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  • 1. Modelos de Redes: Problema del flujo máximo M. En C. Eduardo Bustos Farías
  • 2. Problema del flujo máximo 2
  • 3. Problema del flujo máximo Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red. Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos intermedios Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.
  • 4. Considere una red con un nodo de entrada (o fuente) y un nodo de salida (o antifuente). El problema del flujo máximo pregunta: ¿Cuál es la cantidad máxima de vehículos, líquido, peatones o llamadas telefónicas que pueden entrar y salir del sistema en un periodo determinado de tiempo? 4
  • 5. En este tipo de problemas se intenta conducir el flujo por las ramas o arcos de la red en forma óptima, aunque dicho flujo está limitado por restricciones diversas tales como: condiciones de la carpeta asfáltica, diámetros de tubería, etc. Al límite máximo de flujo de una rama se le denominará capacidad de flujo. 5
  • 6. Se quiere transportar la máxima cantidad de flujo desde un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) ie. Al respecto diremos que existen muchos algoritmos especializados para dar solución a los P.F.M. 6
  • 7. Observación: 1.Se debe considerar una red dirigida. 2.Tiene una fuente y un pozo. 3.Los otros nodos son de trasbordo. 4.Capacidad de los arcos. 5.El objetivo es determinar el patrón factible de flujo a través de la red que maximice el flujo total desde la fuente de destino. 7
  • 8. Definición del Problema - Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan. - Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de la red son depositados. - Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale. - La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad Cji para la dirección opuesta.
  • 9. El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.
  • 10. El problema consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total que puede circular a través de la red en una unidad de tiempo. El único requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o el destino) la relación de equilibrio debe cumplirse: flujo que sale = flujo que entra 10
  • 11. Dicho en términos formales, siendo f = flujo, n = destino, l = origen: Maximizar f sujeto a: = f, si i = 1 ∑ j xij − ∑ j x ji = = -f, si j = n = 0 en otro caso 0 ≤ xij ≤ U ij ∀i, j de la red U ij = 11 capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos arcos.
  • 12. El algoritmo de flujo máximo se fundamenta en pasos de sentido común: encontrar un camino que inicie en la fuente y concluya en la antifuente, que tenga capacidad de flujo en el sentido deseado y mayor a cero para todas las ramas que integran el camino o ruta. Debemos continuar buscando caminos que vayan de fuentes a depósitos y que sigan teniendo capacidad mayor a cero para todas las ramas en el sentido del flujo. 12
  • 13. PASOS DEL ALGORITMO 1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a cero en el sentido deseado. 2. Encontrar la rama de menor capacidad (Pf) del camino seleccionado en el paso anterior y programar el envío de dicha capacidad (Pf). 3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad Pf en las ramas involucradas y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario. 4. Repetir el procedimiento desde el paso 1. 13
  • 14. EJEMPLO 1 Flujo máximo 14
  • 15. Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15,000 vehículos/hora en el horario “pico”. Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vías, un grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes. 15
  • 16. La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías. 16
  • 17. 1. ¿Puede la red propuesta dar cabida a un flujo máximo de 15,000 v/h de norte a sur? 2. ¿Cuál es el flujo máximo de vehículos que permite la red cada hora? 3. ¿Qué flujo se debe canalizar sobre cada rama? 17
  • 18. SOLUCIÓN 18
  • 19. 0 5 2 3 1. 1-2-5-7 3 19
  • 20. 0 5 2 1 0 1 3 6 1. 1-2-5-7 3 2. 1-3-6-7 6 20
  • 21. 0 5 2 0 1 0 1 3 4 6 1 1. 1-2-5-7 3 4 2. 1-3-6-7 6 3. 1-4-6-7 1 21
  • 22. 0 5 4 2 0 0 1 0 1 3 4 3 6 1 1. 1-2-5-7 3 3 2. 1-3-6-7 6 1 4 3. 1-4-6-7 1 4. 1-4-6-5-7 1 22
  • 23. SOLUCIÓN FINAL 0 5 4 2 0 0 2 1 0 0 1 0 1 4 3 1. 1-2-5-7 3 2. 1-3-6-7 6 3 4 3. 1-4-6-7 1 4. 1-4-6-5-7 1 3+6+1+1+2=13 5. 1-2-3-5-7 2 23
  • 24. 0 5 4 2 0 0 2 1 0 0 1 0 1 3 4 3 6 1 3 1 4 2 3 6 5 2 2 1 7 6 6 2 2 24
  • 25. EJERCICIO 2 Flujo máximo 25
  • 26. La compañía estatal de petróleo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para transportar petróleo desde su refinería (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento. Una parte de la red de oleoductos es la siguiente: ¿Cuál es el flujo máximo? 26
  • 27. Como puede observarse, las capacidades de flujo son variables como resultado de los diversos diámetros de los ductos caps. en miles de gal. por hora. 1. La empresa desea abastecer el almacén 7, ¿Cuál es el flujo máximo con el cual puede abastecerlo? 2. ¿Cuánto tiempo se requiere para satisfacer una demanda de 95,000 galones para el mismo almacén? 3. Si se presentará una ruptura o cierre en el ducto que va de 2-3, ¿Cuál sería ahora el flujo máximo para el sistema? 27
  • 28. SOLUCIÓN 28
  • 29. 0 2 3 3 3 1. 1-2-5-7 3 29
  • 30. 0 2 3 4 3+2 3 + 2 0 1. 1-2-5-7 3 2. 1-4-7 2 30
  • 31. 0 2 3 42 0 3 3+2+2 3 + 1 2 +2 0 1. 1-2-5-7 3 2. 1-4-7 2 3. 1-4-3-6-7 2 31
  • 32. 0 2 1 3 1 42 1 0 3 3+2+2+1 3 0 + 1 2 + 0 2 + 1 1. 1-2-5-7 3 2. 1-4-7 2 3. 1-4-3-6-7 2 4. 1-4-3-5-7 1 32
  • 33. 0 2 1 3 1 42 1 0 32 3+2+2+1+1 3 0 0 + 1 0 2 + 0 2 + 1 1. 1-2-5-7 3 + 2. 1-4-7 2 1 3. 1-4-3-6-7 2 4. 1-4-3-5-7 1 5. 1-4-6-7 1 33
  • 34. 0 1 2 1 0 3 2 0 1 42 1 0 32 3+2+2+1+1+ 3 0 + 0 1 0 2 + 2 0 + 1 + 1 1. 1-2-5-7 3 + 1 2. 1-4-7 2 3. 1-4-3-6-7 2 4. 1-4-3-5-7 1 5. 1-4-6-7 1 6. 1-2-3-5-7 1 34
  • 35. 0 1 2 1 0 3 2 0 1 42 1 0 32 3 0 + 0 1 0 2 + 2 0 + 1 El Flujo máximo es: 1. 1-2-5-7 3 3+2+2+1+1+1=10 + 1 2. 1-4-7 2 + 3. 1-4-3-6-7 2 1 4. 1-4-3-5-7 1 5. 1-4-6-7 1 6. 1-2-3-5-7 1 35
  • 36. 3 4 1 5 1 2 3 6 3 1 2 El Flujo máximo es: 3+2+2+1+1+1=10 36
  • 37. Deducción del modelo de programación lineal para el problema del flujo máximo 37
  • 38. El problema es enviar gas natural desde un campo de producción a una ciudad a través de gaseoductos. 38
  • 39. El planteamiento con estos datos 0 8 sería: 3 Máx f sujeto a: 6 7 0 0 0 x12 ≤ 10 x13 ≤ 6 x12 + x13 = f x 23 ≤ 3 x12 − x 23 − x 24 = 0 x 24 ≤ 5 x34 ≤ 7 x13 + x 23 − x34 − x35 = 0 x35 ≤ 8 x 24 + x34 − x 45 = 0 x 45 ≤ 8 x35 + x 45 = f xij ≥ 39 , ∀ij 0
  • 40. Este planteamiento no se ajusta a la formulación estándar de programación lineal de costo mínimo, puesto que se desconoce f y aparece simultáneamente en la función objetivo y en el lado derecho de las restricciones. Si se plantea así no es posible utilizar el algoritmo de programación lineal, por ello utilizaremos el artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos inicial y final (x51), con ello ahora el planteamiento sería: 40
  • 41. 41
  • 42. 0 6 x12 ≤ 10 x13 ≤ 6 x 23 ≤ 3 x51 − x12 − x13 = 0 x 24 ≤ 5 x12 − x23 − x24 = 0 x34 ≤ 7 x13 + x23 − x34 − x35 = 0 x35 ≤ 8 x24 + x34 − x45 = 0 x 45 ≤ 8 − x51 + x35 + x45 = 0 xij ≥ 0, ∀ij f =x 42 MAX
  • 43. Ejercicio para resolver Flujo máximo 43
  • 44. Un conjunto de vías rápidas tiene las siguientes capacidades (miles de vehículos/hora). 1. Determinar el flujo máximo de vehículos/hora que pueden pasar por el sistema.44 2. ¿Cuántos vehículos/hora deben pasar por cada vía para lograr el flujo máximo?
  • 45. SOLUCIÓN 45
  • 46. 3 1 6 2 3 5 3 1 2 ITERACIÓN CAMINO Pf FLUJO TOTAL DESPUÉS DE LA ITERACIÓN SELECCIONADO (vehículos/hora) 1 1-4-6 (1-4) 3,000 3,000 2 1-2-5-6 (1-2) 3,000 6,000 3 1-3-6 (3-6) 2,000 8,000 4 1-3-4-2-5-6 (2-5) 1,000 9,000 5 1-3-4-5-6 (3-4) 2,000 11,000 46
  • 47. PROBLEMA LINEAL 47
  • 48. 48
  • 49. 49
  • 50. 50
  • 51. EJEMPLO 4 CENTRO REGIONAL DE CÓMPUTO Árbol de expansión mínima 51
  • 52. Un centro regional de cómputo (C.R.C.), debe instalar líneas especiales para comunicación, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañía telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms.) de estas líneas sea la menor posible. 52 La red para este problema es la siguiente:
  • 53. Un centro regional de cómputo (C.R.C.), debe instalar líneas especiales para comunicación, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central, la compañía telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones, pero es una operación costosa. Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms.) de estas líneas sea la menor posible. La red para este problema es la siguiente: 53
  • 54. SOLUCIÓN 54
  • 55. Desarrollo del algoritmo: · Ubicarse en el nodo 3 (puede ser en cualquier otro nodo) y se encuentra que el nodo más próximo es el 4 (10 Kms.) · El siguiente nodo más cercano al 3 o 4 es el nodo 6 (20 Kms). · Repitiendo el paso anterior tenemos el siguiente árbol de extensión mínima: 55
  • 56. Con una extensión de 110 Kms. 56
  • 57. Interacción Nodos Distancia (Km.) 1 3-4 10 2 4-6 20 3 3-5 30 4 4-1 30 5 1-2 20 110 Km. 57
  • 58. MÉ1TODO TABULAR 2 3 4 5 6 1 20 40 30 50 40 2 20 40 3 40 10 30 4 30 10 20 5 50 40 30 40 6 40 20 40 58