medidas de posição para caracterizar perfeitamente um conjunto de valores, pois, mesmo sabendo, por exemplo, que a temperatura média de duas cidades é a mesma, e igual a 24ºC, ainda assim somos levados a pensar a respeito do clima dessas cidades. <br />
  26. 26. Em uma delas a temperatura poderá variar entre limites de muito calor e de muito frio e, haver, ainda, uma temperatura média de 24ºC. A outra poderá ter uma variação pequena de temperatura, mas mantendo uma média de 24ºC.<br />Vemos, então, que a média – ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores – não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem um conjunto.<br />
  27. 27. Exemplo:<br />X: 70, 70, 70, 70, 70<br />Y: 68, 69, 70, 71, 72<br />Z: 5, 15, 50, 120, 160<br />Entretanto, é fácil notar que o conjunto x é mais homogêneo que os conjuntos y e z, já que todos os valores são iguais a média.<br />O conjunto y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto z, pois há menor diversificação entre cada um de seus valores e a média é representativa.<br />Média aritmética = 70<br />
  28. 28. Chamando de dispersão a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central.<br />Podemos dizer que o conjunto x apresenta dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto y apresenta uma distribuição ou variabilidade menor que o conjunto z.<br />Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, a Estatística recorre às seguintes medidas de dispersão: amplitude total, desvio-padrão e a variância.<br />
  29. 29. AMPLITUDE TOTAL<br />Éa diferença entre o maior e o menor valor deste. Para calculá-la, basta subtrair o menor valor do maior.<br />Quanto maior a amplitude total de um conjunto de dados, maior é a dispersão ou variabilidade dos valores.<br />A amplitude total da tabela é: AT = 25,1 – 16,1 = 9º C<br />É instável, pois se deixa influenciar pelos valores extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.<br />
  30. 30. DESVIO-PADRÃO<br />O desvio-padrão e a variância são medidas que fogem a essa falha, pois levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados. <br />Assim, pode-se definir o desvio-padrão como uma medida da magnitude do espalhamento ou dispersão dos dados em relação à média da série.<br />
  31. 31. O cálculo do desvio-padrão amostral (s) é:<br />Para o desvio-padrão populacional () é:<br />Observa-se que para a população é substituído por  e n-1 por N. <br />Uma regra que auxilia na interpretação do valor de um desvio-padrão é a regra empírica, aplicável somente a conjuntos de dados aproximadamente em forma de sino.<br />
  32. 32. A REGRA 68-95-99 <br />
  33. 33. A REGRA 68-95-99 PARA OS DADOS DA TABELA<br />
  34. 34. VARIÂNCIA<br />É uma medida estatística da dispersão dos dados em torno da média de um conjunto de dados. <br />É obtida quando não extraímos a raiz quadrada do desvio-padrão. A variância amostral é definida como:<br />a variância populacional é:<br />A variância dos dados da tabela 1 é 4,86º C.<br />
  35. 35. SEPARATRIZES<br />
  36. 36. SEPARATRIZES<br />A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central. Além disso, ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores. <br />Existem outras medidas que não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam na sua posição na série.<br />
  37. 37. Essa medidas denominadas de quantis ou fractis, são juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.<br />O quantil, por sua vez, é o nome genérico para outras medidas, como as que dividem o conjunto de dados em 4, 10 ou 100 partes, por exemplo. Estas são denominadas de quartil, decil e percentil, respectivamente.<br />
  38. 38. Os três quartis Q1, Q2 e Q3 dividem o conjunto dos dados em quatro subconjuntos de tal forma que:<br />Os decis dividem o conjunto de dados em 10 partes iguais. Os nove decis D1, D2, D3,..., D9 são tais que 10% dos elementos situam-se abaixo de D1, 10% entre D1 e D2 e assim por diante. A mediana é o quinto decil.<br />Os percentis dividem o conjunto dos dados ordenados em 100 partes iguais. A mediana é o qüinquagésimo percentil.<br />
  39. 39. OBTENÇÃO DOS QUANTIS<br />1. dispor os dados em ordem crescente;<br />2. colocar um n° de ordem para cada valor (i=1, ..., i=N);<br />3. determinar a ordem quantílica: Pi=i/(N+1)<br />4. calcular o quantilQ(P) para uma ordem quantílicaPi:<br />a) se P coincidir com algum Pi já obtido, então: Q(P)=Q(Pi)=yi<br />b) se P não coincidir, haverá um índice i tal que Pi<P<Pi+1, onde Q(P) será obtido por interpolação, onde: Q(P)=yi+{[P-Pi]/[Pi+1-Pi]}*[yi+1-yi]<br />
  40. 40. Exemplo:<br />Dados: 104, 5, 43, 123, 58, 63, 12, 71 e 32; O quartil inferior Q(0,25),o superior Q(0,75) e o primeiro tercil Q(0,333) são:<br />
  41. 41. Q(0,25)=[Q(0,20)+Q(0,30)]=(12+32)/2=22<br />Q(25%) = 22<br />Q(0,75)=[Q(0,70)+Q(0,80)]=(71+104)/2=87,5<br />Q(75%)=87,5<br />O primeiro tercil está entre 30% e 40%, cujos quantis respectivos são 32 e 43, portanto:<br />Q(P)=yi+{[P-Pi]/[Pi+1-Pi]}*[yi+1-yi]<br />Q(33,3%)=32+{[33,3-30]/40,0-30,0]}*[43-32]<br />=32+(3,3/10,0)*11 = 35,63<br />
  42. 42. ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS<br />
  43. 43. SÉRIE TEMPORAL<br />Éum conjunto cronológico (ordenado no tempo) de observações, por ex.: registros de temperatura diária de uma cidade, as vendas diárias de uma loja, a temperatura de um paciente a cada hora, entre outros.<br />A análise de tais dados tem por objetivo determinar se eles apresentam algum padrão não-aleatório. Por vezes, o que se deseja é, realmente localizar esses padrões não-aleatórios, que podem então ser usados para predições quanto ao futuro. <br />
  44. 44. Outras vezes, o objetivo é constatar a ausência de padrões não aleatórios. Nesses casos, os padrões não-aleatórios são encarados como um sinal de que determinado sistema ou processo está fora de controle. <br />A análise de séries temporais (AST) tem grande importância como informação para a previsão do futuro. O estudo do comportamento das variações ocorridas no passado em dados de interesse permite-nos prever as variações que poderão ocorrer no futuro.<br />
  45. 45. OBJETIVOS DA AST<br />Descrição: consiste em conhecermos o comportamento de uma ST. O primeiro passo na análise é elaborar o gráfico da série temporal com o objetivo de observar as principais propriedades da série como: tendência, ciclo sazonal e valores extremos (valores que não parecem consistentes com os demais).<br />Explicação: quando as observações são tomadas de duas ou mais variáveis, podemos estar interessados em saber se a variação de uma série pode explicar a variação das outras.<br />
  46. 46. OBJETIVOS DA AST<br />Previsão: dada uma série temporal observada, pode-se querer prever os valores futuros desta.<br />Controle: implica na geração de séries temporais para medir a qualidade de um processo. Exemplo: medir o peso de um determinado produto após ser embalado para o consumo. Isto tem como objetivo saber se está sendo embalado com excesso ou falta.<br />
  47. 47. SÉRIES TEMPORAIS E ESPACIAIS<br />Quando medidas em um ponto fixo sobre um período de tempo, a série é chamada de série temporal. <br />Medidas em um tempo fixo sobre uma série de localidades no espaço originam uma série espacial. <br />Ambas as séries fornecem medidas de uma variável dependente tal como a temperatura ou umidade como função de uma variável independente, tal como o tempo, t, ou local, x.<br />
  48. 48. SÉRIES CONTÍNUAS E DISCRETAS<br />Uma série temporal é dita contínua quando as observações são feitas continuamente no tempo.<br />A série temporal constituída por medidas tomadas em intervalos de tempo espaçados regularmente, até um número finito de N dados é denominada série discreta.<br />O período total de medidas em uma série discreta é P = Nt, ou seja, o número total de dados multiplicado pelo intervalo de tempo em que os dados são medidos.<br />
  49. 49. FUNÇÕES DETERMINÍSTICAS E NÃO-DETERMINÍSTICAS <br />Uma série temporal pode ser uma função x aleatória ou não-determinística de uma variável independente t. Na maioria das situações, a função x(t) será uma função do tempo, mas em outras situações pode ser uma função de outro parâmetro físico, como por exemplo, do espaço. <br />Uma característica das séries temporais é que seu comportamento futuro não pode ser previsto exatamente, como seria o caso de uma função ‘determinística’ do tempo. <br />
  50. 50. Se medirmos a temperatura do ar todos os dias e verificarmos a presença de um ciclo diurno.<br />Entretanto, não conseguimos determinar uma relação determinística que possa ser ajustada a cada intervalo dessa série de dados porque diversos fatores podem estar causando variações nessa medida (exemplo, nebulosidade, entradas de frentes, alteração dos ventos por circulações locais, etc.). <br />Se compararmos uma série temporal de temperatura em um determinado sítio em dois anos distintos, podemos verificar visualmente que esses dois trechos da série não se parecem um com outro.<br />
  51. 51. PROCESSOS ESTOCÁSTICOS <br />Como diferentes secções de uma série temporal se parecem uma com a outra apenas nas suas propriedades médias, é necessário descrever essas séries por leis de probabilidades ou modelos. <br />Assim, os valores possíveis das séries temporais a um dado tempo t são descritos por uma variável aleatória x(t) e sua associada distribuição de probabilidades.<br />O conjunto ordenado de variáveis aleatórias {x(t)} em associação com sua distribuição de probabilidades é chamado de processo estocástico.<br />
  52. 52. ESTACIONARIDADE<br />Linha preta: diferentes secções são ‘parecidas’  processo estacionário<br />Linha vermelha:tendência de aumento  processo não-estacionário<br />e de desmatamento são ditas não-estacionárias.<br />
  53. 53. Na prática, as séries são usualmente de três tipos:<br />Séries que exibem propriedades de estacionaridade em longo período, (ex: saídas de geradores de ruído).<br />Séries que possuem uma razoável estacionaridade em períodos curtos, (ex: medidas de turbulência na atmosfera, etc.).<br />Séries que são não estacionárias, no sentido que suas propriedades estão continuamente mudando com o tempo, (ex: temperatura em altas e médias latitudes, ventos, etc.). <br />
  54. 54. A maior parte dos métodos que trata com não-estacionaridade de séries temporais está baseada em técnicas para remover ou filtrar a parte não-estacionária, deixando apenas a parte que pode ser tratada como estacionária. <br />Em climatologia, utilizamos esse tipo de técnica quando desejamos conhecer o comportamento das anomalias de uma determinada variável. <br />
  55. 55. Uma maneira de resolver este problema é processar os dados de forma que permitam que uma subseqüente estacionaridade seja assumida. <br />Por exemplo: gerar uma nova série com média constante igual a zero. A fim de produzir uma série com média e variância constante, seria necessário transformar essas anomalias em anomalias normalizadas:<br />
  56. 56. Por exemplo: em latitudes médias as temperaturas tendem a ser mais frias durante o inverno e a sua variabilidade mais alta. <br /> Uma aproximação possível para transformar séries de temperaturas mensais em uma série (aproximadamente) estacionária seria calcular as 12 médias mensais e os 12 desvios-padrão e então aplicar anterior usando diferentes médias e desvios-padrão para o mês do calendário apropriado. <br />
  57. 57. ELEMENTOS DAS ST<br />Tendência: descreve um movimento suave, a longo prazo, dos dados, para cima ou para baixo. Podem estar relacionadas ao crescimento populacional de uma região, ao aumento das temperaturas devido ao efeito do aquecimento global, entre outros.<br />Variações cíclicas: existe um padrão cíclico quando as variações apresentam certo grau de regularidade, entretanto com período diferente de um ano. São exemplos de ciclos: as manchas solares, a demanda de bens duráveis, etc.<br />
  58. 58. Variações sazonais: os fenômenos sazonais estão associados às estações do ano. A diferença entre o sazonal e o cíclico é o tempo entre duas cristas consecutivas; no caso dos ciclos, esse tempo é diferente de um ano; no sazonal é de um ano. <br />O ciclo sazonal também pode receber a denominação de ciclo anual. Como exemplo de eventos sazonais pode-se citar a variação da temperatura ao longo do ano, os artigos de estação, como, sorvetes e ovos de páscoa, entre outros.<br />
  59. 59. Variações irregulares: são variações aleatórias, que não apresentam regularidade. <br />Como por exemplo, nas medidas horárias de temperatura do ar sabemos que ao longo de 24 horas teremos a influência do ciclo diário de insolação (componente conhecida), entretanto, vários outros fatores (componentes desconhecidas) estarão influenciando as medidas, como nebulosidade e ventos, sem que possamos saber a contribuição efetiva destes.<br />
  60. 60. DECOMPOSIÇÃO DAS ST EM<br />TENDÊNCIA E SAZONALIDADE<br />A tendência pode ser isolada de uma série através da análise de regressão linear simples ou da análise de regressão não linear simples, dependendo do conjunto de dados.<br />
  61. 61. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES<br />Este é o tipo de regressão mais usado na prática. Para tanto, uma reta é ajustada ao conjunto de dados e, após, subtraída do mesmo. <br />As equações de regressão linear são as seguintes:<br />
  62. 62. Exemplo:<br />
  63. 63. Substituindo os valores acima nas equações de a e b:<br />
  64. 64. SÉRIE FINAL SEM TENDÊNCIA<br />
  65. 65. VARIAÇÕES SAZONAIS<br />Nos estudos climatológicos é interessante remover a componente sazonal das séries temporais, pois ela é muito intensa, principalmente nas regiões extratropicais, o que acaba mascarando as outras componentes das séries. <br />Para removê-la um método usado é o da subtração das normais. <br />
  66. 66. SÉRIE FINAL SEM SAZONALIDADE<br />
  67. 67. ANÁLISE HARMÔNICA<br />
  68. 68. ANÁLISE HARMÔNICA<br />A análise harmônica consiste da representação de flutuações ou variações em uma série temporal que se originou da adição de uma série de funções seno e cosseno. <br />Estas funções trigonométricas são “harmônicos” que são escolhidos como tendo freqüências que são múltiplas da freqüência “fundamental” determinada pelo tamanho amostral da série de dados. <br />
  69. 69. FUNÇÃO SENO OU COSSENO<br />
  70. 70. REPRESENTAÇÃO DE UMA ST COM UMA FUNÇÃO HARMÔNICA<br />Três dificuldades: <br />1) O argumento de uma função trigonométrica é um ângulo, enquanto os dados da série são função do tempo.<br />2) As funções cosseno e seno flutuam entre +1 e -1, enquanto os dados geralmente flutuam entre diferentes limites. <br />3) A função cosseno tem máximo valor para  = 0 e  = 2. Ambos seno e cosseno podem assim estar posicionados arbitrariamente na horizontal com respeito aos dados.<br />
  71. 71. A solução para o primeiro problema aparece quando consideramos o comprimento dos dados (n) como constituindo um ciclo completo, ou período fundamental. Uma vez que o período fundamental corresponde a 360º ou 2 radianos em medida angular, é fácil reescalar proporcionalmente o tempo à medida angular usando:<br />
  72. 72. Os outros doisproblemas são resolvidos deslocando a função seno para cima/baixo, e então “esticando” ou “comprimindo” verticalmente até que seu intervalo corresponda ao dos dados. Mas como?<br />Uma vez que a média de uma onda seno pura é zero, simplesmente adicionar o valor médio da série de dados ao seno assegura que o mesmo irá flutuar em torno do valor médio. <br />O “esticamento” pode ser obtido pela multiplicação por uma constante C1 que é conhecida como amplitude.  <br />
  73. 73. TRANSFORMAÇÃO DE UM COSSENO NUMA ST<br />
  74. 74. PASSO A PASSO<br />Temos o gráfico dos 12 meses, de janeiro a dezembro (linha com ). <br />A temperatura média anual é 46,1 °F (linha contínua horizontal). <br />A temperatura média mais quente é 68,8°F em julho e a mais fria é 22.2°F em janeiro.<br />A curva na parte inferior (linha com ▲) é a função cosseno.<br />A linha com ◊ mostra a curva deslocada para o nível da temperatura média anual. O estiramento aproximado foi feito escolhendo como C1 a metade da diferença entre os dois valores extremos.<br />
  75. 75. PASSO A PASSO<br />Finalmente a curva precisa ser deslocada para a direita, de modo a coincidir com os dados. O máximo da série de dados ocorre em julho, então, calculando o deslocamento da fase:<br />O resultado é a aplicação deste valor em (linha com *):<br />
  76. 76. DIVERSOS HARMÔNICOS<br />
  77. 77. Como vimos os fenômenos meteorológicos podem ser compostos por diversos harmônicos ou variabilidades, no próximo item vamos ver algumas dessa variabilidades.<br />
  78. 78. OBRIGADA!<br />Simone E. Teleginski Ferraz<br />Departamento de Física – UFSM<br />simonefe@pq.cnpq.br<br />

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