2. Lógica y Conjuntos
Análisis combinatorio y probabilidades
Sistema de números reales
Relaciones y funciones.
Logaritmos y exponenciales.
Limites y derivadas.
Integrales
2
CONTENIDO
3. Enunciado abierto
Son expresiones que contienen variables y que no
tienen propiedad de ser verdaderos o falsos.
Ejemplo: 𝒙 𝟑 + 5 = 130 ; Ella tiene 17 años.
3
Lógica Proposicional
Enunciado:
Se considera así a toda frase u oración que se emite. Algunos
enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas,
interrogativas; otros en cambio pueden ser verdaderos o
falsos.
Ejemplo:
¿Esta feliz en la facultad?, ¡Que bueno volverte a ver!
La vida universitaria es agitada. , 𝑥2 + 3 = 28
4. Es toda expresión o enunciado que tiene la propiedad de ser
verdadera o falsa; pero no ambos a la vez.
Ejemplo:
4
Proposición:
Notación.
Generalmente a las proposiciones se les denota por letras minúsculas
tales como: p, q, r, ..
Así : p: Luis estudia ; q : Luis trabaja
Función proposicional p(x), esta se convierte en una proposición cuando
la variable toma un valor determinado.
p(x)= 3X + 2 = 11, si X es 3 es verdadero en otros valores de X, la
proposición es falsa.
Luis Pasteur descubrió la vacuna contra la rabia..
52 - 5= 120
Si estudio matemática, entonces apruebo el examen.
Daniel Alcides Carrión es considerado el precursor de la medicina peruana.
5. 1. Todo cardiólogo, es medico………..…………………( )
2. El frio es mejor que el calor…………………………..( )
3. No es cierto que cero es impar………………………( )
4. La UPSM de Chiclayo tiene facultad de Medicina..( )
5. 3.5 + 2.3 = 21…………..……………………………………..( )
6. p(x)= x²+2x – 2 ≥ 6………………………………………..( )
5
Ejercicios:
En cada uno de los ejercicios indicar si es una
proposición lógica.
6. Conectivos lógicos
p : Luis estudia
q : Luis trabaja
: Luis estudia “y” trabajaqp
6
Son expresiones que enlazan dos o más proposiciones Entre estas , se
tiene: “o”; “y” ; “entonces”, “implica”; “ si y solo si”, etc.
Los conectivos lógicos que usaremos son:
7. 7
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Su tabla de verdad es:
La conjunción sólo es verdadera, cuando las
dos proposiciones son verdaderas
8. 8
•La Disyunción:
Relaciona dos o más proposiciones con la palabra “0”;
que se denota por “ “
Su tabla de verdad es:
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
La disyunción sólo es falsa, cuando ambas
proposiciones son falsas.
9. 9
La disyunción exclusiva o diferencia
simétrica
La disyunción exclusiva, sólo admite que es verdadera,
si una de las proposiciones es verdadera y la otra es
falsa. Se denota por: poro
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
Se lee:“p o q pero no ambos”
:qΛp
“ o es p o es q”
p: Javier Pérez de Cuellar nació
en Tumbes.
q: Javier Pérez de Cuellar nació
en Lima.
“ o Javier Pérez de Cuellar nació en
Tumbes o en Lima”.
:qΛp
∆
10. 10
La negación:
La negación de una proposición “p”, es otra proposición
, denotado por “ ~p”, que se lee: “no p” , o “no es
cierto que”, cuya verdad o falsedad queda
determinada por la siguiente tabla:
p ~p
V F
F V
Ejemplo:
P: Eduardo es estudioso
~p: Eduardo no es estudioso, o también: No es
cierto que Eduardo es estudioso
11. 11
El condicional:
En el condicional: p q
“p” se llama antecedente
“q” se llama consecuente
Denotado por el símbolo: se lee: “Entonces” o “implica”, etc.
Por lo tanto, este conectivo une dos o más proposiciones con la palabra
“entonces”
Ejemplo: p: Eduardo estudia
q: Eduardo aprueba el examen
p q : Si Eduardo estudia, entonces aprueba el examen.
12. 12
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Su tabla de verdad es:
Nota: En el condicional: p → 𝑞
Sólo, es falso, cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso; en todo los demás casos es verdadero.
13. 13
Al condicional se le asocia tres expresiones
lógicas importantes:
Sea el condicional: p ⇒ q
La proposición Recíproca es: q ⇒ p
La proposición inversa es: ~p ⇒ ~ q
La Contrarrecíproca es: ~q ⇒ ~p
Construyendo la tabla de verdad, se tiene:
qp pq qp pq
Directo Rcíproco
p q
V V V V V V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V V V
Inversa Contrarecíproco
14. 14
El Bicondicional o Doble implicación
Denotado por: Se lee: “Sí y sólo sí”.
Relaciona dos o más proposiciones mediante la
palabra “sí y sólo si”. Su tabla de verdad es:
qp p q
V V V
V F F
F V F
F F V
p: Londres está en Inglaterra
q: París está en Francia.
Londres está en Inglaterra
si, y solamente si,
París está en Francia.
qp
15. 15
Cálculo de valores de verdad de fórmulas lógicas
Utilizando los conectivos lógicos estudiados, se pueden
combinar cualquier número finito de fórmulas lógicas para
obtener el valor de verdad de otras expresiones más
complejas.
Tener en cuenta que el número de combinaciones de
valores de verdad de una proposición, está supeditado al
número de variables o proposiciones simples que
intervienen. Para esto basta aplicar la fórmula: 2n ,
donde “n” indica el número de variables que hay en la
proposición compuesta.
16. 16
p q
V V F V V F F
V F F V F V V
F V V F F V F
F F V F F F V
Ejemplo:
Construir la tabla de verdad de las siguientes
expresiones lógicas:
qrprqpb
qpqpa
)()(~.)
~)(~.)
Solución: qpqpa ~(~.)
qpqp ~)(~
17. 17
qrprqpb )()(~.)
qrprqp )()(~p q r
V V V F F V V V V V
V V F F F V V V V V
V F V F F V V V F F
V F F F F F V V F F
F V V V V V V V V V
F V F V V V F F F V
F F V V V V F V F F
F F F V F F V F F F
18. 18
Proposiciones equivalentes:
Se dice que dos proposiciones son equivalentes, si
tienen iguales valores de verdad.
Ejemplo:
,~ qpyqp
Construyendo su tabla de verdad:
qp p q ~ p ∨ q
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
Son equivalentes
19. 19
Tautologías, contradicciones y contingencias:
• Una expresión proposicional se llama Tautología, si
los valores de su tabla de verdad todos son verdaderos
• Una expresión proposicional se llama Contradicción, si
los valores de su tabla de verdad, todos son falsos.
• Una expresión proposicional se llama Contingencia,
si en los valores de su tabla de verdad hay valores
verdaderos y falsos
20. Determinar si el siguiente esquema es tautológico, contingente o
contradictorio.
pp)]~q(~q)(p[~ p q
V V F V V F F F V V
V F F V V V F F V V
F V F V V F F V V F
F F V F V V V V V F
pp)]~q(~q)(p[~
20
26. 26
CUANTIFICADORES
Función Proposicional:
Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse
en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una
constante específica. Se les denota asi:
P(x) ; q(x) ; etc.
Ejemplo:
Sea : = 0 ; donde si reemplazamos x por 2 , la
expresión es verdadera; si reemplazamos x por – 4, la
expresión es falsa. Esto escribimos así:
P(2): 4 – 12 + 8=0 es verdadera.
P(- 4): 16+24 + 8 12 es falsa.
27. 27
TIPOS DE CUANTIFICADORES
1.- Cuantificador Universal:
Es toda función proposicional precedida por el prefijo “Para Todo”,
que está denotado por:
Así por ejemplo:
Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x2 es mayor o igual
a cero”
2.- Cuantificador Existencial
Es toda función proposicional precedida por el prefijo “Existe algún
x”, que está denotado por :
0: 2
xRx
082::
"lg"::
2
xRxEjemplo
xúnaExisteleesex
28. 28
Negación de los Cuantificadores:
Dada una función proposicional , tal como : P(x), entonces
si esta función proposicional está cuantificada y se
niega,entonces, se cumple la siguiente igualdad:
)(~:)(:~ xpAxxpAx
Dada una función proposicional, tal como : P(x), entonces,
si esta función proposicional está cuantificada en forma
existencial y se niega, entonces, se cumple la igualdad:
)(~:)(:~ xpAxxpAx
29. Ejercicios de aplicación
1.El valor de verdad de las siguientes proposiciones,
es:
a) (5 – 3 = 8 ) ( 1 – 7 = 6 )………
… F…… ……F………= …V….
b) (3³.4²÷ 2³.3² ≥ 5) Λ ( 4.5.2 – 3.2.5= 8)
……V………. Λ ……F…= …F…
2. Si p(x): x² - 36 = 0 ; q(x): x – 5 = 0 ; r(x): x² > 25
Hallar el valor de verdad de:
a) [p(- 7) Λ ~ q(4)] r(4)
F F = V
b)[(p(5) Λ q(7)) (r(6) v q(2))] [~ p(6) v Q(5)]
V V = V
30. 3. Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición:
a) (p ~ q) (q p)
30
Ejercicios de aplicación
p q (p ~ q) (q p)
V V F F V
V F V V V
F V V F F
F F F F V
31. 4. Determinar si la siguiente proposición es
tautología , contingencia o contradicción.
a) [~p Λ (q Λ ~r)] [(~p Λ q) v ~ (p v r)]
31
Ejercicio de aplicación
p q r [~p Λ (q Λ ~r)] [(~p Λ q) v ~ (p v r)]
V V V F V F
V V F F F V
V F V F V F
V F F F V F
F V V F F V
F V F V V V
F F V F V F
F F F F F V
32. 5. Si la proposición: ~ (pΛq) Λ (q p) es verdadera;
entonces los valores de verdad de p y q; es:
~ (pΛq) Λ(q p) V(p)= F
V V V(q)= F
V
6. Si la proposición:(~p Λ q) (~s v r) es falsa. Hallar
el valor de verdad de cada uno de las
proposiciones:
a) ~[(p q) r ]
b) ~ [(~p Λ q) Λ (~ r v r ) Λ s
32
Ejercicios de aplicación
33. 7. Cuales de las siguientes proposiciones lógicas son
equivalentes:
a) ~(q ~p) (q v p)
b) ~(p q) [(p v q) Λ ~ q]
33
Ejercicios de aplicación
p q ~(q ~p) (q v p)
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F V F
34. 8. Determinar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
a)
X² - X = 0
X.(X – 1) = 0
X = 0 v X = 1………….(V)
b) /x + y = 7
34
Ejercicios de aplicación