Matemática: Unidad II

5,178 views
5,002 views

Published on

Published in: Education
1 Comment
1 Like
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
5,178
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
332
Comments
1
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matemática: Unidad II

  1. 1. Las matemáticas son fáciles Unidad II Inecuaciones y funciones reales I Prof.: Christiam Huertas www.mathesm.blogspot.com 27/02/2012
  2. 2. Prof.: Christiam Huertas 1
  3. 3. UNIDADInecuaciones linealesy funciones reales I II Capítulo 1 Inecuación linealLas expresiones “a lo menos”, “cuando mucho”, “como mínimo”, “comomáximo”, “sobrepasa”, “no alcanza” y otras, están presentes en nuestrolenguaje diario y en general se refieren a situaciones en las cuales se establecencomparaciones entre dos magnitudes. Por ejemplo, que la máxima velocidadpermitida en carretera es de 100 km/h, quiere decir que el rango de velocidadespermitidas se encuentra entre 0 y 100 km/h, y expresado en términosmatemáticos, se escribe . O bien, “el doctor indico que debe bajarpor lo menos 6 kg”, quiere decir que el peso ideal ( ) es menor o igual que elpeso actual ( ) menos 6 kg, y expresado matemáticamente se escribe . Se ve, entonces, que las inecuaciones permiten modelar o representaralgunas situaciones de comparación. En este capítulo precisamenteaprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. 1.1 InecuaciónUna inecuación en una variable es una proposición que involucra dosexpresiones, de las que al menos una contiene a la variable, separadas por unode los símbolos de desigualdad: , , o . Ejemplo 1 Ejemplos de inecuacionesa)b)c)d)e)Prof.: Christiam Huertas 2
  4. 4. 1.1.1 Solución de una inecuaciónUna solución de una inecuación en es un valor de para el que la inecuaciónes verdadera. Ejemplo 2 Solución de una inecuaciónConsideremos la inecuación .Buscamos valores de para el cual se verifique la inecuación:Si : ( ) (F) Entonces no es solución.Si : ( ) (V) Entonces es solución.Si : ( ) (V) Entonces es solución.Si √ : (√ ) √ √ √ (V) Entonces √ es solución.Así, podemos encontrar más soluciones, pero no es la forma correcta. Lo quetenemos que hacer es resolver la inecuación y hallar todas las soluciones. 1.1.2 Conjunto solución de una inecuaciónEl conjunto solución de una inecuación es el conjunto formado por todas lassoluciones de la inecuación y se denota por . Ejemplo 3 Ejemplo de conjunto soluciónEn la inecuación , vemos que se verifica si es cualquier número menorque 3; es decir, las soluciones son todos los números que pertenecen alintervalo 〈 〉. Por lo tanto, 〈 〉.Gráficamente: 𝑥 1.1.3 Resolución de una inecuaciónResolver una inecuación en significa determinar todos los valores de paralos que la inecuación es verdadera; es decir, tenemos que hallar su conjuntosolución.Prof.: Christiam Huertas 3
  5. 5. Un método para resolver una inecuación es sustituirla por una serie dedesigualdades equivalentes hasta obtener una desigualdad con una soluciónobvia, como . Se obtienen desigualdades equivalentes aplicando laspropiedades de desigualdades estudiadas anteriormente. Ejemplo 4 Ejemplo de resolución de una inecuaciónResuelva la inecuación . SoluciónAplicaremos las propiedades de desigualdades para resolver la inecuación:Restamos xSumamos 1Es decir; las soluciones son todos los números mayores que 4. Por lo tanto, 〈 〉 . 1.2 Inecuación linealUna inecuación lineal o de primer grado es una desigualdad que se verifica parauno o más valores reales de su variable.Una inecuación lineal es una inecuación de la forma:donde y es la variable. 1.2.1 Resolución de una inecuación linealUna inecuación de primer grado se resuelve empleando las leyes de orden dadasanteriormente. Ejemplo 5Resuelva la inecuación . SoluciónSe tiene la inecuación:RestamosDividimos entreProf.: Christiam Huertas 4
  6. 6. El conjunto solución es el intervalo 〈 〉. Ejemplo 6Resuelva la inecuación . SoluciónSe tiene la inecuación:Restamos 7RestamosDividimos entreEl conjunto solución es el intervalo , ⟩. Ejemplo 7Resuelva la inecuación . SoluciónSe tiene la inecuación:SumamosDividimos entre 3El conjunto solución es el intervalo 〈 〉. Ejemplo 8Resuelva la inecuación . SoluciónSe tiene la inecuación:Multiplicamos por ( ) . / ( )RestamosProf.: Christiam Huertas 5
  7. 7. Dividimos entreQue es equivalente aEl conjunto solución es el intervalo , -. Ejemplo 9Lucero S.A.C., una firma de confecciones, determina que sus ingresos totales,en dólares, a partir de la venta de prendas, están dados por .Determine el número de vestidos que debe vender Lucero para asegurar quesus ingresos totales sean superiores a $ 70 050. SoluciónSe sabe que si vende prendas, el ingreso total es de dolares.Se quiere que los ingresos sean superiores a $ 70 050, entonces de debe tenerla siguiente condición: IngresoResto 50Multiplico porAsí, los ingresos totales de la compañía excederán $ 70 050 cuando venda másde 350 prendas.Prof.: Christiam Huertas 6
  8. 8. Capítulo 2 Producto cartesianoEl nombre de producto cartesiano de dos conjuntos fue dadoen honor al gran matemático francés Descartes (1596-1650),quien al considerar el plano como un conjunto de pares denúmeros inició una nueva rama de las Matemáticas llamadaGeometría Analítica. 2.1 Par ordenadoLos pares ordenados aparecen con naturalidad con bastante frecuencia. Obser-vemos los siguientes cuadros: el primero muestra una lista de objetos con susrespectivas cantidades y precios; y el segundo, una lista de nombres con susrespectivos números telefónicos. Concepto Cantidad Precio (S/.) Apellidos y nombres Teléfono Lápices 2 cajas 12 Pérez Soto Abel 5326487 Lapiceros 5 cajas 20 Torres Castro Ana 4366612 Plumones 12 cajas 84 Suarez Quispe Luana 3451278Es notorio que a cada objeto de la primera lista está asociada una pareja denúmeros en el orden cantidad – precio, estas parejas son: ( )( )( )donde el primer número de cada pareja corresponde a la cantidad y el segundonúmero, al precio.Igualmente se puede observar en la segunda lista, que cada número telefónico estáasociado al nombre completo de una persona, formando parejas de nombres ynúmero telefónico, en ese orden. Estos ejemplos nos ilustran la idea de parordenado.Dados dos conjuntos (no vacíos), un par ordenado está formado por doselementos, uno por cada conjunto, guardando un orden estricto.Prof.: Christiam Huertas 7
  9. 9. NotaciónEl par ordenado se escribe entre paréntesis, separado por una coma: ( ) Primera componente Segunda componenteSe lee: Par ordenado coma . Ejemplo 1 Ejemplos de pares ordenados  ( )  ( ) ( )  (√ )  ( )  ( )  ( )La definición formal de par ordenado: ( ) {* + * +}, se debe aKuratowski, quien la introdujo en 1921. 2.1.1 Igualdad de pares ordenadosDos pares ordenados son iguales si y solamente si sus primeros componentesson iguales y sus segundos componentes también son iguales.Simbólicamente se expresa así: ( ) ( ) Ejemplo 2Determine el valor de e si se sabe que los pares ordenados ( )y( ) son iguales. SoluciónComo los pares ordenados son iguales: ( ) ( )se debe cumplir que y yEs decir, e . 2.1.2 Plano cartesianoEl plano cartesiano se forma con dos rectas reales que se interceptanperpendicularmente, donde el punto de intersección es en cero ( ), llamadocentro u origen de coordenadas.Prof.: Christiam Huertas 8
  10. 10. 𝑌 𝑋 Plano cartesianoA la recta horizontal se le llama eje o eje de las abscisas. A la derecha delcero se ubican convencionalmente valores positivos y a la izquierda valoresnegativos.A la recta vertical se le llama eje o eje de las ordenadas. Sobre el cero,convencionalmente se ubican los valores positivos y bajo este los valoresnegativos. 2.1.2 Representación geométrica de un par ordenadoLa representación de un par ordenado en el plano cartesiano se realiza de lasiguiente manera: la primera componente va siempre en el eje y la segunda enel eje . 𝑌 (𝑎 𝑏) 𝑏 𝑎 𝑋 Representación geométrica del par ordenado (a,b)La representación de un par ordenado queda determinada mediante un puntoque se ubica con respecto a cada una de sus componentes en la intersección delas paralelas al eje de las y de las respectivamente.Prof.: Christiam Huertas 9
  11. 11. Ejemplo 3Represente geométricamente los siguientes pares ordenados: ( )( )( )( )( )( ) SoluciónLo ubicamos en el plano cartesiano. 𝑌 𝑋 2.2 Cálculo del producto cartesianoDados dos conjuntos y no vacios, se llama producto cartesiano al conjuntode pares ordenados, formado por todos los elementos de , como primeroscomponentes, asociados a los elementos de , como segundos componentes. Notación Definición *( ) + Ejemplo 4Dados los conjuntos * +y * +. Halle el producto cartesianode y (es decir, ) y el producto cartesiano de y (es decir, ). SoluciónPor definición, *( ) + *( )( )( )( )( )( )+Prof.: Christiam Huertas 10
  12. 12. También, *( ) + *( )( )( )( )( )( )+Notamos que es diferente que .Otros métodos útiles para obtener el producto cartesiano de dos conjuntos, es eldiagrama del árbol y la tabla de doble entrada; las cuales se muestran acontinuación: a) Diagrama del árbol ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Tabla de doble entrada 𝐴 𝐵 1 2 4 3 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 2.2.1 Representación gráfica del producto cartesianoEl producto cartesiano de y se puede representar mediante las siguientesgraficas: a) Diagrama sagital de 𝐴 𝐵 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙Prof.: Christiam Huertas 11
  13. 13. b) Representación de en el plano cartesianoTambién se puede representar en el plano cartesiano: en el eje , los elementosdel conjunto ; y en el eje , los elementos del conjunto . 𝒀 𝐴 𝐵 𝑿 Ejemplo 5Dados los conjuntos * + * +Halle el producto cartesiano . SoluciónExpresamos los conjuntos por extensión: * + * + * + * +Por definición, *( ) + *( )( )( )( )( )( ) ( )( )+Tenga en cuenta que: ( ) . 2.1.1 Propiedades del producto cartesiano 1. El producto cartesiano no es conmutativo. En general si y son 2 conjuntos no vacíos: Salvo en el caso en que . AProf.: Christiam Huertas 12
  14. 14. NotaciónSi , entonces: Ejemplo 6Dado el conjunto * +. Halle . SoluciónSe tiene el conjunto * + 𝐴 𝐴 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Es decir; *( )( )( )( )( )( )( )( )( )+ 2. El producto cartesiano es nulo o vacío, si y solo si es vacío o es vacío. A 3. El cardinal de es igual al cardinal de multiplicado por el cardinal de . ( ) ( ) ( ) A ( ): número de elementos del conjunto . Ejemplo 7Si * +y * +, entonces: ( ) ( ) ( )Es decir; tiene exactamente 12 elementos (12 pares ordenados).Prof.: Christiam Huertas 13
  15. 15. Capítulo 3 RelacionesLas cosas del mundo real se encuentran, unas con otras en estrecha vinculación,en particular emparentadas por algún criterio de vinculación: “María es hija deArturo”, “Vanessa estudia en la UCH”, “Nazca es una provincia de Ica”, “elascensor tiene capacidad para 11 personas”, son ejemplos donde los objetosestán vinculados, respectivamente, por los criterios: “…es hija de…”,“…estudia en la UCH…”, “…es una provincia de…”, “…tiene capacidadpara…”.Este apareamiento de elementos de conjuntos de acuerdo a algún criterio es loque se llama relación. El concepto de relación es sumamente poderoso, útil ysencillo, es por ello que el estudio de las relaciones matemáticas es básico yfundamental en la Matemática en general. 3.1 RelaciónSean y dos conjuntos. Una relación de en , es cualquier subconjuntodel producto cartesiano de y .Simbólicamente, es una relación de en Ejemplo 1Dados los conjuntos * +y * +; hallemos : *( )( )( )( )( )( )+Algunos subconjuntos de son: *( )+ *( )( )+ *( )( )( )+Por definición, , y son relaciones de en . ( )En total, podemos encontrar relaciones de enincluyendo al conjunto vacio. NotaciónSi es una relación de y , también se denota porProf.: Christiam Huertas 14
  16. 16. Ejemplo 2 Ejemplos de relacionesDados los conjuntos * +y * +.El producto cartesiano de estos conjuntos es *( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )+Establezcamos condiciones para relacionar pares de este conjunto. Se formaransubconjuntos con las características precisas siguientes:Caso 1:Que los primeros elementos sean iguales a los segundos:( )( ) son los pares ordenados que cumplen la relación, y forman unsubconjunto de . Luego, *( )( )+ es una relación de en .Caso 2:Que los primeros elementos sean mayores que los segundos:( )( )( )( )( ) son los pares que cumplen la relación, yforman un subconjunto de . Luego, *( )( )( )( ) ( )+ es otra relación de en .Caso 3:Que los primeros elementos sean menores que los segundos:( )( )( )( )( ) son los pares ordenados que cumplen larelación, y forman un subconjunto de . Luego, *( )( )( )( )( )+ es otra relación de en . Ejemplo 3 Ejemplo de relaciónUn estudiante de biología, a fin de investigar la RELACIÓN entre el aumentode peso y la edad de los pavos, pesa un pavo cada mes, desde el momento enque nace hasta que adquiere un máximo desarrollo.La tabla que sigue indica las edades, en meses, y los pesos aproximados co-rrespondientes a esas edades, expresado en kilogramos. Edad en Recién 1 2 3 4 5 6 7 8 9 meses nacido Peso en 0,1 0,6 2,1 4,0 6,2 8,4 10,6 12,7 14,6 14,8 kg.Prof.: Christiam Huertas 15
  17. 17. La tabla indica un conjunto de “parejas ordenadas” de números, el primero delos cuales es la edad y el segundo el peso; habiéndose formado una relaciónordenada entre los dos números de cada pareja. NotaciónDados dos conjuntos y , la relación de un elemento del conjunto conun elemento del conjunto , se denota así: ó ( )Que se lee: “ esta relacionada con ” Ejemplo 4Dados los conjuntos * +y * +. Se define la relación deen como: si y solo siHalle por extensión. SoluciónPrimero hallemos el producto cartesiano de y . *( )( )( )( )( )( )( )( )( )+Escojamos los pares ordenados ( ) que cumplan con la condición : ( )( )( )( )Es decir; *( )( )( )( )+. Ejemplo 5Dados los conjuntos * +y * +. Se define la relación de en como: *( ) +Halle por extensión. SoluciónPrimero hallemos el producto cartesiano de y . *( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )+Escojamos los pares ordenados ( ) que cumplan con la condición esun número par: ( )( )( )( )( )( )Es decir; *( )( )( )( )( )( )+.Prof.: Christiam Huertas 16
  18. 18. Ejemplo 6Dados los conjuntos * +y * +; y la relación deen . Halle por extensión en cada caso:a) ( ) si y solo si .b) ( ) si y solo si .c) ( ) si y solo si .d) ( ) si y solo si divide a .e) ( ) si y solo si .f) ( ) si y solo si es múltiplo de 3. SoluciónProf.: Christiam Huertas 17
  19. 19. Tipos de relaciónHay cuatro tipos de relación entre los elementos de un mismo conjunto:Reflexiva, Simétrica, Transitiva y de Equivalencia (esta última engloba a lasanteriores). Relación reflexiva es una relación reflexiva si todos los elementos del conjunto estánrelacionados consigo mismo, a través de .Simbólicamente, se denota así: es reflexiva ( ) Ejemplo 7 Ejemplo de relación reflexivaSea el conjunto * + y la relación de dada por *( )( )( )( )+ es una relación reflexiva ya que ( ) . Relación simétrica es una relación simétrica si siempre que un elemento del conjunto estárelacionado con otro del mismo conjunto a través de , este último, a su vez,está relacionado con el primero a través de .Simbólicamente, se denota así: es simétrica ( ) ( ) Ejemplo 8 Ejemplo de relación simétricaSea el conjunto * + y la relación de dada por *( )( )( )( )+ es una relación simétrica ya que ( ) ( ) . Relación antisimétrica es una relación antimétrica si siempre que un elemento del conjunto estárelacionado con otro del mismo conjunto a través de , este último, a su vez,no está relacionado con el primero a través de .Prof.: Christiam Huertas 18
  20. 20. Simbólicamente, se denota así: es antisimétrica ( ) ( ) Ejemplo 9 Ejemplo de relación antisimétricaSea el conjunto * + y la relación de dada por *( )( )( )( )+ es una relación antisimétrica ya que ( ) ( ) . Relación transitiva es una relación transitiva cuando siempre que un elemento del conjuntoestá a su vez relacionado con otro, y este está relacionado con un tercero,entonces el primero está relacionado con el tercero, a través de .Simbólicamente, se denota así: Si ( ) ( ) ( ) Ejemplo 10 Ejemplo de relación transitivaSea el conjunto * + y una relación en definida como: “es mayorque”. Entonces *( )( )( )+es una relación transitiva. Ejemplo 11 Ejemplo de relación transitivaSea el conjunto * + y una relación transitiva endefinida como: “juega por el mismo equipo que”. Entonces *( )( )( )+es una relación transitiva. Relación de equivalencia de en es una relación de equivalencia cuando es reflexiva, simétrica ytransitiva simultáneamente.Prof.: Christiam Huertas 19
  21. 21. Ejemplo 11 Ejemplo de relación de equivalenciaSea * +; pasajeros de un avión. Se cumple que : 1. Es reflexiva porque cada uno paga su pasaje. 2. Es simétrica porque Pedro viaja en el mismo avión que Juan y Juan viaja en el mismo avión que Pedro. 3. Es transitiva, porque si Pedro viaja con Juan y Juan viaja con Andrés; entonces, Pedro viaja con Andrés. Relación de orden de en es una relación de orden cuando es reflexiva, antisimétrica ytransitiva simultáneamente.Prof.: Christiam Huertas 20
  22. 22. Capítulo 4 FuncionesLas funciones son realmente fundamentales para las matemáticas. De manerausual decimos: “el funcionamiento del mercado de valores es una función de laconfianza de los consumidores”, o bien “lapresión sanguínea del paciente es una función delos medicamentos prescritos”. En cada caso, lapalabra función expresa la idea de que elconocimiento de cierta información nos lleva alconocimiento de otra. En matemáticas, lasfunciones más importantes son aquellas en lasque el conocimiento de un número nos indicaotro número. Si conocemos la longitud del lado de un cuadrado, podemosdeterminar su área. Si conocemos la circunferencia de un círculo, podemosdeterminar su radio.Es la idea matemática más útil para modelar el mundo real. 4.1 Funciones en nuestro entornoEn casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra. Porejemplo, la estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, elcosto de enviar una encomienda depende de su peso. Se usa el término funciónpara describir esta dependencia de una cantidad sobre otra. Es decir, se expresalo siguiente:  La altura es una función de la edad.  La temperatura es una función de la fecha.  El costo de enviar encomienda es una función del peso. 4.2 Definición de funciónDados dos conjuntos no vacíos y y una relación , entonces sedefine: es una función de en si y solo si para cada elemento existeun solo elemento . 𝑓 𝐴 𝐵 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦Prof.: Christiam Huertas 21
  23. 23. Notación o →Y, se lee: “ es una función de en ”.Donde: es el conjunto de partida. es el conjunto de llegada. Ejemplo 1El conjunto *( )( )( )( )+ representa a una función,porque a cada elemento de le corresponde un único elemento de . 𝑓 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Ejemplo 2El conjunto *( )( )( )( )+ no representa a una función,porque a un mismo elemento de , el , le corresponde dos elementos de ,que son y , incumpliendo con la definición de función. 𝑔 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙Condición de unicidadSea una función. Si ( ) ( )Es decir; no deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismoprimer elemento.Prof.: Christiam Huertas 22
  24. 24. Ejemplo 3Si el conjunto *( )( )( )( )( )+ representa unafunción, halle el valor de y . SoluciónDe la función *( )( )( )( )( )+notamos que:A le corresponde dos valores: y 6.A le corresponde dos valores: y .Como es una función, por la condición de unicidad se debe cumplir que: y y 4.3 Dominio y rango de una función 4.3.1 Dominio de una funciónLlamado también conjunto de preimágenes y está formado por todas lasprimeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función. NotaciónSea una función. ( ) * ( ) + 4.4.1 Rango de una funciónLlamado también conjunto de imágenes y está dado por todas las segundascomponentes de los pares ordenados pertenecientes a la función. NotaciónSea una función. ( ) * ( ) +Prof.: Christiam Huertas 23
  25. 25. Ejemplo 4 Dominio y rango de una funciónDada la función *( )( )( )( )+, entonces ( ) * + ( ) * + 4.4.1 Regla de correspondenciaEs la relación que existe entre los elementos del dominio y los del rango. NotaciónSea una función, entonces ( ) ( )denota la dependencia entre e .Además: es la variable independiente. es la variable dependiente Ejemplo 5Dada la función *( )( )( )( )+. Entonces, tenemos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Es decir, si ( ) ( ) * +Luego, la regla de correspondencia para la función es: o ( ) . 4.4 Función real de variable realSea una función. Diremos que es una función real en variable real,si y son subconjuntos de los reales; es decir, y . Ejemplo 6 Función real de variable realDada la función ⟨ - , - tal que ( ) .Vemos que ⟨ - y , - ; es decir, es una función real devariable real.Prof.: Christiam Huertas 24
  26. 26. ObservaciónSi decidimos llamar a una función y es una de las entradas en el dominiode , entonces ( ) (que se lee “ de ”) representara el número de salida enel rango de que corresponde a la entrada .Así: Entrada Nombre de ( ) la función Salida 4.5 Evaluación de una funciónEn la definición de una función la variable independiente desempeña el papelde “marcador de posición”. Por ejemplo la función ( ) sepuede considerar como ( )Para evaluar en un número, se sustituye el número para el marcador deposición. Ejemplo 7 Evaluación de una funciónDada la función ( ) . Evalúe la función en el valor indicado.a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) . / SoluciónEvaluamos la función en cada caso:a) ( ) ( ) ( )b) ( ) ( )c) ( ) ( )d) . / . / Ejemplo 8 Una función definida por partesUn teléfono celular cuesta S/. 39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis ycada minuto adicional de uso cuesta S/. 0,2. El costo mensual es una funciónProf.: Christiam Huertas 25
  27. 27. de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como ( ) { ( )Determine el valor de ( ), ( )y ( ). SoluciónAnalicemos el valor de entrada :Si , entonces el valor de ( ) es 39.Si , entonces el valor de ( ) es ( ).Puesto que , se tiene ( )Puesto que , se tiene ( )Puesto que , se tiene ( ) ( )Por lo tanto, el plan carga S/. 39 por 100 minutos, S/. 39 por 400 minutos y S/.55 por 480 minutos. Ejemplo 9 Evaluar una funciónDada la función ( ) . Halle ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) SoluciónEvaluamos la función en cada caso: ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )Prof.: Christiam Huertas 26
  28. 28. 4.6 Dominio y rango de una función ( ( )) 4.6.1 Dominio de una funciónRecuerde que el dominio de una función es el conjunto de las entradas para lafunción. El dominio de una función se puede expresar de forma explícita.Ejemplo 10 Dominio explícitoSi se escribe ( )Entonces, el dominio es el conjunto de los números reales para los cuales .Si la función está dada por una expresión matemática y el dominio no seenuncia de manera explícita, entonces el dominio de la función es el conjuntode los números reales para los que la expresión se define como un número real.Ejemplo 11Determine el dominio de la función ( ) SoluciónVemos que la función tiene sentido para todos los valores de excepto 3, eldominio es todos los valores reales de con .Por lo tanto, ( ) * +.Ejemplo 12Halle el dominio de la función ( ) √ . SoluciónLa función tiene sentido si es no negativo; es decir, debe ser mayor oigual a cero ( ).Por lo tanto, ( ) , ⟩ .Ejemplo 13 Determinación de dominios de funcionesHalle el dominio de cada función. √ ) ( ) ) ( ) √ ) ( ) ) ( ) √Prof.: Christiam Huertas 27
  29. 29. SoluciónProf.: Christiam Huertas 28
  30. 30. 4.4.2 Rango de una funciónRecuerde que el rango de una función es el conjunto de las salidas para lafunción, y se calcula a partir del dominio.Ejemplo 14Halle el rango de la función ( ) si ⟨ -. SoluciónSe tiene la función ( ) ⟨ -Vemos que su dominio es ⟨ -; es decir .Para hallar su rango, tenemos que hallar la variación de ( ).ComoMultiplicamos por 2Sumamos 5 ⏟Luego, ⟨ -. Por lo tanto, ( ) ⟨ -.Ejemplo 15Halle el rango de la función ( ) . SoluciónSe tiene la función ( ) , y notamos que esta definida para cualquiervalor real de ; es decir, ( ) .ComoSumamos 3 ⏟Luego, , ⟩. Por lo tanto, ( ) , ⟩.Ejemplo 16Halle el rango de la función ( ) . SoluciónSe tiene la función ( ) , y notamos que esta definida paracualquier valor real de ; es decir, ( ) .Prof.: Christiam Huertas 29
  31. 31. La función lo podemos expresar como ( ) ( )Como ( ) ( )Sumamos 1 ( ⏟ )Luego, , ⟩. Por lo tanto, ( ) , ⟩.Ejemplo 17Halle el rango de la función ( ) √ . SoluciónSe tiene la función ( ) √ .Primero hallemos su dominio:La función esta bien definida si , entonces . Es decir, ( ) , ⟩Hallemos su rango:Como ( ) , ⟩, entoncesResto 3Tomo √ √Resto 1 ⏟ √Luego, , ⟩. Por lo tanto, ( ) , ⟩.Ejemplo 18Halle el rango de la siguiente función. ⟨ - SoluciónVemos que el dominio es el intervalo ⟨ -, y la función esta dada por: ( ) ( )ComoResto 1Prof.: Christiam Huertas 30
  32. 32. Al cuadrado ( )Resto 2 ( ⏟ )Luego, ⟨ -. Por lo tanto, ( ) ⟨ -.Ejemplo 19Halle el rango de las siguientes funciones: ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) , ⟩ SoluciónProf.: Christiam Huertas 31
  33. 33. 3.2 Formas para representar una funciónSe puede describir una función específica en las cuatro formas siguientes: Verbal (mediante una descripción en palabras) Algebraica (mediante una fórmula explícita) Visual (por medio de una gráfica) Numérica (por medio de una tabla de valores) Cuatro formas de representar una funciónVerbal AlgebraicaCon palabras: Por medio de una fórmula: ( ) es la “población del mundo en el ( )instante ” Área de un círculo.Relación de la población y el tiempo .Visual NuméricaPor medio de una gráfica: Por medio de una tabla de valores: (onzas) ( ) (dólares)Registro del terremoto de Japón (2011) Costo de enviar una carta por correo de primera clase. 3.3 Gráficas de funcionesLa forma más importante de representar una función es por medio de su gráfica. 3.3.1 La gráfica de una funciónSi es una función con dominio , entonces la gráfica de es el conjunto depares ordenados {( ( )) }En otras palabras, la gráfica de es el conjunto de los puntos ( ) tales que ( ), es decir, la gráfica de es la gráfica de la ecuación ( ).Prof.: Christiam Huertas 32
  34. 34. Ejemplo 13 Gráfica de una funciónHalle la gráfica de la función *( )( )( )( )( )+. SoluciónRepresentamos cada par ordenado en el plano cartesiano: Ejemplo 13 Graficación de funcionesTrace las gráficas de las siguientes funciones.a) ( ) b) ( ) c) ( ) √ SoluciónPrimero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntosexpresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener lagráfica.Prof.: Christiam Huertas 33
  35. 35. √ 3.3.2 Obtención de información de la gráfica de una funciónLos valores de una función se representan por la altura de su gráfica arriba deleje . Asi, los valores de una función se pueden leer de su gráfica.Ejemplo 13 Hallar valores de una función a partir de su gráficaLa función mostrada en la figura da la temperatura entre el medio día y las 6p.m. en cierta estación meteorológica.a) Determine ( ), ( ) y ( ).b) ¿Qué es más grande, ( ) o ( )?Prof.: Christiam Huertas 34
  36. 36. 𝟎 𝑻( ⬚ 𝑭) 𝐇𝐨𝐫𝐚𝐬 Solucióna) ( ) es la temperatura a la 1 p.m. Está representada por la altura de la gráfica sobre el eje . Por lo tanto, ( ) . De manera similar, ( ) y ( ) .b) Puesto que la gráfica es mayor en que en , se deduce que ( ) es más grande que ( ).ObservaciónLa gráfica de una función ayuda a ilustrar el dominio y el rango de la funciónen el eje y el eje como se muestra en la figura: 𝑌 Rango 𝑦 𝑓(𝑥) 𝐃𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨 𝑋Prof.: Christiam Huertas 35
  37. 37. Ejemplo 13 Dominio y rango de una función a partir de su gráficaHalle el dominio y rango de la función ( ) √ cuya gráfica semuestra. SoluciónDe la gráfica de la figura se ve que el dominio es , - y el rango es , -. 2.1.1 Prueba de la línea verticalLa gráfica de una función es una curva en el plano . Pero surge la pregunta.¿Qué curvas en el plano son gráficas de funciones? Esto se contestamediante la prueba siguiente.Prueba de la línea verticalUna curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y solo sininguna línea vertical corta la curva más de una vez.Prof.: Christiam Huertas 36
  38. 38. Ejemplo 11 Prueba de la línea verticalAnalicemos las siguientes gráficas. Gráfica de una función No es la gráfica de una función Ejemplo 11 Uso de la prueba de la línea verticalIndique cuál de las siguientes gráficas representa a una función. Solucióna) ___b) ___c) ___d) ___Prof.: Christiam Huertas 37
  39. 39. Prof.: Christiam Huertas 38
  40. 40. Prof.: Christiam Huertas 39

×