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Geometría AnalíticaTema 2.<br />Distancia entre dos puntos<br />
La distancia entre dos punto se puede representar en tres formas, las cuales se explican en detalle a continuación:<br />S...
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta vertica...
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta  horizontal o vertical; se traza una recta qu...
Se identifica de la figura lo siguiente:<br />La hipotenusa =  P1P2…………………… = d (distancia)<br />Cateto opuesto =  P2Q ………...
EJEMPLO 1<br />Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:<br />1.- P1(-7,2) y P2(8,2)<br />2.- P1(-2,4) y...
Al graficar los puntos en el plano del  ejemplo 2 tenemos:<br />Los dos puntos pertenecen a una recta vertical paralela al...
ACTIVIDAD<br />Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:<br />1.- P1(-6,3) y P2(2,-3)<br />2.- P1(6,1) y...
EJEMPLO 3<br />Uno de los extremos de un segmento rectilineo de longitud igual a √13 es el punto           P1(-1 , -5); si...
La ecuacion de segundo grado se puede resolver de dos maneras:<br />Factorizando<br />Aplicando la formula general<br />Fa...
Aplicando la formula general<br />y =  - b  +/-  √b² - 4ac<br />                      2a<br />y =  - 10  +/- √(10)² - 4(1)...
Al graficar los resultados que se obtuvieron, se tiene:<br />Las ordenadas de los dos extremos son – 3 y -7 ya que ambos <...
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Distancia entre dos puntos

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  1. 1. Geometría AnalíticaTema 2.<br />Distancia entre dos puntos<br />
  2. 2. La distancia entre dos punto se puede representar en tres formas, las cuales se explican en detalle a continuación:<br />Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es:<br />P1P2 = x2 – x1<br />P2P1 = x1 – x2<br />y<br />P1(x1,y1)<br />P2(x2,y2)<br />x<br />
  3. 3. Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta vertical (paralela al eje y), la distancia dirigida entre los dos puntos es:<br /> P1P2 = y2 – y1<br /> P2P1 = y1 – y2<br />y<br />Recta paralela al eje y<br />P1(x1,y1)<br />x<br />P2(x2,y2)<br />
  4. 4. Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1 paralela al eje x y otra recta que pasa por el punto P2 paralela al eje y, estas rectas se intersectan en el punto Q(x2,y1) formandoasí un triangulo P2QP1, en el cual se identifica: Hipotenusa<br />Cateto opuesto y Cateto Adyacente<br />y<br />P2(x2,y2)<br />x<br /> Q(x2,y1)<br />P1(x1,y1)<br />
  5. 5. Se identifica de la figura lo siguiente:<br />La hipotenusa = P1P2…………………… = d (distancia)<br />Cateto opuesto = P2Q …………………. (y2 – y1)<br />Cateto adyacente = P1Q ………………. ( x2 – x1)<br />Al aplicar el teorema de<br /> Pitágoras , tenemos: <br />(P1P2)² = (P1Q)² + (P2Q )² <br />P1P2 = √ (P1Q)² + (P2Q )² <br />P1P2 = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)² <br />Entonces, la distancia no dirigida entre <br />dos puntos se representa: d = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)² <br />y<br />P2(x2,y2)<br />x<br /> Q(x2,y1)<br />P1(x1,y1)<br />
  6. 6. EJEMPLO 1<br />Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:<br />1.- P1(-7,2) y P2(8,2)<br />2.- P1(-2,4) y P2(-2,-6)<br />Solucion:<br />Al graficar los puntos en el plano del <br />ejemplo 1 tenemos:<br />Los dos puntos pertenecen a una recta<br />horizontal paralela al eje x, por lo que la <br />distancia entre ambos puntos es:<br />d = P1P2 = x2 – x1d = P2P1 = x1 – x2<br />d = 8 – (-7), d = 15 d = - 7 – 8 = - 15<br />P1(-7,2)<br />P2(8,2)<br />
  7. 7. Al graficar los puntos en el plano del ejemplo 2 tenemos:<br />Los dos puntos pertenecen a una recta vertical paralela al eje y, por lo que la <br />distancia entre ambos puntos es:<br />d = P1P2 = (y2 – y1) = -6 – 4 = - 10<br />d = P2P1 = (y1 – y2) = 4 – (-6) = 10<br />y<br />P1(-2,4)<br />P2(-2,-6)<br />
  8. 8. ACTIVIDAD<br />Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:<br />1.- P1(-6,3) y P2(2,-3)<br />2.- P1(6,1) y P2(-4,-2)<br />
  9. 9. EJEMPLO 3<br />Uno de los extremos de un segmento rectilineo de longitud igual a √13 es el punto P1(-1 , -5); si la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada (son dos posibles soluciones):<br />Solucion: Al sustituir los datos dentro de la formula de distancia entre dos puntos, tenemos:<br /> d = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)² <br />√13 = √(2 + 1)² + (y + 5)²<br />Si se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuacion se tiene:<br />(√13 )²= ( √(3)² + (y + 5)² )² = 13 = 9 + y² + 10y + 25<br /> y² + 10y + 34 – 13 = 0<br /> y² + 10y + 21 = 0 ecuación 2do grado con una incógnita<br />
  10. 10. La ecuacion de segundo grado se puede resolver de dos maneras:<br />Factorizando<br />Aplicando la formula general<br />Factorizando:<br />y² + 10y + 21 = 0<br />(y + 3) (y + 7) = 0<br />y + 3 = 0<br />y + 7 = 0<br />y1 = - 3<br />y2 = - 7<br />
  11. 11. Aplicando la formula general<br />y = - b +/- √b² - 4ac<br /> 2a<br />y = - 10 +/- √(10)² - 4(1)(21)<br /> 2(1)<br />y = - 10 +/- √100 – 84<br /> 2<br />y1 = - 6/2 = -3<br />y2 = -14/2 = -7<br />
  12. 12. Al graficar los resultados que se obtuvieron, se tiene:<br />Las ordenadas de los dos extremos son – 3 y -7 ya que ambos <br />Valores satisfacen la condicion del problema planteado.<br />√13 <br />P2(2, -3)<br />P1(-1, -5)<br />√13 <br />P3(2, -7)<br />
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