Este documento introduce el concepto de límite matemático. Explica que un límite describe el valor al que se acerca una función cuando su variable se acerca a un número particular. Proporciona ejemplos como hallar el área de un círculo tomando límites. Luego define formal e informalmente el límite de una función y discute propiedades como la unicidad de límites.

1. ������ ⟶ ������������������������
Límite de funciones
Christiam Huertas
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2. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
A veces algo no se puede calcular
directamente... ¡pero puedes saber cual debe
de ser el resultado si te vas acercando mas y
mas!
2 Christiam Huertas

3. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Introducción a límites
En el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter estático y
significa término, extremo o frontera.
En Matemáticas, el concepto de límite es un concepto dinámico y
tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible a un valor
(finito o infinito).
Consideremos el siguiente ejemplo.
Para hallar el área de una figura
poligonal simplemente se divide en
triángulos y se suman sus áreas
( ).
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4. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos
como el círculo. Una manera debido a Arquímedes es aproximar el
área inscribiendo polígonos en la región (Método de exhausción).
Si es el área del polígono regular inscrito con lados, entonces
se puede observar que cuando aumenta, se aproxima cada
vez más al área del círculo.
4 Christiam Huertas

5. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
En caso de hallar un patrón para las áreas
, entonces se podría determinar el límite
de manera exacta.
Arquímedes tuvo esta idea hace más de dos mil años y es la base
del concepto de límite de una función desarrollado en el siglo XVII
por Newton.
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6. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
El límite de una función.
Idea de límite de una función.
Consideremos la función .
Veamos cómo se comporta la
función cuando esta próximo a
La función cuyo dominio es
{ } , la podemos
expresar como
.
6 Christiam Huertas

7. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de para
varias elecciones de próximo a .
⟶ ⟶
… 1,8 1,95 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,05 2,1 …
… 3,8 3,95 3,99 3,999 4 4,001 4,01 4,05 4,1 …
⟶ ⟶
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8. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
8 Christiam Huertas

9. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Se observa que, a medida que es un número cercano a ,
esta muy próximo al número . Decimos entonces que “el límite de
, cuando esta próximo a , es ” y escribimos
Definición informal de límite
Cuando escribimos “ ”, queremos decir que esta
arbitrariamente cerca de (tan cerca a como se quiera) conforme
esta arbitrariamente cerca (pero no igual) a .
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10. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Definición formal de límite
Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos. Sea
⟶ una función definida en cada número de algún
intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente en el
número mismo. Diremos que
| | | |
Esta definición se denomina frecuentemente épsilon-delta de
límite1.
1
La notación moderna de límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817,
introdujo las bases de la técnica épsilon-delta ( ), que inicialmente fue intuido por el
matemático francés Louis Cauchy.
10 Christiam Huertas

11. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
 Un número real:
 Un valor infinito:
 El límite no existe:
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12. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Unicidad del límite
El límite de una función, si existe, es único. Es decir, si
Teorema. Sean y dos números reales. Entonces,
Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites.
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13. Determinación algebraica de límites.
Se usan métodos algebraicos para hallar límites de manera exacta.
Leyes de límites
Se usan las siguientes propiedades de límites para calcular los
límites.
Supongamos que es una constante y que los siguientes límites
existen.
Entonces

14. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
[ ]
í
[ ]
í
[ ]
í
[ ]
í
* +
í
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15. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
[ ] * +
í
√ √ √
í í
Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites.
Solución. Utilizamos las propiedades de límites
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16. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
( )
√
Solución. Utilizamos las propiedades de límites
√ √
√( )
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17. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
√ √
Cálculo de límites
Límites por sustitución directa
Si es una función y esta en el dominio de , entonces
Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman
continuas en .
Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites.
√
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18. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Solución. Como esta en el dominio de la función √ ,
entonces,
√ √ √
( )
Solución. La función es una función racional y
esta en su dominio, entonces,
( )
18 Christiam Huertas

19. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Solución. Como esta en el dominio de la función ,
entonces,
Problema 1. Calcule el valor del siguiente límite.
( )
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20. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Resolución. Como está en el dominio de , entonces, por
sustitución directa se obtiene que
( )
Indeterminaciones
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de
las siguientes expresiones:
20 Christiam Huertas

21. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones2, ya que, a
simple vista, no está claro cuál puede ser el límite.
Por ejemplo es una indeterminación, pues puede terminar dando
cualquier cosa; como lo muestra los siguientes límites.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2
Una indeterminación es una operación matemática con resultado no conocido y cuya
solución (finita o infinita) puede existir o no.
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22. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
No son indeterminaciones
{ Se demuestra a partir de
Determinación de límites por medio de álgebra y leyes
de límites.
1. Hallar un límite mediante cancelación de un factor común
Para calcular el límite de una función racional que tiene una
indeterminación del tipo , se factoriza numerador y
denominador, y se simplifica el factor común.
22 Christiam Huertas

23. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
factorizamos numerador y denominador para levantar la
indeterminación.
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24. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
factorizamos numerador y denominador para levantar la
indeterminación.
2. Hallar un límite mediante cambio de variable
Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.
√
24 Christiam Huertas

25. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
√
Solución. El límite tiene la forma indeterminada .
Hacemos el cambio: , entonces √ .
Además, si ⟶ , entonces ⟶ . Luego,
√
√
( )
√
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26. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
√
Solución. El límite ( ) tiene la forma indeterminada .
√
Hacemos el cambio: , entonces √ y √ .
Además, si ⟶ , entonces ⟶ . Luego,
√
( )
√
26 Christiam Huertas

27. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
3. Hallar un límite mediante simplificación
Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
entonces,
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28. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
entonces,
28 Christiam Huertas

29. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
4. Hallar un límite mediante racionalización
Consiste en multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión
a racionalizar.
Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.
√
√
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
entonces racionalizamos
√ √ √
( )
√
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30. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
(√ ) (√ )
√ √
( )
√
Solución. El límite ( ) tiene la forma indeterminada ,
√
entonces racionalizamos
√ √
( ) ( ) ( )
√ √ √
30 Christiam Huertas

31. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
√
( )
√
Solución. El límite ( ) tiene la forma indeterminada ,
√
entonces racionalizamos
√
( ) ( )( )
√ √ √
( √ )
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32. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
( √ )
( √ )
Límites laterales
Algunas veces el valor de la función puede aproximarse a
diferentes valores cuando se aproxima a un número desde los
lados opuestos. Cuando esto sucede, el límite de conforme se
aproxima a por la izquierda es el límite por la izquierda de en ,
y el límite de conforme se aproxima a por la derecha es el
límite por la derecha de en .
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33. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
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34. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Teorema. Una función tiene un límite conforme se aproxima a
si, y solo si, los límites laterales derecho e izquierdo en existen y
son iguales. Esto es
Ejemplo 1. (Comparar los límites laterales derecho e izquierdo)
| |
Solución. Recuerde que
| | ,
34 Christiam Huertas

35. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
 Como | | para , se tiene que
| |
 Como | | para , se tiene que
| |
Por lo tanto,
| |
Ejemplo 2. (Comparación de los límites laterales)
| |
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36. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Solución. Puesto que | | para y| | para , se
tiene que
| |
| |
Como los límites laterales derecho e izquierdo son diferentes, se
| |
deduce que no existe.
| |
A continuación se muestra la gráfica de la función .
36 Christiam Huertas

37. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Ejemplo 3. (Límite de una función definida por partes)
Dada la función {√
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38. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Solución.
 Puesto que √ para , entonces
√ √
 Puesto que para , entonces
Como los límites laterales son iguales, entonces el límite existe y
La gráfica de se muestra a continuación.
38 Christiam Huertas

39. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Problema 2. Dada la función real ,
Si existe, calcule el valor de .
Resolución. Como existe, entonces, se debe cumplir
que
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40. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Luego,
Teorema del Sándwich
Sean ⟶ funciones con dominio común de modo que
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41. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Aplicación. Demuestre que .
Demostración. Consideremos el Círculo Trigonométrico
 Si se tiene que , luego
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42. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
 Si (es decir, ) tenemos que,
De todo esto concluimos que
〈 〉 〈 〉
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43. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Límites de las funciones trigonométricas
Los siguientes teoremas son útiles para el cálculo de límites con
funciones trigonométricas.
Teoremas.
Ejemplos (Límites trigonométricos)
Halle el valor de los siguientes límites.
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44. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
entonces,
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
entonces,
44 Christiam Huertas

45. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
entonces,
( )
( )
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46. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Problema 7. Si ; calcule el valor de .
Resolución. Se piden calcular
( )
tiene la forma indeterminada , entonces, hacemos:
( )
( ) ( )
( )
46 Christiam Huertas

47. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Los infinitos y el límite
Veremos situaciones como
El símbolo llamado infinito3 no es un número real, es decir no es
algebraico ni aritmético, pero si tiene un carácter posicional.
Podemos formar un nuevo sistema de números al cual lo
llamaríamos sistema ampliado de los números reales y se denota
por ̅ ̅ { } { } , debiendo cumplir las siguientes
propiedades (o reglas).
3
El matemático John Wallis fue el primero en usar el símbolo para representar al infinito
en su tratado De sectionibus conicus en 1655.
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48. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
1. , , .
2. , .
3. , .
4. ,
Para el caso de los límites que contienen infinitos trabajaremos en
el sistema definido ( ̅ ).
Observación. Carecen de significado las siguientes operaciones.
48 Christiam Huertas

49. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Límites infinitos
Consideremos la función y observemos su
comportamiento alrededor de mediante un cuadro de valores.
1 0,2 0,1 0,01 0,001 … ⟶
1 4 9 16 25 100 10000 1000000 … ⟶
… ⟶
Este hecho lo podemos simbolizar de la siguiente manera.
⟶ cuando ⟶
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50. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.
Podemos denotar este caso de no existencia de límite como
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51. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Teoremas
{
Límites en el infinito
Estudiaremos una clase especial de límite conocida como límite en
el infinito. Se examina el límite de una función cuando aumenta
el valor de indefinidamente ⟶ .
Consideremos la función ⟶ definida por .
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52. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
La función lo podemos expresar como
Veamos algunos valores de la función en la siguiente tabla.
0 1 2 3 4 5 10 100 1000 … ⟶
0 1 … ⟶
La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.
52 Christiam Huertas

53. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Observamos que cuando crece a través de valores positivos, los
valores de la función se acercan cada vez más a 2. Es decir,
podemos acercar el valor de a 2 tanto como queramos,
tomando suficientemente grande; y esto lo denotamos por
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54. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Definición (Límite en el infinito). Sea una función definida en
〈 〉. Entonces
indica que los valores de se pueden hacer arbitrariamente
cercanos a si toma valores suficientemente grandes.
Teoremas. Si es cualquier número entero positivo, entonces se
cumplen
( ) ( )
54 Christiam Huertas

55. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Límites de funciones racionales ( )
Se factoriza la mayor potencia de en el numerador y denominador
para luego hacer uso del teorema anterior.
Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen).
Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
luego
( )
( )
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56. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Solución. El límite tiene la forma indeterminada
, entonces,
( )
( )
56 Christiam Huertas

57. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Solución. El límite tiene la forma indeterminada
, luego
( )
( )
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58. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Teorema
{
Problema 5. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
58 Christiam Huertas

59. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Resolución. Aplicamos el teorema anterior y obtenemos
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60. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Límite de expresiones exponenciales
El número de Neper
Uno de los números más importantes de las Matemáticas es el
llamado número de Neper, este número es denotado con la letra y
su valor aproximado es
2,71828182845904523536028747135266249775724709369…
El número de neper es un número irracional, es decir, no puede ser
escrito como el cociente de dos números enteros. Este número es
llamado transcendente porque no puede ser raíz de ningún
polinomio con coeficientes enteros.
60 Christiam Huertas

61. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Teorema. Dadas las funciones ⟶ y ⟶ , definidas por
( )
Entonces
( )
Teoremas. Supongamos que
Entonces se cumple
( )
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62. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
( )
( ) ( )
( )
*( ) +
( )
Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen).
( )
Solución. Vemos que
62 Christiam Huertas

63. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
( )
( )
Solución. Vemos que
( ) ( )
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64. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
( )
Solución. Vemos que
( ) ( )
( )
( )
64 Christiam Huertas

65. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Problema 6. Dados los números
( ) (√ )
calcule el valor de .
Resolución. Hallamos el valor de .
( )
( ) [( ) ]
( )
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66. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Utilizando el teorema anterior obtenemos
( ) ( )
( )
( )
66 Christiam Huertas

67. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Otras técnicas de resolución de indeterminaciones.
1. Indeterminación
En este tipo de indeterminación, se puede tomar la inversa de
una de las funciones, obteniéndose indeterminaciones del tipo ó
, vistas anteriormente.
2. Indeterminación
 En algunos casos sencillos basta con simplificar la función,
desapareciendo así la indeterminación.
 Si la indeterminación se debe a diferencia de raíces, se
procede a su racionalización, multiplicando y dividiendo por el
conjugado de la raíz.
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68. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Continuación del problema 6.
Hallamos el valor de .
(√ )
Racionalizamos la función
√
(√ ) (√ )( )
√
√ √
√ ( )
68 Christiam Huertas

69. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
| |√ √
√
√
3. Indeterminación ,
Se resuelve expresando las potencias de la forma
( )
( )
con lo que la indeterminación se convierte en una del tipo ,
que se resuelve con las técnicas descritas anteriormente.
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70. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Problema de aplicación de límite
Problema 1. Se sabe que el precio de un artículo a través del
tiempo (en meses) está dado por la función . Si se sabe
que el precio de este artículo el próximo mes será de S/. 6,50; y el
siguiente mes será de S/. 6,00. Se desea saber
a) El precio del artículo para este mes.
b) En qué mes el precio será de S/. 5,50.
c) ¿Qué ocurre con el precio a largo plazo?
Resolución.
Tenemos : tiempo (meses)
: precio del artículo (S/.)
70 Christiam Huertas

71. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
Consideremos el mes actual como , luego el próximo mes
corresponderá a y el siguiente mes (siguiente mes al próximo)
corresponderá a .
Por dato, el precio de este artículo el próximo mes será de S/. 6,50.
Por dato, el precio de esta artículo el siguiente mes (al próximo)
será de S/. 6,00.
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72. Matemática LÍMITE DE FUNCIONES
Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos que y
.
Luego, la función precio está dado por .
a) El precio del artículo para este mes es
b) En un tiempo el precio del artículo será de S/. 5,50; es decir
Dentro de 5 meses el precio del articulo será de S/. 5,50
c) El precio a largo plazo ocurrirá cuando ⟶ .
72 Christiam Huertas

73. LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra
A largo plazo, el precio del artículo tiende a S/. 5,00
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74. El concepto de Límite es fundamental en
Matemáticas y sobre él se construye todo el
Cálculo Infinitesimal.