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Variacion De Parametros

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  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALES
    METODO POR VARIACION DE PARAMETROS
    Método de variación de parámetros.
    Wronskiano y variación de parámetros.
    Cauchy-Euler.
    Veamos un ejemplo.
    Daniela Rossalind Aguirre García
  • 2. i. Método de VARIACION DE PARAMETROS
    Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden
     
     a2(x)y”+a1(x)y’+a0(x)y= g(x)
    Se empieza por escribir la ecuación en la forma estándar
    Y”+P(x)y’ + Q(x)y=f(x)
  • 3. i. Método de VARIACION DE PARAMETROS
    Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x) obtenemos una solución complementaria por el método de coeficientes constantes, además en la obtención de una solución particular se tienen métodos como coeficientes indeterminados ó método del anulador, pero estos no siempre son los más efectivos, es por estos que la variación de parámetros resulta muy beneficiosa en la solución de ecuaciones no homogéneas
  • 4. ii. WRONSKIANO Y VARIACION DE PARAMETROS
    Supongamos que la solución particular yp=u1(x)y1(x) que se uso en la reducción de orden anteriormente dada, para encontrar una solución particular yp de dy/dx+ P(x)y=f(x) para la ecuación lineal de segundo orden dos se busca una solución de la forma yp=u1(x)yq(x)+u2(x)y2(x) derivando está ecuación dos veces y reemplazándolas en la ecuación diferencial y”+P(x)y’+Q(x)y=f(x) se llega a establecer un sistema de ecuaciones y1u1’+y2u2’=0; y1’u1’+y2’u2’=f(x) que es solucionado por la regla de Cramer, expresándose:
    U1’= -y2f(x)= W1 = U2 y1f(x)= W2
    W(y1,y2) W(y1,y2) ; W(y1,y2) w(y1,y2)
    Donde es el Wronskiano de las funciones obtenidas en la solución asociada a la homogénea y son:
    W1= , W2= W=
  • 5. ii. WRONSKIANO Y VARIACION DE PARAMETROS
    Para determinar u1(x),u2(x) integramos u1’,u2’, es decir
    U1(x)=-∫y2f(x)= dx, U2(x) =∫y1f(x)= dx,
    W(y1,y2) W(y1,y2)
  • 6. iii. CAUCHY - EULER
    Una ecuación Cauchy-Euler de orden dos tiene la forma
    a2x2y”+a1xy’+a0y=g(x)
    Y”+a 1/xy’+ b 1/x2y R(x), R(x)= g(x)/a2x2
    Donde a0,a1,a2…..,anson constantes reales
    Para resolver este tipo de ecuaciones hacemos la sustitución x= ex entonces x= ln x entonces….
    Y”+(a-1)y’ +by=0
  • 7. iv. VEAMOS UN EJEMPLO
    Encontremos la solución particular de la EDO
    Encontremos las soluciones de la EDO homogénea
  • 8. iv. VEAMOS UN EJEMPLO
    Matriz inversa
    Producto matricial
  • 9. iv. VEAMOS UN EJEMPLO
    Integración de cada función u1 y u2
    Finalmente, la solución particular es Y=yh+yp
  • 10. V. BIBLIOGRAFIA