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Conjuntos y divisores
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Conjuntos y divisores

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  • 1. .clopen greenroadGuía MatemáticaM ´ULTIPLOS Y DIVISORESprofesor: Nicol´as Melgarejo
  • 2. open greenroad1. M´ultiplos y divisibilidadSe dice que un n´umero a es divisible por otro b si al dividir a con b, el residuo o resto es cero, dichode otra manera:a es divisible por b s´ı y s´olo s´ı a = b · c donde c es cociente.En base a esto podemos decir que a contiene a b exactamente c veces. Llamaremos m´ultiplo de unn´umero a un n´umero que contiene a otro una cantidad exacta de veces, por ejemplo 12 es m´ultiplo de 2porque 12 contiene a 2 seis veces exactamente. Los m´ultiplos de un n´umero pueden obtenerse f´acilmentemultiplicando ese n´umero por la serie infinita de los n´umeros naturales. Veamos un ejemplo con el conjuntode los m´ultiplos de 3.Los m´ultiplos de 3 son:3 × 1 = 33 × 2 = 63 × 3 = 93 × 4 = 123 × 5 = 153 × 6 = 18...3 × n = 3nSi lo escribimos como conjunto por extensi´on:M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, . . . , 3n}Los m´ultiplos de un n´umero n se obtienen multipli-cando n por cada n´umero natural.1.1. N´umeros primosDentro de los n´umeros naturales m´as interesantes est´an los n´umeros primos, los que se caracterizanpor ser divisibles por 1 y por s´ı mismos. Algunos ejemplos de n´umeros primos son:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 37, 97Otra caracter´ıstica muy potente de los n´umeros primos es que con ellos podemos generar cualquierotro n´umero natural mediante la multiplicaci´on de ellos. Esta caracter´ıstica la abordaremos m´as adelante.1.2. N´umeros compuestosCualquier n´umero natural que pueda escribirse como multiplicaci´on de 2 o m´as n´umeros naturalesdistintos de 1 y s´ı mimo, se denomina n´umero compuesto. Por ejemplo el n´umero 12 lo podemosdescomponer as´ı:12 = 3 · 4= 3 · 2 · 2Si descomponemos el n´umero 18 en sus factores primos obtenemos:18 = 2 · 9= 2 · 3 · 3Notar que los t´erminos que componen a un n´umerocompuesto coincide con sus divisores.2
  • 3. open greenroad1.3. Pares e imparesPodemos separar el conjuntos de los enteros Z en dos subconjuntos: pares e impares. Llamamos para todo n´umero que es m´ultiplo de 2, es decir, si un n´umero lo podemos escribir comoP = 2ndonde n ∈ Z, entonces P es par independiente de que n lo sea. Entonces si dividimos un n´umero por2 y el residuo o resto es 0, ese n´umero es par.Los impares son n´umeros que al dividir por 2 obtenemos 1 como residuo o resto. Dicho de otramanera, podemos construir cualquier impar como un par m´as o menos uno.I = 2n ± 1donde n ∈ Z. En estas condiciones I es impar independientemente si n lo es.2. Criterios de divisibilidadPodemos darnos cuenta que a todos los m´ultiplos de un n´umero a los podemos identificar tambi´encomo n´umeros divisibles por a.Si b es m´ultiplo de a, entonces b es divisible por a
  • 4. ¡Mira!Existen ciertas caracter´ısticas de los n´umeros que nos permiten identificar por simple inspecci´on sison divisibles por otro. A continuaci´on mostraremos algunos de estos criterios.2.1. Divisibilidad por 2Un n´umero se dice divisible por 2 si ´este termina en cero o par. Algunos ejemplos de n´umeros divisiblespor 2 son:101221.22440.336324.1181.200.7702.2. Divisiblilidad por potencias de 10Un n´umero es divisible por alguna potencia de 10 si termina en tantos ceros como el n´umero delexponente de la potencia de 10. Por ejemplo 1.200 termina en 2 ceros, entonces es divisible por 102 = 100.En cambio 1.230 termina en 1 cero, por lo que, es divisible por 101 = 10. Algunos ejemplos:120 es divisible por 101.300 es divisible por 10053.000 es divisible por 1.000120.000 es divisible por 10.0003
  • 5. open greenroad2.3. Divisibilidad por 5Un n´umero es divisible por 5 si termina en cinco o cero. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles por5 son:1015301051.20011.115222.2251.098.76599.453.3302.4. Divisibilidad por 4Un n´umero es divisible por 4 cuando las ´ultimas dos cifras de la derecha (decena y unidad) son ceroso forman un n´umero que es m´ultiplo de 4. Algunos ejemplos son:3001.01620.324325.6364.331.50024.500.0402.5. Divisibilidad por 8Un n´umero es divisible por 8 cuando las ´ultimas tres cifras (centena, decena y unidad) son ceros oforman un m´ultiplo de 8. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles por 8 son:3.0007.01620.024257.8008.765.16851.523.0402.6. Divisibilidad por 3Un n´umero es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un m´ultiplo de3. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles por 3:102 es divisible por 3 ya que 1 + 0 + 2 = 3 y 3es m´ultiplo de 37.011 es divisible por 3 ya que 7+0+1+1 = 9y 9 es m´ultiplo de 321.990 es divisible por 3 ya que 1+2+9+9+0 = 21 y 21 es m´ultiplo de 3357.000 es divisible por 3 ya que 3+5+7 = 15y 15 es m´ultiplo de 38.725.161 es divisible por 3 ya que 8 + 7 + 2 +5 + 1 + 6 + 1 = 30 y 30 es m´ultiplo de 331.523.040 es divisible por 3 ya que 3+1+5+2 + 3 + 0 + 4 + 0 = 18 y 18 es m´ultiplo de 34
  • 6. open greenroad2.7. Divisibilidad por 9Un n´umero es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un m´ultiplo de9. A continuaci´on mostramos algunos ejemplos de n´umeros divisibles por 9:162 es divisible por 9 ya que 1 + 6 + 2 = 9 y 9es m´ultiplo de 97.911 es divisible por 9 ya que 7+9+1+1 = 18y 18 es m´ultiplo de 921.996 es divisible por 9 ya que 1+2+9+9+6 = 27 y 27 es m´ultiplo de 9999.990 es divisible por 9 ya que 9 + 9 + 9 +9 + 9 + 0 = 45 y 45 es m´ultiplo de 98.725.761 es divisible por 3 ya que 8 + 7 + 2 +5 + 7 + 6 + 1 = 36 y 36 es m´ultiplo de 931.523.040 es divisible por 9 ya que 3+1+5+2 + 3 + 0 + 4 + 0 = 18 y 18 es m´ultiplo de 3Notar que todo n´umero que es divisible por 9, tam-bi´en lo es por 3.2.8. Divisibilidad por 6Un n´umero es divisible por 6 si cumple con los criterios de divisibilidad por 2 y 3 al mismo tiempo, esdecir, ser´a divisible por 6 si su ´ultima cifra (unidad) es 0 ´o par y la suma de los valores absolutos de suscifras es un m´ultiplo de 3.. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles por 6.102 es divisible por 6 ya que es un n´umero pary la suma de sus cifras es 1 + 0 + 2 = 37.002 es divisible por 6 ya que termina en 2 yla suma de sus cifras es 7 + 0 + 0 + 2 = 921.990 es divisible por 6 ya que termina en 0y la suma de sus cifras es 1+2+9+9+0 = 21357.000 es divisible por 6 es un n´umero par yla suma de sus cifras es 3 + 5 + 7 = 152.9. Divisibilidad por 11Un n´umero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en las posiciones impares yel valor absoluto de las cifras en las pociciones pares, de derecha a izquierda, es cero o un m´ultiplo de 11.Por ejemplo 3.289 es divisible por 11 ya que(9 + 2) − (8 + 3) = 11 − 11 = 0Otros ejemplos de n´umeros divisibles por 11 son:1.122 es divisible por 11 ya que (2 + 1) − (2 + 1) = 096.162 es divisible por 11 ya que (2 + 1 + 9) − (6 + 6) = 0120.901 es divisible por 11 ya que (1 + 9 + 2) − (0 + 0 + 1) = 12 − 1 = 11Desaf´ıo IEn el n´umero 104.3?2, ¿qu´e valores puede tomar ? para que el n´umero sea divisiblepor 6? Respuesta5
  • 7. open greenroad3. Propiedades de la multiplicidad y divisibilidad3.1. Suma de m´ultiplos o divisibles de un n´umeroSi a y b son divisibles por n, entonces a + b tambi´en es divisible por n. En un caso concreto10, 20 y 25 son divisibles por 5, ya que terminan en 0 ´o en 5. Notemos que10 + 20 + 25 = 55Como 55 termina en 5, entonces la suma de los divisibles por 5 es tambi´en divisible por 5.3.2. Diferencia de m´ultiplos o divisibles de un n´umeroSi a y b son divisibles por n, donde a > b, entonces a − b tambi´en es divisible por n. En uncaso concreto 15 y 6 son divisibles por 3. Notemos que 15 − 6 = 9 y 9 es divisible por 3.3.3. Propiedad de los m´ultiplosSi n divide a b entonces dividir´a a cualquier m´ultiplo de b. Por ejemplo 1.122 es divisible por11, si tomamos alg´un m´ultiplo de 1.122, por ejemplo 5.610 y analizamos seg´un el criterio de divisibilidadde 11 se obtiene:(0 + 6) − (1 + 5) = 6 − 6 = 0Como el resultado es 0, entonces 5.610 es tambi´en divisible por 11.3.4. Multiplicaci´on de divisores de un n´umeroSi a es divisible por n y m, entonces a es divisible por mn. El caso m´as simple para ejemplificaresto es el criterio de divisibilidad por 6. Recordemos que un n´umero es divisible por 6 si es divisible por2 y 3, y efectivamente 2 · 3 = 6. Ejercicios 1Resuelve los siguientes problemas1. ¿Por qu´e n´umeros son divisibles 25, 123 y 6.130?2. ¿Cu´al es la menor cifra que se le debe agregar a 341 para que sea divisible por 9?3. Por simple inspecci´on determine ¿cu´al es el residuo de las siguientes divisiones 571 ÷ 2, 1.201 ÷ 3 y1.551 ÷ 11?4. ¿ Por qu´e n´umero es divisible la suma de un m´ultiplo de 11 con otro m´ultiplo de 11?5. ¿La suma de un par con un impar es par o impar? ¿Por qu´e?6. ¿La suma de un par con otro par es par o impar? ¿Por qu´e?7. ¿La multiplicaci´on de dos impares es par o impar? ¿Por qu´e?8. ¿La multiplicaci´on de dos pares es par o impar? ¿Por qu´e?6
  • 8. open greenroad9. ¿Si un n´umero no es divisible por 3, qu´e valor puede tomar el residuo de dividir dicho n´umero por3?10. ¿Si un n´umero no es divisible por 5, qu´e valor puede tomar el residuo de dividir dicho n´umero por5?4. Descomposici´on primaUno de los grandes logros de la Teor´ıa de los N´umeros es haber llegado a la conclusi´on de que todon´umero compuesto puede escribirse como multiplicaci´on de n´umeros primos. A la acci´on de es-cribir un n´umero compuesto como multiplicaci´on de sus divisores primos se le denomina descomposici´onprima. Por ejemplo, si queremos descomponer el n´umero 120, vamos escribi´endolo como multiplicaci´on
  • 9. ¡Mira!de otros n´umeros, hasta llegar s´olo a n´umeros primos:120 = 2 · 60= 2 · 6 · 10= 2 · 2 · 3 · 10= 2 · 2 · 3 · 2 · 5= 2 · 2 · 2 · 3 · 5= 23· 3 · 5 Ejercicios 2Descomponer en sus factores primos los siguientes n´umeros.1. 242. 643. 1214. 1605. 1826. 3067. 6258. 8409. 1.21810. 5.88711. 9.42012. 21.901Es interesante notar que para cada n´umero compuesto existe s´olo un sistema de n´umeros primos quelo descomponen, es decir, cada n´umero compuesto tiene s´olo una factorizaci´on prima. Esta caracter´ıstica,entre otras, es la que hace tan importantes e interesantes a los n´umeros primos.La descomposici´on prima es ´unica para cada n´umerocompuesto.La descomposici´on prima es muy ´util en las matem´aticas, nos permite encontrar el n´umero de divisoresde un n´umero, el m´ınimo com´un m´ultiplo (MCM) y m´aximo com´un divisor (MCD) entre dos n´umeros.7
  • 10. open greenroad4.1. Encontrar el n´umero de divisores de un n´umeroAyud´andonos de que la descomposici´on prima es ´unica para cada n´umero, podemos encontrar to-dos los divisores de ese n´umero haciendo todas las combinaciones posibles entre los factores primos. Sidescomponemos el n´umero 825 obtenemos:825 = 25 · 33= 5 · 5 · 33= 3 · 5 · 5 · 11= 3 · 52· 11Recordemos que al realizar la descomposici´on prima, cada uno de los n´umeros primos divide a 825,y como vimos anteriormente la multiplicaci´on de los divisores de un n´umero tambi´en es divisor de esen´umero. Entonces el n´umero de divisores de 825 ser´an todas las combinaciones que podamos hacer conlos n´umeros 3, 5, 5 y 11 considerando tambi´en a las combinaciones que no incluyan a todos los elementos.Para obtener el n´umero de divisores multiplicamos la potencia aumentada en una unidad de cadaprimo que compone a dicho n´umero, en este caso(1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 · 3 · 2 = 12En efecto, los factores son3050110 = 13150110 = 33051110 = 53050111 = 113052110 = 5 × 5 = 253151110 = 3 × 5 = 153150111 = 3 × 11 = 333051111 = 5 × 11 = 553152110 = 3 × 5 × 5 = 753052111 = 5 × 5 × 11 = 2753151111 = 3 × 5 × 11 = 1653152111 = 3 × 5 × 5 × 11 = 825En el caso que la descomposici´on prima de un n´umero sea n = paqbrc donde p, q y r son primos, eln´umero de divisores D de n esD = (a + 1)(b + 1)(c + 1) Ejercicios 3Hallar el n´umero de divisores que tiene cada uno de los siguientes n´umeros:1. 122. 343. 624. 755. 926. 1067. 4258. 8459. 1.0088
  • 11. open greenroad4.2. Primos relativos o primos entre s´ıSe llaman primos relativos o primos entre s´ı a dos o m´as n´umeros que s´olo tienen como divisorcom´un el 1. Por ejemplo 12 y 25 son primos relativos porque no tienen factores o divisores en com´un.Este concepto ser´a ´util cuando queramos encontrar MCM y MCD de algunos n´umeros.5. M´aximo com´un divisorPuede definirse como el mayor n´umero entero que divide exactamente a dos o m´as n´umeros naturales.Usualmente el m´aximo com´un divisor entre a y b se denota como MCD(a, b). Para calcular el MCD de dosn´umeros hay variados m´etodos o estrategias, pero si conocemos la notaci´on de las potencias y manejamosla descomposici´on prima existe una forma muy simple para obtenerlo.
  • 12. ¡Mira!El m´aximo com´un divisor entre a y b, MCD(a, b),es igual a la multiplicaci´on de las bases primas encom´un entre a y b, elevadas a la m´ınima potenciaa la que aparecen en la descomposici´on prima. Ejemplo1. Hallar el m´aximo com´un divisor entre 12 y 18Soluci´on: Escribimos primero la descomposici´on prima de cada n´umero12 = 4 · 3 = 22 · 318 = 2 · 9 = 2 · 32Notemos que ambos tienen en com´un las bases primas 2 y 3. Ahora debemos identificar cu´al es lam´ınima potencia a la que est´a elevada cada base prima. En el caso de 2 su menor potencia es 1, ypara la base prima 3 la menor potencia es 1 tambi´en. Entonces:MCD(12, 18) = 21· 31= 62. Calcular MCD(36, 75)Soluci´on: La descomposici´on prima de cada uno es:36 = 2 · 18 = 2 · 2 · 9 = 22 · 3275 = 5 · 15 = 5 · 3 · 5 = 3 · 52En este caso la ´unica base prima que tienen en com´un es 3, y la m´ınima potencia a la que est´a elevadaes 1, por lo tantoMCD(36, 75) = 33. ¿Cu´al es el m´as grande de los divisores que tienen en com´un 30 y 72?Soluci´on:30 = 2 · 3 · 572 = 23 · 32Tienen en com´un las bases 2 y 3. La menor potencia de 2 es 1 y la menor potencia de 3 es 1 tambi´en,entonces el mayor de los divisores entre ellos es 21 · 31 = 69
  • 13. open greenroad6. M´ınimo com´un m´ultiploSi tenemos varios n´umeros enteros, llamaremos m´ınimo com´un m´ultiplo de esos n´umeros al menorn´umero entero positivo que es m´ultiplo de todos ellos. El m´ınimo com´un m´ultiplo entre a y b se denotaMCM(a, b) y para calcularlo es ´util usar la descomposici´on prima al igual que para el MCD.
  • 14. ¡Mira!El m´ınimo com´un m´ultiplo entre a y b,MCD(a, b), es igual a la multiplicaci´on de todas lasbases primas diferentes que aparecen en la descom-posici´on prima de a y b, elevadas a la m´axima po-tencia a la que aparecen en las descomposiciones. Ejemplo1. ¿Cu´al es el m´ınimo com´un m´ultiplo entre 9 y 30?Soluci´on: Descomponemos 9 y 30 en sus factores primos.9 = 3230 = 2 · 3 · 5El MCM(6, 30) ser´a igual a la multiplicaci´on de todas las bases primas que aparecen en las dosdescomposiciones, elevadas a la potencia m´axima a la que aparecen. En este caso las bases son 2, 3y 5, y las potencias m´aximas a las que est´an elevadas son 1, 2 y 1 respectivamente. EntoncesMCM(6, 30) = 21· 32· 51= 2 · 32· 52. Obtener el MCM entre 6, 12 y 15Soluci´on: Escribimos el n´umero como descomposici´on prima.6 = 2 · 312 = 22 · 315 = 3 · 5Entonces, el MCM(6, 12, 15) ser´a la multiplicaci´on de todas las bases primas que aparecen en las 3descomposiciones, elevadas a la m´axima potencia.MCM(6, 12, 15) = 22· 3 · 5 = 6010
  • 15. open greenroad Ejercicios 31. Encuentra el MCM y MCD de cada grupo de n´umeros.a) 10 y 15b) 12 y 18c) 3 y 7d) 7 y 11e) 14 y 13f ) 12, 40 y 100g) 145 y 320h) 100 y 150i) 120 y 180j) 30 y 70k) 120 y 400 y 1.0002. Identifica si en los siguientes problemas est´a presente el concepto de MCM y MCD.a) Dos varas de madera de 6 y 15 cent´ımetros se quieren cortar en una misma cantidad de pedazos.¿Cu´antos pedazos se pueden cortar como m´aximo?b) El campanario de una iglesia tiene 2 campanas. Una suena cada 15 minutos y la otra suenacada 32 minutos. Si la ´ultima vez que sonaron juntas fue a las 12:00 am, ¿a qu´e hora sonar´annuevamente juntas?c) ¿Cu´al es el valor m´aximo de la longitud de una regla con la que se puede medir exactamenteel largo y ancho de una habitaci´on de 820 por 635 cent´ımetros de largo?d) Dos listones de madera de 36 y 48 metros respectivamente, se quieren cortar en pedazos igualesy de la mayor longitud posible. ¿Cu´al ser´a el largo de cada pedazo?Desaf´ıo IISi p es m´ultiplo de q, ¿cu´al es el MCM(p, q)? Respuesta11
  • 16. open greenroadDesaf´ıos resueltos Desaf´ıo I: El n´umero es par, independiente del valor que tome ?. Nos falta hacer que el n´umero seadivisible por 3, para ello debe cumplirse que1 + 0 + 4 + 3 + ? + 2 sea m´ultiplo de 3.Fij´emonos que1 + 0 + 4 + 3 + ? + 2 = 10 + ?Notar que si el n´umero inc´ognito es 0, faltar´ıan 2 unidades para ser m´ultiplo de 3 ´o sobra una unidadpara cumplir la misma condici´on. Entonces el n´umero inc´ognito ? debe ser un m´ultiplo de 3 m´as 2´o un m´ultiplo de 3 menos 1.? = 3k − 1? = 3k + 2donde k ∈ N Volver Desaf´ıo II: Como p es m´ultiplo de q, el m´ınimo com´un m´ultiplo entre ellos ser´a el mayor, en estecaso p, entoncesMCM(p, q) = pVolverBibliograf´ıa[1 ] ´Algebra, Edici´on 1983, CODICE S.A. Madrid (1983)Dr. Aurelio Baldor.[2 ] Aritm´etica, Edici´on 1974, CULTURAL CENTROAMERICANA Guatemala (1983)Dr. Aurelio Baldor.12