Propiedades De Los NúMeros Reales

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ESTOS SLIDES SIRVEN PARA DEMOSTRAR A LOS ESTUDIANTES LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES HACIENDO USO ADECUADO DE LOS 6 AXIOMAS BÁSICOS.

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  • buenas noches. No entiendo el último ejemplo. No es incorrecto demostrar a partir de la afirmación de la tesis? yo conozco 3 métodos, directo, indirecto y por el absurdo... ninguno parte de la afirmación de la tesis!
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  • Gracias por responder antes que nada, ya comprendo. Saludos Claudia
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Propiedades De Los NúMeros Reales

  1. 1. DEMOSTRACIÓN AXIOMÁTICA DE LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES VISITE EL BLOG: http://opinionenaccion.blogspot.com Lic. DENNIS RAÚL MUCHA MONTOYA 2009 DERMUM
  2. 2. AXIOMA ETIMOLOGÍA <ul><li>Proviene del griego : </li></ul><ul><li>αξιωμα (axioma), que significa &quot;lo que parece justo&quot; o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. </li></ul><ul><li>La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa &quot;valorar“ </li></ul><ul><li>Que a su vez procede de αξιος (axios) que significa &quot;valuable&quot; o &quot;digno&quot;. </li></ul><ul><li>DEFINICIÓN ETIMOLÓGICA: </li></ul><ul><li>Un axioma es aquello que parece ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba. </li></ul>DERMUM
  3. 3. <ul><li>Un axioma, en epistemología , es una &quot; verdad evidente &quot; que no requiere demostración , pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción . </li></ul><ul><li>En matemática , un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión . </li></ul>AXIOMA DERMUM
  4. 4. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES <ul><li>La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se pueden deducir las demás propiedades. </li></ul><ul><li>Los números reales son el conjunto R con dos operaciones binarias (+) y (x) el cual satisface los siguientes axiomas. </li></ul>DERMUM
  5. 5. AXIOMA 1: CERRADURA O CLAUSURA <ul><li>Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R. </li></ul>DERMUM
  6. 6. AXIOMA 2: PROPIEDAD CONMUTATIVA (SUMA Y MULTIPLICACIÓN) Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a. DERMUM
  7. 7. AXIOMA 3: PROPIEDAD ASOCIATIVA (SUMA Y MULTIPLICACIÓN) <ul><li>Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y </li></ul><ul><li>a*(b*c) = (a*b)*c </li></ul>DERMUM
  8. 8. AXIOMA 4 :PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. <ul><li>Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac . </li></ul>DERMUM
  9. 9. AXIOMA 5: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. <ul><li>R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales. </li></ul>DERMUM
  10. 10. AXIOMA 6: ELEMENTOS INVERSOS <ul><li>Si a está en R entonces existe un </li></ul><ul><li>(-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1. </li></ul>DERMUM
  11. 11. Propiedades en R <ul><li>Si a, b, y c son números reales entonces: </li></ul><ul><li>a+b = b+c => b = c; Ley de simplificación para la suma. </li></ul><ul><li>(-a) es único; Posibilidad de la sustracción </li></ul><ul><li>-(-a) = a </li></ul><ul><li>-(a+b) = -a + (-b) </li></ul><ul><li>ab = ac, a ≠ 0 => b = c </li></ul><ul><li>− 1 es único  (−1)a = -a </li></ul><ul><li>a*0 = 0 </li></ul><ul><li>(-a)b = a(-b) = -ab </li></ul><ul><li>(-a)(-b) = ab </li></ul><ul><li>ab = 0 => a=0 ó b=0 </li></ul>DERMUM
  12. 12. <ul><li>Ejemplo Nº 01: Comprobar (-a)b = -ab usando los axiomas. </li></ul><ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>(-a)b = (-a)b + 0 axioma 5 </li></ul><ul><li>= (-a)b + [ab + (-ab)] axioma 6 </li></ul><ul><li>= [(-a)b +ab] + (-ab) axioma 3 </li></ul><ul><li>= [(-a)+a]b + (-ab) axioma 4 </li></ul><ul><li>= 0.b + (-ab) axioma 6 </li></ul><ul><li>= [0.b + 0] + (-ab) axioma 5 </li></ul><ul><li>= {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab) axioma 6 </li></ul><ul><li>= [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab) axioma 3 </li></ul><ul><li>= [(0+a).b + (-ab)] + (-ab) axioma 4 </li></ul><ul><li>= [ab + (-ab)] + (-ab) axioma 5 </li></ul><ul><li>= 0 + (-ab) axioma 6 </li></ul><ul><li>= (-ab) + 0 axioma 2 </li></ul><ul><li>= -ab axioma 5 </li></ul>DEMOSTRACIÓN AXIOMÁTICA DERMUM
  13. 13. IMPORTANTE <ul><li>Cada una de las propiedades algebraicas se podrían demostrar como el ejemplo: </li></ul><ul><li>Sin embargo una demostración a partir de los axiomas sería demasiado extensa y repetitiva de muchas propiedades. </li></ul><ul><li>Por ejemplo si ya tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nos ahorraríamos seis pasos en el procedimiento anterior. </li></ul><ul><li>En realidad es conveniente comprobar algunas propiedades básicas sencillas de justificar y utilizarlas para la demostración de otras más complicadas. </li></ul>DERMUM
  14. 14. Ejemplo 02: Demuestre: a+b = a+c => b = c <ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>Consideremos un elemento (-a) tal que; </li></ul><ul><li>a + (-a) = 0 Según el axioma 6. </li></ul><ul><li>Por lo tanto: </li></ul><ul><li>a+b = a+c </li></ul><ul><li>=>(-a)+(a+b) = (-a)+(a+c) sustitución directa </li></ul><ul><li>(-a+a)+b = (-a+a)+c asociatividad </li></ul><ul><li> 0+b = 0+c elemento inverso </li></ul><ul><li> b = c elemento neutro </li></ul>DERMUM
  15. 15. Ejemplo 03: Demuestre (-a) es único (Posibilidad de la sustracción) <ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>Sabemos que para a existe (-a) tal que a+(-a) = 0 </li></ul><ul><li>Existe otro número b tal que: </li></ul><ul><li> a + b = 0, </li></ul><ul><li>a+(-a) = a + b </li></ul><ul><li>-a = b Ley de cancelación </li></ul>DERMUM
  16. 16. Ejemplo 04: Demuestre que; a.0 = 0 <ul><li>Demostración. </li></ul><ul><li>a.0 = a.(0+0) = a.0 + a.0 Elemento neutro Propiedad distributiva </li></ul><ul><li> a.0 = a.0 + 0 Elemento neutro </li></ul><ul><li> a.0 + a.0 = a.0 + 0 </li></ul><ul><li> a.0 = 0 Ley de cancelación. </li></ul>DERMUM
  17. 17. Ejemplo 05: Demuestre; (-a)b = a(-b) = -ab <ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>(-a)b = (-a)b + 0 E lemento neutro </li></ul><ul><li>= (-a)b + [ab + (-ab)] E lemento inverso = [(-a)b +ab] + (-ab) P ropiedad asociativa </li></ul><ul><li>= [(-a)+a]b + (-ab) P ropiedad distributiva = 0.b + (-ab) E lemento inverso = 0 + (-ab) E lemento neutro </li></ul><ul><li>= -ab E lemento neutro </li></ul>DERMUM
  18. 18. Ejemplo 06: Compruebe; a/b + c/d = (ad+bd)/bd <ul><li>Demostración: </li></ul><ul><li>(ad + bc) / bd = (ad + bc) (bd) -1 </li></ul><ul><li>= (ad+bc)b -1 d -1 </li></ul><ul><li>= adb -1 d -1 +bcb -1 d -1 </li></ul><ul><li>= ab -1 + cd -1 </li></ul><ul><li>= a/b + c/d </li></ul>DERMUM
  19. 19. TRABAJO GRUPAL <ul><li>Demostrar las propiedades en R. </li></ul><ul><li>GRACIAAAASSSS..... </li></ul>DERMUM

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