Algebra De Boole

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  • Algebra De Boole

    1. 1. ALGEBRA DE BOOLE CAMILA ANDREA CARDOZO. DANNY CUBILLOS
    2. 2. ALGEBRA DE BOOLE Es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.
    3. 3. OPERACIONES Hemos definido el conjunto A = {0,1} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales: Operación suma La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: a +b=c Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo
    4. 4. Ejemplo: “Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0” a b a+b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
    5. 5. Operación producto La operación producto ( *) ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: a*b=c Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores:
    6. 6. •solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0 a b a*b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
    7. 7. Operación negación La operación negación presenta el opuesto del valor de a a ¬a 0 1 1 0
    8. 8. Operación combinadas La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad. ¬a+b a b ¬a ¬a+b 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1
    9. 9. ALGEBRA DE BOOLE Lógica ↔ Razonamiento humano  Características: 1- Se han definido funciones binarias que llamaremos:  aditiva (x+ y)  multiplicativa (x*y)  monaria (de un solo parámetro) por x'. 2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)  Además, es una herramienta que permite modelar los sistemas digitales.
    10. 10. FUNCIONES BÁSICAS Operaciones BOOLEANAS básicas en un AB  Igualdad  Unión (función =O)  OR.  Intersección (función  AND. Y)  Negación (función  NOT. NO)
    11. 11. LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE  Conmutativa A+B=B+A  Asociativa A+ (B + C)= (A + B) + C A×B=B A× ×A Distributiva (B × C)= (A × B) × C A + (B × C) = (A + B) × (A + C) A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
    12. 12. Teoremas y Reglas 1) A + 0 = A 7) A × A = A 2) A + 1 = 1 8) A × Ā = 0 3) A × 0 = 0 9) Ā = A 4) A × 1 = A 10) A +AB = A 5) A + A = A 11) A +AB = A+B 12) (A+B)(A+C)=A+BC 6) A + Ā = 1 5/33
    13. 13. a + a =1 a⋅a = 0 a=a a + b + c = a ⋅b⋅c a ⋅b ⋅c = a + b + c EJEMPLOS A +AB = A A+AB = A(1+B) Ley distributiva =Ax1 Regla 2: (1+B)=1 = A Regla 4: (Ax1)=A
    14. 14. A +AB = A+B A+AB = (A+AB)+ AB Regla10: A=A+AB = A + (A+ A) B Factor Común =A+1xB Regla 6: A+A=1 =A+B Regla 4: Ax1=A
    15. 15. (A +B)(A+C) = A+BC (A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC Ley distributiva = A +AC+AB+BC Regla7:AA=A = A +AC+BC Regla10: A+AB=A = A + BC Regla10: A+AC=A
    16. 16. COMO SIMPLIFICAR CON LAS REGLAS DE BOOLE? 1) ab + a(b+c) + b (b+c) = ab + ab + ac + b + bc Regla 2 = ab + ac + b (1+ c) Regla = ab + ac + b × 1 4 = ab + ac + b = b (a +1) + ac = b × 1 + ac = b +ac 2) [ab × (c+bd) +ab]c = [abc+ 0 + ab]c = abc + abc = (a + a) bc = 1 × bc = bc
    17. 17. GRACIAS

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