Apostila de estatística

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Apostila de estatística

  1. 1. FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG Avenida das Torres, 500 – Fone: (45) 321-3900 Fax: (045) 321-3913 CEP: 85802-640 – Cascavel – Paraná Email: fag@fag.edu.brESTATÍSTICA Regiane Slongo Fagundes Cascavel - 2011
  2. 2. PARTE I Introdução á Estatística A estatística é um processo que permite a análise e a interpretação de dadosprovenientes de uma ou mais amostras, com o objetivo de inferir características depopulações. Sendo aplicável a qualquer ramo do conhecimento onde se manipulamdados experimentais. 1. O Crescimento e o Desenvolvimento da Estatística Moderna Historicamente, o crescimento e o desenvolvimento da estatística moderna podemser relacionados a três fenômenos isolados – a necessidade do governo de coletar dadossobre os cidadões, o desenvolvimento da teoria da probabilidade e o advento dainformática. Dados têm sido coletados através de toda a história. Nas civilizações Egípcias,Grega e Romana, dados primários eram coletados com propósito de taxações efinalidades militares. Na idade Média, igrejas registram dados e informações sobrenascimentos, mortes e casamentos. Nos Estados Unidos, a Constituição de 1790determinava a realização de censo a cada 10 anos. Atualmente, informações numéricassão necessárias para cidadões e organizações de qualquer natureza, e de qualquer partedo globo. 2. Estatística Descritiva versus Inferência Estatística A estatística pode ser dividida em duas partes: 2.1 - Estatística Descritiva Ocupa-se da organização, sumarização e descrição de um conjunto de dados.Esta análise serve como um primeiro guia ao pesquisador, fornecendo informaçõessobre a qualidade de seus dados e indicando algumas tendências (se existirem) e, emgeral, não tem um fim em si própria, exceto o caso do censo. 2.2 - Estatística Inferencial É uma etapa da estatística que cuida da coleta, redução, análise, modelagem einterpretação dos dados. O objetivo da estatística inferencial (ou indutiva) é o de tirar conclusões combase nos resultados observados em amostras extraídas dessas populações. O próprio termo “indutiva” decorre da existência de um processo de indução,isto é, um processo de raciocínio e que partindo-se do conhecimento de uma parte,procura-se tirar conclusões sobre a realidade no todo. 3. Pesquisa Estatística Pesquisa é um conjunto de atividades orientadas para a busca de umdeterminado conhecimento. Para merecer qualificativo de científica a pesquisa deve serfeita de modo sistematizada, utilizando para isto métodos próprios e técnicas específica.A pesquisa científica se distingue de outras modalidades quaisquer de pesquisa pelométodo, pela técnica, por estar voltada para a realidade empírica e pela forma decomunicar o conhecimento. 3.1 – Finalidade da Pesquisa • Descobrir respostas para questões, mediante a aplicações de métodos científicos;
  3. 3. • Tentar conhecer e explicar fenômenos que ocorrem no mundo existente. 3.2 – Tipos de Pesquisas 3.2.1 Pesquisa de Reconhecimento ou “Survery” • estudo de opinião, mercado e diagnóstico 3.2.2 Pesquisa Bibliográfica • Procura material já elaborado 3.2.3 Pesquisa documental • Coleta de informações a partir de documentos quantitativos tais como arquivos públicos e privados, imprensa, revistas, etc. 3.2.4 Pesquisa Experimental • Experiências realizadas em laboratórios, fábricas, parcelas de terras. É utilizado o Delineamento de Experimento e Controle de Qualidade. 3.3 – Etapas de uma Pesquisa Estatística Determinar Tratamento população amostra os Objetivos: dos dados Para que? inferênciaCada uma essas passagens merece um estudo aprofundado e tem característicaspróprias. 3.3.1 - População É o conjunto de interesse final para a pesquisa. Em geral é o conjunto do qual aamostra é retirada. 3.3.2 - Amostra Chamaremos de amostra qualquer subconjunto da população de interesse, queros dados tenham sido coletados de um estudo observacional, quer sejam provenientes deum experimento realizado sob certas condições de controle. 3.3.3 - Tratamento dos Dados Conjunto de técnicas usadas para descrever os dados observados. 3.3.4 - Inferência Conjunto de métodos que permitem inferir o comportamento de uma populaçãoa partir do conhecimento da amostra 3.3.5 - Cálculo de Probabilidade Teoria matemática que deduz a partir de um modelo, as propriedades de umfenômeno aleatório.
  4. 4. 4 Terminologia Estatística População Amostra Unidade experimental 4.1 - Unidade experimental ou de Análise É o objeto ou indivíduo que será estudado na população, e sobre os quais obtêm- se os dados. 4.2 - Dados É o valor ou resposta que toma a variável em cada unidade experimental. É o resultado de uma observação. É a matéria prima da estatística. 4.3 - Variável É uma característica observável, susceptível de adotar distintos valores ou ser expresso em várias categorias. Variáveis: • Idades; • Sexo; • Série; • Horas de estudo; • Horas de treino; etc... 4.4 Informação É o resultado dos dados processados (ou organizados) de acordo com certos objetivos. 4.5 - Estatística É qualquer função dos dados empíricos* que é usada com fins descritivos ou analíticos. É uma medida resumo dos dados. *Dados Empíricos: baseado apenas na experiência, e não no estudo. 4.6 - Parâmetros São as características mais importantes da população. Comumente são desconhecidas. 5 Classificação Das Variáveis Qualitativas Quantitativa sNominais Ordinais Discretas Contínua
  5. 5. 5.1 - Variáveis qualitativas São características cujos dados não são numéricos, isto é, são apresentados comouma qualidade ou atributo. Ex: Sexo, estado civil, nível de escolaridade. 5.1.1 - Nominal Não existe nenhuma ordenação ou hierarquia nos possíveis resultados. Ex: sexo,estado civil, região de procedência. 5.1.2 - Ordinal Existe uma certa ordem ou hierarquia nos possíveis resultados. Ex: Nível deescolaridade, nível de satisfação. 5.2 - Variáveis Quantitativas É uma característica em estudo cujos resultados se referem a quantidades, isto é,são medidas numa escala numérica. Ex: idade, salário, número de filhos, etc. 5.2.1 - Discretas Cujos resultados se referem a dados que podem assumir valores inteiros (IN).Ex: idade, número de pessoas, número de filhos por família, etc. 5.2.2 - Contínuas São dados que podem assumir qualquer valor de um conjunto de números reais(IR). Ex: peso, altura, consumo mensal de energia, etc.
  6. 6. MODELO DE UM QUESTIONÁRIO Esperamos beneficiar à você através de um estudo que estamos realizando paraconhecer suas preferências na escolha de supermercado, gostaríamos que nos auxiliasserespondendo as seguintes perguntas:1. – Sexo 1( ) Masculino 2 ( ) Feminino2. – Idade ___________ anos3. – Estado Civil: 1( ) Solteiro (a) 4 ( ) Divorciado 2 ( ) Casado (a) sem filhos 5 ( ) Outros ___________________ 3 ( ) Casado (a) com filhos4. – Nível Escolar 1 ( ) Sem instrução 5( ) Ensino Médio completo 2( ) Ensino Fundamental Incompleto 6( ) Ensino Superior Incompleto 3 ( ) Ensino Fundamental completo 7( ) Ensino Superior completo 4 ( ) Ensino Médio Incompleto 8( ) Outros _____________5. – Número de Pessoas que Moram com você _________6. – Renda Mensal da Família ______________7. – Com que freqüência você visita um supermercado 1 ( ) Diariamente 4 ( ) Mensalmente 2 ( ) Semanalmente 5 ( ) Outros ______ 3 ( ) Quinzenalmente8. – Quantos mercados diferentes você visita em suas compras? _____________9. – Quanto da sua renda você gasta em suas comprar mensais de supermercado? 1 ( ) menos de 25% da renda 3 ( ) acima de 50% até 75% da renda 2 ( ) de 25% até 50% da renda 4( ) acima de 75% da renda10. – Ao escolher um supermercado você observa:10.1 ( ) A tradição da empresa 1( ) sim 2( ) não10.2 ( ) Propaganda 1( ) sim 2( ) não10.3 ( ) Higiene 1( ) sim 2( ) não10.4 ( ) Atendimento 1( ) sim 2( ) não10.5 ( ) Diversificação de produtos 1( ) sim 2( ) não10.6 ( ) Preços 1( ) sim 2( ) não10.7 ( ) Tamanho da Loja 1( ) sim 2( ) não10.8 ( ) Prazos 1( ) sim 2( ) não10.9 ( ) Distância 1( ) sim 2( ) não10.10 ( ) Promoções 1( ) sim 2( ) não11. – O atendimento no supermercado em que você compra freqüentemente é: 1 ( ) Insatisfatório 3 ( ) Muito Satisfatório 2 ( ) Médio Satisfatório 4 ( ) Satisfatório
  7. 7. AGRONOMIA-FAG EstatísticaPARTE II Análise Exploratória Dos Dados ou Estatística Descritiva 1. Introdução A Estatística Descritiva é a fase na qual os dados de um experimento oupesquisa, são organizados, resumidos, descritos, apresentados e interpretados. Esta faseé de grande importância para uma pesquisa, pois nela, podemos perceber as tendênciasdo nosso conjunto de dados.Após a coleta dos dados experimentais, devemos organizá-los e apresentá-los; estaapresentação, pode ser feita através de tabelas e gráficos. 2. Tabelas de distribuição de freqüências As apresentações através de tabelas deverão ser realizadas em uma pesquisa,mediante alguma convenção ou norma, dependendo de qual instituição, congresso ouórgão, esta tabela será apresentada. Mas alguns princípios básicos podem ser utilizados,segundo as normas do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística):- Título: aonde é dada uma noção inicial ao leitor sobre o que é a tabela;- Cabeçalho: para que sejam identificados os conteúdos referentes a cada coluna da tabela. O cabeçalho deve conter o suficiente para responder as questões: o que está sendo representado? onde ocorreu ? Quando ocorreu?- Coluna Indicadora: que especifica as diferentes categorias da variável;- Corpo: é representado por colunas e subcolunas dos quais são registrados os dados numéricos e informações.- Rodapé ou pé: onde é identificada a fonte original dos dados, ou alguma nota referente a tabela.Exemplo: Tabela 01: Casos registrados de intoxicação humana segundo a causa determinante. Brasil, 1993 Causa Freqüência Acidente 29.601 Abuso 2.604 Suicídio 7.965 Profissional 3.735 Outras 1.959 Ignorada 1.103 Fonte: Mensário Estatístico 259/260Observação: Não há linhas laterais, ponto final em cada linha e linhas horizontais nocorpo da tabela separando as linhas.Regiane Slongo Fagundes 7
  8. 8. AGRONOMIA-FAG Estatística 2.1 - Tabela de distribuição de freqüências Uma tabela de distribuição de freqüências é composta, além dos itens citados acima:- Freqüência absoluta ( fi ): é o número de vezes em que cada elemento aparece na amostra ou população. Na tabela acima, esta freqüência absoluta está sendo expressa pela “empresas fiscalizadas”.- Freqüência Absoluta Acumulada (Fi): É a soma das freqüências dos dados anteriores.- Freqüência Relativa (hi): É a razão entre o valor de cada freqüência e o número f total de dados existentes na observação. Ou seja: hi = i n- Freqüência Relativa Acumulada (Hi): É a soma das freqüências relativas dos dados anteriores. As tabelas de distribuição de freqüências são válidas para variáveis quantitativas equalitativas. Mas quando há um número grande de dados para a distribuição defreqüências, ou quando a variável de interesse é quantitativa contínua, convémutilizarmos intervalos (ou classes); estes intervalos podem ser de igual tamanho, ou detamanho diferentes. Ou ainda, os intervalos podem ser abertos ou fechados. Segundo Bussab e Morettin, a escolha dos intervalos dependerá da familiaridade dopesquisador com os dados. Mas, vale assinalar que, com um pequeno número deintervalos pode-se perder informações, e com um grande número de intervalos pode-seprejudicar o resumo dos dados.Entretanto, segundo Fonseca, há duas aparentes soluções para a definição do número deintervalos:a) Se o número de elementos (n) for menor que 25 então o número de classes (k) é igual a 5; se n for maior que 25, então o número de classes é aproximadamente a raiz quadrada positiva de n. Ou seja:Para n ≤ 25, k = 5Para n > 25, K = nb) Fórmula de Sturges: k ≅ 1 + 3,33 log n.- Amplitude total ou “range” (R ): É a diferença entre o maior e o menor valorobservados no conjunto de dados.- Amplitude dos intervalos ou das classes (h): É o maior inteiro da divisão daamplitude total (R) pelo número de intervalos (k). ROu seja: h ≅ kRegiane Slongo Fagundes 8
  9. 9. AGRONOMIA-FAG Estatística 2.2 - Tabela de distribuição de freqüências bidimensional Muitas vezes, estamos interessados em analisar o comportamento conjunto deduas ou mais variáveis. Assim, vamos estudar como organizamos e resumimos os dadospara uma distribuição conjunta de duas variáveis em forma de tabelas. Essas tabelaspodem apresentar freqüências relativas as quais servem para apresentar estimativas deriscos, ou seja, dão estimativas das probabilidades de dano. O exemplo mostrado abaixo apresenta o número de nascidos vivos registrados,classificados segundo dois fatores: o ano de registro e o sexo.Tabela 02: Nascidos vivos registrados segundo o ano de registro e o sexo. Ano de registro sexo Total Masculino Feminino 1984 1.307.758 1.251.280 2.559.038 1985 1.339.059 1.280.545 2.619.604 1986 1.418.050 1.361.203 2.779.253Fonte: IBGE (1988)Nota: Nascimentos ocorridos no ano de registro ATIVIDADE DESENVOLVIDA EM SALA DE AULA 1. Os dados a seguir determinam a produção de sacas/ha de soja em determinada região.Tabela 01-Produção de sacas/ha 67 65 68 67 67 64 69 66 66 66 68 71 67 67 70 65 65 66 70 64 67 68 66 68 64 65 67 66 69 68 65 69 68 67 68 67 67 67 66 66Organize os dados e construa uma tabela de distribuição de freqüência e o histogramada produção. 2. Os dados a seguir representam a idade 50 funcionários selecionados aleatoriamente da população de uma agroindústria X. 3.Tabela 02-Idades de 50 funcionários(colocados em ordem crescente) 18 20 20 21 22 24 25 25 26 27 29 29 30 30 31 31 32 33 34 35 36 36 37 37 37 37 38 38 38 40 41 43 44 44 45 45 45 46 47 48 49 50 51 53 54 54 56 58 62 65Organize os dados e construa uma tabela de distribuição de freqüência e o histogramada produção.Regiane Slongo Fagundes 9
  10. 10. AGRONOMIA-FAG Estatística 3. Representação Gráfica para Variáveis Qualitativas e Quantitativas A apresentação dos dados através de gráficos, nos fornece uma excelente idéia dosresultados obtidos e de como se relacionam os dados. Todo gráfico ou diagrama deveser auto-explicativo e de fácil compreensão, devem ter três requisitos básicos:simplicidade, clareza e veracidade. Mas algumas sugestões devem ser seguidas na suaconstrução:- O tamanho do gráfico deve ser adequado à sua publicação;- Todo gráfico dever ter sempre um título e uma escala, sendo que, esta escala deve ser adequada para que não desfigure os fatos. 3.1 Representação gráfica de variáveis qualitativas Para a representação gráfica de variáveis qualitativas, os tipos de gráficos maisusados são: gráficos de ordenadas, gráfico em barras, gráfico em colunas, pictograma,dot plot, gráfico de setores.• Gráfico de Ordenadas Para a sua construção é traçada uma reta horizontal (ou vertical) que servirá de base;a partir de pontos com a mesma distância nesta reta, constroem-se traçosperpendiculares, cujo comprimento seja proporcional a freqüência.• Gráfico em Barras O gráfico em barras é a representação em que sobre o eixo vertical constroem-seretângulos para as diferentes categorias da nossa variável, com largura apropriada ealtura proporcional as respectivas freqüências de cada categoria. As barras não sãojustapostas ou ligadas, pois na maioria das vezes as categorias das variáveis qualitativasnão apresentam relação de continuidade.Tabela 04: Internações em estabelecimento de saúde, por espécie de clínica - 1992Espécie de Clínica Freqüência Freqüência relativa (%)Médica 6457923 32,51Ginecologia e Obstetrícia 3918308 19,73Cirurgia 3031075 15,26Pediatria 2943939 14,82Outros 3513186 17,69Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisa, Pesquisa de Assistência Médico-SanitáriaRegiane Slongo Fagundes 10
  11. 11. AGRONOMIA-FAG Estatística Outros Pediatria Cirurgia Ginicologia e Obstretrícia Médica 0 5 10 15 20 25 30 35 Frequência relativa (%)Figura 1: Internações em estabelecimento de saúde, por espécie de clínica - IBGE 1992.• Gráfico em Colunas A construção do gráfico em colunas é semelhante ao em barras, com uma únicadiferença, os retângulos serão sustentados no eixo horizontal. 35 Frequência relativa (%) 30 25 20 15 10 5 0 Médica Cirurgia Obstretrícia Ginicologia Outros Pediatria eFigura 2: Internações em estabelecimento de saúde, por espécie de clínica - IBGE 1992.• Pictograma O gráfico pictograma é semelhante ao gráfico em colunas, com a diferença que nolugar de retângulos serão figuras que representaram as distribuições de freqüência.• Gráfico de Setores Circulares Geralmente este gráfico é usado para evidenciar a distribuição percentual de umapopulação ou amostra. Para a construção deste tipo de gráfico, divide-se a área total deum círculo em subáreas (setores) proporcionais às respectivas freqüências absoluta ourelativa. Lembrando que um círculo tem 360°, então usaremos a seguinte regra de três paracalcularmos o ângulo de cada setor :Regiane Slongo Fagundes 11
  12. 12. AGRONOMIA-FAG Estatística n  360° 360 ⋅ fi fi  x° ⇒ x° = n Onde n é o total de elementos no conjunto de dados e fi a respectiva freqüênciaabsoluta da categoria da variável. Para calcularmos o ângulo para a freqüência relativa,basta substituirmos o total de elementos pelo número 1. Sabendo-se o ângulo de cada setor, traça-se uma circunferência e assim, bastamarcarmos os valores da cada ângulo na circunferência e traçar os raios, separando ossetores. 18% Médica 32% Ginicologia e Obstretrícia Cirurgia 15% Pediatria Outros 15% 20%Figura 3: Internações em estabelecimento de saúde, por espécie de clínica - IBGE 1992.• Dot Plot É o gráfico onde, no eixo horizontal marca-se com espaçamentos iguais cadacategorias da variável e verticalmente a estas, desenha-se pontos, sendo que, aquantidade de pontos em cada categoria é igual ao valor da freqüência absoluta desta.Este gráfico não é usual e é recomendado apenas, quando as freqüências são pequenas.Regiane Slongo Fagundes 12
  13. 13. AGRONOMIA-FAG Estatística 3.2 Representação gráfica de variáveis quantitativas Alguns tipos de gráficos que construímos anteriormente: gráfico em colunas, embarras, dot plot, de setores circulares também são usados para representar a distribuiçãode variáveis quantitativas.• Histograma Este é um gráfico usado para apresentar dados organizados em intervalos, utilizadoprincipalmente para representar a distribuição de variáveis contínuas. 14 12 10 Freqüência 8 6 4 2 0 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 M ais P e so a o na sce r Figura 4: peso ao nascer dos nascidos vivos, em quilogramas.- Histograma para classes com amplitudes iguais Para a sua construção, trace o sistema de eixo cartesiano; marque os extremos dasclasses no eixo horizontal (das abscissas); no eixo vertical (das ordenadas) marque asfreqüências absolutas ou freqüências relativas; e para cada classe, trace um retângulocom base igual ao intervalo de classe e altura igual a freqüência.- Histograma para classes com amplitude diferentes Para a sua construção, calcule a densidade de freqüência absoluta ou relativa. fi hi di = ou di = h h Trace um sistema de eixo cartesianos; marque os extremos de classes no eixohorizontal; no eixo vertical marque a densidade e para cada classe, trace um retângulocom base igual ao intervalo da classe e altura igual a densidade de freqüência.• Polígono de freqüências É a representação gráfica de uma distribuição de freqüências por meio de umpolígono. Para a sua construção, trace o sistema de eixo cartesianos; marque os pontosmédios de cada classe no eixo horizontal (ponto médio de um intervalo é a soma dosextremos do intervalo dividido por dois); no eixo vertical coloque as freqüências; façaRegiane Slongo Fagundes 13
  14. 14. AGRONOMIA-FAG Estatísticapontos na intersecção do ponto médio de cada intervalo com sua respectiva freqüência;una todos estes pontos por segmentos de reta. 14 12 10 Freqüência 8 6 4 2 0 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 M ais P e so a o na sce rFigura 5: peso ao nascer dos nascidos vivos, em quilogramas.• Ogiva É o gráfico que representa a distribuição da freqüência absoluta acumulada. Suaconstrução é semelhante ao do polígono de freqüências, com a diferença queconsideraremos a freqüência absoluta acumulada.Regiane Slongo Fagundes 14
  15. 15. AGRONOMIA-FAG Estatística EXERCÍCIOS 1. A WW Indústria e Comércio, desejando melhorar o nível de sues funcionários em cargos de chefia, montou um curso experimental e indicou 25 funcionários para a primeira turma. Os dados referentes à seção a que pertencem, sexo, idade, notas e graus obtidos no curso estão na tabela a seguir:Tabela 01 – Informações sobre a seção, sexo, idade e aproveitamento dos funcionáriosda indústria WW, nas disciplinas oferecidas durante o curso experimental.Funcio seção sexo idad Adminis direit redaçã estatís inglê metod polític econo nário e tração o o tica s ologia a mia 1 P M 25 8 9 8,0 9 A A 9,0 8,5 2 P M 45 8 9 7,5 9 A B 8,5 8,0 3 P M 43 8 9 9,5 9 A A 9,5 8,5 4 P M 32 6 9 5,0 6 B B 7,0 7,0 5 P F 30 9 9 10,0 10 A B 7,5 8,0 6 P F 29 9 9 10,0 10 A B 9,0 9,5 7 P F 40 9 9 10,0 9 B A 9,5 7,5 8 T F 35 10 9 10,0 9 A A 1,0 9,5 9 T M 20 6 9 7,0 8 C C 6,0 6,0 10 T M 23 6 9 7,5 5 D C 4,0 5,0 11 T F 21 6 9 6,5 9 C C 5,0 5,0 12 T F 25 9 9 10,0 10 A A 9,5 9,5 13 T F 39 10 9 9,5 10 A A 9,5 9,5 14 T M 37 7 9 8,0 7 B B 9,0 8,0 15 V M 40 7 9 8,0 7 B A 9,0 8,5 16 V M 27 7 9 8,0 7 A A 8,5 9,5 17 V F 35 8 9 8,5 8 B A 9,5 9,5 18 V F 34 8 9 8,5 8 B B 7,0 7,5 19 V F 37 8 9 7,0 8 A B 8,0 8,0 20 V M 29 10 9 10,0 9 A A 9,5 8,5 21 V M 30 10 9 10,0 10 A A 9,5 9,5 22 V M 42 8 9 9,5 8 A A 8,5 8,0 23 V F 24 6 9 6,0 5 D C 5,0 5,0 24 V F 26 9 9 9,0 9 A A 9,5 9,5 25 V M 32 6 9 5,0 5 D C 5,0 5,0Observações:Seção: P= Seção Pessoal, T= Seção Técnica e V= Seção de Vendas.Sexo: M= Masculina, F= Feminino.Como havia dúvidas quanto à adoção de um único critério de avaliação, cada professoradotou seu próprio sistema de aferição. Usando os dados da tabela, responda asquestões:a) Após observar atentamente cada variável, e com intuito de resumi-las, como é que você identificaria (qualitativa ordinal ou nominal e quantitativa discreta ou contínua) cada uma das 11 variáveis listadas?b) Compare e indique as diferenças existentes entre as distribuições das variáveis Direito, Política e Estatísticas.c) Construa o histograma para as notas da variável Redação. Interprete os resultados.Regiane Slongo Fagundes 15
  16. 16. AGRONOMIA-FAG Estatísticad) Construa a distribuição, de freqüência da variável Metodologia e faça um gráfico (poderá ser de setor, barras, colunas – de sua preferência) para indicar essa distribuição. Interprete os resultados.e) Construir a distribuição de freqüência conjunta para as variáveis Sexo e Idade. Interprete os resultados.Regiane Slongo Fagundes 16
  17. 17. AGRONOMIA-FAG EstatísticaPARTE III Medidas de Posição 1. Introdução Através de tabelas e gráficos construídos anteriormente, vimos como resumir eapresentar um conjunto de dados. Contudo, podemos resumir ainda mais este conjunto,apresentando um ou alguns valores que “representam” todo o conjunto. Esses valoressão chamados de medidas de posição. 2. Medidas de Tendência Central São valores estabelecidos num ponto central em torno do qual os dados sedistribuem. As medidas de tendência central que iremos estudar são: média aritmética,mediana e moda. 2.1 - Média Aritmética É a soma de todos os elementos em nosso conjunto de dados dividido pelo total de elementos. Isto é, n ∑x i =1 i x= nOnde n é o total de elementos no conjunto de dados. A média aritmética é um valor que pode substituir todos os valores da variável, isto é, é o valor que a variável teria se em vez de “variável” ela fosse “constante”. 2.1.1 – Propriedades da Média Aritmética A soma algébrica dos desvios de um conjunto de valores em relação ao média aritmética é zero; A soma algébrica dos quadrados dos desvios de um conjunto de valores em relação a média aritmética é mínima; Somando ou subtraindo uma constante a todos os valores de uma variável, a média ficará acrescida ou subtraída a essa constante; Multiplicando ou dividindo todos os valores de uma variável por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por essa constante. 2.1.2 Vantagens do emprego da média Como faz uso de todos os dados para seu cálculo, pode ser determinada com precisão matemática; Pode ser determinada quando somente o valor total e o número de elementos forem conhecidos. 2.1.3 Desvantagens do emprego da média aritmética Não pode ser empregada para dados qualitativos; É influenciada por valores extremos, podendo, em alguns casos, não representar a série.Regiane Slongo Fagundes 17
  18. 18. AGRONOMIA-FAG Estatística 2.2 - Mediana (Md) É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Ou seja, é o valor que tiver o mesmo número de elementos no seu lado esquerdo e direito. Sejam os números a seguir, as cinco observações de uma variável qualquer: 5 6 7 8 8 A mediana para este conjunto é 7, correspondente à 3a observação que ocupa aposição central. Assim, se o número de elementos for ímpar, a mediana é o elemento cuja ordemda posição central é: Md ( x) = x  n +1     2  Onde n é o número de elementos no conjunto de dados.Sejam as seguintes observações: 5,0 5,5 7,0 8,0 8,5 10,0Como o número de elementos é par, a mediana é a média aritmética dos dois elementoscentrais, cuja ordem: x n  + x n + 2      2  2  Md ( x) = 2Neste exemplo: X1 = 6/2 = 3 (3O termo) e X2 = (6+2)/2 = 4 (4O termo), logo a medianaé: 7+8 Md = = 7,5 2Observe que este é um valor teórico, pois não figura entre os dados originais. 2.2.1 Vantagens do emprego da mediana A mediana não é influenciada por valores extremos. 2.2.2 Desvantagens do emprego da mediana A mediana é uma medida que exige uma ordenação de categorias, da mais alta a mais baixa, assim ela só pode ser obtida para variáveis qualitativas ordinais ou para as quantitativas, jamais para variáveis qualitativas nominais; Não inclui todos os valores da distribuição; 2.3 - Moda (Mo) É o valor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados.Exemplo: Conjunto de dados: 7 8 5 7 7 7 5 8 9 7Moda = Mo = 7Regiane Slongo Fagundes 18
  19. 19. AGRONOMIA-FAG Estatística Em um conjunto de dados podemos ter duas modas ou nenhuma; a distribuiçãoque possui duas modas chamamos de distribuição bimodal e mais de duas modas,multimodais. Existem ainda distribuições que não apresentam nenhuma moda: sãochamadas de amodais. 2.3.1 Vantagens do emprego da moda A moda é uma medida que requer apenas o conhecimento da freqüência absoluta e pode ser utilizada para qualquer tipo de variáveis, tanto qualitativas, quanto quantitativas; É de uso prático. Exemplificando: os empregadores geralmente adotam a referência modal de salário. Também carros e roupas são produzidos tomando como referência o tamanho modal 2.3.2 Desvantagens do emprego da moda Não inclui todos os valores da distribuição; Mostra-se ineficiente quando a distribuição é amplamente dispersa. 3. Outras Medidas de Posição, as SEPARATRIZ 3.1 - Quartis (Q1 e Q3) São medidas de posição que dividem um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais.      Mín. Q1 Md Q3 Máx.Onde:- O 1O Quartil (Q1) significa que 25% dos dados são inferiores a Q1, ou que 75% dos dados são superiores a Q1.- O 3O Quartil (Q3) significa que 75% dos dados são inferiores a Q3, ou que 25% dos dados são superiores a Q3.Em geral Q1 < Me < Q3.   Q1 = X  n +1  + 0.75  X  n +1  − X  n +1       +1    4    4   4    Q3 = X  ( n +1)  + 0.25  X   ( n +1)   − X  ( n +1)    3.    3. 4  +1  3.   4        4 Regiane Slongo Fagundes 19
  20. 20. AGRONOMIA-FAG Estatística 3.2 - Box plot ou desenho esquemático É um tipo de representação gráfica, em que se realçam algumas característicasda amostra, fornecendo uma idéia da posição central, dispersão, assimetria, cauda edados discrepantes. O conjunto dos valores da amostra compreendidos entre o 1º e o 3ºQUARTIS, que vamos representar por Q1 e Q3 é representado por um retângulo (caixa)com a MEDIANA indicada por uma barra vertical. A largura do retângulo não dáqualquer informação. Consideram-se seguidamente duas linhas que unem os meios doslados do retângulo com os extremos da amostra. Para obter esta representação, começapor se recolher da amostra, informações sobre 5 números, que são: os 2 extremos(mínimo e máximo), a mediana e o 1º e 3º quartis. A posição central dos valores é dadapela mediana e a dispersão d = Q3 - Q1. As posições relativas Q1, Me e Q3 dãouma noção da simetria da distribuição. Os comprimentos das caudas são dados pelaslinhas que vão do retângulo aos valores mais afastados que não sejam outliers e pelospróprios outliers. A representação do diagrama de extremos e quartis tem o seguinteaspecto: Existem fundamentalmente 3 características, que nos dão idéia da simetria ouenviesamento e da sua maior ou menor concentração: distância entre a linha indicadorada mediana e os lados do retângulo; comprimento das linhas que saem dos lados dosretângulos e o comprimento da caixa. Apresentamos a seguir 3 exemplos de boxplot,correspondentes a tipos diferentes de distribuição de dados.Exemplo:Dados os números: 3 4 2 1 7 5 4 2 1 7 8 5 2 1 4 3 5 5 6 7 9 8 8 8Achar média, mediana, moda, Q1, Q3 e construir o Boxplot 3.3 Decis: São medidas de posição que dividem um conjunto de dados ordenados em dez partes iguais. 3.4 Percentis: São medidas de posição que dividem um conjunto de dados ordenados em cem partes iguais.Regiane Slongo Fagundes 20
  21. 21. AGRONOMIA-FAG Estatística 3.5 Medida de Assimetria Há um momento em que o pesquisador fará a seguinte pergunta: Qual a medidade tendência central que representa melhor o conjunto de dados em estudo?Assim, nocaso das variáveis quantitativas, quando o valor da Mediana é muito diferente da Média,é aconselhável considerar sempre a Mediana como valor de referência mais importante. Quando a distribuição dos dados é considerada "normal", então a melhor medidade localização do centro, é a média, fato que justifica a grande utilização da média.Esquematicamente podemos posicionar a média da forma seguinte, tendo em conta arepresentação gráfica na forma de histograma. X < Md < Mo Mo < Md < Xassimetria negativa ou a esquerda assimetria positiva ou a direita X = Md = Mo distribuição simétrica Para determinar o grau de assimetria, uma regra muito utilizada é:COEFICIENTE DE ASSIMETRIA DE PEARSON X − MO Q + Q 3 − 2 * Md AS = ou As = 1 σ Q 3 − Q1Desse modo, pode-se concluir que: Se As > 0, a distribuição é assimétrica positiva; Se As < 0, a distribuição é assimétrica negativa; Se As = 0, a distribuição é simétrica.Regiane Slongo Fagundes 21
  22. 22. AGRONOMIA-FAG EstatísticaPARTE IVMedidas de Dispersão ou Medidas de Variabilidade1. Introdução As informações fornecidas pelas medidas de posição necessitam em geral sercomplementada pelas medidas de dispersão. Estas servem para indicar o quanto osdados se apresentam dispersos em torno da região central. Caracterizam, portanto, ograu de variação ou oscilações existente no conjunto de valores.Exemplo:Seja os quatro conjuntos abaixo, as notas de quatro turmas:Turma A: 4 4 5 6 6Turma B: 5 5 5 5 5Turma C: 2 3 6 6 8Turma D: 0 0 5 10 10Os conjuntos são iguais?Em qual das turmas há maior variação ou dispersão dos dados em relação à média?Para calcularmos esta dispersão em relação à média, utilizaremos algumas medidas:1.1 – Amplitude: é a diferença entre o maior e o menor dado observado. Como utilizaapenas dois valores, contém pouca informação sobre a dispersão. È utilizada emamostra muito pequenas. R= Xmaior - Xmenor1.2.Variância amostral: A variância mede o quanto os valores em uma amostragemvariam. È uma medida que avalia o grau de dispersão dos valores da variável em tornoda média. Quanto menor a variância, maior é o grau de concentração dos dados emtorno da média. Podemos representar o cálculo dos dados da seguinte forma:   n   2  ∑ xi   1  n 2  i =1    S = 2 ∑ xi − n  (para dados de uma amostra agrupados) n − 1  i =1      1.3.Desvio Padrão amostral: A variância é um quadrado, e muitas vezes o resultadotorna-se artificial.Por exemplo: a altura média de um grupo de pessoas é 1,70m e avariância 25cm2. Fica um tanto esquisito cm2 em altura. Para contornamos este “problema” definindo Desvio Padrão como sendo a raizquadrada positiva de sua Variância. S = S 2 (para dados amostrais)Regiane Slongo Fagundes 22
  23. 23. AGRONOMIA-FAG Estatística Usando a tabela de distribuição normal, vemos que no intervalo de:• De ( X − S ) a ( X + S ) o grau de concentração de probabilidades em torno damédia é de 68%;• De ( X − 2 S ) a ( X + 2 S ) , o grau de concentração de probabilidades em torno damédia é de 95%;• De ( X − 3S ) a ( X + 3S ) , o grau de concentração de probabilidades em torno damédia é de 99,7%. ( ) Exemplificando, se dissermos que a altura média X do homem brasileiroadulto é de 1,70m e desvio Padrão (S) 5cm, estaremos dizendo que entre;1,65m e 1,75m encontramos 68% da população masculina adulta brasileira.1,60m e 1,80m encontramos 95% da população masculina adulta brasileira.1,55m e 1,85m encontramos 99,7% da população masculina adulta brasileir.aOBSERVAÇÃO: O desvio Padrão representa a maneira mais comum de se medir a variaçãode um conjunto de observações. Para duas amostras, a que apresentar um desviopadrão maior acusará uma maior dispersão. Quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável se aproximamde sua média. Quanto maior a variância e desvio padrão, maiores são os indícios deheterogeneidade entre os elementos do conjunto.1.4.Coeficiente de Variação de PEARSON: O coeficiente de variação mede ahomogeneidade dos dados em conjunto em relação à média, sua fórmula é expressa por: S CV = × 100 x O valor obtido será dado em porcentagem. • Acima de 30% o conjunto de dados é considerado heterogêneo • Abaixo de 30% o conjunto é considerado homogêneo. Em algumas regras empíricas para interpretações do coeficiente de variação: • Se 0 ≤ CV < 10% tem-se baixa dispersão • Se 10% ≤ CV <20% tem-se média dispersão • Se 20% ≤ CV<30% tem-se alta dispersão • Se CV≥30% tem-se elevada (altíssima) dispersãoRegiane Slongo Fagundes 23
  24. 24. AGRONOMIA-FAG Estatística EXERCÍCIOS 1. Uma amostra de 50 estudantes apontou o seguinte rol de notas de Estatística (avaliação de 0 a 100). 30 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 – 42 – 45 – 47 – 48 50 – 52 – 53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 – 60 – 60 61 – 64 – 65 – 65 – 65 – 66 – 66 – 66 – 67 – 68 69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 – 76 – 77 – 77 – 78 80 – 81 – 84 – 85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 – 97 a) Qual é a amplitude total desta amostra? É viável construir uma distribuição por intervalos de classe? b) Em quantas classes poderemos agrupar esse conjunto de dados? c) Qual será o tamanho dos intervalos de classe? d) Construa a tabela de distribuição de freqüência por classes. Inicie a primeira classe com 30. e) Construa os histogramas de freqüências absolutas e relativas. f) Quantos alunos obtiveram notas maiores ou iguais a 70? g) Analisando a tabela e os gráficos, redija um breve relatório sobre as notas desta turma de estudantes. h) Calcule a média amostral e interprete. i) Calcule e interprete a moda. j) Calcule e interprete a mediana. k) Determine os quartis. Represente os resultado usando o BOX-PLOT. l) Determine a Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação. Interprete. m) A Distribuição é Simétrica? Justifique calculando o grau de assimetria e interprete o BOX-PLOT. n) Faça um comentário final utilizando todos as informações obtidas nos itens acima e faça suas considerações finais. 2. Para se estudar o desempenho de duas companhias corretoras de ações, selecionou-se de cada uma delas amostras aleatórias das ações negociadas. Para cada ação selecionada, computou-se a porcentagem de lucro apresentada durante um período fixado de tempo. Os dados estão a seguir: Quadro 1. Porcentagem de lucro de ações negociadas de duas corretoras Corretora A Corretora B 45 54 62 61 54 64 57 58 58 50 51 49 70 48 64 55 65 65 52 59 59 55 61 65 59 51 55 60 62 63 65 59 48 55 60 70 60 55 40 55 66 65 55 69 58 63 64 75Determine:a) A média, mediana, moda e quartis de cada corretora. Interprete os resultados;b) Que corretora tem as ações menos dispersas?c) Que corretora tem as ações mais homogêneas?Regiane Slongo Fagundes 24
  25. 25. AGRONOMIA-FAG Estatística 3. Um laboratório clínico precisa decidir comprar um dentre três aparelhos (A,B,C) para dosagem no sangue. Para isto o responsável pela análise preparou uma substância de concentração conhecida (10mg/ml) e extraiu várias amostras para serem dosadas pelos três aparelhos. Os resultados obtidos em cada um deles foi o seguinte:A 10 9 10 9 11 8 9 7 8 9B 5 10 7 15 16 12 4 8 10 13C 10 11 9 10 9 11 12 8 10 10 Em medidas clínicas três termos são utilizados freqüentemente:PRECISÃO: Refere-se à dispersão dos resultados;NÃO VICIADO: Refere-se à tendência de um conjunto de medidas produzir umresultado igual ao “verdadeiro valor”(em nosso exemplo o verdadeiro valor é 10mg/ml).EXATO: refere-se ao instrumento PRECISO e NÃO VICIADO.a) Descreva os três instrumentos em termos das definições acima.b) Qual instrumento lhe parece recomendável? Justifique 4. No quadro a seguir apresenta-se a produtividade de soja t/há das parcelas de uma variedade. 81 77 103 112 123 119 110 110 82 61 110 121 119 97 102 111 82 74 97 105 112 91 103 112 88 70 103 111 122 94 99 105 89 88 94 110 116 108 93 107 77 82 86 101 109 113 99 102 74 80 85 90 97 101 96 72 75 80 83 87 94 99 95 48 77 84 74 108 121 143 91 52 87 100 47 111 104 109 80 98 a) Calcular o valor médio, desvio padrão, coeficiente de variação. A área em estudo é homogênea? Justifique sua resposta. b) Achar os quartis e classifique cada parcela da seguinte maneira: Vermelho, se a produtividade é menor a Q1; Amarelo, se Q1 ≤ produtividade ≤ Me; Verde, se Me< produtividade ≤ Q3 ; Azul, se produtividade > Q3 . Existe alguma tendência espacialmente nos dados? Que se pode dizer acerca do estudo de homogeneidade obtido em (a)?Regiane Slongo Fagundes 25
  26. 26. AGRONOMIA-FAG Estatística 5. Uma indústria metalúrgica recentemente passou a produzir um tipo especial de aço para atender um novo cliente. Estas peças são produzidas com um aço de baixa-liga e após serem usinadas são submetidas ao processo de resfriamento. Para satisfazer às especificações do novo cliente, o item de dureza, medida no centro das peças de aço deve estar na faixa de 32 a 38 Rockwell C(unidade de dureza). Os dados apresentados na Tabela 1 representa o nível de dureza do aço utilizando três tratamentos (água, óleo A, Óleo B).Tabela 01: Valores da Dureza, medida no centro das Peças do Tipo Especial, Após ostratamentos de resfriamento. Resfriamento em Observação Água Óleo A Óleo B 1 36,7 36,0 35,3 2 38,9 36,4 35,0 3 38,7 35,3 34,3 4 38,8 36,8 35,7 5 37,6 36,9 35,2 6 37,2 37,5 34,2 7 38,8 35,3 36,5 8 38,0 36,0 35,6 9 37,2 35,7 35,5 10 37,8 36,1 35,5 11 38,0 37,0 35,4 12 38,8Determine: a) A média, Mediana, Desvio Padrão, Coeficiente de Variação, Quartis, Valor Mínimo e Valor Máximo de cada tratamento. Interprete os resultados. b) Construa os gráficos Dot-plot e Box-plot para cada tratamento. Interprete os resultados. c) Que tratamento tem nível de dureza com menos variabilidade com respeito a sua média e mais homogêneo? d) Qual dos três tratamentos de resfriamento cumpre as especificações do cliente?Regiane Slongo Fagundes 26
  27. 27. AGRONOMIA-FAG Estatística PARTE V Probabilidade1 . Introdução Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porémpertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaçoamostral. Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento. Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria:U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Exemplos de eventos no espaço amostral U:A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}B: sair um número primo e par: B = {2}C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova. Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde oseventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem. Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável. Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenosdeterminísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certezados resultados a serem obtidos. Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de umfenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessaspossibilidades, denominada Probabilidade. Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para umaretirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos, entretantoque será muito mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí,podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, doque o evento "sair bola branca".Regiane Slongo Fagundes 27
  28. 28. AGRONOMIA-FAG Estatística2. Conceito de Probabilidade Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento,ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A serácalculada pela fórmula n( A) P( A) = n(U )onde: n (A) = número de elementos de A e n (U) = número de elementos do espaço de prova U. Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios introdutórios:2.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:a) sair o número 3:Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidadeprocurada será igual a 1 P( A) = 6b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo aprobabilidade procurada será 3 1 P( A) = = 6 2c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo aprobabilidade procurada será 2 1 P( A) = = 6 3d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos.Portanto: 2 1 P( A) = = 6 3e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto: 2 1 P( A) = = 6 3Regiane Slongo Fagundes 28
  29. 29. AGRONOMIA-FAG Estatística2.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:a) Sair a soma 8 Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) ondei = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidadeprocurada será igual a: 5 P( A) = 36b) Sair a soma 12 Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6).Portanto, a probabilidade procurada será igual a: 1 P( A) = 362.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:a) sair bola azul 6 3 P( A) = = = 0,30 = 30% 20 10b) sair bola vermelha 10 1 P( A) = = = 0,50 = 50% 20 2c) sair bola amarela 4 1 P( A) = = = 0,20 = 20% 20 5 Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas comoporcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número deocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemosafirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairábola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade deexperimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dospercentuais indicados.Regiane Slongo Fagundes 29
  30. 30. AGRONOMIA-FAG Estatística3. Propriedades• P1: A probabilidade do evento impossível é nula. Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos: P(Ø) = n (Ø)/n (U) = 0 /n (U) = 0 Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.• P2: A probabilidade do evento certo é igual à unidade. Com efeito, P(A) = n(U)/n(U) = 1 Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.• P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.• P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade. Seja o evento A e o seu complementar A. Sabemos que A U A = U. n(A U A) = n(U) e, portanto, n(A) + n(A) = n(U). Dividindo ambos os membros por n(U), vem: n(A)/n(U) + n(A)/n(U) = n(U)/n(U), de onde se conclui: P(A) + P(A) = 1Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitosproblemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular aprobabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinara probabilidade do evento.• P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: (Adição de Probabilidades) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Observe que se A∩B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então P(A U B) = P(A) + P(B).Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos quen(A U B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade,concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima.Exemplo:Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas sãoassinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso sejaassinante de ambos os jornais?Regiane Slongo Fagundes 30
  31. 31. AGRONOMIA-FAG EstatísticaSOLUÇÃO:Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaçoamostral.Teremos:n(U) = n(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.n(U) = n(J) + n(P) – n(J ∩ P) + 800n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800n(U) = 8600 Portanto, a probabilidade procurada será igual a:P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. Logo, P = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa dacomunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é deaproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).4. Probabilidade condicional Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um eventoA, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição deprobabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá sercalculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que tambémpertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por P (A / B)– probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome deprobabilidade condicional.Teremos então:P(A/B) = n(A∩B)/n(B)onde A∩B = interseção dos conjuntos A e B.ou seja: Se A e B são dois eventos de um espaço amostral (U), com P(B) ≠ 0, então aprobabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido B, é indicada por P(A/B) édefinida pela relação P( A ∩ B) P( A / B) = , se P( B) ≠ 0 P( B) Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea doseventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.Regiane Slongo Fagundes 31
  32. 32. AGRONOMIA-FAG Estatística1) Um dado foi jogado. Qual a probabilidade de ocorrer face 5, sabendo que ocorreuface com número ímpar? 3 Evento B → Probabilidade de ocorrer face impar = P( B) = 6 1 Evento A → A Probabilidade de ocorrer face 5 = P( A ∩ B) = 6 1 P( A ∩ B) 1 P( A / B) = = 6 = = 0,3 = 33,33% P( B) 3 3 65. Probabilidade Independente e a Regra do Produto Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do eventoA, então p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(B) e, neste caso, os eventos são ditosindependentes, e a fórmula acima fica: P(A∩B) = P(B) . P(A/B) ou P(A∩B) = P(A) . P(B/A) Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventosindependentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados. Daívem a regra do produto que pode ser expressa da seguinte forma: P(A∩B) = P(A) . P(B) Ou seja, se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B édada pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade de ocorrer B.Exemplo:1) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.Calcule asprobabilidades de:a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha(V) e depois uma bola branca (B).P(V ∩ B) = P(V) . P(B/V)P(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:P(B/V) = 2/6 = 1/3Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:P(V ∩ B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelhae depois uma bola branca.Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso,a probabilidade buscada poderá ser calculada como:P(V ∩ B) = P (V) . (B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%Regiane Slongo Fagundes 32
  33. 33. AGRONOMIA-FAG Estatística5. Teorema Bayes É um processo usado para calcular a probabilidade a posteriori.Definição: Sejam E1, E2, E3, . . . , Ek eventos mutuamente exclusivos, tais que: P(E1) +P(E2) + P(E3) + . . . + P(Ek) = 1. Seja A um evento qualquer, que se sabe ocorrerá emconjunto com, ou em conseqüência de, um dos eventos Ei. Então a probabilidade deocorrência de um evento Ei dada a ocorrência de A, é dada por: P( Ei ∩ A) P( Ei ) ⋅ P( A / Ei )P( Ei / A) = = P( A) P( E1 ) ⋅ P( A / E1 ) + P( E 2 ) ⋅ P( A / E 2 ) + .... + P( E k ) ⋅ P( A / E k ) Esse resultado relaciona probabilidades a priori P(Ei) com probabilidades aposteriori P(Ei/A) = Probabilidade de Ei depois da ocorrência de A.Regiane Slongo Fagundes 33
  34. 34. AGRONOMIA-FAG Estatística EXERCÍCIOS 1. Determine a probabilidade de cada evento: a) Um número par aparecer no lançamento de um dado não viciado; b) Um rei aparecer, ao extrair-se uma carta de um baralho; c) Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de três moedas; d) Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de n moedas; e) Duas copas aparecerem, ao retirarem-se duas cartas de um baralho; f) Uma carta de copas e uma de ouros aparecerem ao extraírem-se duas cartas de um baralho.R: a) 1/2 b) 1/13 c) 7/8 d) (2n – 1)/2n e) 1/17 f) 13/204 2. Um número é escolhido entre 20 inteiros ao acaso, de 1 a 20. qual a probabilidade de o número escolhido: a) ser par? b) Ser ímpar? c) Ser primo? d) Quadrado perfeito?R: a) 1/2 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/5 3. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. seja o experimento retirada de uma bola, e considere os eventos: A = { a bola retirada possui um múltiplo de 2} B = {a bola retirada possui um múltiplo de 5} Determine a probabilidade do evento A∪BR: 4/13 4. Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados e observados os números das faces de cima: a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais? b) Qual a probabilidde de ocorrerem números diferentes? c) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 7? d) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 12? e) Qual a probabilidade de a soma dos números ser menor ou igual a 12? f) Qual a probabilidade de aparecer um número 3 em ao menos um dado?R: a) 1/6 b) 5/6 c) 1/6 d) 1/36 e) 1 f) 11/36 5. Um dado é lançado e o número da face de cima é observado. a) se o resultado obtido for par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a cinco? b) Se o número obtido for maior ou igual a cinco, qual a probabilidade de ele ser par? c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade de ele ser menor que 3? d) Se o resultado for menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar?R: a) 1/3 b) ½ c) 1/3 d) ½Regiane Slongo Fagundes 34
  35. 35. AGRONOMIA-FAG Estatística 6. Um número é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 50. Qual é a probabilidade de : a) O número ser divisível por 5? b) O número terminar em 3? c) O número ser primo? d) O número ser divisível por 6 ou por 8?R: a) 1/5 b) 1/10 c) 3/10 d) 6/25 7. Qual é a probabilidade de sair um Rei ou uma carta de Copas, quando retiramos uma carta de um baralho? R: 4/13 8. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de: a) A soma ser menor que 4? b) A soma ser 9? c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo?R: a) 1/12 b) 1/9 c) 5/12 9. Numa urna, são misturadas 10 bolas numerada de 1 a 10. Duas bolas são retiradas (a, b) sem reposição. Qual é a probabilidade de a + b =10?R: 4/45 10. Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos(s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m.. Três pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m.R: 97,3% 11. Um lote é formado por 10 peças boas, quatro com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) Ela não tenha defeitos graves; b) Ela não tenha defeitos; c) Ela seja boa, ou tenha defeitos graves;R: a) 7/8 b) 5/8 c) ¾ 12. Considere o mesmo lote anterior. Retiram-se duas peças ao acaso. Qual a probabilidade de que; a) Ambas sejam perfeitas? b) Pelo menos uma seja perfeita? c) Nenhuma tenha defeito grave? d) Nenhuma seja perfeita?R: 3/8 b) 7/8 c) 91/120 d) 1/8 13. Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona 5 peças. O lote é aceito se forem observadas 0 ou 1 defeitos. Há 20 peças defeituosas no lote. a) Qual a probabilidade do lote ser aceito? b) Admitindo que o lote seja aceito, qual a probabilidade de ter sido observado só um defeito?R: a)80,38% b) 50%Regiane Slongo Fagundes 35
  36. 36. AGRONOMIA-FAG Estatística 14. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela Olhos Cabelos azuis castanhos Loira 17 9 Morena 4 14 Ruiva 3 3Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual aprobabilidade de ela ser: a) Loira? b) Morena de olhos azuis? c) Morena ou ter olhos azuis? d) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena? 13 2 19 7R: a) b) c) d) 25 25 25 13 15. Uma urna contém cinco bolas brancas e seis pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de: a) Serem todas pretas; b) Ser exatamente uma branca; c) Ser ao menos uma preta.R: a)4/33 b) 5/11 c) 31/33 16. Em uma classe, existem cinco alunos do 4º ano, quatro do 2º ano e três do 3º ano. Qual é a probabilidade de serem sorteados dois alunos de 2º ano, três do 4º e dois do 3º?R: 5/22 17. A probabilidade de três jogadores marcarem um pênalti são respectivamente: 2 4 7 , e 3 5 10 Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de: a) Todos acertarem? b) Apenas uma acertar? c) Todos errarem?R: a) 28/75 b) 1/6 c) 1/50 18. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de: a) A ganhar todas as três; b) Duas partidas terminarem empatadas; c) A e B ganharem alternadamente.R: a) 1/8 b) 5/72 c) 5/36Regiane Slongo Fagundes 36
  37. 37. AGRONOMIA-FAG Estatística 19. Num período de um mês, 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram internados em um hospital. Informações sobre o método de tratamento aplicado em cada paciente e o resultado obtido estão abaixo, Tratamento A B SomaResultado Cura total 24 16 40 Cura parcial 24 16 40 Morte 12 8 20 Soma 60 40 100 a) Sorteando aleatoriamente um desses pacientes, determinar a probabilidade de o paciente escolhido: a1) ter sido submetido ao tratamento A; a2) ter sido totalemente curado; a3) ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado; a4) ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado. b) Os eventos “morte”e “tratamento A” são independentes? Justifique. c) Sorteando dois pacientes, qual a probabilidade de que: c1) tenham recebido tratamentos diferentes? c2) pelo menos um deles tenha sido curado totalmente?R: a1) 0,6 a2) 0,4 a3) 0,24 a4) 0,76 c1) 0,48 c2) 0,64 20. Numa bolsa temos cinco moedas de R$ 1,00 e quatro de R$ 0,50. Qual a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50?R: 5/9 3 21. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui 30 anos é de e de seu 4 3 marido, . Calcular a probabilidade de: 5 a) Apenas o homem estar vivo; b) Somente a mulher estar viva; c) Ambos estarem vivos.R: a) 3/20 b) 3/10 c) 9/20 22. Uma caixa A contém oito peças, das quais três são defeituosas, e uma caixa B contém cinco peças, das quais duas são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa. a) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam defeituosas? b) Qual é a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não? c) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a peça defeituosa venha da caixa A?R: a) 3/8 b) 19/40 c) 9/19 23. Temos duas caixas: na primeira há três bolas brancas e sete pretas; e na segunda, uma bola branca e cinco pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é preta. Qual é a probabilidade de que a caixa onde for extraída a bola seja a primeira? E a segunda?R: 21/46 25/46Regiane Slongo Fagundes 37
  38. 38. AGRONOMIA-FAG Estatística 3 24. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar uma carro é de , de B é 4 1 1 e de C é . A probabilidade de o indivíduo de classe A comprar um carro 5 20 1 3 3 da marca D é ; de B comprar da marca D é e de C é . Em certa loja 10 5 10 comprou-se um carro da marca D. qual é a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado?R: 4/7 25. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,80m de altura qual é a probabilidade de que o estudante seja mulher?R: 4/19 26. Três máquinas, A, B e c, produzem respectivamente 40%, 50% e 10% total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B?R: 25/39 27. A industria Alpha Ltda., fabricante de esferas metálicas, possui três máquinas, M1, M2 e M3, responsáveis por 25%, 40% e 35%, respectivamente, de sua produção diária. Por sua vez, as respectivas taxas de unidades defeituosas são de 1%, 2% e 3%. Tendo um item sido retirado, ao acaso, da produção diária de 600.000 unidades, e se verificando que apresenta defeito, pede-se a probabilidade de ser proveniente de Mi (i = 1, 2, 3).R: M1 = 11,9% M2 = 38,10% M3 = 50%Regiane Slongo Fagundes 38
  39. 39. AGRONOMIA-FAG EstatísticaPARTE VI Distribuição Teóricas De Probabilidade De Variáveis Aleatórias Discretas1. Variáveis Aleatórias Seja E um evento aleatório e U o espaço Amostral associado ao experimento. Uma função X que associe cada elemento u ∈ U um número real X(u) denominada variável aleatória.Exemplo:• Lançam-se três moedas. Seja X: número de ocorrência de face cara. Determinar adistribuição de probabilidade de X. 1.1 Variável Aleatória Discreta Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X for finito ou infinito numerável, denominaremos X de Variável Aleatória Discreta.Exemplos:• X: O número de Caras obtidas em um lançamento de duas moedas não viciadas.• X: O número de Clientes que vão ao banco no horário das 10:00h as 12:00h.• X: Chamadas telefônicas por unidade de tempo.• X: Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidadede tempo. 1.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Trata-se de um modelo que dá a probabilidade do número de sucessos quandosão realizadas n provas do mesmo tipo. Cada experimento admite dois resultados:• Sucesso ⇒ com probabilidade p• Fracasso ⇒ com probabilidade 1 – p = qHipóteses:• São realizadas n provas do mesmo tipo (Idênticas);• Cada prova admite dois resultados possíveis: Sucesso ou Fracasso;• Os resultados das provas são independentes; A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicaremospela notação X = B( n , p )Fórmula: P(X = x) = p x .q n − x .C n , xOnde: n = número de provas ou repetições; x=número de Sucessos; n-x = número de Fracassos; p = probabilidade de sucesso em cada prova;Regiane Slongo Fagundes 39
  40. 40. AGRONOMIA-FAG Estatística q = 1-p é a probabilidade de Fracasso em cada prova; C n , x = número de combinações de n elementos tomados x a xParâmetros da distribuição Binomial Esperança: E(x) = µ(x) = n . p Variância Var(x) = σ2(x) = n . p . q 1.3 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinadointervalo.Hipóteses:H1: A probabilidade de uma ocorrência em um intervalo ∆t ( ∆ S, ou...) é constante eproporcional ao tamanho do intervalo. Isto é: P( X = 1,∆t ) = λ∆tH2: A probabilidade de mais de uma ocorrência em um intervalo ∆t ( ∆ S, ou...) é iguala zero. Isto é: P( X > 1,∆t ) = 0H3: O número de ocorrências constituem variável aleatórias independentes. Seja X: número de sucessos no intervalo, então: µ x .e − µFórmula: P(X = x) = x!Onde: λ = coeficiente de proporcionalidade, ou taxa de freqüência por unidade detempo, área, etc. t = tempo, área; e = base dos logaritmos naturais; x = número de ocorrências (sucessos) µ = λ.tParâmetros da distribuição de PoissonEsperança: E(x) = µ(x) = λ.tVariância: Var(x) = σ2 (x) = λ.tRegiane Slongo Fagundes 40
  41. 41. AGRONOMIA-FAG Estatística EXERCÍCIOS 1. Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades: a) de dar pelo menos duas caras; R: 98,93% b) de ocorrer seis caras; R: 20,51% c) de não dar nenhuma coroa; R: 0,098% d) de dar pelo menos uma coroa; R: 99,90% e) de não dar 5 caras e 5 coroas R: 75,39% 2. Admitindo que o nascimento de meninos e meninas sejam iguais, calcule a probabilidade de um casal com seis filhos ter quatro filhos homens e duas mulheres.R: 23,44% 3. Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 brancas. Retira-se 25 bolas com reposição. Qual a probabilidade de que: a) 2 sejam pretas? R: 0,038% b) Pelo menos 3 sejam pretas? R: 99,96% 4. Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em; a) 250Km ocorram pelo menos 3 acidentes? R: 87,53% b) 300Km ocorram 5 acidentes? R: 16,06% 5. A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo uma única flecha é de 0,20. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que: a) exatamente 4 acertem o alvo? R: 13,25% b) pelo menos 3 acertem o alvo? R: 95,58 6. O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média uma emenda a cada 50 metros. Admitindo-se que a probabilidade do número de emendas é dada pela Poisson, calcule as probabilidades; a) de nenhuma emenda em um rolo de 125 metros. R: 8,21% b) De ocorrer no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros. R: 54,40% c) De ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros. R: 86,47% 7. Admitindo que X tem distribuição de probabilidade de Poisson, encontre as probabilidades: a) P(X=5) quando µ = 3,0 R: 10,08% b) P(X ≤ 2) quando µ = 5,5) R: 8,84% c) P(X ≥ 4) quando µ = 7,5) R: 5,91% d) P(X = 8) quando µ = 4,0 R: 2,98% 8. Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não sobreviventes: a) qual a distribuição de X? Binomial = B(20 ; 0,2) b) calcular a E[X] e Var [X] R: E[X] = 4 Var[X]Regiane Slongo Fagundes 41
  42. 42. AGRONOMIA-FAG Estatística c) calcular P(2 < X ≤ 4) R : 42,36% d) calcular P(X ≥ 2) R = 93,08% 9. O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em: a) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos R: 9,16% b) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos? R: 82,64% 10. A média de chamadas telefônicas numa hora é três. Qual a probabilidade de: a) Receber exatamente três chamada numa hora? R: 22,41% b) Receber quatro ou mais chamadas em 90 minutos? R: 65,8% 11. Certo posto de Bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Calcular a probabilidade de: a) receber quatro chamadas num dia; R: 16,8% b) receber três ou mais chamadas num dia. R: 57,67% 12. Uma loja atende em média dois cliente por hora. Calcule a probabilidade de em uma hora: a) atender exatamente dois cliente; R: 27% b) atender três clientes. R: 18% 13. Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que dada página contenha: a) nenhum erro; R: 44,9% b) exatamente dois erros. R: 14,37% 14. Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: a) nenhuma defeituosa; R: (0,95)100 100  b) três defeituosas; R: (0,05) 3 (0,95) 97   3    1 15. A probabilidade de um atirador acertar uma alvo é de . Se ele atirar seis vezes, 3 qual a probabilidade de: 1. acertar exatamente dois tiros? R: 32,92% 2. não acertar nenhum tiro? R: 8,78% 16. Em um teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de uma aluno, respondendo às questões ao acaso, acertar 70% das perguntas? 100  1  100  R:        2   70 Regiane Slongo Fagundes 42
  43. 43. AGRONOMIA-FAG EstatísticaPARTE VII Distribuição Teóricas De Probabilidade De Variáveis Aleatórias Contínuas 1. Variável Aleatória Contínua Seja X uma variável aleatória. Se o contradomínio de X é um intervalo, ou uma coleção de intervalos, denominamos X de Variável Aleatória Contínua.Exemplos:• X: Altura acima do solo que um dardo atinge o painel.• X: O intervalo de tempo de vida de uma lâmpada.• X: Tempo de vida útil de uma bateria de automóvel.• X: Tempo de vida de uma pessoa. 2. DefiniçãoPodemos dizer que uma variável aleatória contínua é aquela que assume valores em umintervalo da reta real dos números reais.Por definição, uma variável aleatória X é contínua em IR se existir uma função f(x), talque:1. f ( x) ≥ 0 (não negativa) ∞2. ∫ f ( x)dx = 1 . −∞A função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.). Observamos que: b P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx aA área sobre a curva expressa a função densidade de probabilidade de uma f.d.p.definida.Regiane Slongo Fagundes 43
  44. 44. AGRONOMIA-FAG EstatísticaParâmetros:ESPERANÇA MATEMÁTICA: Pode ser entendida como um “centro de distribuição ∞de probabilidade”. E ( X ) = µ ( x) = ∫ x ⋅ f ( x)dx −∞ µVARIÂNCIA MATEMÁTICA: VAR( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )] 2onde: ∞E( X ) = ∫x ⋅ f ( x)dx 2 2 −∞Também podemos definir: xF ( x) = P( X ≤ x) = ∫ f ( s)ds −∞ 2.1 DISTRIBUIÇÃO NORMALO nome normal deve-se ao fato de que muitas distribuições de freqüências de erros deobservações e mensurações podem ser descritas por uma distribuição dessa natureza.A função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma distribuiçãonormal é definida por: 2 1  x−µ  1 −  2 σ   f ( x) = e , para − ∞ < x < +∞ σ 2πO gráfico de f(x) é;As principais características dessa função são: a) o ponto máximo de f(x) é o ponto X = µ;Regiane Slongo Fagundes 44

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