Basi Matematiche

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Proporzioni, 4 Operazioni, Insiemi Numerici

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Basi Matematiche

  1. 1. Basi dellaMatematica Di Chiara Rodolfi
  2. 2. AddizioneI termini si dicono addendiIl risultato si dice sommaL’addizione è un’operazione internaall’insieme NVale:-La proprietà commutativa-La proprietà associativa-Esiste l’elemento neutro che è lo 0
  3. 3. SottrazioneI termini si dicono minuendo e sottraendoIl risultato si dice DifferenzaLa sottrazione non è un’operazione internaall’insieme NNon vale:-La proprietà commutativa-La proprietà associativa-Non esiste l’elemento neutroVale la proprietà invariantiva: sommando osottraendo uno stesso numero dal minuendo edal sottraendo la differenza non cambia
  4. 4. MoltiplicazioneI termini si dicono fattoriIl risultato si dice prodottoLa moltiplicazione è un’operazione internaall’insieme NVale:-La proprietà commutativa-La proprietà associativa-Proprietà distributiva-Esiste l’elemento neutro che è 1-Legge di annullamento del prodotto: il prodotto didue fattori è nullo se e solo se almeno uno dei duefattori è nullo
  5. 5. DivisioneI termini si dicono dividendo e divisoreIl risultato si dice quoto o quozienteLa divisione non è un’operazione internaall’insieme NNon vale:-La proprietà commutativa-La proprietà associativa-Non esiste l’elemento neutroVale la proprietà invariantiva: Moltiplicando odividendo uno stesso numero dal dividendo edal divisore il quoto non cambia
  6. 6. Multiplo & Divisore Multiplo Dati due numeri a e b si dice che a è multiplo di b se esiste un numero tale che: bxn=a Divisore Dati due numeri a e b si dice che b èdivisore di a ( o che a è divisibile per b ) se esiste un numero tale che a:b=n
  7. 7. Criteri di divisibilitàPer 2: quando il numero è pariPer 3: quando la somma delle cifre è divisibile per 3Per 4: quando gli ultimi 2 numeri sono 00 o sono divisibili per4Per 5: quando il numero finisce per 0 o 5Per 8: quando la somma delle ultime 3 cifre sono unnumero divisibile per 8 o sono 000Per 9: quando la somma delle cifre è un numero divisibileper 9Per 11: quando la somma delle cifre di posto dispari menola somma delle cifre di posto pari è un numero divisibile per11Per 25: quando il numero finisce per 00, 25, 50, 75
  8. 8. PotenzeDato un numero naturale a e un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a, il prodotto di n fattori uguali ad aProdotto di due potenze con la stessa baseE’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente lasomma degli esponentiQuoziente di due potenze con la stessa baseE’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente ladifferenza degli esponentiPotenza di potenzaE’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente ilprodotto degli esponentiProdotto di due potenze con lo stesso esponenteE’ una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponenti lasomma degli esponentiQuoziente di due potenze con lo stesso esponenteE’ una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponentelo stesso esponente
  9. 9. Numeri primi e primi tra loroNumeri primiUn numero si dice primo se è divisibile soloper 1 e per se stesso.Numeri primi tra loroDue numeri si dicono primi tra loro sehanno come unico divisore comune 1Chiarimenti:Due numeri primi sono sicuramente ancheprimi tra loro, ma non è detto che duenumeri primi tra loro siano anche primi
  10. 10. M.C.DSi dice M.C.D di due o più numeri il piùgrande divisore comune ai numeri datiCome si calcola:Si scompongono i numeri in fattori primie si prendono i fattori comuni una solavolta e con il minimo esponente
  11. 11. m.c.mSi dice m.c.m di due o più numero il piùpiccolo multiplo comune ai numeri datiCome si calcola:Si scompongono i numeri in fattori primie si prendono i fattori comuni e noncomuni una sola volta e con il massimoesponente
  12. 12. Insieme numeri relativi ZE’ l’insieme dei numeri con il segnoConcordi: hanno lo stesso segnoDiscordi: hanno segno diversoNumeri oppostiDue numeri si dicono opposti quando hanno lo stesso valoreassoluto ma segno diversoValore AssolutoSi dice valore assoluto il numero senza il segnoAddizione in ZValgono le stesse proprietà che valevano in N. Si aggiungel’elemento simmetrico che è l’oppostoSottrazione in ZValgono le stesse proprietà che valevano in N. Ora la sottrazioneè un’operazione interna binaria in Z. La moltiplicazione e ladivisione restano uguali
  13. 13. Confronto tra numeri relativi- Ogni numero positivo è maggiore di goni numero negativo- Lo zero è maggiore di tutti i numeri negativi e minore di tutti i numeri positivi- Confronto numeri concordiPositivi: è maggiore quello che ha valore assoluto maggioreNegativi: è maggiore quello che ha valore assoluto minoreSomma algebricaE’ la somma tra numeri realtiviSomma di numeri relativiConcordi: E’ un numero che ha per segno il segno dei numeri e per valore assoluto la somma deivalori assolutiDiscordi: E’ un numero che ha per segno il segno del numero con valore assoluto maggiore e pervalore assoluto la differenza dei valori assolutiIl prodotto di tre o più termini è:Positivo: se il numero di fattori negativi è pariNegativo: se il numero di fattori negativi è dispariRegole dei Segni+x + =++x - =-- x +=-- X- =+
  14. 14. ProporzioniDefinizione RapportoDati due numeri relativi interi, con il secondo diverso da 0, si dicerapporto di quoto della divisione tra i due numeriDefinizione proporzioneLa proporzione è l’uguaglianza tra due rapportiI numeri si chiamano termini della proporzioneIl 1 e il 4 si dicono estremiIl 2 e il 3 si dicono mediIl 1 e il 3 si dicono antecedentiIl 2 e il 4 si dicono conseguentiUna proporzione si dice continua se hai medi uguali. Si parla dimedio proporzionale. L’ultimo termine è detto terzoproporzionaleSe una proporzione non è continua l’ultimo termine è dettoquarto proporzionale
  15. 15. Proprietà delle proporzioniProprietà fondamentaleIl prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremiProprietà del permutareScambiando tra loro medi o estremi si ottiene una nuovaproporzioneProprietà dell’invertireScambiando ogni antecedente per il proprio conseguentesi ottiene una nuova proporzioneProprietà del comporreLa somma del 1 e 2 termine sta al 1 e al 2 come lasomma del 3 e 4 termine sta al 3 e al 4Proprietà dello scomporreLa differenza del 1 e 2 termine sta al 1 e al 2 come ladifferenza del 3 e 4 termine sta al 3 e al 4
  16. 16. Numeri razionali QDefinizione FrazioneDati due numeri interi relativi n, d con d diverso da 0, si definisce frazione il quoto di n e d e si scriven/dn e d si dicono termini della frazionen è il numeratored è il denominatoreFrazioni proprieQuando il numeratore è minore del denominatore. La frazione è <1Frazioni improprieQuando il numeratore è maggiore del denominatore. La frazione è >1Frazioni ApparentiQuando il numeratore è un multiplo del denominatore. La frazione è un numero intero > o =1Frazioni equivalentiDue frazione si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso quotoFrazione ridotta ai minimi terminiUna frazione si dice ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore sono numeriprimi tra loroProprietà InvariantivaMoltiplicando o dividendo il numeratore o il denominatore per uno stesso numero si ottiene unafrazione equivalente
  17. 17. Operazioni in QAddizione: come in ZSottrazione: come in ZMoltiplicazione: Come in Z + elemento simmetricoDefinizione Inverso o ReciprocoDue numeri a e b si dicono reciproci se il loro prodotto è uguale a 1, axb=1Divisione: In Q0 diventa un operazione interna binaria a QAddizione: Per sommare una o più frazioni bisogna portarle allo stessodenominatore e poi sommare in numeratori. Idem per la sottrazioneMoltiplicazione: Si moltiplicano tra loro nominatori e denominatoriDivisione: Si moltiplica la prima frazione per l’inverso della frazionePotenza di frazioneValgono le stesse proprietà delle potenzePotenza a esponente negativoDati un numero razionale a diverso da zero e un numero naturale n si dicepotenza a esponente negativo –n di a l’inverso di a alla n
  18. 18. Frazioni e numeri decimaliTutte le frazione che, ridotte ai minimi termini, hanno al denominatore:- 2 o 5 o entrambi, è un numero decimale finito: la frazione generata da un numero decimale finito ha al nominatore il numero senza la virgola e al denominatore 1 più tanti zeri quante sono le cifre decimali- Numeri diversi da 2 e 5, è un numero decimale periodico semplice: la frazione generata da un numero periodico semplice ha al numeratore il numero senza la virgola meno la parta che precede il periodo e al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo- Numeri diversi da 2 e 5 con 2 o 5, è un numero decimale periodico misto: la frazione generata da un numero periodico semplice ha al numeratore il numero senza la virgola meno la parta che precede il periodo e al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo ( la parte decimale che precede il periodo )

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