Leyes de exponentes (resueltos)
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Leyes de exponentes (resueltos) Leyes de exponentes (resueltos) Document Transcript

  • [+] a) ––– = [+] [+] b) ––– = [-] α 1.- Calcular el valor de: α [+] [-] 2x+4 + 36(2x-2) E = –––––––––––––––––––––––––––––– [-] [-] 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1) c) ––– = [+] d) ––– = [-] [-] [+] Solución: Por la ley de la teoría de exponentes se conocePOTENCIACIÓN que: mLa potencia de una base con exponente par, siempre am+n = am . an ; am-n = a n ––es positiva; pero la potencia de una base con expo- anente impar, depende del signo de la base: Aplicando al ejercicio: ( ) x 2 a) [+]par = [+] 2x . 24 + 36 ––– 22 E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– b) [+]impar = [+] [-] par 2x 2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 ––– 2 ( ) α c) = [+] Operando apropiadamente: impar d) [-] = [-] 16 . 2x + 9 . 2x E = ––––––––––––––––––––––––––––RADICACIÓN 32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2xSi el índice es impar, el resultado tendrá el mismo Se hace el cambio de 2x = a, para hacer más sim-signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y ple las operaciones:la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrádoble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad 16a + 9a 25a E = –––– ––––––––––––– = –––– = 5 –subradical es negativa el resultado será una cantidad 32a - 16a - 8a - 3a 5aimaginaria, que no existirá en el campo real. ___ Rpta.: = 5 impar a) √[+] = [+] 2.- Calcular el valor de: impar ___ -n b) √[-] = [-] par ___ ( ) 4 – 43 8 3 E = –––––––––– c) √[+] = [±] [4(4-1)n]2 ___ par Solución: d) √[+] = cantidad imaginaria Transformemos el numerador, para escribir con base 4: Nota: -n -n -n Para efectos de estudio, se empleará, en el caso (c), raíces de índice par y cantidad subradical po- (8 ) [ ] _ 4 3 _ 4 = (23)3 [ ] = (24)n = (22)2 = 4 sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el Reemplazando en la expresión original: valor positivo. 43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n E = –––––––– = ––––––– = – – – ––– (41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2nEJERCICIO RESUELTOS E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4Sobre las leyes de la teoría de exponentes y lossignos en las operaciones algebráicas. Rpta.: = 4 - 18 -
  • Á L G E B R A3.- Hallar el valor de la expresión: multiplicando potencias de bases iguales: ___________ n 20n+1 36 . 79 . 56 . 212 √ E = –––––––––– 4n+2 + 22n+2 E = –––––––––––––– 36 . 79 . 56 . 211 Solución: simplificando: Transformando el denominador: 12 E = 2 = 212-11 = 21 = 2 ––– 4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) 211 Rpta.: 2 = 4n+2 + (22)n+1 = 4n+2 + 4n+1 5.- Calcular el valor de: _ _ -6 3 = 4n+1 (41+1) _ ___ _ = 4n+1 . 5 E= [√ ] 3 √3 __ 3√3 √ reemplazando en la expresión, y transformando Solución: el numerador: __________ Escribimos la raíz principal en la forma expo- n nencial: (4 . 5)n+1 √ E = ––––––––– 4n+1 . 5 -6 – _ √3 – operando en el numerador: n __________ n+1 E = 4 n+1. 5 1 n+1 E= 3 [ ] √3 ––– 3 √3 _ √ ––––––––– 4 .5 luego, transformamos los exponentes: simplificando y descomponiendo la potencia: [ ] [ ] 31/2 3-1/6 ( ) 1 1 -1/6 –– - –– _______ ––– 1/3 2 3 3 __ 3 3 n 5n . 51 n E = (3) = (3) √ E = ––––––– = √5n = 5n = 5 41 1 -– [ ] 1 6 1 1 1 1 Rpta.: 5 – 3 6 – -– 6 6 –-– 6 6 0 3 . 3 3 = 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 34.- Calcular el valor de: 3 216 . 353 . 803 Rpta.: 3 E = ––––––––––––– 154 . 149 . 302 6.- Simplificar la expresión: Solución: { [ ]} 1 1 -2 Se sabe que: (a . b)n = an . bn – – E= m-1 m(m3) 2 5 descomponemos en factores primos, para aplicar esta ley: Solución: 6 3 4 3 (3 . 7) (7 . 5) (2 . 5) E = ––––––––––––––––––––– Efectuando operaciones: (3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2 aplicando la ley anterior: [ 1 – E = (m-1)-2 (m1)5 ] {[(m )– ]–} -2 1 3 2 1 -2 5 36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53 2 3 2 3 E = –––––––––––––––––––––– -– -– 2-–-– 34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52 E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5 - 19 -
  • 2 - 2+3 ––– 2 - 5 – α Luego: _________________ α 5 5 E=m =m = m2-1 = m1 = m n 10n + 15n + 6n –––––––––––––– –––––––––– Rpta.: m7.- Calcular: n _________ n+1 2__ E= √ 1 –––––––––––––– = [10n + 15n + 6n –––––––––––– (5 . 2 . 3)n ] √ n (5 . 2 . 3)n ––––––––– 1 E= √√ –––––– __ n+2 ____ –––– 4 √4n Simplificando: n ––– n – n E = √(30)n = 30 = 301 = 30 Solución: Rpta.: 30 Trabajando con el denominador: _____ ___ _____ n+2 n+2 9.- Calcular: √ 4 √4n = √4 . 4n/2 _ 1 2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n n n+2 ___ __ n+2 ____ [ E = ––––––– –––––––– – 23 . 52 + 5n ] √4 = √4 n n+2 α 1+ –– ––– 2 2 = Solución: ___ ____ √(2) = √_2_____ = 2 Separemos los exponentes que aparecen suma- n+2 n+2 n+2 ___ ––– n+2 2 2 n+2 n+2 =2 = dos: _ 1 reemplazando, descomponiendo y simplificando: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n n n –––––– ___ _ [ E = ––––––––––––––––––– 23 . 52 + 5n ] n E= √ 2n . 21 n –––––– = √2n = 2n = 21 = 2 2 Hagamos que: 2n = a; 5n = b: _ 1 _ 1 _ 1 Rpta.: 2 10ab - ab n 9ab n8.- Calcular: [ E = –––––––– 8b + b ] [ ] = –––– 9b =an _____________ _ _ 1 n n n n 10n + 15n + 6n E= √ –––––––––––– 5-2 + 2-n + 3-n reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2 Rpta.: 2 Solución: 10.- Calcular: En primer lugar transformemos el denominador: _____________ (3n + 6) veces (2n + 3) veces n n 10 + 15 + 6 n n 6447448 6447448 E= √ –––––––––––– 1 1 1 –– + –– + –– 5n 2n 3n [ x.x.x.….x x.x.x.….x 1442443 x.x.x….x (4n - 2) veces x 6 ][ 1 E = –––––––––––––– –––––––––––– –––– xn+2 ][ ] Dando común denominador en el denominador de la raíz: Solución: _________________ n Cada expresión se reduce: 10n + 15n + 6n E= √( –––––––––––––– 6n + 15n + 10n –––––––––––– 5n . 2n . 3n ) [ ][ ][ ] x3n+6 x2n+3 x4n-2 x6 1 E = –––– –––– –––– xn+2 - 20 -
  • Á L G E B R A Que se puede escribir así: (––) (––) = (––) x-1 -1/2 2 3 3 3 4 4 4 x3n x6 x2n x3 1 x3n+2n . x6+3 E = ––––– . ––––– . ––––– = –––––––––– 4n -2 6 n 2 1 x4n+n . x-2+6+2 (––) = (––) x x x x x x-1- –– 2 3 23 4 4 x3n x6 x2n x3 E = ––––– = ––––– = x9-6 = x3 x4n x-2 x6 igualando los exponentes: x -–– - –– = –– Rpta.: x3 –––1 1 2 1 2 111.- Resolver: eliminado los denominadores: _______ x-1 ____ 3x-7 ____ 2x - 2 - 1 = 4 √ 3 √ 23x-1 - √8x-3 = 0 2x = 7 Solución: Rpta.: x = 7/2 Transpongamos términos: _______ 13.- Hallar el valor de: x-1 ____ ____ –––––––––––––– 3 √ 3x-7 √ 23x-1 = √8x-3 = 0 n+1 ____ √ 256n+1 √4n -1 n 2 ___ 3x-1 ___ x-3 E= ––––– –––––––– – __ 1 n _ 23(x-1) = (23)3x-7 64n+1 √4-1 ___ 3x-1 ___ x-3 Solución: 2 3x-3 = 2 3x-7 Previamente se opera en forma parcial: Si igualamos los exponentes (dado que son fun- ciones exponenciales): • 256n+1 = (64 . 4)n+1 3x - 1 3x - 9 = 64n+1 . 4n+1 ––––– = –––––– 3x - 3 3x - 7 ____ n2-1 n2-12 (n+1)(n-1) n+1 –––– ––––– ––––––––– n2-1 n+1 (3x - 1)(3x - 7) = (3x - 3) (3x - 9) • √4 = 4 = 4 = 4 n+1 = 4n-1 n+1 1 - –– 9x2 - 21x - 3x + 7 = 9x2 - 27x - 9x + 27 1 –– –– -1 1 ___ _ – n _ 1 __ 1 • √4 = 4 = 4n = 4-n -1 n simplificando: -21x - 3x + 27x + 9x = 27 - 7 Reemplazando las expresiones transformadas, en la expresión inicial: 12x = 20 ________________ n 5 Rpta.: x = –– 3 E= √ 64n+1 . 4n+1 . 4n-1 –––––––––––––– 64n+1 . 4-n12.- Resolver: simplificando y efectuando: ___ _______ n (––) √ x-1 3 4 9 4 –– = ––– 3 16 4n+1+n-1 E= –––––– _____ n _____ n ___ 4-n √ Solución: n E = √42n-(-n) = √42n+n = √43n Transformemos buscando una base común: 3n ––– E = 4 n = 43 = 64 (––) (––) = (––) x-1 1/2 2 3 4 3 4 3 4 Rpta.: 64 - 21 -
  • 14.- Calcular el valor de: α Reemplazando los equivalentes en la expresión propuesta: α 2a 2b –– –– __________ 4a-b + 12 . 4a-b x4 R = –––––––––––– ____ Solución: a-b √4a+b E= √[ 3 _____ √(63)x3 x ] Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera: ___________ _______ _______ La expresión se puede escribir así: x4 x4 x x4 1 √[ √[ ] √[ E= x = = _____ 3x3 __ x 2a –– 2b –– 2a –– 2b –– 4a-b + 12 . 4a-b = ––––– + –––––––– 4a-b 12 . 4a-b 3 √(63)x3 ] 6 3 x3 6 ] R = –––––––––––– x 4 a+b a+b a+b –– –– –– x4 –––– 4 ––4 4a-b 4a-b 4a-b E = √6x = 6x = 6 Rpta.: 6 Operando convenientemente: 2a 16.- Calcular el valor de: ________ –– a+b –– - –– a-b –– a-b 12 _______ R=4 + ––––––––– a+b 2b n-1 n-1 y, efectuando los exponentes: –– - –– –– –– 4 a-b a-b E= √ 4n-1 + 1 + –––––– 41-n + 1 √ n-1 5n-1 + 1 ––––––– 1-n 5_______ +1 n-1 _____ ___ α 2a-a-b –––– 12 R = 4 a-b + –––––– a+b-2b + √ 6n-1 + 1 + –––––– 61-n + 1 √ 7n-1 + 1 ––––––– 71-n + 1 ––––– Solución: 4 a-b Desarrollando el caso general: Simplificando: _______ ________ n-1 n-1 R=4 a-b ––– a-b 12 + –––––– = 4 + 3 = 7 a-b ––– √ an-1 + 1 = –––––– a1-n + 1 a √ an-1 + 1 ––––––––– -(n-1) _______ +1 _____ ___ 4 a-b n-1 n-1 a +1 = n-1 an-1 + 1 Rpta.: 7 = √ –––––– n-1 1 –––– + 1 a n-1 _______ √ ––––––– 1 + an-1 –––––––– an-115.- Calcular el valor de: an-1 + 1 –––––– ––––––––––––––– √ n-1 ___ 1 3 n = –––––– = a n-1 = a an-1 + 1 √ [√ 81 n E= _______ 3 ––––n-1 –––– a ] 3 3 n+1 3 216 3 Por lo tanto, por analogía: ________ Solución: n-1 n-1 4 +1 =4 Por convenir, se realiza las siguientes equiva- lencias: √ ––––––– 41-n + 5 ________ n-1 n-1 5 +1 =5 • 33 n = x √ ––––––– 51-n + 5 _______ _ n n n n-1 n-1 6 +1 =6 • 813 n+1 = (34)3 + ( 33 )4 = x4 n 1 n n √ ––––––– 61-n + 5 ________ • 33 = 3(3 .3 ) = 3(3 . 3) = (33 )3 = x3 n-1 n-1 7 +1 =7 • 216 = 63 √ ––––––– 71-n + 5 - 22 -
  • Á L G E B R A Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 19.- Calcular el valor de: __ –––––––––– 7 Rpta.: 2217.- Simplificar: n –––––––––––– –––––– – –––––––––– [√ ] √7 7 √7 7 __ 7 7 -1 E = –––––––––––––––––––––––––––– 7 __ -7 __ n [( __ √7 __ √ 7 ] √ √ )( ) 2 2 -7 7 3n x4n + x3n √7 -√7 x + ––––––––– E= 2 x2n + xn 2 7 7 ––––––––––––– –––– xn + 1 Solución: __ 7 Solución: Si definimos √7 = x, luego: Resolviendo por partes: _ 7 __ 1 -1 –––––––––– ––––––––––––– • 77 = 77 = √7 = x n 4n2 3n2 n 2 2 x3n (xn + 1) √ x +x ––––––––– = 2 x2n + xn ______ 2 √––––––––––––– 2 2 x4n (xn + 1) ____ -7 –– 1 -– 1 1 71/2 7 7 √ __ x 1 • √ 7 = 7 7 = ––– = –––– = –– n 2 2 n 2 = √x3n -n = √x2n = x2n Reemplazando: x __ Reemplazando: ( √xx )7 ––––– ––––– ––––– –––––––– E = –––––––––––– (7 _ ) _ 1 x 1 n 4n2 2 n 3n2 2 x x + x3n x (xn + 1) (7-x) x √ E = ––––––––– = 2 x2n + xn 2 √––––––––––––– ____ 2 __ 2n 2 x4n (xn + 1) 7 7 .7 7 7 = – x -1 = x0 = 7 –––– –– n = √x2n = x n Reponiendo el valor de x: Rpta.: x2 __ 7 E = ( √7 )7 = 718.- Simplificar: _________________ _________________ _______________ n n _ ________ __________ ______ ________ ___ _ ________ Rpta.: 7 √√ n ___ n E= xn xn 2 √x √x n3 n4 n … √ xn n 20.- Señalar el exponente de “x” después de simpli- ficar (hay “n” radicales): Extrayendo raíz a cada factor, sucesivamente: –––––––––– –––––––––––––––– ___________ ___________ _ _____ _______ _ __ _ _ _ _____ _ ___ ___ ––––––––––––––––––––––––––––––– –– 4 _ __ ________ _ _ __ n2 √ n 4 4 √ √ E = x . xn 2 3 n √4 xn xn … √ xn n n E= x3 √ 4 x3 √x3 √ x3 Solución: _____________ _____ ______ ______ _ ___ _ __ _ _ n3 _ n Suponiendo n = 1, se obtiene que: E=x.x. x √ √n3 n4 x …√ x n _____ __ _____ _ _ _ _ ___ nn 4 __ __ 4-1 4 n n √x3 = x3/4 = x 4 √ 4 E = x . x . x . xn … √ xn n Suponiendo n = 2, se obtiene que: por lo que, al final se obtendrá: _______ ___ 4 ___________ 2 ______ _______ 4 4 4 4 • √x √ x3 = √x3 √ x3 . 4 . x3 = √x12 . x3 3 E = x . x . x . x … x = xn 1442443 42 - 1 “n” veces 15 –– ––– 16 4 2 =x =x Rpta.: xn - 23 -
  • Suponiendo n = 3, se obtiene: _______ ____ α 1 _ n α [( ) ] n 4 _______ ___ 3 ___ __ 63 43-1 ___ 6 6 4 E= ––– = –– √ 3 3 4 3 4 • x √x √ x = √ x = x 63 4 3 =x4 3 10 10 Suponiendo n = 4, se obtiene: Rpta.: 0,6 _________________ 4 ____________ 22.- Simplificar: _______ ___ 4 ___ 43-1 √ 4 ___ __ • x 3 √ 3 4 3 4 3 4 x √x √ x = √x = x255 4 4 bb √b –– √b y, así sucesivamente. Para “n” casos se puede generalizar como: 4n-1 ___ 4n E= [ ] Solución: b b -b -b -b E=x Trabajando con el exponente: 4n - 1 luego, el exponente es: ––––– 4n 1 _____ α __ __ __ -121.- Simplificar la expresión: bb √b –– √b( ) ( ) bb bb √b √b = b =b [ ] 1 – [( )] n n+2 n+1 n -1 2 . 12 30 6n + ––––––––– . ––––– 1 – 4n+2 5n-1 E = –––––––––––––––––––––––––––– 23 . 5n . 14n 2n+1 . 5n + 25 . 10n - –––––––––– b b b b =b ( ) bb -b -1 =bb -b -b 7n -b A continuación, hagamos que x = b-b , y reem- Solución: placemos en E: Trabajando por partes: E = [bb ]b = bb -x x -x . bx 0 = bb = b1 = b 2n . 12n+2 2n(4 . 3)n+2 2n . 4n+2 . 3n+2 Rpta.: b • ––––––– = ––––––––– = –––––––––––– 4n+2 4n+2 4n+2 23.- Calcular: = 2n . 3n . 32 = 9 . 6n ______________ ________ _ ____ 52n . 2n+1 + 50n . n+1 n2-1 E=n √5 √ 30n+1 (6 . 5)n+1 6n+1 . 5n+1 –––––– ––––––– • –––– = –––––––– = ––––––––– = 6n . 6 = 6 . 6n 5n . 8 - 5n+1 5n+1 5n+1 5n+1 ––––––––––––––– _ ___ __ ––––––– 1/n √5-1 √5-1 • 2n+1 . 5n = 2 . 2n . 5n = 2(2 . 5)n = 2 . 10n Solución: n n n n 23 . 5 . (14) 23 . 5 . (7 . 2) Operando por partes: • –––––––––––– = –––––––––––––––– =23 . 10 n 7 7n • 52n . 2n+1 + 50n = (52)n . 2n . 2 + 50n Reemplazando: = 25n . 2n . 2 + 50n = (25 . 2)n . 2 + 50n 1 _ n = 50n . 2 + 50n = 50n . 3 (I) [ 6n + 9 . 6n - 6 . 6n E = ––––––––––––––––––––––– 2 . 10n + 25 . 10n - 23 . 10n ] • 5n . 8 - 5n+1 = 5n . 8 - 5n . 5 = 5n . 3 n2-1 (II) 1 _ ___ ______ (n+1)(n-1) n • 5 n+1 = 5 n+1 = 5n-1 (III) [ ] 4 (6)n E = –––––– 4 (10)n 1/n __ __ 1 • √5-1 = (5-1)(1/n) = (5-1)n = 5-n (IV) - 24 -
  • Á L G E B R A Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E: Solución: 3 __ _ 1 _ 1 Haciendo x = √3 , por lo tanto x3 = 3 [ ][ ] n n n n 50 . 3 –––––– . 5n-1 5n . 3 E = –––––––––––– 50 5( ) ––– . 5n-1 = –––––––––– Reemplazando: 5-1 . 5-n 5-1-n x3 .– 1 _ _ x [ ] 1 1 1 ___ – [ = 10 . 5 ––––––––– 5-1-n n n-1 ] [ n 2 .5 .5 = –––––––––––– 5-1-n n n n-1 ] n x E = xx . √x3 x _1 _ 1 n n+n-1+1+n n = [2 . 5 n ] = [2 . 5 ] n 3n Efectuando las operaciones necesarias: = [(2 . 53)n]n = 2 . 53 = 250 x2 Rpta.: 250 [ _ 3 E = xx . xx ( ) _ 1 x ] = (x ) x x2 [ x _._ 3 1 x x ] x224.- Calcular el valor de: 3 __ = xx . x3 = x3 . 3 = 3 . 3 = 9 __ 3 __ 3 __ 3 . √3 -1 [ –– √3 ] 3 3 -1 __√3 √3 Rpta.: 9 E= 3 √3 3 √ EJERCICIOS PROPUESTOS 5 __1. Calcular: a) 3 125 b) 625 c) 25 d) 5 e) √5 1 _ [√ ] 2 ______ _____ 4. Calcular “n” en la igualdad: __ __ _ _ ___ ____ ____ ___ __ _ ___ ____ __ _ _ __ ___________________ _ __ __ __ __ _______________ √√ √√ √2 √2 √ √2 √2 √√ √ √ 2 2 2 2 _______ __ _ _____ 32 –– ( ) -1 E= 2 x 3 √ √ x3 x …… √ x = x 3 1444442444443 3 93 √ __ “n” radicales 1 a) 2 b) √2 c) –––– __ a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8 √2 1 d) –– e) 4 5. Efectuar: 2 _____________________________ _____________________ ______________ √ √2. Hallar E = a.b en la relación: 3 ______ 4 b a a .b =2 21/2 __ J= __ (3 ) ( ) ( ) (––) √(––__ _ 1 6 5 3 __ 5 3) 3 –– 5 -2 __ 3 –– 5 √ 3 __ -6 5 5 -10 a) 1 1 b) –––– __ √2 c) √2 d) 2 e) 4 5 a) √6 3 b) √5 6 c) √5 6 d) √3 √3 e) –– 5 6. Efectuar:3. Simplificar: 156 . 124 . 59 . 63 –––––––––––––––––––––– __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 25 2-1 11 13 4 5 10 . 3 .5 5 __ √5 √5 √5 √5 √5 √5 E = √5 a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6 - 25 -
  • 7. Efectuar: α 1 9. Calcular: _________________ _ ____________ α – 2 4 _ _ ________ √ 4 4 [( ) ( ) ] x √x3 √ x3 … ∞ 1 3 -1 1 - (––) -1 -– E = ––––––––––––––––– __ _____________ _ ___________ 2 -3 -16 2 5 _ _______ 1 1 1 1 E= –– 2 –– 4 + ––– 125( ) + (81) –– √ 5 5 x √x √x3 … ∞ 3 3 __ 4 a) 1/2 b) 1/4 c) 2 d) 4 e) 3 a) 1/x b) x c) x2 d) x3 e) √x8. Calcular: 10. Hallar la suma de exponentes de las variables x, y, z después de simplificar: –––––––– xx - xxx [ ] 2 {√ } x ______ ______ ___ ___ xx x ___ ___ ___ 2xx a b x c yb c a E= x x __ E= √√ √√ √√ b a x –– y b –– zc zc –– xa a) 1 b) x c) x2 d) √x e) xx a) a b) b c) c d) 1 e) 0ECUACIONES EXPONENCIALESSon igualdades relativas cuyas incógnitas aparecencomo exponentes. Se entiende por igualdad relativa a EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Resolver: 9 x 8 x-1 2 αaquella que se verifica para algunos valores que se leasigne a sus incógnitas. ( )( ) –– 4 –– 27 = –– 3 Solución:Ejemplos de ecuaciones exponenciales: Transformando las potencias: i) 5x = 125 x x-1 ii) 23 8x = 512 -x [( )] [( )] 3 –– 2 2 . 2 –– 3 3 2 = –– 3 x 2 [ ] iii) A 4 = A16 45 Efectuando operaciones e invirtiendo la potencia: x-1SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN 3 ( ) {[ ( ) ] } = (––) 2x -1 -1 3 –– 3 3 ––EXPONENCIAL 2 2 2Es el valor o valores que verifican la igualdad relativa. 2x -3+3 -1 3 3 3 Ejemplos: ( )( ) ( ) –– 2 –– 2 = –– 2 x 3 i) 5 = 125 ⇒ x = 3, dado que: 5 = 125 (––) = (––) 2x-3x+3 -1 3 3 x+1 2+1 3 2 2 ii) 7 = 343 ⇒ x = 2, dado que: 7 = 7 = 343Para obtener la solución se debe tener en cuenta: Igualando los exponentes:1) Las bases de las potencias deben ser iguales. -x + 3 = -1 x=42) Para que haya igualdad, los exponentes de las po- Rpta.: 4 tencias, como consecuencia, deben ser iguales. 2.- Resolver: En resumen: 3x + 3x-1 + 3x-2 + 3x-3 + 3x-4 = 363 Si Am = An ∴ m = n - 26 -
  • Á L G E B R A Solución: Solución: Transformando las potencias: Efectuando operaciones: x x x x x . 4-x 60 3x + 3 + 32 + 33 + 34 = 363 –– –– –– –– 58 = 516 3 3 3 3 igualando exponentes: haciendo y = 3x, se obtiene: 8x . 4-x = 1660 y y y y y + –– + –– + –– + –– = 363 transformando: 3 9 27 81 (23)- (22) x x 60 eliminado denominadores: = (24) 81y + 27y + 9y + 3y = y = 363 . 81 23x . 2-2x = 2240 reduciendo: 23x-2x = 2240 121y = 363 . 81 2x = 2240 363 . 81 y = ––––––– ∴ x = 240 121 y = 243 Rpta.: 240 pero: y = 3x = 243 = 35 5.- Resolver: 4x ∴x=5 1 ( ) 1 –– 2 Rpta.: 5 ( ) –– 4 = 0,70713.- Resolver: Solución: __ _ 1 1 9x+2 = 9x + 240 -– Obsérvese que: 0,7071 = √2 = –––– = 2 2 2 ––– 2 Solución: 2 2 Descomponiendo las potencias: 4x 2 4 1/2 9x . 92 = 9x + 240 1 ( ) 1 –– 2 1 1 –– 2 1 1 1 –– 4 ( ) 1 –– 2 1 ( ) 1 –– 2 haciendo: y = 9x (a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) –– 4 = –– 2 = –– = –– 4 4 = –– 4 81y = y + 240 de donde: 4x = 41/2 de donde: y = 3 1 Sustituyendo en (a): luego: x = –– 2 9x = 3 Rpta.: 1/2 o: x 1/2 9 =9 6.- Resolver: ˆ x = 1/2 3 xx = 3 Rpta.: 1/2 Solución:4.- Resolver: Haciendo el cambio de variable: -x x 4 1660 [5 ] 8 =5 y = x3 (a) - 27 -
  • Extrayendo raíz cúbica: α 8.- Calcular el valor de “n”: _________ α 3 __ 3 __ n-1 √x3 = √y 2 2 3 x = √y __ (b) √ xn + xn +5 = x5 ––––––––– xn + xn+5 Solución: reemplazando (a) y (b) en la ecuación inicial: Descomponiendo las potencias: __ _____________ ( 3√y )y = 3 n-1 2 2 o, también: √ xn + xn . x5 ––––––––––– = x5 xn + xn . x5 y factorizando los numeradores y denominadores: (y ) = 3 1 – 3 ___ n-1 __________ 2 y y – 3 =3 √ xn (1 + x5) ––––––––––– = x5 xn (1 + x5) ___ __ _ Elevando al cubo, se tendrá: yy = 33 de donde: y = 3 n-1 √ n-1 xn 2 –––– = x5 xn ____ √xn2-n = x5 α reemplazando en (b): __ ____ n(n-1) 3 x = √3 x (n-1) = x5 3 __ Rpta.: √3 xn = x5 luego:7.- Resolver: n=5 x 33 Rpta.: 5 [5 ]39 = 59 9 Solución: 9.- Resolver la siguiente ecuación exponencial: Efectuando operaciones: 3 x 9 x-4 3 = 27 x 9 3 9 Solución: 53 . 3 = 59 o: Como 27 = 33 entonces: x 9+3 9 3 9 5 = 5 x x-4 x-4 33 = (33)9 = 33.9 de donde: igualando los exponentes: x 9+3 9 2 9 18 3 = 9 = (3 ) = 3 x-4 3x = 3 . 9x-4 = 3 . (32) = 31 . 32x-8 = 32x-7 igualando los exponentes: 3x = 32x-7 x 9 + 3 = 18 igualando los exponentes: 3x = 9 = 32 x = 2x - 7 luego: x = 2 ∴x=7 Rpta.: 2 Rpta.: 7 - 28 -
  • Á L G E B R A10.- Resolver la siguiente ecuación exponencial: 12.- Resolver: __ x-x n [(ax)x] = a√1/8 x n-x x x x b =x Solución: x Efectuando operaciones: donde : b = xx ___ 1 –– Solución: (a ) x2 x-x =a √ 2 3 Reemplazando “b” en la ecuación: __ x2 . x-x -3 a = a√2 x xn-x xx n (xx ) = xx igualando los exponentes: ___ Efectuando operaciones: x2 . x-x = √2-3 n x . xn-x xx xx = xx x2-x = 2-3/2 = (2-1) 3/2 1 = –– 2( ) 3/2 xx x+n-x = xx xx n 1 2 -– n ( ) 2 1 xx x2-x = –– n 2 xx = xx por comparación: igualando exponentes: n 1 x = –– xx 2 xn = x 1 Rpta.: –– igualando exponentes nuevamente: 2 n11.- Resolver: n = xx ––––––––––– Elevando a la “n” potencia e intercambiando los n xn + an √ 1 –––––––––– = –– (b2a)n + xn b exponentes: nn = ( xx n n ) = (xn) xn Solución: de aquí se obtiene: Elevando a la potencia “n” ambos miembros de la igualdad: xn = n n n x +a 1 –––––––––– = –– de donde: __ (b2a)n + xn b n x = √n __ bn(xn + an) = (b2a)n + xn n Rpta: √n bnxn + bnan = b2nan + xn 13.- Resolver: transponiendo términos: x x -–– –– bnxn - xn = b2nan - bnan 18 18 = x-1 . 12 18 xn (bn -1) = bnan (bn -1) Solución: simplificando: Transformando los exponentes negativos en po- xn = bnan sitivos: xn = (ab)n x 1 1 –– ∴ x = ab ––––– = –– . 12 18 x –– Rpta.: ab 18 18 - 29 -
  • transponiendo: α Solución: α x x x Transformando adecuadamente: – – – – – – 18 18 18 x = 18 . 12 = (18 . 12) 1 3x –– 4x 4x - ––––– = 3x . 3 2 - ––– –– 1 1 x –– x –– – 2 – – 2 – 3 4 x = (32 . 2 . 22 . 3) 18 = (33 . 23) 18 x Transponiendo términos negativos: – – [ x = (3 . 2)3 ] 18 4x –– 3x1 4x + ––– = 3x . 3 2 + ––– –– __ 2 √3 efectuando: x __ x=6 – – 6 ( 1 ) 4x 1 + –– = 3x √3 + –– 2 (√3 1 __ –– ) 1 elevando a la ––: 3 x 3 + 1 x ( ) ( __ 4x –– = 3 ––––– ) α 2 √3 1 1 – – x – – 6 x = 6 3 4 4x . –– = 3x . ––––– __ por lo tanto: 2 √3 x=6 . 3x 8 ––– 4x = –––__ Rpta.: 6 3√314.- Resolver: 4x 8 43/2 4 3/2 1-b ––– = ––––– = –––– = –– 3 x 3√3 __ 33/2 3 ( ) (bb . x)x = bb Solución: 4 x 4 3/2 Elevando a la potencia bb: (––) = (––) 3 3 por lo tanto: b.x 1-b . bb 1-b+b (bb . x)b = bb = bb = bb 3 x = –– 2 luego: 3 Rpta.: –– bb . x 2 (bb. x) = bb 16.- Resolver: identificando exponentes: 2 2 2 2 b b b . x = b ; x = –– – - x ––––– – 9 – + x––––– – 9 (––) - x2 –––– 9 bb ∴ x = b1-b √ 1 – +x – m3 = √ 1 – -x – m3 = √ m2 Solución: Rpta.: b1-b Transformando a fórmulas exponenciales:15.- Resolver: 1 1 – +x – – -x – 3 3 x- 1 –– 1 –– ––––– ––––– 2 x+ 2 – -x – 2 – +x – –––––– 4x - 3 2 = 3 2 - 22x-1 9 9 (2/9)2 - x2 m =m . m - 30 -
  • Á L G E B R A de aquí: VALOR NUMÉRICO DE LAS 1 – +x – 1 – -x – EXPRESIONES ALGEBRAICAS 3 3 2 ––––– 2 ––––– 2 + –––––– 2 2 2 m – -x – 9 =m – +x – 9 ( )-x –– 9 Se denomina valor numérico de una expresión alge- braica al valor que toma dicha expresión cuando se le asigna determinados valores a sus letras. igualando exponentes: 1 1 –– + x –– - x EJERCICIOS RESUELTOS 3 3 2 ––––––– = ––––––– + ––––––––––––––– 2 2 2 2 1.- Hallar el valor numérico de: –– - x 9 –– + x 9 ( –– + x –– - x 9 9 )( ) –––––––––––––––––––––––––––––– 1 -(––) √ Eliminado denominadores: -1 -1 2 1 1 1 1 2 1 2 ( ) –– z ( ) - –– y ( ) - –– x (–– + x)(–– + x) = (–– - x)(–– - x)+ 2 3 9 3 9 E= ( ) ( ) ( ) 1 –– z 1 - –– y x 1 + –– Efectuando operaciones: para: x = 4, y = 2, z = 3 2 x 2 2 x 2 ––– + –– + –– x + x2 = ––– - –– - –– x + x2 + 2 27 3 9 27 3 9 Solución: eliminando términos y transponiendo: Reemplazando los valores asignados: x x 2 2 –––––––––––––––––––––––––––––– –– + –– + –– x + –– x = 2 3 3 9 9 1 (––) √ -1 -1 2 1 1 1 eliminando denominadores: ( ) –– 3 ( ) - –– 2 ( ) - –– 4 1 1 1 3x + 3x + 2x + 2x = 18 E= ( ) ( ) ( ) –– 3 - –– 2 + –– 4 10x = 18 x = 1,8 Efectuando operaciones y transformaciones: Rpta.: 1,8 __________________________ 117.- Resolver la ecuación exponencial: xx = –– 4 √2 1 ––– __ = √( )1 –– 3 -3 1 - –– 2 _________________ ( ) ( ) -2 1 + –– 4 -– – 2 Solución: = √(3)3 - (2)2 + (4)1/2 Trabajando con el segundo miembro: ––––––––– –– – _ 1 _ 1 = √27 - 4 + 2 = √25 = 5 _ 1 _ 1 4 _ 1 _ 1 8 ( ) [( ) ] ( ) = [( ) ] 1 4= 2 8 2 x x = –– 1 –– 1 = –– 1 ––– Rpta.: 5 2 4 4 16 1 2.- Calcular el valor numérico de: –– ( ) 16 x 1 x = ––– 16 2 [ ] 1-a 1-b como consecuencia: ab + ba E = –––––––––– 1 1+a 1+b x = ––– ab + ba 16 1 para: ab = 2 y ba = 0,5 Rpta.: ––– 16 - 31 -
  • Solución: α Solución: α Transformando previamente: Transformando el numerador y denominador se- paradamente: 2 2 _______________ [ ][ ] -a -b a -a b -b ab . b + ba . a ab(b ) + ba(a ) ___________ E = –––––––––––– = ––––––––––––– _____ __ a ab . b + ba . a b a ab . b + ba . a b √√ 3 2 3 _____________ 3 __ 36 __ x x √x √ x = √ x43 = x43/36 _________ _ _ __ reemplazando los datos: 1/2 ___ _ 2 2 √√ 3 3 __ 9 __ x x √x √x = √x31 = x31/9 [ ][ ] 1 1 –– –– 1 –– 1 –– ba a ab reemplazando: (ab) + (b ) 20,5 + (0 5) 2 E = ––––––––––––– = –––––––––––– a b 1 1 1 (ab) b + (ba) a 20,5 + (0 5) 2 -– – -– – -– – [] 43 9 9 9 –– 2 2 x 36 E = –––– = [ 43 31 ––- –– x 36 9 ] [ = x 36 ] 43 - 124 ––––– [ ][ ][ ] 31 1 –– 1 –– 1 __ x9 22 + –– ( ) 2 4 + –––– 2 – 2 E = –––––––––– 1 – 1 2 2 + –– 4 √2 √2 + –– 4 4 = –––––––– = –––– –– 1 –– √2 = x - [ ] 81 –– –– 36 1 -– – 9 81 = x(36)( 9 ) –– 1 –– 1 –– 4 ––– = x 4 = √x α 16 ___ E = ––– = 8 4 2 E = √16 = 2 Rpta.: E = 8 Rpta.: E = 23.- Hallar el valor numérico de: 5.- Calcular el valor numérico de: x+xx xx+x x E=x ; para: xx = 2 E = xxy Solución: si se cumple las condiciones siguientes: Transformando la expresión: xayb = 2a (1) (xxx) xx) x+xx x (x x x x x xx . xx xbya = 2b (2) E = xx . x = xx . x = (xx ) Solución: Reemplazando el dato: Multiplicando (1) . (2): (2) E = (2)(2) = 24 = 16 xa+b . ya+b = 2a+b Rpta.: E = 16 de aquí:4.- Hallar el valor numérico de: xy = 2 (3) 1 __________ ____ _ - –– 2 Dividiendo (1) entre (2): [ ] ______ __ __ _ ___ ______ _ √√3 ___ _ E = ––––––––––––––––– 3 x2 √ 3 √ x4 x _____ x___ __ ____ _ __ _ _ __ _ __ xa-b –––– = 2a-b 1/2 __ __ ya-b √√ 3 x x √x √x 3 _ x –– = 2 y para: x = 16 - 32 -
  • Á L G E B R A Luego, se deduce que: 7.- Calcular el valor numérico de: x-1 - 1) x = 2y (4) 5xx [ x . x x(x +1 ] E= x Sustituyendo (4) en (3): xx para: xx = 2 (2y) (y) = 2 2y2 = 2 Solución: ∴ y=1 Transformando la expresión: +1 x-1 - x x Sustituyendo en (4): x . xx . x [ +1 ] [ x . xx - x + 1 ] 5xx 5xx E=x = x x = 2y x ∴ x = 2(1) = 2 5x x ( x . xx - x + xx ) x xx+x -x . xxx E=x = x5x Por lo tanto: x xx . xxx E = (x)xy = (2)2 .1 = 4 E = x5x Rpta.: E = 4 el orden de los factores exponentes no altera el producto y sacando 5:6.- Calcular el valor numérico de: ________ x+b E = ––––– x-b √ a2 - 2bx ––––––– a2 + 2bx E= [( xx xx ) xx xx 5 ] _____ _ xx Reemplazando xx = 2 se obtiene: para x = √a2 - b2 ___________ ________ 5 E = [(2)2] = 210 = 1 024 (a - 2bx) (x + b)2 2 E= √ –––––––––––––––– (a2 + 2bx) (x - b)2 Rpta.: 1 024 Solución: 8.- Calcular el valor numérico de: Introduciendo factores: _____ _____ Operando el cuadrado cada expresión: b√b + x + x √b + x E = ––––––– __ –––––––––– _______________ _______ ____ x√x (a - 2bx) (x + 2bx + b2) 2 2 E= √ ______ –––––––––––––––––––––– (a2 + 2bx) (x2 - 2bx + b2) 3 3 __ b √a2 para: x = ––––––––– __ 3 __ si x = √ a2 - b2 ⇒ x2 = a2 - b2 √b2 - √a2 reemplazando: Solución: ______________________ _ ________ Factorizando y efectuando: (a2 - 2bx) (a2 - b2 + 2bx + b2) E= √ –––––––––––––––––––––––––– (a2 + 2bx) (a2 - b2 + 2bx + b2) _____ ________ (√b + x––––––––– = √(b +__ 3 ) (x + b) –––––––– E = –––––––__ x) ________ _____________ 2 2 √x 3 √x3 –––––––––– 2 + 2bx) (a - 2bx) (a E= √ –––––––– (a2 + 2bx) (a - 2bx) _____ _____ __________ Rpta.: E = 1 = √ (–––––) = √(–– + 1) b+x x b x 3 3 - 33 -
  • Reemplazando “x”: α __ ______ __ √b2 + √(c + d)2 + √a2 = –– + c + d + –– E = ––– ––––––– ––– b –––– a α ––––––––––––––––– b c +d a b c+d a √[ ] 3 b –––––––– + 1 __ E = 1 + 1+ 1 = 3 3 b √a2 E= ––––––––– __ 3 __ Rpta.: E = 3 3 √b2 - √a2 10.- Calcular el valor numérico de E = x+y, en la si- ––––––––––––––––– guiente ecuación: 3 –––––– √[ ] __ 3 __ 3 __ abn-1 √ n-y E= √b2 - √a2 + 1 –––––––––– ––––– = bx √ab 3 __ n-1 –– √a2 √ab –––––––––––––––––––––– Solución: 3 Efectuando operaciones en el primer miembro: √[ ] __ 3 __ 3 __ 3 √b2 - √a2 + √a2 + 1 –––––––––––– –––––––––––– α E= ––––––––––––––– __ n-2 n-2 n2-2n+1-1 3 √a2 √ a 1 1 - ––– n-1 .b 1 n-1 - ––– n-1 = √ a n-2 ––– n-1 .b ––––––––– n-1 ––––––––– –––––––––––– n-2 3 √ (n-2) –––– n(n-2) –––––– 1 ––– n –––– √[ ] √ 3 __ –––– a n-1 .b n-1 = a n-1 . b n-1 E= √b2 ––––– = b2 b ––– = –– __ 3 a2 a Igualando el segundo miembro: √a2 1 –––– n –––– 1 –––– 1 –––– 1 x + –––– 1 –––– b a n-1 . b n-1 = bx . a n-y . b n-y = b n-y . a n-y Rpta.: E = –– a Por lo tanto, se puede deducir que:9.- Calcular el valor numérico de: 1 1 _____________ ________________ –––– = –––– n-1 n-y √(a + b)(b + c + d) + ––––––––––––– + b) √(a + b + c)(c + ––––– d E = ––––––– –––––––– n-y=n-1 b cd _____________ y=1 √(a–––––––––––– + b)(a + c + d) + ––– a Del mismo modo, también se deduce que: si: ab + ac + ad + bc + bd = 0 1 n x + –––– = ––––– Solución: n-y n-1 Efectuando operaciones se obtiene: 1 n x + –––– = ––––– _______________________ n-1 n-1 √ab + ac + ad + b2 + bc + bd E = ––––––––––––––––––––––––– b 1 n x + –––– = ––––– ⇒ x = 1 ____________________________ n-y n-1 √(c + d)2 + ab + ac + bc + bd + ad + ––––––––––––––––––––––––––––– c+d ∴E=x+y=1+1=2 reemplazando por el valor del dato se obtiene: Rpta.: E = 2 - 34 -