Corrigé de l'exercice B du BAC Spé Maths de la session Amérique du Nord 2021

1. BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021
Exercice B : Fonction logarithme népérien
Clément Boulonne (CBMaths)
31 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 1 / 30

2. Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Question 7
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 2 / 30

3. Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 3 / 30

4. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il
indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 4 / 30

5. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il
indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Exercice B
Principaux domaines abordés :
Fonction logarithme népérien
Convexité
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 4 / 30

6. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans le plan muni d'un repère on considère ci-dessous la courbe Cf
représentative d'une fonction f , deux fois dérivable sur l'intervalle
]0 ; +∞[. La courbe Cf admet une tangente horizontale T au point
A (1 ; 4).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 5 / 30

7. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans le plan muni d'un repère on considère ci-dessous la courbe Cf
représentative d'une fonction f , deux fois dérivable sur l'intervalle
]0 ; +∞[. La courbe Cf admet une tangente horizontale T au point
A (1 ; 4).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 5 / 30

8. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans le plan muni d'un repère on considère ci-dessous la courbe Cf
représentative d'une fonction f , deux fois dérivable sur l'intervalle
]0 ; +∞[. La courbe Cf admet une tangente horizontale T au point
A (1 ; 4).
1 Préciser les valeurs f (1) et f 0
(1).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 5 / 30

9. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
On admet que la fonction f est dénie pour tout réel x de l'intervalle
]0 ; +∞[ par :
f (x) =
a + b ln x
x
où a et b sont deux nombres réels.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 6 / 30

10. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
On admet que la fonction f est dénie pour tout réel x de l'intervalle
]0 ; +∞[ par :
f (x) =
a + b ln x
x
où a et b sont deux nombres réels.
2 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 0
(x) =
b − a − b ln x
x2
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 6 / 30

11. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
On admet que la fonction f est dénie pour tout réel x de l'intervalle
]0 ; +∞[ par :
f (x) =
a + b ln x
x
où a et b sont deux nombres réels.
2 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 0
(x) =
b − a − b ln x
x2
.
3 En déduire les valeurs des réels a et b.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 6 / 30

12. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 7 / 30

13. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
4 Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 7 / 30

14. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
4 Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
5 Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 7 / 30

15. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
4 Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
5 Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
6 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 7 / 30

16. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
4 Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
5 Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
6 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
7 Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 7 / 30

17. Corrigé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 8 / 30

18. Corrigé Question 1
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Question 7
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 9 / 30

19. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans le plan muni d'un repère on considère ci-dessous la courbe Cf
représentative d'une fonction f , deux fois dérivable sur l'intervalle
]0 ; +∞[. La courbe Cf admet une tangente horizontale T au point
A (1 ; 4).
1 Préciser les valeurs f (1) et f 0
(1).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 10 / 30

20. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Préciser les valeurs f (1) et f 0(1).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 11 / 30

21. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Préciser les valeurs f (1) et f 0(1).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 11 / 30

22. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Préciser les valeurs f (1) et f 0(1).
En lisant le graphique, on constate que f (1) = 4 et comme la
tangente T à Cf au point A (1 ; 4) est horizontale, on a : f 0(1) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 11 / 30

23. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Préciser les valeurs f (1) et f 0(1).
En lisant le graphique, on constate que f (1) = 4 et comme la
tangente T à Cf au point A (1 ; 4) est horizontale, on a : f 0(1) = 0.
Conclusion : f (1) = 4 et f 0(1) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 11 / 30

24. Corrigé Question 2
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Question 7
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 12 / 30

25. Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
On admet que la fonction f est dénie pour tout réel x de l'intervalle
]0 ; +∞[ par :
f (x) =
a + b ln x
x
où a et b sont deux nombres réels.
2 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 0
(x) =
b − a − b ln x
x2
.
3 En déduire les valeurs des réels a et b.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 13 / 30

26. Corrigé Question 2
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 0
(x) =
b − a − b ln x
x2
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 14 / 30

27. Corrigé Question 2
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 0
(x) =
b − a − b ln x
x2
.
On a : f (x) =
a + b ln x
x
. On pose u(x) = a + b ln x et v(x) = x.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 14 / 30

28. Corrigé Question 2
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 0
(x) =
b − a − b ln x
x2
.
On a : f (x) =
a + b ln x
x
. On pose u(x) = a + b ln x et v(x) = x.
Les dérivées des fonctions u et v se calculent facilement : u0(x) =
b
x
et v0(x) = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 14 / 30

29. Corrigé Question 2
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 0
(x) =
b − a − b ln x
x2
.
On a : f (x) =
a + b ln x
x
. On pose u(x) = a + b ln x et v(x) = x.
Les dérivées des fonctions u et v se calculent facilement : u0(x) =
b
x
et v0(x) = 1.
Ainsi :
f 0
(x) =
b
x × x − (a + b ln(x))
x2
=
b − a − b ln(x)
x2
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 14 / 30

30. Corrigé Question 3
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Question 7
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 15 / 30

31. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
On admet que la fonction f est dénie pour tout réel x de l'intervalle
]0 ; +∞[ par :
f (x) =
a + b ln x
x
où a et b sont deux nombres réels.
2 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 0
(x) =
b − a − b ln x
x2
.
3 En déduire les valeurs des réels a et b.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 16 / 30

32. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
En déduire les valeurs des réels a et b.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 17 / 30

33. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
En déduire les valeurs des réels a et b.
D'après les questions précédentes, a et b peuvent être déterminés
grâce à la résolution de ce système d'équations :
(
f (1) = 4
f 0(1) = 0
⇔
(
a+b ln 1
1 = 4
b−a−b ln 1
12 = 0
⇔
(
a = 4
b − 4 = 0
⇔
(
a = 4
b = 4
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 17 / 30

34. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
En déduire les valeurs des réels a et b.
D'après les questions précédentes, a et b peuvent être déterminés
grâce à la résolution de ce système d'équations :
(
f (1) = 4
f 0(1) = 0
⇔
(
a+b ln 1
1 = 4
b−a−b ln 1
12 = 0
⇔
(
a = 4
b − 4 = 0
⇔
(
a = 4
b = 4
Conclusion : a = 4 et b = 4, ce qui nous donne :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 17 / 30

35. Corrigé Question 4
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Question 7
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 18 / 30

36. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
4 Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
5 Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
6 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
7 Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 19 / 30

37. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 20 / 30

38. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Limite en x = 0 :
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 20 / 30

39. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Limite en x = 0 :
On sait que : lim
x→0
1
x
= +∞ et lim
x→0
4 + 4 ln(x) = −∞.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 20 / 30

40. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Limite en x = 0 :
On sait que : lim
x→0
1
x
= +∞ et lim
x→0
4 + 4 ln(x) = −∞.
Ainsi :
lim
x→0
f (x) = lim
x→0
1
x
(4 + 4 ln(x)) = −∞.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 20 / 30

41. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Limite en x = 0 :
On sait que : lim
x→0
1
x
= +∞ et lim
x→0
4 + 4 ln(x) = −∞.
Ainsi :
lim
x→0
f (x) = lim
x→0
1
x
(4 + 4 ln(x)) = −∞.
Limite en x = +∞ :
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 20 / 30

42. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Limite en x = 0 :
On sait que : lim
x→0
1
x
= +∞ et lim
x→0
4 + 4 ln(x) = −∞.
Ainsi :
lim
x→0
f (x) = lim
x→0
1
x
(4 + 4 ln(x)) = −∞.
Limite en x = +∞ :
On peut utiliser la propriété de croissance comparée :
lim
x→+∞
ln x
x
= 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 20 / 30

43. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Limite en x = 0 :
On sait que : lim
x→0
1
x
= +∞ et lim
x→0
4 + 4 ln(x) = −∞.
Ainsi :
lim
x→0
f (x) = lim
x→0
1
x
(4 + 4 ln(x)) = −∞.
Limite en x = +∞ :
On peut utiliser la propriété de croissance comparée :
lim
x→+∞
ln x
x
= 0.
Ainsi :
lim
x→+∞
f (x) = lim
x→+∞
4
x
+ 4 ×
ln x
x
= 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 20 / 30

44. Corrigé Question 5
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Question 7
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 21 / 30

45. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
4 Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
5 Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
6 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
7 Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 22 / 30

46. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 23 / 30

47. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
On rappelle la dérivée de la fonction f :
f 0
(x) =
4 − 4 − 4 ln(x)
x2
=
−4 ln(x)
x2
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 23 / 30

48. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
On rappelle la dérivée de la fonction f :
f 0
(x) =
4 − 4 − 4 ln(x)
x2
=
−4 ln(x)
x2
.
On étudie le signe de la dérivée. Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, x2 0 donc
le signe de f 0(x) est du signe de −4 ln(x).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 23 / 30

49. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
On rappelle la dérivée de la fonction f :
f 0
(x) =
4 − 4 − 4 ln(x)
x2
=
−4 ln(x)
x2
.
On étudie le signe de la dérivée. Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, x2 0 donc
le signe de f 0(x) est du signe de −4 ln(x).
Or, ln(x) 6 0 quand x ∈ ]0 ; 1] et ln(x) 0 quand x ∈ [1 ; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 23 / 30

50. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
On rappelle la dérivée de la fonction f :
f 0
(x) =
4 − 4 − 4 ln(x)
x2
=
−4 ln(x)
x2
.
On étudie le signe de la dérivée. Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, x2 0 donc
le signe de f 0(x) est du signe de −4 ln(x).
Or, ln(x) 6 0 quand x ∈ ]0 ; 1] et ln(x) 0 quand x ∈ [1 ; +∞[.
Ainsi, la dérivée f 0(x) est positive sur l'intervalle ]0 ; 1] et négative sur
l'intervalle [1 ; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 23 / 30

51. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 24 / 30

52. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
La dérivée f 0(x) est positive sur l'intervalle ]0 ; 1] et négative sur
l'intervalle [1 ; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 24 / 30

53. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
La dérivée f 0(x) est positive sur l'intervalle ]0 ; 1] et négative sur
l'intervalle [1 ; +∞[.
Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle ]0 ; 1] et
décroissante sur l'intervalle [1 ; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 24 / 30

54. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
La dérivée f 0(x) est positive sur l'intervalle ]0 ; 1] et négative sur
l'intervalle [1 ; +∞[.
Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle ]0 ; 1] et
décroissante sur l'intervalle [1 ; +∞[.
x
f 0(x)
Variations
de f
0 1 +∞
+ 0 −
4
4
0
0
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 24 / 30

55. Corrigé Question 6
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Question 7
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 25 / 30

56. Corrigé Question 6
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
4 Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
5 Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
6 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
7 Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
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57. Corrigé Question 6
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
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58. Corrigé Question 6
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
On rappelle que :
f 0
(x) =
−4 ln(x)
x2
.
On calcule la dérivée seconde de la fonction f . On pose u(x) − 4 ln(x)
et v(x) = x2.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 27 / 30

59. Corrigé Question 6
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
On rappelle que :
f 0
(x) =
−4 ln(x)
x2
.
On calcule la dérivée seconde de la fonction f . On pose u(x) − 4 ln(x)
et v(x) = x2.
On a ainsi : u0(x) =
−4
x
et v0(x) = 2x. Donc :
f 00
(x) =
−4
x × x2 − 2x × −4 ln x
x4
=
−4x + 8x ln(x)
x4
.
Conclusion : f 00(x) =
−4 + 8 ln(x)
x3
.
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60. Corrigé Question 7
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Question 7
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 28 / 30

61. Corrigé Question 7
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction f est dénie pour
tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
f (x) =
4 + 4 ln x
x
.
4 Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
5 Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
6 Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, on a :
f 00
(x) =
−4 + 8 ln x
x3
.
7 Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 29 / 30

62. Corrigé Question 7
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 30 / 30

63. Corrigé Question 7
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
On rappelle que f 00(x) =
−4 + 8 ln x
x3
. On étudie le signe de f 00(x).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 30 / 30

64. Corrigé Question 7
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
On rappelle que f 00(x) =
−4 + 8 ln x
x3
. On étudie le signe de f 00(x).
Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, x3 0 donc f 00(x) est du signe de
−4 + 8 ln x. Or :
−4 + 8 ln x 0 ⇔ 8 ln x 4 ⇔ ln x
1
2
⇔ x e1/2
≈ 1,65.
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65. Corrigé Question 7
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
On rappelle que f 00(x) =
−4 + 8 ln x
x3
. On étudie le signe de f 00(x).
Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, x3 0 donc f 00(x) est du signe de
−4 + 8 ln x. Or :
−4 + 8 ln x 0 ⇔ 8 ln x 4 ⇔ ln x
1
2
⇔ x e1/2
≈ 1,65.
On a : f (e1/2) =
4 + 4 ln e1/2
e1/2
=
4 + 2
e1/2
= 6e−1/2 ≈ 3,64.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 30 / 30

66. Corrigé Question 7
BAC SpéMaths AdN2021 - Fonction logarithme népérien
Montrer que la courbe Cf possède un unique point d'inexion B dont
on précisera les coordonnées.
On rappelle que f 00(x) =
−4 + 8 ln x
x3
. On étudie le signe de f 00(x).
Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, x3 0 donc f 00(x) est du signe de
−4 + 8 ln x. Or :
−4 + 8 ln x 0 ⇔ 8 ln x 4 ⇔ ln x
1
2
⇔ x e1/2
≈ 1,65.
On a : f (e1/2) =
4 + 4 ln e1/2
e1/2
=
4 + 2
e1/2
= 6e−1/2 ≈ 3,64.
Conclusion : la fonction f est concave sur l'intervalle ]0 ; e1/2] et
convexe sur l'intervalle [e1/2 ; +∞[ donc la courbe Cf possède un
unique point d'inexion B e1/2 ; 6e−1/2
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.B 31 mai 2021 30 / 30