Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
06 vektor-di-r2-dan-r3
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

06 vektor-di-r2-dan-r3

  • 1,714 views
Published

aaaa

aaaa

Published in Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
1,714
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
84
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide
  • {}

Transcript

  • 1. MA-1223 Aljabar Linier Vektor di R2 dan R3
  • 2. Vektor Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometri  Setiap vektor dinyatakan secara geometris sebagai segmen garis berarah pada bidang atau ruang, dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung) vektor tersebut. (contoh (a))  Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen. (contoh (b))  B a = AB a A (a) (b)
  • 3. Vektor Secara aljabar  Misalkan u vektor di R2  u =(u1, u2), dimana u1, u2 ε R  Misalkan v vektor di R3  v =(v1, v2, v3), dimana v 1, v2, v3 ε R u1, u2 disebut komponen u, sedangkan v1, v2, v3 disebut komponen v  Dua vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar dan arahnya sama atau dengan kata lain komponen yang bersesuaian sama Misal: Diketahui u =(u1, u2) dan w =(w1, w2) u = w ↔ u1= w1 dan u2 = w2
  • 4. Vektor Posisi  Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik asal koordinat y A=(x1, y1) O A =(x1, y1) vektor posisi titik A a O x
  • 5. Penulisan Vektor  Ada beberapa penulisan vektor antara lain: 1. 2. 3. = (a1, a2, a3) b = b1 + b2 + b3
  • 6. Operasi Vektor  Penjumlahan   u = ( x1 , y1 ) dan w = ( x 2 , y 2 ) vektor di R2, maka Misal   u + w = ( x1+ x 2 , y1 + y 2 ) Secara geometri y  u   u+w  w x
  • 7. Operasi Vektor (2)  Perkalian dengan skalar  u = ( x1 , y1 ) adalah sembarang vektor di R2 dan Definisi k bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali  ku didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k|   kali panjang u dan arahnya sama seperti arah u  jika k > 0 dan berlawanan arah u jika k < 0.
  • 8. Operasi Vektor (3)  Pengurangan   u = ( x1 , y1 ) dan w = ( x 2 , y 2 ) vektor di R2, maka Misal     u − w = u + (− w ) = ( x1− x 2 , y1 − y 2 ) Secara geometri y  u   u−w  −w  w x
  • 9. Panjang (Norm) Vektor   Misal u = (u1 , u 2 ) dan w = ( w1 , w 2 , w 3 ) vektor di R2 dan R3, maka   panjang (norm) vektor u dan w adalah   2 2 w = ( w1 ) 2 + ( w 2 ) 2 + ( w 3 ) 2 u = ( u1 ) + ( u 2 )   Misal u = (u1 , u 2 ) dan v = ( v1 , v 2 ) maka jarak antara dua vektor tersebut adalah   u − v = (u1 − v1 ) 2 + (u 2 − v 2 ) 2
  • 10. Hasil Kali Titik   Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor yang akan menghasilkan skalar.   Misal a dan b adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik dua vektor tersebut didefinisikan sbb      a . b cos α  a, b ≠ 0  a.b =   0 a = 0 atau b = 0  dimana α sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. (0<α<π). Sehingga, diperoleh kesimpulan sbb  1. a.b < 0  2. a.b > 0  3. a.b = 0 α sudut tumpul α sudut lancip   α =π/2, atau a dan b saling tegak lurus/ortogonal
  • 11. Contoh .  Tentukan hasil kali titik dari dua vektor berikut berikut !   a = 2i dan b = 2i + 2j Jawab : Karena tan α = 1 , artinya α = π/4 sehingga   a b = a b cos α =2. 8 = 2. 2 2 =4 1 2 1 2  b  a
  • 12. Perhatikan     Misal a = (a1 , a 2 ) dan b = (b1 , b 2 ) dengan a , b ε R2  a Menurut aturan cosinus , maka :  2 2 2   b − a = a + b − 2 a b cos α α   2  2  2 b 2 a b cos α = a + b − b − a  2a.b = ( a1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ( b1 ) 2 + ( b 2 ) 2 − (b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 [   b−a ]  2a.b = ( a1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ( b1 ) 2 + ( b 2 ) 2 − ( a1 ) 2 − ( a 2 ) 2 − ( b1 ) 2 − ( b 2 ) 2 + 2( a1b1 ) + 2( a 2 b 2 )  2a.b = 2( a1b1 + a 2 b 2 )  a.b = a1b1 + a 2 b 2
  • 13. Perluasan     Misal a = (a1 , a 2 ,a 3) dan b = (b1 , b 2 , b 3 ) dengan a , b ε R3  a.b = a1b1 + a 2 b 2 + a 3b 3     Misal a = (a1 , a 2 ,..., a n ) dan b = (b1 , b 2 ,..., b n ) dengan a , b ε Rn  a.b = a1b1 + a 2 b 2 + ... + a n b n  2 2 2 2 a.a = ( a1 ) + ( a 2 ) + ... + ( a n ) = a
  • 14. Proyeksi Ortogonal Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain dapat diilustrasikan sebagai berikut :  w2    a = w1 + w 2  a   w1 = Proy  a b  b    w1 = proyeksi ortogonal a pada b    w 2 = komponen a yang tegak lurus pada b  w1 ???  w 2 ???
  • 15. Proyeksi Ortogonal   Kita punya w1 = k b , k konstanta      a = w 1 + w 2 = kb + w 2        a.b = kb + w 2 .b = kb.b +w 2 .b   2 a.b  k=  a.b = k b 2 b ( ) Sehingga diperoleh   a.b  w1 =  b 2 b    a.b  w2 = a −  b 2 b Panjang proyeksinya    a.b  a.b  w1 =  b =  b 2 2 b b  a.b  w1 =  b
  • 16. Hasil kali silang   Hasil kali silang merupakan perkalian antara dua vektor yang akan menghasilkan suatu vektor baru Definisi. Hasil kali silang Misalkan Hasil kali silang dan dan didefinisikan sbb vektor di R3
  • 17. Sifat hasil kali silang  2 2 2 u x v = u v sin 2 α    1. u.( u x v) = 0    2. v.(u x v) = 0 3.   u x v = u v sin α  2 2 2   2 u x v = u v − ( u . v) α Khusus untuk sifat yang ketiga:  2 2 2   2 uxv = u − ( u . v) v = u . v − ( u ⋅ v cos α ) 2 = u = u 2 2 2 ( v − u 2 2 v α 2 v 2 2 cos α 2 (1 − cos α ) 2 Luas jajaran genjang ) = Alas x tinggi   = u v sin α = u x v