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Acquedotti equazionireti
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Acquedotti equazionireti

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Le equazioni delle reti scritte con una notazione vettoriale decente

Le equazioni delle reti scritte con una notazione vettoriale decente

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  • 1. Reti di distribuzione idrica M Ranzato - Reti Idriche Ronco all’Adige Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 2. Reti di distribuzione idrica Sommario Scrivere le equazioni non significa risolverle! 2Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 3. Reti di distribuzione idrica Sommario • Nella lezione presente impareremo che cosa sono, da un punto di vista matematico le reti di distribuzione idrica Scrivere le equazioni non significa risolverle! 2Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 4. Reti di distribuzione idrica Sommario • Nella lezione presente impareremo che cosa sono, da un punto di vista matematico le reti di distribuzione idrica • Si vedranno le equazione di conservazione della massa e di dissipazione dell’energia nelle reti in pressione Scrivere le equazioni non significa risolverle! 2Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 5. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento Servizio Acque Pubbliche - P.A.T. 3Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 6. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento Sorgenti Servizio Acque Pubbliche - P.A.T. 4Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 7. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento Adduzioni Servizio Acque Pubbliche - P.A.T. 5Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 8. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento Serbatoio di testata Servizio Acque Pubbliche - P.A.T. 6Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 9. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Dal sistema informativo della Provincia di Trento Rete di distribuzione Servizio Acque Pubbliche - P.A.T. 7Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 10. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Topologia Serbatoio di compenso Opera di presa Distribuzione Torrino piezometrico Adduzione 8Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 11. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete Gli elementi che compongono una rete sono: • tratti • nodi • maglie 9Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 12. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete Gli elementi che compongono una rete sono: tratti nodi interni esterni maglie 10Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 13. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete Gli elementi che compongono una rete sono: • tratti • nodi • maglie 11Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 14. Reti di distribuzione idrica La rete precedente è una rete mista Questa è una rete aperta (ad albero) 12Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 15. Reti di distribuzione idrica Questa una rete a maglie chiuse Si dice maglia ciascun percorso chiuso che fa capo ad un nodo. La maglia è indipendente se non può essere ottenuta come combinazione di altre maglie. Nella figura sopra ci sono tre maglie indipendenti. 13Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 16. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete • Un tratto (o tronco) unisce due nodi (o vertici) 14Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 17. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete La relazione esistente tra il numero di tratti, t, il numero di maglie m ed il numero di nodi (vertici), n è: n+m t⇥1 15Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 18. Reti di distribuzione idrica Una rete di acquedotto Descrizione matematica della rete Nella rete precedente ci sono • 28 tratti • 4 maglie (indipendenti) • 25 nodi (11 esterni, 14 interni) 16Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 19. Reti di distribuzione idrica La matrice di incidenza Per descrivere matematicamente una rete si può procedere come segue, numerando i nodi (in rosso) e i tratti (in blu) (o di adiacenza) 17Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 20. Reti di distribuzione idrica La matrice di incidenza Nella teoria dei grafi la matrice di incidenza, A, di un grafo orientato, è la matrice aij di dimensioni t * n dove: n è il numero di nodi (vertici) e t è il numero di tratti. Se aij =1 il tronco i esce dal nodo (vertice) j; se aij =-1 il tronco i entra dal nodo (vertice) j; se aij = 0 il tronco i ed il vertice (nodo) j non sono collegati 18Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 21. Reti di distribuzione idrica La matrice di incidenza 1 1 a11 = 1 2 3 a23 = -1 1 2 a21 = 0 Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco uscente dal nodo di indice inferiore ed entrante nel nodo di indice superiore 19Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 22. Reti di distribuzione idrica La matrice di incidenza Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco uscente dal nodo di indice inferiore end entrante nel nodo di indice superiore (La somma dei numeri sulle righe deve essere uguale ad 0) 20Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 23. Reti di distribuzione idrica Una rete semplice 1 1 2 2 nodo serbatoio nodo serbatoio 3 nodo serbatoio 3 Nei nodi serbatoio la piezometrica è fissata dalla quota del serbatoio 21Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 24. Reti di distribuzione idrica Una rete semplice 1 1 2 2 3 nodo interno 3 Nel nodo interno la piezometrica NON è fissata, ma deve essere calcolata 22Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 25. Reti di distribuzione idrica La matrice di incidenza della rete precedente 1 1 2 2 3 ⇥ 1 0 1 0 3 A=⇤ 0 1 1 0 ⌅ 0 0 1 1 4 La rete precedente si può numerare nel modo illustrato. A è la matrice di incidenza che la descrive 23Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 26. Reti di distribuzione idrica La matrice di incidenza - II Si osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola colonna) 2 1 2 3 1 ⇥ 1 | 1 0 0 3 A =⇤ 1 | 0 1 0 ⌅ 4 1 | 0 0 1 24Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 27. Reti di distribuzione idrica La matrice di incidenza - II Si osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola colonna) 2 1 2 3 1 ⇥ A = AI | AS 3 4 25Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 28. Reti di distribuzione idrica Equazioni Conservazione della massa Per ogni nodo interno si può scrivere una equazione di conservazione della massa. In questo caso 1 2 3 Qi ai3 = 0 3 i=1 3 dove Qi è un componente del vettore colonna delle portate fluenti nei tratti: 26Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 29. Reti di distribuzione idrica Equazioni Conservazione della massa In notazione vettoriale, la precedente equazione si potrebbe scrivere: dove è la trasposta della matrice di incidenza (adiacenza) 27Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 30. Reti di distribuzione idrica Equazioni Conservazione della massa Ovvero: 1 2 Q1 Q2 + Q3 = 0 3 3 Se è il vettore colonna che corrisponde alle portate eventualmente fornite od emunte ai vari nodi. 28Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 31. Reti di distribuzione idrica Equazioni Conservazione della massa Se si assume che vi sia un emungimento, immissione di portata anche nel nodo 3, allora il vettore P diviene: Le prime tre equazioni risultano delle assegnazioni e renderebbero il sistema sovradeterminato. In genere non tutte queste portate sono assegnate e, in questo caso, le equazioni corrispondenti, vengono tolte dal sistema (con una riduzione del numero di colonne di A) 29Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 32. Reti di distribuzione idrica Equazioni Conservazione della massa Si ossserci che si è assunto che gli emungimenti avvengano ai nodi in questo caso nessuna equazione di conservazione è associata ai tratti, dove la portata si limita a fluire. 1 Q1 Il flusso di massa determina però una perdita di carico lungo la condotta 30Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 33. Reti di distribuzione idrica Equazioni Conservazione della massa La rete in pressione è soggetta a consumi variabili durante il giorno e durante i mesi. Tuttavia per la progettazione delle reti, si assume che il moto delle condotte in pressione sia permanente con portata pari alla portata di progetto (generalmente la portata massima nel giorni di massimo consumo). Il moto inoltre si assume in regime turbolento, anche se è evidente che in alcuni tratti terminali il moto potrebbe essere di tipo laminare. 1 Q1 31Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 34. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia La perdita di carico è proporzionale al quadrato della velocità dell’acqua fluente e si può allora calcolare con la formula di Darcy-Weisbach o Gaukler e Strickler (Manning nella letteratura anglosassone) 2 Darcy-Weisbach i vi Ji = 2gDi 2 vi 4 4/32 vi Gaukler e Strickler Ji = 4/3 = 2 Ks i Rh i 2 D 4/3 Ks i i 32Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 35. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia Ovvero, in funzione delle portate: 2 i Q2 Darcy-Weisbach Ji = i 3 g ⇥ 2 Di Q2 Gaukler e Strickler Ji = 10.2936 i 16/3 2 Ks i Di 33Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 36. Reti di distribuzione idrica 34Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 37. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia In generale, esprimendo la formule con coefficienti generici e in funzione della portata fluente µ Ji = bi Di Qi |Qi | 1 =2 i 35Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 38. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia Dunque la differenza di altezza piezometrica, Hi, tra due nodi successivi è espressa come dove hk è una componente del vettore (colonna) dei carichi ai nodi ⇥ h1 hk = ⇤ ... ⌅ hn Li è la lunghezza del tubo (del tratto) in esame 36Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 39. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia Nel caso della rete ad albero in esame, abbiamo tre equazioni per i tratti: 1 1 2 2 3 3 4 37Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 40. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia Si osservi che le equazioni di dissipazione dell’energia si possono scrivere: se: sono vettori riga e se: sono vettori colonna con 38Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 41. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia + Continuità Che sommate all’equazione di continuità per il nodo interno (3) danno 4 equazioni, usando le ultime tre per calcolare le quote piezometriche assolute. Q1 Q2 + Q3 = 0 39Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 42. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia + Continuità Assumendo che Q3 sia assegnata dal fabbisogno idrico dell’utenza, la variabili da determinare rimangono con 4 equazioni utili. In dipendenza di altre condizioni del problema in esame potremo determinare due delle variabile scritte sopra e determinare le altre quattro risolvendo le equazioni a disposizione. 40Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 43. Reti di distribuzione idrica Equazioni Dissipazione dell’energia + Continuità Ad esempio: se è assegnata Q2, anche Q1 risulta assegnata (dall’ equazione di continuità). Rimangono in gioco 4 variabili e tre equazioni. Se, per esempio, si assegna la quota del nodo intermedio, si possono determinare univocamente i diametri dei tudi da usare. Viceversa si potrebbe assegnare il diametro di un tubo e determinare le altre tre variabili. 41Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 44. Reti di distribuzione idrica Equazioni continuità In generale, si possono assegnare n equazioni di continuità, tante quante i nodi interni che possono essere scritte: o, in forma vettoriale 42Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 45. Reti di distribuzione idrica All together Le equazioni insieme risultato allora n+t 43Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 46. Reti di distribuzione idrica All together in forma matriciale dove D è la matrice diagonale contenente i diametri dei tubi, I la matrice diagonale e QT il vettore trasposto delle portate. Il numero di equazioni è n+t, il numero di variabili dipende dal problema in esame. Il sistema di equazioni è un sistema non lineare essendo le portate incognite. 44Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 47. Reti di distribuzione idrica Se i diametri delle tubazioni sono assegnati Allora il problema diventa un problema di verifica e le incognite che rimangono sono: le t portate lungo i tratti gli n carichi idraulici dei nodi interni Pertanto il sistema di equazioni è ben determinato 45Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 48. Verifica delle Reti di Distribuzione Idrica Acquedotto Pugliese. La fontanina pubblica Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 49. Reti di distribuzione idrica Calcolo delle reti di distribuzione Il calcolo di una rete consiste nel determinare, per un assegnato insieme di erogazioni, le portate defluenti lungo i lati e le quote piezometriche nei nodi. Nel caso in cui la rete sia alimentata da un unico serbatoio di testata, è immediato riconoscere che è nota la quota piezometrica nel punto in cui la condotta di avvicinamento si immette nella rete. 47 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 50. Reti di distribuzione idrica Proporzionamento delle reti di distribuzione interna Il proporzionamentodi una rete di distribuzione a maglie chiuse rappresenta un problema complesso e con un elevato grado di indeterminazione algebrica. In fase iniziale, infatti, sono da ritenersi note soltanto le scabrezze delle tubazioni (realizzate in ghisa, acciaio o materiali plastici), le lunghezze dei lati della rete e l’entità delle erogazioni di portata, concentrate nei nodi, con riferimento alla condizione di funzionamento considerata (di solito si considerano le portate di punta). Sono altresì incogniti i diametri delle tubazioni, nonché le quote piezometriche nei nodi e le portate defluenti lungo i lati. 48 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 51. Reti di distribuzione idrica Proporzionamento delle reti di distribuzione internaafter Roberto Greco Per ridurre il sovrabbondante numero di incognite del problema, normalmente si assegnano i diametri dei tubi a priori, assegnando tubi di dimensioni maggiori per la rete principale (es. 20-30 cm) e tubi di dimensioni minori per la rete secondaria, ricordando che l’allaccio delle utenze private è, di solito, 7.5 cm. 49 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 52. Reti di distribuzione idrica Proporzionamento delle reti di distribuzione internaafter Roberto Greco Tali diametri dovrebbero considerarsi di primo tentativo. Di fatto la loro assegnazione trasforma il problema di calcolo in un problema di verifica. 50 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 53. Reti di distribuzione idrica Verifica delle reti di distribuzione interna Una volta proporzionati i diametri delle tubazioni della rete, è necessario svolgere le verifiche imposte dalla normativa vigente. Tali verifiche prevedono la schematizzazione di tre condizioni di funzionamento convenzionali della rete: •verifica in condizioni di punta; •verifica antincendio; •verifica a rottura di uno più tratti della rete. Le verifiche consistono nella determinazione delle portate defluenti lungo i lati e delle quote piezometriche nei nodi. Queste ultime dovranno soddisfare i requisiti che garantiscano la regolare erogazione delle portate richieste. 51 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 54. Reti di distribuzione idrica Verifica delle reti nelle condizioni di punta La verifica del funzionamento della rete in condizioni di punta consiste nel considerare tutte le erogazioni medie giornaliere moltiplicate per il coefficiente di punta orario. Una volta svolto il calcolo della rete in tali condizioni, si deve verificare che in tutti i nodi della rete il carico deve superare di almeno 5m il livello del terzo piano degli edifici (o altra prescrizione locale). Qualora la verifica non risultasse soddisfatta, bisogna modificare opportunamente i diametri delle condotte (o innalzare opportunamente il torrino) e ripetere il calcolo finché non risulti verificato. 52 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 55. Reti di distribuzione idrica Verifica antiincendio La verifica antincendio consiste nel garantire, durante lo spegnimento di un incendio, la regolare erogazione di una portata pari all’80% della media giornaliera. La portata antincendio si determina considerando che essa sarà erogata con le manichette delle autopompe dei vigili del fuoco, ciascuna delle quali eroga 15 l/s. Il numero di idranti nidr da considerare attivi in contemporanea è di norma superiore o uguale a 2. La portata si calcola di conseguenza. È buona norma che gli idranti stradali siano posti nella rete ad una distanza non superiore a 50÷100 m l’uno dall’altro. 53 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 56. Reti di distribuzione idrica Verifica antiincendio Ai fini dello svolgimento della verifica antincendio, la portata andrà posizionata nel punto della rete nel quale l’erogazione di una ingente portata concentrata comporti i maggiori problemi per il funzionamento complessivo della rete (se l’individuazione del punto più critico non è univoca, la verifica deve essere ripetuta più di una volta), ovvero nei punti di minimo piezometrico della rete, in condizioni di funzionamento normale. Una volta svolto il calcolo della rete, bisogna verificare che la quota piezometrica sia ovunque superiore di 5 m all’altezza del terzo piano degli edifici e che, dove è erogata la portata antincendio, sia superiore di 15 m al piano stradale (condizione questa per il corretto funzionamento degli apparecchi erogatori delle qutopompe dei vigili del fuoco). 54 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 57. Reti di distribuzione idrica Verifica a rottura La verifica del funzionamento della rete in occasione della rottura di un lato viene svolta ipotizzando che la rottura abbia luogo nel punto più critico (di solito uno dei tratti adiacenti al nodo in cui la condotta di avvicinamento si immette nella rete). La verifica consiste nel controllare che l’interruzione del tratto consenta la regolare erogazione della portata media giornaliera, con la quota piezometrica di progetto. 55 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 58. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Symbol Name nickname Unit Li lunghezza del tronco i-esimo li [L] Di diametro della condotta del tronco i-esimo di [L] Qi portata circolante nel tronco i-esimo qi [L3 T 1 ] Hi perdita di carico idraulico nel tronco i-esimo hi [L] hk carico idraulico nel nodo k-esimo hk [L] Pk portata scambiata con l’esterno nel nodo k-esimo pk [L3 T 1 ] Cj scabrezza del tronco j-esimo (Darcy-Weisbach) cj [] ks j scabrezza del tronco j-esimo (Gaukler-Strickler) ks [L1/3 T 1 ] 56 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 59. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica La verifica avviene usando le equazioni di conservazione della massa (ai nodi) e di dissipazione dell’energia nei tratti: Definendo la matrice diagonale (t x t): 57 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 60. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Le equazioni si possono scrivere: 58 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 61. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Il sistema, scritto ora, sinteticamente: Contiene n + t equazioni (dove n è il numero dei nodi interni e t il numero dei tratti) può essere semplificato riducendo il numero di equazioni e di incognite 59 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 62. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica In particolare, il sistema può essere semplificato considerando la dissipazione dell’energia solo sulle maglie (e non sui tratti). Per fare questo è necessario introdurre una matrice di maglia, B, contenente m * t elementi (pari al numero di maglie per il numero di tratti) il cui valore è kl =1 se il il tronco l-esimo appartiene alla maglia k-esima ed è in direzione concorde alla direzione della maglia se il il tronco l-esimo appartiene alla maglia k-esima ma è in direzione kl = 1 opposta alla direzione della maglia kl =0 seil tronco l-esimo non appartiene alla maglia k-esima 60 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 63. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Nell’esempio due maglie con matrice di maglia: 1 2 61 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 64. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Le equazioni relative ai tronchi possono allora essere sostituite dalle equazioni di maglia: t n t n kl alj hj = kl lj Qj l=1 j=1 l=1 j=1 62 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 65. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Allora il sistema diviene: dove dalla matrice A si è eliminato un nodo, il cui carico risulta dipendente dagli altri 63 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 66. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Poichè = ⇥ (Q 1 ) la seconda delle equazioni precedenti è una equazione non lineare e il sistema è non lineare, generalmente di grado, polinomiale, di grado superiore al quinto e, pertanto, l’equazione risolvente non ha soluzione esatta. La soluzione deve pertanto essere cercato con metodi iterativi 64 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 67. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Tra questi: •Il metodo di Cross •Il metodo di Charles & Wood (1972) •Il metodo di newton-Raphson (Martin and Peters, 1972) •Il metodo del gradiente (Todini e Pilati, 1987, Salgado, 1988) 65 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 68. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Il metodo di Charles and Wood Il sistema: ⌅t ⇤ i=1 aij Qi = Pj j =1···n 1 ⇥ ⌅t ⌅n ⌅t ⌅n l=1 j=1 kl alj hj = l=1 j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m Viene linearizzato imponendo alla prima iterazione Qj =1, ovvero: µ ⇥ b1 D1 L1 · · 0 ⇧ 0 µ b2 D2 L2 · 0 ⌃ ;1 := ⇧ ⇤ ⌃ ⌅ 0 · · 0 µ 0 0 · bt Dt Lt 66 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 69. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Il metodo di Charles and Wood Posizione che rende il sistema: ⌅t ⇤ i=1 aij Qi = Pj j =1···n 1 ⇥ ⌅t ⌅n ⌅t ⌅n ;1 l=1 j=1 kl alj hj = l=1 j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m risolvibile. La soluzione, nella formulazione appena presentata, è un vettore di portate di primo tentativo: 67 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 70. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Il metodo di Charles and Wood Queste portate vanno a determinare il successivo valore ;2 di “secondo tentativo, che va a definire il sistema “di secondo tentativo” ⌅t ⇤ i=1 aij Qi = Pj j =1···n 1 ⇥ ⌅t ⌅n ⌅t ⌅n ;2 l=1 j=1 kl alj hj = l=1 j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m che ha, come soluzioni le portate di “secondo tentativo”: 68 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 71. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Il metodo di Charles and Wood In generale all’interazione s-esima, si otterra la soluzione di “s-esimo tentativo”: derivante dal sistema: ⌅t⇤ i=1 aij Qi = Pj j =1···n 1⇥ ⌅t ⌅n ⌅t ⌅n ;s l=1 j=1 kl alj hj = l=1 j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m 69 Riccardo Rigon Sunday, May 13, 12
  • 72. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Il metodo di Charles and Wood Dove: µ ⇥ b1 D1 |Q1 | 1 ;s 1 L1 · · 0 ⇧ 0 b2 D2 µ |Q2 | 1 ;s 1 L2 · 0 ⌃ ;s := ⇧ ⇤ ⌃ ⌅ · · · · µ 0 0 · bt Dt |Qt | 1 ;s 1 Lt 70 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 73. Reti di distribuzione idrica Problemi di Verifica Il metodo di Charles and Wood Il processo iterativo si ferma quando la differenza relativa tra le portate all’iterazione s-esima e l’iterazione (s-1)-esima sono più piccole di un valore prefissato: >0 Ovvero: t ;s ;s 1 |Qi Qi | ;s < i=1 |Qi | 71 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 74. Reti di distribuzione idrica Un esempio con due maglie nodi: 6 maglie: 2 serbatoi: 0 tratti: 7 72 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 75. Reti di distribuzione idrica Un esempio con due maglie nodi: 6 maglie: 2 serbatoi: 0 tratti: 7 73 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 76. Reti di distribuzione idrica Equazione di Continuità nodi: 6 maglie: 2 serbatoi: 0 tratti: 7 Le equazioni non sono però linearmente indipendenti: solo 5 lo sono 74 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 77. Reti di distribuzione idrica Equazione di dissipazione dell’energia 75 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 78. Reti di distribuzione idrica Il sistema complessivo Il sistema complessivo contiene, assegnati i diametri dei tubi per la verifica, 7 portate e 6 altezze idrometriche incognite e 12 equazioni. Il sistema è non quindi completamente determinato. Si richiede quindi che uno dei carichi sia fissato. Gli altri, assieme alle portate, derivano allora dalla soluzione del sistema. 76 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 79. Reti di distribuzione idrica Se sono da determinare solo le portate Allora le equazioni si possono semplificare. Per determinare le 7 variabili in gioco possiamo limitarci ad usare le 5 equazioni di continuità e le due equazioni di maglia: 77 Riccardo RigonSunday, May 13, 12
  • 80. Riccardo RigonSunday, May 13, 12