06 vektor-di-r2-dan-r3

3,551 views
3,296 views

Published on

aaaa

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
3,551
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
150
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • {}
  • 06 vektor-di-r2-dan-r3

    1. 1. MA-1223 Aljabar Linier Vektor di R2 dan R3
    2. 2. Vektor Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometri  Setiap vektor dinyatakan secara geometris sebagai segmen garis berarah pada bidang atau ruang, dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung) vektor tersebut. (contoh (a))  Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen. (contoh (b))  B a = AB a A (a) (b)
    3. 3. Vektor Secara aljabar  Misalkan u vektor di R2  u =(u1, u2), dimana u1, u2 ε R  Misalkan v vektor di R3  v =(v1, v2, v3), dimana v 1, v2, v3 ε R u1, u2 disebut komponen u, sedangkan v1, v2, v3 disebut komponen v  Dua vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar dan arahnya sama atau dengan kata lain komponen yang bersesuaian sama Misal: Diketahui u =(u1, u2) dan w =(w1, w2) u = w ↔ u1= w1 dan u2 = w2
    4. 4. Vektor Posisi  Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik asal koordinat y A=(x1, y1) O A =(x1, y1) vektor posisi titik A a O x
    5. 5. Penulisan Vektor  Ada beberapa penulisan vektor antara lain: 1. 2. 3. = (a1, a2, a3) b = b1 + b2 + b3
    6. 6. Operasi Vektor  Penjumlahan   u = ( x1 , y1 ) dan w = ( x 2 , y 2 ) vektor di R2, maka Misal   u + w = ( x1+ x 2 , y1 + y 2 ) Secara geometri y  u   u+w  w x
    7. 7. Operasi Vektor (2)  Perkalian dengan skalar  u = ( x1 , y1 ) adalah sembarang vektor di R2 dan Definisi k bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali  ku didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k|   kali panjang u dan arahnya sama seperti arah u  jika k > 0 dan berlawanan arah u jika k < 0.
    8. 8. Operasi Vektor (3)  Pengurangan   u = ( x1 , y1 ) dan w = ( x 2 , y 2 ) vektor di R2, maka Misal     u − w = u + (− w ) = ( x1− x 2 , y1 − y 2 ) Secara geometri y  u   u−w  −w  w x
    9. 9. Panjang (Norm) Vektor   Misal u = (u1 , u 2 ) dan w = ( w1 , w 2 , w 3 ) vektor di R2 dan R3, maka   panjang (norm) vektor u dan w adalah   2 2 w = ( w1 ) 2 + ( w 2 ) 2 + ( w 3 ) 2 u = ( u1 ) + ( u 2 )   Misal u = (u1 , u 2 ) dan v = ( v1 , v 2 ) maka jarak antara dua vektor tersebut adalah   u − v = (u1 − v1 ) 2 + (u 2 − v 2 ) 2
    10. 10. Hasil Kali Titik   Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor yang akan menghasilkan skalar.   Misal a dan b adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik dua vektor tersebut didefinisikan sbb      a . b cos α  a, b ≠ 0  a.b =   0 a = 0 atau b = 0  dimana α sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. (0<α<π). Sehingga, diperoleh kesimpulan sbb  1. a.b < 0  2. a.b > 0  3. a.b = 0 α sudut tumpul α sudut lancip   α =π/2, atau a dan b saling tegak lurus/ortogonal
    11. 11. Contoh .  Tentukan hasil kali titik dari dua vektor berikut berikut !   a = 2i dan b = 2i + 2j Jawab : Karena tan α = 1 , artinya α = π/4 sehingga   a b = a b cos α =2. 8 = 2. 2 2 =4 1 2 1 2  b  a
    12. 12. Perhatikan     Misal a = (a1 , a 2 ) dan b = (b1 , b 2 ) dengan a , b ε R2  a Menurut aturan cosinus , maka :  2 2 2   b − a = a + b − 2 a b cos α α   2  2  2 b 2 a b cos α = a + b − b − a  2a.b = ( a1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ( b1 ) 2 + ( b 2 ) 2 − (b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 [   b−a ]  2a.b = ( a1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ( b1 ) 2 + ( b 2 ) 2 − ( a1 ) 2 − ( a 2 ) 2 − ( b1 ) 2 − ( b 2 ) 2 + 2( a1b1 ) + 2( a 2 b 2 )  2a.b = 2( a1b1 + a 2 b 2 )  a.b = a1b1 + a 2 b 2
    13. 13. Perluasan     Misal a = (a1 , a 2 ,a 3) dan b = (b1 , b 2 , b 3 ) dengan a , b ε R3  a.b = a1b1 + a 2 b 2 + a 3b 3     Misal a = (a1 , a 2 ,..., a n ) dan b = (b1 , b 2 ,..., b n ) dengan a , b ε Rn  a.b = a1b1 + a 2 b 2 + ... + a n b n  2 2 2 2 a.a = ( a1 ) + ( a 2 ) + ... + ( a n ) = a
    14. 14. Proyeksi Ortogonal Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain dapat diilustrasikan sebagai berikut :  w2    a = w1 + w 2  a   w1 = Proy  a b  b    w1 = proyeksi ortogonal a pada b    w 2 = komponen a yang tegak lurus pada b  w1 ???  w 2 ???
    15. 15. Proyeksi Ortogonal   Kita punya w1 = k b , k konstanta      a = w 1 + w 2 = kb + w 2        a.b = kb + w 2 .b = kb.b +w 2 .b   2 a.b  k=  a.b = k b 2 b ( ) Sehingga diperoleh   a.b  w1 =  b 2 b    a.b  w2 = a −  b 2 b Panjang proyeksinya    a.b  a.b  w1 =  b =  b 2 2 b b  a.b  w1 =  b
    16. 16. Hasil kali silang   Hasil kali silang merupakan perkalian antara dua vektor yang akan menghasilkan suatu vektor baru Definisi. Hasil kali silang Misalkan Hasil kali silang dan dan didefinisikan sbb vektor di R3
    17. 17. Sifat hasil kali silang  2 2 2 u x v = u v sin 2 α    1. u.( u x v) = 0    2. v.(u x v) = 0 3.   u x v = u v sin α  2 2 2   2 u x v = u v − ( u . v) α Khusus untuk sifat yang ketiga:  2 2 2   2 uxv = u − ( u . v) v = u . v − ( u ⋅ v cos α ) 2 = u = u 2 2 2 ( v − u 2 2 v α 2 v 2 2 cos α 2 (1 − cos α ) 2 Luas jajaran genjang ) = Alas x tinggi   = u v sin α = u x v

    ×