Análisis bayesiano
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Análisis bayesiano Presentation Transcript

  • 1. María del Consuelo Valle EspinosaInstituto Tecnológico Superior deZacapoaxtlaDepartamento de DesarrolloAcadémico
  • 2. Si bien las técnicas estadísticas suelen ser muyútiles, ocasionalmente pueden defraudar al usuario.En efecto, pueden despertar expectativas que a lapostre no se cumplan, especialmente cuando elinvestigador renuncia a examinar la realidad através de un pensamiento integral y deja todo enmanos del veredicto formal de los procedimientosestadísticos.Los trabajos desarrollados por Fisher en los años20 y por los matemáticos Neyman y Pearson en ladécada del 30, dieron lugar a un métodoactualmente conocido como contraste designificación, que responde al llamado “paradigmafrecuentista”.
  • 3. Con este método, las decisiones se adoptan sinconsiderar la información externa a lasobservaciones o al experimento.Una de las objeciones más connotadas que sehace al paradigma frecuentista es que no tomaen cuenta de manera formal en el modelo deanálisis la información anterior a los datos,proveniente de estudios previos o de laexperiencia empírica informalmente acumuladaque siempre se tiene sobre el problema que seexamina. Una alternativa ante esta situación seconoce como:Estadística Bayesiana.
  • 4. Bayes nació en Londres en 1702 y falleció el 17 de abrilde 1761 en Tunbridge Wells, Kent. Fue distinguidocomo Fellow de la Royal Society en 1742, aunquehasta ese momento no había dado publicidad a trabajoalguno bajo su nombre. Su artículo más emblemáticose titulaba Ensayo hacia la solución de un problema enla doctrina del azar (Essay towards solving a problem inthe doctrineof chances) y fue publicado póstumamente.El Reverendo Thomas Bayes resolvió cuantitativamentepor entonces el problema de determinar cuál de variashipótesis es más probable sobre la base de sus datos.Su descubrimiento básico se conoce como el Teoremade Bayes.
  • 5. El pensamiento bayesiano tiene más similitud que elfrecuentista con el tipo de situaciones en que se ve elcientífico.Habitualmente: lo que se tiene son datos y lo se que quieredescubrir es qué circunstancias determinaron que los datosfueran esos y no otros.La diferencia esencial entre el pensamiento clásico y elbayesiano radica en que el Frecuentista se pronuncia sobrelos datos a partir de supuestos. El Bayesiano se pronunciasobre los supuestos partiendo de los datos.
  • 6. Probabilidad Condicional.Si se tienen dos eventos A y B (donde A y B son ambos eventosposibles, es decir, con probabilidad no nula), entonces laprobabilidad condicional de A dado B, se define como:Probabilidad ConjuntaCorresponde a la probabilidad de que se presenten resultadoscomunes a los eventos A y B y se denota como P(A∩B)>>>>>
  • 7. Que no es otra cosa más que comparar que tanto la probabilidaddel evento intersección está en relación con la probabilidad delevento B.Auxiliándonos con Diagramas de Venn podemos ilustrar esta definiciónde la manera siguiente:
  • 8. Análogamente si ahora comparamos que tanto laprobabilidad del evento intersección está en relación con laprobabilidad del evento A tenemos:
  • 9. de modo que despejando la probabilidad de la intersección yluego sustituyendo en el numerador de la ecuación [1] :se llega a expresión más simple del Teorema de Bayes:>>>>>>>>>>
  • 10. Antes de generalizar el Teorema de Bayes para máseventos, es necesario ver:Teorema de la Probabilidad Total.Se llama partición al conjunto de eventos Ai tales quees decir es un conjunto de eventos mutuamenteexcluyentes y que cubren todo el espacio de probabilidad.jiAAAAjnAy...i21
  • 11. Si un conjunto de eventos Ai forman una partición del espacio deprobabilidad ypara cualquier otro evento B, se tiene:ii AAp 0)()(...)()( 21 nABABABB
  • 12. Entonces:niiinn ApABpApABpApABpApABpBp12211 )()|()()|(...)()|()()|()(De modo que, tomando el evento Ai en lugar de A en la fórmula[2] y aplicando al denominador el Teorema de la ProbabilidadTotal, se tiene:Teorema de BayesniApABpApABpABp kiiiiii ,...,1para)()|()()|()|(1>>>>>
  • 13. Regresemos a la ecuación [2]El Teorema de Bayes produce probabilidades inversas, enel sentido de que expresa P(A|B) en términos de P(B|A).La terminología convencional para P(A|B) es laprobabilidad a posteriori de A dado B y para P(A) es laprobabilidad a priori de A, dado que se aplica antes, sinestar condicionada por la información de que B ocurrió.
  • 14. Existe otra alternativa de presentación de la forma sencilla delTeorema de Bayes, pero antes de verla, expresemos alevento B de la siguiente manera:Si ilustramos esta última expresión con Diagramas de Venntenemos:)()()(__BApBApBpAABABAB deocomplementelesdonde)()(____
  • 15. Entonces:Que es lo mismo que:Así el Teorema de Bayes [2] también se puede presentarcomo:)()()(__BApBApBp)()|()()|()(____ApABpApABpBp)()|()()|()()|()|( ____ApABpApABpApABpBAp
  • 16. Ejemplo:Análisis diagnósticosSe quiere saber si el nivel de glucosa en la sangre sirve paradiagnosticar la diabetes.Se considera que el análisis es positivo si se encuentra unnivel por encima de un cierto valor, digamos 120 mg/l.Para evaluarlo se somete a este análisis a una serie deindividuos diabéticos diagnosticados por otro procedimiento(el patrón de oro o "gold standar") y a una serie deindividuos no diabéticos.
  • 17. Denotemos por:NE = a los individuos no enfermosE = a los individuos enfermosSe denomina coeficiente falso-positivo, a laestimación de la probabilidad condicionada p(+|NE).Se denomina coeficiente falso-negativo a laestimación de la probabilidad condicionada p(-|E).Estos dos coeficientes cuantifican los dos erroresque la prueba puede cometer y caracterizan a lamisma.
  • 18. Simétricamente, los coeficientes que cuantifican losaciertos son:Sensibilidad, p(+|E)Especificidad p(-|NE)Cuando la prueba se usa con fines diagnósticos (o de"screening") interesa calcular p(E|+) y/o p(NE|-).Como E y NE son una partición de eventosmutuamente excluyentes se puede usar el Teoremade Bayes para calcular p(E|+) y/o p(NE|-).
  • 19. Si p(+|NE) es del 4% y p(-|E) es del 5% y si la prevalencia dela diabetes en la población donde se aplica el análisis clínicoes del 7% ¿cuál es la probabilidad de que sea diabético unindividuo en el que el análisis dé positivo? y ¿de que no lo seasi el análisis da negativo?p(+|NE) = 0,04 p(-|NE) = 0,96p(-|E) = 0,05 p(+|E) = 0,95p(E) = 0,07 p(NE) = 0,93
  • 20. Por lo general, la probabilidad condicional de que ocurra A dado quehaya ocurrido B no tiene por que coincidir con la probabilidad(incondicional) de A.Es decir, saber que ha ocurrido B generalmente hace cambiar laprobabilidad de ocurrencia de A.Cuando P(A|B) es igual a P(A), se dice que A es independiente de B.Puesto queP(A∩B) = P(A|B) P(B)Se deduce que:
  • 21. Los eventos A y B son independientes siP(A∩B) = P(A) P(B)Esto es, la probabilidad de que uno de ellos ocurra no se ve afectada por lainformación de que el otro haya ocurrido o no.Este concepto se puede extender a cualquier número de eventos.La probabilidad de la intersección de cualquier número de eventosindependientes será igual al producto se sus probabilidades.Los eventos A1, A2, …, An son independientes siP(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An) = P(A1) P(A2) … P(An)
  • 22. Referencias:Material docente de la Unidad de BioestadísticaClínicaHospital Ramón Cajal y MedranoMadrid EspañaSilva LC, Muñoz A. Debate sobre métodosfrecuentistas vs bayesianos. Gac Sanit 2000; 14:482-94.