Polinomios

Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
Ejemplos

Tipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones Algebraicas
Racionales Irracionales
Enteras Fraccionarias

Expresión Algebraica Racional
Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación
Ejemplo

Expresión Algebraica Irracional
Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación
Ejemplo

Expr.Algebraica Racional Entera
Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.
Ejemplo

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.
Ejemplo

Polinomios
Son las expresiones algebraicas más usadas.
Sean a 0 , a 1 , a 2 , …, a n números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

Ejemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

Términos
Monomio : polinomio con un solo término.
Binomio : polinomio con dos términos.
Trinomio : polinomio con tres términos.
Cada monomio a i x i se llama término .
El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es a n x n con a n  0.
A a 0 se lo llama término independiente .
A a n se lo llama término principal .

Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x 2 + … +0x n se llama polinomio nulo . Lo simbolizaremos por O p (x) . No se le asigna grado.

Ejercicio
Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son.
Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

Suma de Polinomios
Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.
Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1
Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2

Propiedades de la Suma
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto

Resta de Polinomios
Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1
Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2

Multiplicación de Polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.
Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1
Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3x 3 + P(x) (-6x 2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

Propiedades del Producto
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro.

Algunos productos importantes
(x+a) 2 =(x+a)(x+a)= x 2 + 2ax + a 2
(x-a) 2 =(x-a)(x-a)= x 2 - 2ax + a 2
(x+a) 3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3
(x-a) 3 = x 3 - 3ax 2 + 3a 2 x - a 3
(x+a)(x-a)= x 2 –ax +ax-a 2 = x 2 -a 2

Ejercicio
Escribir los desarrollos de

Ejercicio : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

Ejercicio : La expresión x 2 - a 2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

División de polinomios
Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

División entre números enteros
En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d  0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que
D = d . C + r 0 ≤ r < |d|
Si r=0 se dice que D es divisible por d.

División entre números enteros
Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:
29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6
29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

División de polinomios
Dados los polinomios
D(x) = 6x 3 – 17x 2 +15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=O p (x)

Ejemplo
6x 3 – 17x 2 + 15x – 8 3x – 4
-6x 3 + 8x 2 2x 2 - 3x + 1 6x 3 -17x 2 +15x-8 = (3x-4)(2x 2 -3x+1)-4 0x 3 - 9x 2 + 15x 9x 2 - 12x 0x 2 + 3x - 8 -3x + 4 0x - 4

Ejercicios
D(x) = 4x 5 + 2x 3 – 24x 2 + 18x
d(x) = x 2 – 3x
D(x) = 16x 8 + 24x 6 + 9x 4
d(x) = 4x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 3x 2
D(x) = 2x 4 – 6x 3 + 7x 2 – 3x +2
d(x) = x-2

División de Polinomios
Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)  O p (x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que
D(x) = d(x) . c(x)

Ejercicios
Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro
P(x) = x 4 -2x 3 +x 2 -5x + 1
Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1
P(x) = x 4 +2x 3 +4x 2 + 8x +16
Q(x) = x 5 - 32

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 x – 2
- 3x 3 + 6x 2 3x 2 + 4x + 3
4x 2 – 5x
- 4x 2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
-3
3 6 4 8 3 6 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x 2 + 4x + 3) + (-3) Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 -3

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
División de P(x) = 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2 6 8 6
3 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2) 2 -2.(2) 2 -5.2 -9 = -3

Raíces de un polinomio
Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x 2 + 2x – 5

Raíces de un Polinomio
Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.
Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x 3 - 2x 2 - 16x + 24

Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x 3 - 2x 2 - 16x + 24
Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24.
Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x 3 – 2x 2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x 2 + 2x -12) Ver x=2 también es raíz de 2x 2 + 2x -12 2x 2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)

Ejercicio
Calcular las raíces de
P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 + 4x + 8
P(x) = (x-2) 2 (x+1) (x+2)

Resolver la siguiente ecuación

Soluciones de la Ecuación Fraccionaria

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Polinomios

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