Relaciones binarias

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I.U.T. ANTONIO JOSE DE SUCRE

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Relaciones binarias

  1. 1. RELACIONES BINARIASNombre: Giménez ChristianC.I: 22323604
  2. 2. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A × B = { (x,y) / x ∈ A ^ y ∈ B }
  3. 3. PRODUCTO CARTESIANO Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }Note que A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.
  4. 4. PRODUCTO CARTESIANO Ejemplo: A = { corazón, trébol, coco, espada } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12), (trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …,(espada,12) }Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)
  5. 5. PRODUCTO CARTESIANOREPRESENTACIÓN EN FORMA DETABLA Ejemplo: A={ , } B={ , , }
  6. 6. PRODUCTO CARTESIANOREPRESENTACIÓN EN FORMA DEDIAGRAMA DE VENN Ejemplo: A={ , } B={ , , }
  7. 7. PRODUCTO CARTESIANO Ejemplo: A={ , } B={ , , }
  8. 8. RELACIÓN ENTRE ELEMENTOS DECONJUNTOS Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.
  9. 9. RELACIÓN ENTRE ELEMENTOS DECONJUNTOS Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.
  10. 10. RELACIONES Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B 3 es el b está correspondienterelacionado de d con 1
  11. 11. CONJUNTOS DE SALIDA Y DELLEGADA DE UN RELACIÓN A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada
  12. 12. DOMINIO DE UNA RELACIÓN Dom(R) =  x / x∈A ∧ (x,y) ∈ R  Dom(R) = {b, c, d}
  13. 13. IMAGEN DE UNA RELACIÓN Im(R) =  y / y∈B ∧ (x,y) ∈R  Im(R) = {1, 3, 4}
  14. 14. NOTACIÓN SiR es una relación entre A y B , la expresión x R y significa que (x,y) ∈ R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R. Ej: b R 1 porque (b,1) ∈ R
  15. 15. RELACIÓN DEFINIDA EN UNCONJUNTO Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A. Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A
  16. 16. RELACIÓN DEFINIDA EN UNCONJUNTO Ejemplo: Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de”  R es una relación en H. Por qué?  Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis) ∈ R.  Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.
  17. 17. REPRESENTACIÓN DE UNARELACIÓN Sea A = { a , b , c , d} y R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) } Los vértices del grafo son los elementos A y las aristas dirigidas representan los elementos de R Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un número finito de elementos
  18. 18. REPRESENTACIÓN DE UNARELACIÓN Sea A = { a , b , c , d} y R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) } R puede representarse como matriz donde 1 indica que hay relación y 0 que no hay relación
  19. 19. PROPIEDADES DE LASRELACIONES DEFINIDAS ENUN CONJUNTO Siestablecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación  Propiedad reflexiva  Propiedad simétrica  Propiedad asimétrica  Propiedad antisimétrica  Propiedad transitiva
  20. 20. PROPIEDAD REFLEXIVA Lapropiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo R es reflexiva si para todo x ∈ A, el par (x,x) ∈ R
  21. 21. PROPIEDAD SIMÉTRICA Lapropiedad simétrica dice que si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero R es simétrica si siempre que un par (x,y) ∈ R, el par (y,x) también pertenece a R
  22. 22. PROPIEDAD SIMÉTRICA Ejemplo  Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son simétricas R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
  23. 23. PROPIEDAD ASIMÉTRICA Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.
  24. 24. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.
  25. 25. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA Ejemplo  Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son antisimétricas R = {(2, 2), (4, 4)} S = {(2, 4)} T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}
  26. 26. PROPIEDAD TRANSITIVA Lapropiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. R es transitiva si ∀x , ∀y ,∀z , (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R ⇒ (x,z) ∈ R
  27. 27. PROPIEDAD TRANSITIVA Ejemplo  Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son transitivas R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

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